KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer
MOTIVASI Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2. numerik
MOTIVASI (lanj.) Persamaan Aljabar 1 persamaan >1 persamaan Linear Non Linear Linear Non Linear
MOTIVASI (Lanj.) Model Persamaan Transcendental Polinomial Transcendental : sin x,log x, e 2 Polinomial : a a x a x 0 0 1 2
PERMASALAHAN MATEMATIKA 1. Sistem persamaan aljabar linear 2. Akar akar persamaan 3. Pencocokan kurva 4. Pengintegralan numerik 5. Persamaan diferensial biasa 6. Persamaan diferensial parsial 7. Interpolasi
AKAR PERSAMAAN Definisi Akar : Suatu akar dari persamaan f(x)=0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0=0 (nilai x memberikan hasil nol pada fungsi F(x)). Penentuan Akar: f(x)=0 mempunyai paling sedikit satu akar dalam interval [a,b] jika: - f(x) kontinyu pada [a,b]. - f(a).f(b)<0, yaitu f(x) berubah tanda pada [a,b]
AKAR PERSAMAAN (Lanj.) Tinjauan Interval [a,b] dalam Penentuan Akar Fungsi F(X)
PENYELESAIAN AKAR PERSAMAAN 1. Metode Grafis Dengan menggunakan gambar grafik fungsi 2. Metode Pengurung (Bracketing Methods) Dimulai dengan terkaan interval awal yang mengurung akar dan kemudian secara iteratif mengurangi lebar kurungan. Contoh : Metode Biseksi, Metode Regula Falsi 3. Metode Terbuka (Open Methods) Merupakan iterasi coba coba Contoh : Metode Newton Raphson, Metode Secant
METODE GRAFIS(GRAFICAL METHOD) Metode sederhana untuk memperoleh taksiran atas akar persamaan f(x)=0 Membuat gambar grafik fungsi dan mengamati dimana grafik memotong sumbu x. Titik tersebut yang mewakili nilai x untuk f(x)=0 memberikan aproksimasi (hampiran) kasar dari akar.
METODE BISEKSI (BISECTION METHOD) Metode mencari akar dengan cara menemukan suatu selang (interval) tempat fungsi berubah tanda. Lokasi perubahan tanda diidentifikasi secara lebih tepat dengan cara membagi selang menjadi sejumlah selang bagian (subinterval). Masing masing subinterval diselidiki untuk menemukan perubahan tanda. Proses diulang dan taksiran diperhalus dengan cara membagi subinterval menjadi pertambahan yang lebih halus
METODE BISEKSI (Lanj.)
METODE BISEKSI (Lanj.) Mencari akar persamaan f(x)=0 pada interval (a,b) dimana f(a) x f(b)<0 Algoritma : Input : f(x),a,b,batas toleransi T, iterasi maksimum N Output : r sedemikian hingga f(r)=0. 1. IF f(a) x f(b) >0 THEN WRITE tidak ada akar goto STOP 2. i=1 {i= penghitung iterasi} 3. WHILE i<=n DO (a). X= (a+b)/2 (b). IF f(x) =0 OR (b-a)/2<t THEN r=x, goto STOP (c). i=i+1 (d). IF f(a) x f(x)<0 THEN b=x ELSE a=x 4. STOP
METODE BISEKSI (Lanj.) Analisis kekonvergenan : r x n b a 0 2 n 1 0 Semakin kecil interval (a,b) semalin kecil kecil galat mutlak di dalam hampiran Semakin besar nilai n, semakin kecil galat mutlak di dalam hampiran Kekonvergenan metode bagi dua lambat Batas galat tidak tergantung pada fungsi yang dicari akarnya.
METODE BISEKSI (Lanj.) Kelebihan: Konvergen Mudah untuk dibuat program Tingkat kesalahan kecil Kekurangan: Konvergensi bersifat linier Menghasilkan satu akar saja dalam perhitungan Lambat dalam proses perhitungan.
Contoh Metode Biseksi
Contoh Metode Biseksi
METODE POSISI PALSU (REGULAR FALSE METHOD) Merupakan metode alternatif perbaikan dari metode biseksi berdasarkan pada pengertian grafis Kekurangan metode biseksi adalah dalam membagi interval mulai dari a sampai b tidak diperhitungkan besaran f(a) dan f(b). Misalkan jika f(a) jauh lebih dekat ke nol daripada f(b) maka kemungkinan besar akar lebih dekat ke a daripada ke b. Metode alternatif yang memanfaatkan pengertian grafis adalah dengan menghubungkan titik titik tersebut dengan garis lurus. Perpotongan garis dengan sumbu x merupakan taksiran akar.
METODE POSISI PALSU (REGULAR FALSE METHOD) Konvergensinya lebih cepat Ilustrasi Metode Posisi Palsu
METODE POSISI PALSU (Lanj.) Ilustrasi Metode Posisi Palsu
METODE POSISI PALSU (REGULAR FALSE METHOD) Algoritma : sama dengan algoritma metode biseksi hanya mengganti rumus akar (x) yaitu : x a f a f b b a f a