DIFERENSIASI & INTEGRASI NUMERIK

DIFERENSIASI & INTEGRASI NUMERIK Pada bab ini dibaas konsep dasar dierensiasi dan integrasi numerik, meliputi teknik pendekatan atau pengampiran, metode komputasi numerik berkaitan dengan bentuk dierensial dan integral, serta penggunaannya dalam beberapa kasus. A. SASARAN UMUM Sasaran umum dari perkuliaan ini adala memberikan pemaaman kepada maasiswa mengenai proses pendekatan bentuk deerensial dan intergral ke dalam model komputasi numerik, dan memberikan dasar-dasar teknis implementasi menyelesaikan bentuk dierensial dan integral sederana. B. SASARAN KHUSUS Setela perkuliaan selesai dilaksanakan, maasiswa diarapkan mampu:. Menjelaskan teknik pendekatan atau pengampiran dierensiasi dan integrasi secara komputasi numerik. Menjelaskan kedudukan konvergensi iterasi dalam kasus-kasus komputasi dalam dierensiasi numerik. Menyebutkan beberapa metode yang digunakan didalam menyelesaikan bentukbentuk dierensial dan integral.. Mengimplementasikan dierensiasi & integrasi numerik dalam beberapa kasus yang ditangani. C. URAIAN MATERI. PENDEKATAN DIFERENSIAL Masala dierensiasi numerik adala penentuan nilai pendekatan atau ampiran untuk turunan suatu ungsi yang umumnya diberikan dalam bentuk tabel. Dierensiasi numerik arus diindari bilamana mungkin karena umumnya nilai pendekatan dierensial akan kurang teliti dibandingkan nilai ungsi yang merupakan asal nilai-nilai tersebut diturunkan. Sebenarnya, turunan adala limit dari asilbagi isika-komputasi 68

dan dalam al ini ada proses pengurangan dua besaran bernilai besar dan membagi dengan besaran kecil. Lebi lanjut jika ungsi diampiri menggunakan suatu polinom p, selisi dalam nilai-nilai ungsi bole jadi kecil tetapi turunan-turunannya mungkin sangat berbeda. Karenanya masuk akal bawa dierens iasi numerik adala runyam, berlawanan dengan integrasi numerik, yang tidak banyak dipengarui ole ketidaktelitian nilai-nilai ungsi, karena integrasi pada dasarnya adala suatu proses yang mulus. Hubungan yang erat antara dierensiasi dan integrasi bisa ditinjau pada suatu ungsi y(t yang merupakan posisi benda sebagai ungsi waktu, bentuk dierensialnya tertuju pada kecepatan, d v ( t = y( t (. dt Sebaliknya, dari konsep kecepatan sebagai ungsi waktu, integrasinya akan mengasilkan suatu besaran posisi, t y( t = v( t dt (. Berikut ini akan dibaas beberapa teknik atau metode pendekatan yang pada bab selanjutnya menjadi penting dan bermanaat dalam menyelesaikan persamaanpersamaan dierensial secara komputasi numerik..a Formula Beda Pusat (Central Dierence Tinjau dierensial suatu ungsi ( pada =, (. berada pada kisi-kisi ruang berjarak sama teradap nilai, dengan generalisasi: = ( ; n ( n =, ±, ±,... (. n n n = Dengan deret Taylor berusaa diitung nilai pendekatan dari ( dalam bentuk n, dengan cara menguraikan disekitar sumbu =, ( = ' " '''...!! semua turunan dievaluasi pada =, didapatkan bentuk persamaan ± ( = ± = ± ' " ± ''' O( (. 6 isika-komputasi 69

± ( = ± = ± ' " ± ''' O( (.5 dimana O( merupakan pendekatan kesalaan dalam orde atau lebi tinggi. - - - -=- -=- = = - =- = = Gambar.. Nilai pada kisi ruang berjarak sama. Garis putus menunjukkan interpolasi linear Subtraksi - dari pada persamaan (. memberikan bentuk dierensial, ' = ''' O( 6 (.6 bentuk akan tereduksi ketika diperkecil dan kesalaan dominan berkaitan dengan estimasi beda batas, seingga didapatkan bentuk pertama: ' (.7 yang merupakan ormula beda pusat (central dierence dengan titik, yang lebi dikenal sebagai point ormula atau ormula titik. Formula ini menjadi eksak jika adala polinomial orde dua di dalam interval titik [-,]. Esensi dari persamaan (.7 adala asumsi bawa interpolasi polinomial quadratik teradap melalui titik valid, =±, dan merupakan asil yang alami, karena ormula digunakan sebagai deinisi derivati dalam kalkulus dasar. Kesalaan secara prinsip bisa dibuat sekecil mungkin dengan mengambil nilai yang lebi kecil. Berdasarkan perbedaan simetri pada =, ormula (.7 ini lebi akurat (ole pangkat dibandingkan dengan ormula beda maju (orward dierence atau beda mundur (backward dierence, isika-komputasi 7

