Semar Nasoal Matematka 009 78 HIMPUNAN KRITIS PADA GRAF CYCLE CATERPILLAR Charul Imro Jurusa Matematka ITS mro-ts@matematka.ts.ac.d ABSTRAK Pelabela ada graf cycle caterllar C adalah member label smul da ( s, s,..., s) ss ada graf cycle caterllar. Graf tersebut memuya sfat aab, ka umlah label ss da label smul yag sde dega ss memuya umlah yag sama ada semua ss. Karea graf cycle caterllar daat dlabel sedemka hgga umlah seta ss da smul yag sde adalah sama maka graf cycle caterllar memuya sfat aab. Hmua krts adalah suatu hmua yag beraggotaka eleme-eleme yag daat meetuka eleme la dar suatu hmua secara tuggal. Oleh karea tu, umlah aggota dar hmua krts harus semmal mugk. Karea graf cycle caterllar aab, maka daat dtemuka hmua krts dar graf tersebut. Dega megetahu hmua krts dar suatu graf, khususya graf cycle caterllar, maka daat drekostruks elabela dar graf tersebut beserta label yag la sehgga graf aab (teta aab). Dar hasl aalsa embahasa dtemuka aggota dar hmua krts dar graf cycle caterllar adalah bayakya dau lus a dar graf tersebut dega 0<a<. Sedagka hmua krts graf cycle caterllar beraggotaka daat terdr dar label ss dar dau saa, label smul dau saa atau kombas keduaya. Kata kuc: Edge Magc Total Labelg, Crtcal set. PENDAHULUAN Pelabela yag domaya berua hmua smul, hmua ss, atau keduaya yag basaya dsebut dega elabela smul, elabela ss, atau elabela total. Pada aer aka dguaka elabela total, sedagka evaluasya ada ss. Telah dbahas elabela total ss aab ada graf caterllar da elabela total ss aab ada cycle, yak elabela dmaa umlah label ss da label smul-smul yag meemel atau yag sde ada ss tersebut selalu sama utuk seta ss. Jumlah tersebut dsebut agka aab, yag basa dlambagka dega smbol huruf k. Ide elabela dkealka ertama kal oleh Sedlaek(Sed6) ada 960-a, selautya dformulaska oleh Kotzg da Rosa(KR70) ada tahu 970-a. Buursagkar lat adalah matrks berukura dega eleme-elemeya dlh dar hmua blaga asl dega eleme sehgga seta eleme terdaat ada Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 79 seta bars da seta kolom sehgga seta eleme yag sama tdak erah terad ada bars atau kolom yag sama. Kose tersebut yag dguaka utuk mecar hmua krts. Salah satu alkas dar hmua krts adalah ada bdag krtograh. Pada aer aka dcar hmua krts ada elabela suatu grah. Graf yag aka dka adalah graf cycle caterllar. Pelabela ada sebuah graf dber tada dega seumlah label ada smul da ss graf, sehgga seta label ss ada graf tersebut tergatug keada label kedua smul yag meemel ada ss tersebut. Basaya, label yag dguaka adalah blaga bulat ostf atau blaga asl. Hmua krts elabela ada suatu graf adalah subhmua label da oss label tersebut yag bla dlegkaaka meghaslka elabela tersebut secara tuggal. Secara sederhaa, ka dberka subhmua label suatu graf da ossya, aakah hmua tersebut haya membagu graf yag sama dega elabelaya tersebut secara tuggal? Jka ya, maka hmua tersebut adalah hmua krts. Pada aer aka dhaslka: atara la megkostruks elabela total ss aab ada graf cycle caterlar C, kemuda meetuka hmua krts dar ( s, s,..., s) elabela total ss aab d atas. Graf Graf tak berarah, selautya dsebut graf G, ddefska sebaga asaga terurut G ( V, E) dmaa V (G) adalah hmua hgga tak kosog v, v, v,..., v } da { E(G) adalah hmua baga