[Enter Post Title Here] SISTEM BILANGAN REAL DAN HIMPUNAN A. Perubah, Konstanta dan Parameter Suatu perubah (variable) adalah sesuatu yang besarnya dapat berubah. Luas lingkaran tergantung dari jari-jarinya. Apabila jari-jarinya panjang maka luas lingkaran tadi akan besar, demikian sebaliknya, kalau jari-jarinya kecil, maka luas lingkaran juga akan kecil. Dalam hal ini jari-jari lingkaran merupakan suatu perubah. Perubah seringkali digunakan dalam ekonomi seperti harga,keuntungan, ongkos, konsumsi, investasi, ekspor, impor dan sebagainya. Ini disebabkan karena besaran-besaran tersebut dapat berubah, berdasarkan keadaan. Suatu perubah dapat mengambil berbagai macam harga, maka dari itu ia harus dinyatakan dengan suatu lambang (symbol) sebagai pengganti suatu bilangan khusus. Sebagai contoh kita dapat menyatakan harga suatu barang dengan P, keuntungan dengan, penerimaan dengan R, ongkos dengan C, pendapatan maksimal Y dan sebagainya. Perubah-perubah seringkali muncul dalam bentuk kombinasi dengan bilangan-bilangan tetap atau konstanta seperti dalam pernyataan 8P atau 0,25R. Suatu konstanta adalah suatu besaran yang tidak berubah, jadi berlawanaan dengan perubah. Apabila suatu konstanta terhubung dengan suatu perubah, maka konstanta itu disebut koefisien perubah tadi. Suatu koefisien dapat dinyatakan dengan huruf a misalnya. Tulisan 8P dapat ditulis sebagai ap dalam arti a adalah suatu konstanta, meskipun a suatu konstanta tetapi a dapat berupa berbagai bilangan konstanta yang diketahui. Misalnya a dapat 1, 2, 3,.. Untuk
membedakannya dengan perubah, maka a atau koefisien perubah ini, dinamakan konstanta parameter atau disingkat parameter. B. Sistem Bilangan Real Oleh karena perubah ekonomi merupakan bilangan bulat maka kita akan mempelajari system bilangan dalam hal ini system bilangan real. Bilangan yang biasa kita kenal untuk menghitung yakni 1, 2, 3,.dinamakan bilangan asli positif (Positive Integer), bilangan-bilangan -3, -2, -1,. dinamakan bilangan asli negatif (Negative Integer), gabungan dari positive dan negative integer akan membentuk himpunan bilangan Integer (set of all integers) memiliki notasi I. Bilangan 0 adalah bilangan yang bukan positive ataupun negative integer, dia merupakan bilangan yang unik. Apabila himpunan bilangan Integer (set of all integers) digabung dengan bilangan 0 (...-3,-2,-1,0,1,2,3,...) maka akan membentuk himpunan bilangan bulat (Set of Natural Numbers). Jadi tampak bahwa bilangan bulat dapat negative, positif dan juga nol. Bilangan pecahan (fractions) dapat dinyatakan sebagai perbandingan (ratio) dua bilangan bulat 1 2 2 3 8 7 4 3 seperti,,,,... atau bilangan pecahan negative seperti,,... Gabungan bilangan pecahan baik yang positif maupun yang negative dinyatakan sebagai himpunan bilangan Pecahan (set of all fractions). Bilangan Rasional (rational Numbers) adalah bilangan dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua buah bilangan asli (Integer); Oleh karena itu bilangan pecahan (fractions) sering disebut juga bilangan Rasional (rational Numbers). Bilangan bulat (Natural Numbers) juga merupakan bilangan rasional, sebab setiap bilangan bulat n dapat ditulis dalam bentuk perbandingan yakni n/1. Bilangan yang tidak dapat ditulis dalam bentuk perbandingan dua buah bilangan bulat, dinamakan bilangan irrasional (Irrasional Numbers), misalnya 2 = 1,4142.. yang mempunyai decimal tak berkesudahan (nonterminating decimal). 1 2 2 3
Bilangan rasional dan bilangan irrasional bersama-sama membentuk suatu bilangan real (Real Numbers). Dengan kata lain bilangan real terdiri dari bilangan Rasional dan bilangan Irrasional. Struktur bilangan Real dapat digambarkan sebagai berikut Gambar 1. Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bilangan Rasional Bilangan bilangan Irrasional BILANGAN REAL Gambar 1 Skema Bilangan C. Himpunan (Sets) 1. Definisi Himpunan Himpunan adalah suatu kumpulan/koleksi dari obyek-obyek sebarang. Cara pengumpulan obyek-obyek itu biasanya berdasarkan sifat/keadaan mereka yang sama, ataupun berdasarkan suatu aturan tertentu/yang ditentukan. himpunan yang terdiri dari mahasiswa peserta statistik dan matematika, himpunan dari semua bilangan asli yang lebih besar dari sembilan. Catatan : a. Obyek-obyek dari suatu himpunan disebut elemen atau unsur/anggota himpunan dan dinyatakan dengan huruf kecil, misalnya a, b, p dan lain-lain.