isika-komputasi 7 ' O( (.8 ' O( (.9 Formula ini dikenal sebagai point ormula atau ormula titik, yang didasarkan pada asumsi bawa didekati ole sebua ungsi linear yang melalui interval antara = dan =±. Berikut disajikan pilian populer ormula beda pusat pada orde kesalaan O( dan O( dengan konvensi ( k k = untuk k=±, ±, ±,. Formula beda pusat orde O( ( ' ; ormula titik ''( '''( (. 6 ''''( Formula beda pusat orde O( 8 8 ( ' ; ormula 5 titik 6 6 ''( (. 8 8 8 '''( 6 9 56 9 ''''( Conto. Andaikan (=cos

[a] Gunakan ormula pendekatan ( dengan =,;,; dan, dan cari pendekatan untuk (,8. Gunakan 9 digit desimal dalam semua peritungan. [b] Bandingkan dengan nilai benar (,8=-cos(,8 solusi [a] Peritungan untuk =, adala ''( ''(,8 (,8 (,8 (,79,,68998 (,6967679,7856, =,69669 [b] Kesalaan pendekatan adala,679 Peritungan pendekatan komputasi numerik teradap ( selengkapnya disajikan dalam tabel berikut: pendekatan Kesalaan,,, -,6966 -,696669 -,696 -,589 -,679 -,7679 Conto. Buatla program sederana untuk mengitung (= dari ungsi (=sin, dengan menggunakan ormula titik. Jawaban eksak, cos =,5. Bandingkan asilnya dengan ormula beda maju/mundur dan ormula 5 titik. solusi Dengan program BASIC diujikan persamaan pendekatan komputasi numerik (.7, yaitu ' sebagai input adala nilai X=; EXACT=cos(X INPUT masukkan nilai (lebar langka ;H IF H<= THEN STOP isika-komputasi 7

FPRIME=(sin(XH-sin(X-H/(*H 5 DIFF=EXACT-FPRIME 6 PRINT USING =#.#####, Kesalaan=#.##### ;H,DIFF 7 GOTO Formula titik, diimplementasikan pada line, dinyatakan dengan deklarasi FPRIME=(sin(XH-sin(X-H/(*H. program ditujukan untuk menampilkan data kesalaan pada proses iterasinya. Berikut disajikan data selengkapnya evaluasi kesalaan untuk ormula titik. Disamping itu disajikan perbandingannya dengan peritungan menggunakan ormula titik dan ormula 5 titik. H,5,,,5,,5,, Simetri titik,,595,899,5 -,,8,88,88 titik (Maju,85,876,98,58 -,,76,88,86 titik ( mundur -,8789 -,87 -,9 -,88 -, -,98,88 -, Simetri 5 titik,9,8,, -,,68,87,88 Hasil dari program secara umum, ormula titik memiliki asil evaluasi yang ampir sama dibanding dengan ormula titik. Jawaban cukup terara ketika nilai diperkecil, tetapi anya sampai pada satu titik tertentu, dan setela itu yang terjadi adala cukup buruk. Hal ini karena aritmetika pada komputer dibentuk anya sampai presisi terbatas ( variabel presisi tunggal BASIC memiliki 5-6 digit desimal, seingga ketika cukup kecil dan beda dengan - sangat kecil, maka terjadi round o error. Ketika = -6 maka =sin(,=,87; - =sin(,999999=,87, seingga - - =, pada 6 digit angka signiikan. Ketika disubtitusikan pada ormula titik, maka,, asil yang sangat buruk. Jika menggunakan aritmetika digit signiikan, maka =,8755; isika-komputasi 7