dar V V dmaa berlaku ( u, v) E( G) megakbatka ( v, u) E( G). Aggota dar V (G) dsebut smul da aggota dar E(G) dsebut ss. Secara grahs smul dgambarka sebaga ttk da ss dgambarka sebaga ruas gars yag meghubugka dua buah smul. Bayak ss dar G dlambagka dega E ( G) q da bayak smul dar G dlambagka dega V ( G). Dua buah smul dsebut bertetagga, ka kedua smul tersebut dhubugka oleh sebuah ss. Deraat suatu smul, msal v, dlambagka dega (v), adalah bayakya smul yag bertetagga dega v. Smul berderaat satu ada Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 80 suatu graf dsebut dau. Graf C Graf S Graf C (,,) Gambar. Graf Cycle, Star da Caterllar Suatu graf G dkataka terhubug ka daat dbuat ltasa yag meghubugka seta dua smul ada graf tersebut. Lhat Gambar, adalah cotoh dar graf cycle dega tga smul, graf star dega emat dau da graf caterllar dega tga star masg-masg star dega dua dau. Semua graf d atas termasuk graf terhubug. Pelabela Graf Pelabela graf G adalah emetaa satu-satu yatu memetaka semua eleme (smul da ss) dar graf ke suatu blaga (blaga bulat ostf atau blaga bulat tak egatf). Dega kata la, elabela graf adalah embera label ada smulsmul da ss-ss dar graf, sehgga seta smul da seta ss memuya label yag berbeda. Ada beberaa macam elabela, yatu elabela yag domaya berua hmua smul, hmua ss, atau keduaya. Macam-macam elabela beruruta dsebut elabela smul, elabela ss, da elabela total. Pada eelta, haya membahas elabela total ss aab yag ddefska sebaga berkut: Defs: Pelabela total ss aab ada (, q) grafg adalah fugs bektf : V ( G) E( G) {,,,, q} sedemka sehgga ada suatu blaga kosta k dmaa ( u ) ( uv) ( v) k () dega u, v V ( G) da uv E(G) da k damaka umlaha aab (Magc Sum) dar graf G. Graf yag memuya elabela total ss aab damaka ss- Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 8 aab \cte{wall}. Jka ( V ( G)) {,,,, }, da G dkataka suer total ss aab\cte{eo}. 8 0 6 9 7 6 7 8 9 0 9 7 0 8 7 8 6 0 9 (a) (b) (c) 6 Gambar. Pelabela Total Ss Aab dar Graf Cycle, Star da Caterllar Perhatka Gambar. (a) adalah cotoh elabela total ss aab dar graf cycle dega agka aab k 9, Gambar. (b) adalah cotoh elabela total ss aab dar graf star dega agka aab k,da Gambar. (c) adalah cotoh elabela total ss aab dar graf caterllar dega agka aab k 8. Perhtuga Dasar Dketahu graf G ( V, E) dega V ( G) smul da q E( G) ss. Msal M q da smul v berderaat memuya label x dtuls ( v ) x. Sedaga ss e v v memuya label y dtuls ( e ) y da deraat dar smul ke- yag buka smul dau. Maka umlah total ss aab dar semua ss ada suatu graf, adalah umlah label dar semua ss dtambah dega semua smul, sehgga label ada smul dhtug kal, maka qk qk x ( q y ( M ) ) x ( ) x atau qk M ( ) x Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 8 Hmua Krts Hmua krts awalya dteraka ada erseg lat, yatu suatu erseg yag seta kolom atau bars tdak boleh ds dega blaga sama. Jka erseg tersebut berukura, maka erlu meyma data sebayak, teta tdak erlu meyma secara keseluruha data, yag dsma haya beberaa yag daat mewakl data tersebut. Hmua beberaa data tersebut damaka hmua krts dar erseg lat. Pada eelta aka dtetuka hmua krts dar suatu graf dega elabela total ss aabya, khususya graf cycle caterllar, dega megadatas sfat-sfat hmua krts ada erseg