b. Judul/Nama dari suatu himpunan dinyatakan dalam huruf besar misalnya himpunan A, B, P Y dan lain-lain. c. Bila a merupakan elemen dari himpunan A sedangkan b bukan elemen dari himpunan A, dapat dituliskan sebagai a A, b A. Ada 2 bentuk dalam penulisan suatu himpunan sebagai berikut : 1. Bentuk pendaftaran (Tabular-Form atau enumeration) yaitu dengan menuliskan semua elemen himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Sebagai Himpunan A = { Jakarta, Medan, Surabaya } Himpunan N = { 1, 2, 3,... } 2. Bentuk pencirian (Set-Builder Form atau description) yaitu dengan menuliskan sifat/ketentuan mengenai elemen himpunan tersebut. Sebagai contoh Himpunan S = { X X adalah bilangan genap } Himpunan T = { X X adalah pelajar yang pandai } 2. Hukum dan Teori Himpunan a. Suatu himpunan disebut berhingga (Finite set) bila banyak anggotanya ( yang berbeda) berhingga. Kalau banyak anggotanya tak berhingga disebut himpunan tak berhingga (infinite sets). b. Dapat dicatat bahwa anggota-anggota yang sama, dihitung sekali. Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan hampa/kosong (empty/null set) dinyatakan Φ. c. Himpunan A dan B dikatakan sama, A = B bila mereka mempunyai ordo dan anggota-anggota yang sama. d. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (Subset) dari himpunan B, bila setiap anggota dari A juga merupakan anggota dari B. Ditulis
A B ( atau B merupakan himpunan super/super set dari A, B A ). P = { 1,2,4 }, Q = { 1,4,5,2 } maka P adalah anggota dari Q juga. Q, jelas karena setiap anggota dari P G = { X X bilangan genap }, H = { X X bilangan bulat }, maka G H. e. 2 himpunan disebut sama jika A = B jika dan hanya jika A B dan B A. f. Dua himpunan A dan B dikatakan dapat diperbandingkan (comparable) jika A B atau B A. A = {a, b, c}, B = {a, b} maka A dapat diperbandingkan dengan B karena B A, sedangkan S = {2, 4, 5} dan T = (2, 4, 6) tidak dapat diperbandingkan (Uncomparable) karena S T dan T S. g. Jika objek dari suatu himpunan berupa himpunan pula maka himpunan semacam itu disebut suatu keluarga (family). h. Keluarga semua subset dari suatu himpunan S biasa disebut himpunan Kuasa (power set) dari S ditulis 2 s Banyaknya anggota dari 2 s adalah 2 n dimana n adalah jumlah anggota dari S. Di sini termasuk pula Ø, karena Ø merupakan subset dari himpunan manapun. M = {a,b}, subset-subset dari M adalah Ø, {a}, {b}, {a, b} = M, jadi 2 M = {Ø, {a}, {b}, M}. Banyaknya anggota dari 2 M = 2 2 = 4 i. Dua himpunan disebut saling lepas (saling asing/disjoint) bila tidak mempunyai anggota bersama.
(i) (ii) A = {4, 3}, B = {2, 0} saling lepas. P = {1, 2, 3}, Q = {1, 6, 7} tidak saling lepas karena 1 P dan 1 Q. 3. Operasi operasi Himpunan Dalam ilmu berhitung kita belajar menjumlah, mengurang dan mengalikan, yaitu kita menetapkan untuk setiap pasangan bilangan-bilangan x dan y, suatu bilangan x + y yang disebut penjumlahan x dan y, x y yang disebut selisih x dan y, dan bilangan xy yang disebut perkalian x dan y. Penetapan-penetapan ini disebut operasi-operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian bilangan-bilangan. Dalam pertemuan ini kita definisikan operasioperasi perpaduan, perpotongan dan selisih himpunan-himpunan, yaitu kita akan menetapkan himpunan-himpunan baru untuk pasangan himpunan-himpunan A dan B. i) Operasi Irisan (intersection), dinotasikan dengan A B = { x l x A dan x B } Di dalam diagram Venn : A A B Bila A dan B saling lepas maka A B = Ø
Bila P = {a, b, c, d, e}, Q = {d, e, f, g}, R = {p, q, r} Maka P Q = {d, e} dan P R = Ø Catatan : i) A B = B A ii) (A B) A ; (A B) B iii) Bila A B maka A B = A iv) A Ø = Ø ; A U = A ii) Operasi Gabungan (Union), dinotasikan dengan A B = { x l x A atau x B } Di dalam diagram Venn : A A B S = {a, b, c} ; T = {a, b, p, r} Maka S T = {a, b, c, p, r}
Catatan : Berlaku : i) A B = B A ii) A (A B) ; B (A B) iii) Bila A B maka A B = B iv) A Ø = A ; A U = U iii) Operasi Selisih (Difference), dinotasikan dengan A B = { x l x A dan x B } Di dalam diagram Venn : A A B S = { a, b, c, d } ; T = { f, b, d, g } Maka S - T = { a, c } dan T S = { f, g } Catatan : i) (A B) A ii) A B B A, bila A B iii) Bila A B maka A B = Ø dan (B A) B
iv) Operasi Komplemen, dinotasikan dengan A atau Ā A = { x l x A, x U } = U - A Di dalam diagram Venn : A Misalkan : U = { x l x huruf latin } dan T = { x l x huruf mati } Maka T = { x l x huruf hidup } = { a, i, u, e, o }