sementara - =,875, yang memberikan asil yang cukup dapat dipertanggungjawabkan,5. Jadi seperti pada penjelasan diawal, bawa dierensiasi numerik secara intrinsik prosesnya tidak stabil ( no well-deined limit as, seingga arus diselesaikan dengan ati-ati. Dari ormula 5 titik, derivati diitung dengan cara mengambil asumsi bawa didekati dengan polinomial orde melalui interval 5 titik [-,]. Walaupun membutukan komputasi yang lebi, pendekatan ini lebi akurat seperti terliat pada perbandingan komputasi diatas..b Formula Beda Maju/Mundur Jika ungsi tidak dapat diitung pada absis-absis yang terletak pada kedua sisi, maka rumus beda pusat tidak dapat dipakai untuk mengampiri derivati. Bilamana ungsi dapat diitung pada absis-absis berjarak sama yang terletak ke kanan ( kiri dari, maka dapat digunakan ormula beda maju (mundur. Formula tersebut dapat diturunkan memakai metode-metode yang berlainan, pembuktiannya dapat bersandar pada deret Taylor, polinom pengintegralan Lagrangre, atau polinom interpolasi Newton. Beberapa ormula beda ma ju/mundur berorde O(, sebagai berikut: Formula beda maju (orward dierence '( ''( 5 (. 5 '''( ''''( 8 6 Formula beda mundur (backward dierence '( ''( 5 (. 5 isika-komputasi 7

5 '''( ''''( 8 6 5. INTEGRASI NUMERIK Integrasi numerik adala piranti utama yang dipakai ilmuwan dalam mencari pendekatan jawaban untuk integral tentu yang tidak bisa diselesaikan secara analitik. Pada bidang statistika termodinamik, model Debye untuk mengitung kapasitas panas dari benda memenui ungsi: t Φ( = dt (. t e saat tidak ada pernyataan analitik untuk Ô(, integrasi numerik arus digunakan untuk mencari nilai pendekatannya. Sebagai conto, nilai Ô(5 adala area dibawa kurva y=(t=t/(et- untuk t5 (liat gambar.. y,5 y=(t,,5 5 6 7 t,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, Ô(,85,766,5585,8775,89989 5,585855 6,69 6,968 6,66579 6,99 Gambar.. Area dibawa kurva y=(t untuk t5 & nilai Ô( Nilai pendekatan untuk Ô(5 adala 5 t Φ( 5 = dt,89989 t e setiap penambaan nilai Ô( arus ditentukan ole integrasi numerik yang lain. isika-komputasi 75

Tujuan dari pembaasan materi ini adala untuk memaami prinsip-prinsip dasar integrasi numerik. Sasaran dasarnya adala pendekatan integral tentu ( pada selang a b dengan sejumla titik-titik sampel (sample nodes, (,, (,, (,,., ( M, M dengan k =( k. Rumus pendekatan berbentuk: b ( d = ω ω... ω M M (.5 a nilai-nilai ù, ù,, ùm berupa konstanta atau bobot. Tergantung pada penerapan yang diinginkan, simpul-simpul k dipili dalam berbagai cara. Untuk aturan Trapesium, Simpson, dan aturan Boole, simpul-simpul k=ak dipili berjarak sama. Untuk integrasi Gauss-Legendre simpul-simpul dipili berupa titik-titik nol dari polinom-polinom Legendre tertentu. Bilamana ormula integrasi dipakai menurunkan suatu algoritma eksplisit untuk memecakan persamaan dierensial, simpul-simpul semuanya dipili lebi kecil dari b. Beberapa ormula umum yang berdasarkan pada interpolasi polinom disebut ormula integrasi Newton Cotes. Ketika titik sample = dan M =b digunakan dalam ormula, ormula tersebut dinamakan ormula Newton Cotes tertutup. digunakan, Berikut ini adala beberapa metode integrasi numerik yang populer a. Trapezoidal Rule (Aturan Trapesium Simplicity, Optimal or improrer integrals, Needs a large number o sub intervals or good accuracy ( d ( b. Simpson s / Rule Simplicity. Higer accuracy tan trapezoidal rule, Even number o interval only ( d ( c. Multiple -application Simpson s / Rule d. Simpson s /8 Rule e. Newton Cotes. Romberg Integration g. Gauss Quadrature isika-komputasi 76