lat. Dberka graf G dega elabela yag dkeaka ada graf G. Msalka Q Q, Q,, Q }, Q c, ada elabela dar graf G adalah hmua Q { c (, x ) dega meuukka oss dar suatu smul atau ss dega label aab x. Q (G) adalah hmua krts utuk elabela ada graf G da, ka memeuh :. Q (G) haya daat membagu ada graf G. Seta subset dar Q (G) tdak memeuh sfat () Jka suatu hmua krts memlk c aggota maka hmua krts tersebut berukura c. Hmua da krts Q (G) dkataka mmal ka ukura seta hmua krts laya lebh r atau sama dega Q (G). METODE Secara formal, hmua krts Q Q, Q,, Q } utuk elabela total ss aab { c ada graf G dega ttk adalah hmua seumlah label ttk da/atau ss dmaa ka salah satu dhauska maka elabela total ss aab ada graf tersebut tdak daat dlegka secara tuggal. Dsamg megetahu hmua krts, daat uga melakuka ecacaha dar semua elabela total ss aab yag mugk utuk graf yag aka dguaka. Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 8 Dalam hal, graf yag aka dguaka adalah graf cycle caterllar. Pelabela total ss-aab ada graf-graf tersebut telah bayak dka da dataraya dhaslka oleh euls (dkk). Pecacaha semua elabela yag mugk utuk suatu graf derluka utuk medaatka varas dar skema membag rahasa. Peelta aka dlakuka dega etahaa berkut :. Taha Pelabela Graf. Pada taha dlakuka bagamaa member label atau eumeras ada graf cycle caterllar yag meruaka gabuga graf cycle da graf star. Pada taha ula eelt aka mecar berbaga cara atau beraa cara member label ada graf sedemka hgga graf mead total ss aab.. Taha Pecara Hmua Krts. Setelah dtemuka cara member label ada graf da graf sudah terlabel, selautya adalah meyeldk tetag hmua krts ada elabela total ss aab ada graf d atas. Pada taha dharaka medaatka egetahua tetag bagamaa merekostruks hmua krts dar suatu elabela. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada baga aka dbahas bagamaa mecar erhtuga dasar dar graf cycle caterllar, kemuda melabel graf cycle caterllar, da dlautka dega mecar hmua krts graf cycle caterllar. Setelah dtemuka hmua krts aka dcar atau dsusu skema embaga rahasa berdasarka elabela total ss aab dar graf cycle caterllar. Gambar. adalah gambar dar graf cycle caterllar. v v v m v v v k v v v 0 v 0 v l v 0 Gambar. Graf Cycle Caterllar Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 8 Perhtuga Dasar Perhatka Gambar, sebuah graf cycle caterllar terdr sebuah graf cycle buah star, sehgga deraat dar usat star ke- (msal: C da ) ada cycle, maka deraatya bertambah mead. Graf cycle caterllar C terdr dar ( S, S,, S) smul dega V ( ) da q ss dega q E( ), dmaa s C ( S, S,, S) da blaga bulat ost dega blag aabya k, maka C ( S, S,, S) q utuk semua smul da ss dlabel dega qk q q ( e ) ( e ) q ( v ) ( ( ) ( v ) ( ) ( v ) ) ( v ) Besar keclya blaga aab tergatug ada label yag ada ada smul. Label smul dega deraat yag alg besar dber label blaga yag besar memugkka blaga aabya aka alg besar. Label smul dega deraat yag alg besar dber label blaga yag alg kecl memugkka blaga aabya aka alg kecl. Pelabela Graf Cycle Caterllar Dega megguaka de dar ketga graf d atas yatu graf cycle, graf star da graf caterllar da dega megguaka defs datas, daat dtemuka beberaa varas elabela graf cycle caterllar dega teorema dbawah. Gambar dmodfkas betukya, yatu dega megubah susua smul