Yang akan ditelaa dan diimplementasikan didalam menangani kasus-kasus yang berkaitan dengan integrasi numerik pada sub baasan ini adala aturan Trapesium dan aturan Simpson /, dengan alasan utama kesederanaannya..a Aturan Trapesium (Trapezoidal Rule Aturan Trapesium adala metode integrasi numerik yang didapatkan dengan mengintegrasikan ormula interpolasi linear, dituliskan: b b a I = ( d = [ ( a ( b] E (.6 a Sebagaimana gambar., area dibawa garis interpolasi (putus-putus adala integral yang diitung ole aturan trapesium, sedangkan dibawa kurva, ( adala nilai eksak. Persamaan (.6 bisa diperluas untuk banyak interval. Untuk N interval dengan jarak langka, perluasan aturan trapesium: b N I = ( d = [ ( a ( a j ( b] E a j= (.7 dimana =(b-a/n. Persamaan bisa dituliskan dalam ekivalensinya, yaitu: I = ( g... N N E (.8 dimana =(a, =(a, dan i =(ai Conto. Sebua benda putar, diperliatkan pada gambar., dibentuk dengan memutar kurva y=(/, <=<=, disekitar sumbu. Hitungla volume menggunakan perluasan aturan trapesium dengan N=,,8,6,,6 dan 8. Nilai benar adala I=,786. Evaluasi kesalaan pada setiap N. isika-komputasi 77

Solusi y Volume diberikan ole persamaan: = = dimana I = ( d ( = π Kalkulasi untuk N= dan ditunjukkan sebagai berikut: N=: N=: =/= I [ =/=,5 ( ( (] =,5π [ (,565 ] =,767,5 I [ ( (,5 ( (,5 (] =,9895 Integrasi dengan N yang lain memberikan asil sebagai berikut: N I e 8 6 6 8,5,5,5,65,5,565,767,9895,79,79,76,796,788 -, -,69 -,65 -,6 -, -, -, Hasil ini memberikan data bawa kesalaan berkurang sebanding dengan. Kesalaan pada perluasan aturan trapesium dideinisikan sebagai: b b a E = ( d [ ( a ( b] (.9 a isika-komputasi 78

dimana bentuk pertama adala integral eksak, dan bentuk kedua adala bentuk dari aturan trapesium. Kesalaan ini adala penjumlaan kesalaan untuk seluru interval. Ketika perluasan aturan trapesium digunakan pada interval [a,b], yang mana dibagi ke dalam N interval dengan N titik,,, N, dengan =a dan N =b. Seingga kesalaan perluasan aturan trapesium menjadi: E ( b a N N i= ''( i (. Algoritma Aturan Trapesium (a Segmen Tunggal FUNCTION Trap(,, Trap=*(o/ END Trap (b Segmen Banyak FUNCTION Trapm (,n, Sum= DO i=,n- Sum=sum*i END DO Sum=sum n Trap=*sum/ END Trapm Conto. Kecepatan sebua kapal selam yang berada dibawa kepingan es kutub diberikan dalam tabel. Nilai-nilai pendekatan jarak tempu semuanya diperole memakai aturan trapesium. Periksa kebenaran bawa ampiran untuk jarak total yang ditempu selama selang waktu [,] adala 6,5 km. Waktu,t Kecepatan, v(t Pendekatan jarak tempu (jam (km/jam selama selang [,t] (km, 6,, isika-komputasi 79

,5 7,5,5 8,,75 9,, 8,5,5,5,5 9,5,75 7,, 6, Solusi Jarak tempu dideinisikan sebagai,6875,65 5,75 7,975,5,85,875 6,5j jarak = v( t dt gunakan aturan trapesium, dengan N=8, =,5, seingga,5 jarak_ tempu( v, = (6 6,5(7,5 8 9 8,5,5 9,5 7 = 6, 5km.b Aturan Simpson / Adala aturan yang cukup populer dari sekian banyak metode integrasi, didasarkan pada interpolasi polinomial orde dua. Dirumuskan sebagai ormula aturan Simpson / dengan persamaan: b I = ( d = [ ( a ( ( b] E (. a ( b a ( a b dimana = dan = Persamaan (. dapat dituliskan sebagai I = [ i ] E (. dimana = ( = ( a i, dengan kesalaan sebesar: i i 5 E ( 9 Aturan Simpson / juga bisa diadaptasi untuk N genap interval, yang ormulanya dituliskan sebagai berikut; isika-komputasi 8