usat star dega sm[ul dau, sehgga terbetuk seert Gambar. a a a s+ a a s+ s a m a m+ a m+ a m+ a a - Gambar Modfkas Graf Cycle Caterllar Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 8 Teorema Seta Graf cycle caterllar C meruaka elabela total ss aab. ( S, S,, S) Bukt: Dega member label ada seta smul dega ( a ) dega,,,, da label ada ss ( e ) yag meghubugka smul usat star da smul dau ( e ) dega q, q, q,, utuk memaham lebh elasya, erhatka cotoh graf cycle caterllar C. (,,) 6 8 7 6 0 9 8 9 0 7 Gambar Graf Cycle Caterllar C dega k (,,) Hmua Krts Graf Cycle Caterllar Pada bab aka dbahas beberaa teorema (sebaga hasl utama) yag berkata dega hmua krts elabela suatu grah. Sebelum meeraka kose hmua krts ada elabela suatu grah, adag erseg lat arsal $L_$ da $L_$, da erseg lat $L$ berorde $ \tmes $ berkut : Sekarag yag aka dcar adalah hmua krts dar suatu grah, khususya graf cycle caterllar. Perhatka lemma berkut. Lemma Jka adalah bayakya dau yag dmlk oleh suatu graf G, maka Q ( G) utuk seta elabela total ss aab. ed{lemma} Bukt: Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 86 Msalka v, v, v,, v } adalah dau dar graf G da e, e, e,, e } adalah { { ss yag meemel ada dau. Msalka ( v ) x da ( e ) y. Adaka Q ( G), maka ada suatu, msal, sehgga Q (G) tdak memuat x da/atau y sekalgus. Dega meukarka oss x da y aka deroleh elabela total ss aab yag la. Maka Q (G) buka hmua krts dar G. Jad haruslah Q ( G). Graf cycle caterllar dbagu dar gabuga graf cycle da graf star, yatu seta smul dar cycle meruaka usat star. Lhat Gambar atau da dega megacu teorema datas daat dtuls teorema berkut: Teorema Msal adalah elabela total ss aab ada graf cycle caterllar C ( S, S,, S) maka ada suatu Q ( C ( S, S,, S) ) dmaa Q ( C( S, S,, S) ) d, dega d adalah bayakya dau ada star ke-. Bukt: Padag graf cycle caterllar C dega V S, S, S,, S } dmaa ( S, S,, S) { S da d adalah bayakya dau ada S, v0, v, v,, v d S da d adalah bayakya dau ada S, v0, v, v,, vd seterusya samaa dega S v, 0, v, v, vd da v 0 adalah smul usat star ke-. d adalah bayakya dau ada Jumlah smul ada graf cycle caterllar C adalah umlah semua dau ( S, S,, S) ada seta star dtambah dega umlah smul usat star atau S, Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 87 V ( d ) ( d ) ( d ) ( d ) d d d d d Telah dketahu datas bahwa bayakya aggota hmoua krts dar sebuah graf star dega dau adalah mmal, sedagka aggota hmua krts ada graf cycle tergatug ada oss da label. Sedagka graf cycle caterllar meruaka gabuga dar graf cycle da graf star, maka bayakya aggota hmua krts dar graf cycle caterllar mmal bayakya dau ada graf teresebut atau Q ( C d. ( S, S,, S) ) Oleh karea tu, bayakya aggota hmua krts dar graf cycle caterllar sama dega atau lebh besar dar bayakya dau dar graf tersebut. Dega memerhatka label ada dau daat dtukar dega label ada ss yag meghubugkaya, sehgga aggota dar hmua krts daat bervaras. Artya aggota dar hmua krts daat berua oss da label dau saa, oss da label ss yag meghubugka ke dau, atau kombas keduaya. 