N N I = [ ( a ( a i ( a i i= ( ganjil i= ( genap ( b] E atau dituliskan I = [... N N N] E Conto.5 Hitungla volume sebua benda putar, pada conto. menggunakan perluasan aturan Simpson / dengan N=,,8,6,,6. Nilai benar adala I=,786. Evaluasi kesalaan pada setiap N. Solusi Kalkulasi untuk N= dan ditunjukkan sebagai berikut: N=: =/= I [ ( ( (] = ( π / [ (,565 ] =,789 N=: =/=,5,5 I [ ( (,5 ( (,5 (] =,78 Integrasi dengan N yang lain memberikan asil sebagai berikut: N I e 8 6 6,5,5,5,65,5,789,78,788,786,786,786 -,5 -, -,,,, Kalau dibandingkan asilnya dengan conto., dapat dijelaskan bawa perluasan aturan Simpson / secara signiikan lebi akurat daripada kaida trapesium pada jumla interval yang sama. Akurasi kaida trapesium menggunakan interval ekivalen dengan Simpson yang anya interval. Kesimpulannya pada isika-komputasi 8

kasus ini, aturan Simpson leebi cepat mendekati solusi eksak ketika diperkecil, dan lebi akurat dua tingkat dibanding trapesium. Algoritma Aturan Simpson (a Simpson / FUNCTION Simp(,,, Simp=**(o*/6 END Simp (b Perluasan Simpson / FUNCTION Simpp (,n, Sum= DO i=,n-, Sum=sum*i *i END DO Sum=sum * n- n Simpp=*sum/ END Simpp Conto.6 Buatla program untuk mengitung kesalaan komputasi dari e d = e =,788 dengan menggunakan perluasan aturan Simpson /. Cek perbandingannya dengan perluasan aturan trapesium! Solusi Program BASIC dengan input N 5 DEF FNF(X=EXP(X EXACT=EXP( - 5 INPUT masukkan N (jumla iterasi ;N% IF N%<= THEN STOP 5 H=/N% 5 SUM=FNF( FAC= 5 isika-komputasi 8

5 FOR I%= TO N%- 55 IF FAC= THEN FAC= ELSE FAC= 6 X=I%*H 65 SUM=SUMFNF(X*FAC 7 NEXT I% 75 8 SUM=SUMFNF( 85 INTEGRAL=H*SUM/ 9 DIFF=EXACT-INTEGRAL 95 PRINT USING N=####, Kesalaan=#.##### ;N%,DIFF GOTO 5 Hasil program memberikan realitas bawa pada kasus ini perluasan aturan Simpson konvergensinya cukup cepat, yaitu pada N=6, seperti tercantum pada tabel berikut. N e Simpson e Trapesium 8 6 6 8,5,5,65,5,565,785 -,7,,,,, -,89 -,7 -,559 -, -,5 -,8 Sebagai pembanding adala perluasan aturan Trapesium dengan asil kolom paling kanan, sekaligus bukti ba wa simpson disamping sederana memiliki konvergensi yang cepat. D. SOAL-SOAL (. Tegangan E= E(t dalam rangkaian listrik memenui persamaan E(t=L(dI/dt R I(t, dengan R ambatan dan L induktansi. Gunakan L=,5 dan R= dan nilai-nilai untuk I ada dalam tabel berikut: t I(t, 8,77, 7,8, 5,998 isika-komputasi 8

,,56,,9 [a] Carila I (, menggunakan dierensiasi numerik, dan gunakan asilnya untuk mengitung E(, [b] Bandingkan jawaban [a] dengan I(t= ep( -t/sin(t (. Andaikan (=ln, carila pendekatan komputasi numerik untuk (5 dengan menggunakan: [a] ormula orde O( dengan =,5 dan, [b] ormula orde O( dengan =, (. Buatla program untuk soal (. (. Gunakan aturan Trapesium dan Simpson dengan N=,,8,6 dan =,5 untuk mengitung integral berikut: d [a] [b] (.5 Buatla program untuk soal (. [a] E. DAFTAR PUSTAKA Capra, S.C., and Canale, R.P., Numerical Metods or Engineers, McGraw-Hill, 998 James, M.L., G.M. Smit, and J.C. Wolord, Applied Numerical Metods or Digital Computations, rd ed. Harper & Row, 985 Koonin, S.E., Computational Pysics, Addison-Wesley Inc, 986 Matews, J.H., Numerical Metods or Matematics, Science and Engineering, Prentice-Hall Inc., 99 McCracken, D. D., Computing or Engineers and Scientists wit Fortran 77, Wiley, 98 Morris,J.L., Computational Metods in Elementary Numerical Analysis, Wiley, 98 Nakamura, S., Applied Numerical Metods in C, Prentice-Hall Inc. 99 Sutrisno, Dasar-dasar Metode Numerik, MIPA-LPTK ITB, 99 Wark, K. Jr., Termodynamics, McGraw-Hill, 998 Yakowitz, S., and F. Szidarovszky, An Introduction to Numerical Computations, Macmillan, 986 isika-komputasi 8

isika-komputasi 85