7 6 9 8 0 6 7 8 7 6 6 7 8 9 8 0 (a) (b) Gambar 6 Poss da Label dar C dega (,,) k Perhatka Gambar 6 (a) adalah oss da Gambar 6 (b) adalah label dar graf cycle caterllar yag meruaka elabela total ss aab dega k. Sehgga daat dtuls sebaga berkut ( C (,, ) ) {(,6),(,8),(,),(,7),(,),(6,6), (7,7),(8,),(9,8),(0,),(,9),(,), (,),(,),(,),(6,),(7,),(8,0)} Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 88 8 7 6 6 7 8 9 8 7 6 6 7 8 9 0 0 (a) (b) Gambar 7 Hmua Krts dar Gambar 6 (b) Padag Gambar 7 (a), meruaka hmua krts dar Gambar 6 (b), ka dtuls Q {(,8),(6,6),(8,),(,),(,),(6,)} begtu uga utuk Gambar 7 (b), meruaka hmua krts Gambar 6 (b), ka dtuls Q {(,6),(,8),(6,6),(8,),(,),(,),(6,)} 8 7 6 6 7 8 9 8 9 7 6 8 0 6 7 0 (a) (b) Gambar 8 Hasl rekrostruks ulag Gambar 7 (a) Teta setelah dlakuka rekostruks, maka Gambar 7 (a) atau Q ) buka ( C (,,) meruaka hmua krts, sebab setelah drekostruks ulag meghaslka lebh dar satu buah elabela yag berbeda, yatu ada Gambar 8. Sedagka Gambar 7 (b) meruaka hmua krts karea setelah dlakuka rekostruks haya meghaslka satu elabela saa. Jad hmua krts dar sebuah elabela total ss aab ada graf cycle caterllar C, adalah tergatug ada bayakya dau da aggota dar hmua krts (,,) terdr dar label dau saa, ss dar dau saa atau kombas keduaya lus label usat star. Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 89 KESIMPULAN Dar uraa datas daat dambl kesmula sebaga berkut:. Graf cycle caterllar C( S, S, S,, S) memuya sfat graf aab, karea daat dlabel sedemka hgga umlah seta ss dega smul yag sde dega ss tersebut berumlah sama utuk seta ss ada graf tersebut.. Jka d yatu bayakya dau ada graf caterlar C, ( S, S, S,, S) maka bayakya aggota hmua krts dar graf tersebut adalah mmal a dega 0 a.. Aggota dar hmua krts terdr dar label dau saa, ss dar dau saa atau kombas keduaya lus label usat star. SARAN Peelta meruaka eelta awal, ad mash bayak yag harus dlakuka atau lebh teatya belum semura. Hasl eelta daat dalkaska utuk embaga kuc rahasa, bak kuc rahasa d suatu erusahaa atau yag laya. Haraa dar eelt, bahwa alkas dar hmua krts dar suatu graf aab daat dmaksmalka egguaaya. DAFTAR PUSTAKA. Kotzg ad A. Rosa, Magc Valuatos of Fte Grah, {\em Caad. Math. Bull.} (970), -6.. Charul Imro, Varas Pelabela Graf Ltasa da Star, Semar Nasoal Matematka ITS, Desember 00.. Charul Imro, Several Ways to Obta Edge-Magc Total Labelgs of Caterllars, Iteratoal Worksho o Graf Labelg, Batu, Malag, 6-9 Desember 00.. Charul Imro, Bud S., Rova S, Edy T. Baskoro, Hmua Krts ada Grah Caterllar, KNM XIII, UNNES, Semarag, -7 Jul 006. (rosdg). Charul Imro, Bud S., Rova S, Edy T. Baskoro, Crtcal Set of Caterllar Grah for Secret Sharg Scheme, ICGTIS, Matematka ITB, Badug, 0- Februar 007. (rosdg) Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90
Semar Nasoal Matematka 009 90 6. Charul Imro, Bud S., Rova S, Edy T. Baskoro, Laora Peelta Hmua Krts ada Grah Caterllar, DPM DIKTI, 006, 007. 7. Charul Imro, Batasa Blaga Aab ada Grah Caterllar, Jural Lmts Matematka ITS, Vol. No. Nov 006. 8. Eomoto, H., A.S. Llado, T. Nakamgawa ad G. Rgel, 998, Suer Edge- Magc Grahs, SUT Jural of Mathematcs, Vol., No., 0-09. 9. J. Sedlacek, roblem 7, {\em Theory of Grahs ad t's Alcatos} (Smolece, 96), 6-6, Publ. House Czechoslovak Acad. Sc.,Prague, 96). 0. K.A. Sugeg, {\em Magc ad Atmagc Labelg of Grahs}, Dsertas, 00.. W.D. Walls, {\em Magc Grahs}, Brkhauser, Bosto, 00. Hmua Krts Pada Graf Cycle Caterllar Charul Imro : 78-90