FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Endang Dedy
Diskusikan! Sistem Bilangan Kompleks 1 Perhatikan definisi berikut: Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang didefinisikan dengan =+iy,, y R dan i 1.Coba anda analisis definisi tersebut,apa yang dapat anda katakan? Jelaskan yang mendasari jawaban anda!
Sistem Bilangan Kompleks DEFINISI: Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan real dan y yang dinyatakan dengan lambang =,y. Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai C :,y :, y R a. Pada bilangan kompleks =,y, =Re dan y=im b. Bilangan kompleks disebut bilangan imajiner murni, bila Re= c. jika Re= dan Im=1, maka disebut satuan imajiner yang dilambangkan dengan i=1,.
Sistem Bilangan Kompleks 3 DEFINISI: Diberikan bilangan kompleks n = n,y n, n=1,. Operasi pada himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan a 1 = jika dan hanya jika 1 = dan y 1 = y b 1 + = 1 +,y 1 +y c 1 - = 1 +- = 1 -,y 1 -y d k 1 = k 1,ky 1, k konstanta real e 1 = 1 y 1 y, 1 y + y 1
Sistem Bilangan Kompleks 4 Coba Anda buktikan teorema berikut: Sistem bilangan kompleks C,+,. merupakan suatu lapangan field. Sebelum membicarakan bahwa sistem bilangan kompleks merupakan perluasan dari sistem bilangan real, coba buktikan terlebih dahulu teorema berikut: Diberikan himpunan C C :,, R. Jika f : R C suatu fungsi yang didefinisikan dengan f,y=,, maka f fungsi bijektif.
Sistem Bilangan Kompleks 6 Berdasarkan kesimpulan di atas, coba Anda tuliskan definisi operasi pada himpunan bilangan kompleks C. DEFINISIOperasi Konjuget: Diberikan bilangan kompleks. Bilangan kompleks sekawan konjuget dari didefinisikan dengan. iy iy;, y R
Sistem Bilangan Kompleks 7 Coba anda buktikan teorema berikut: Diberikan 1, C. Operasi konjuget pada sistem bilangan kompleks adalah a 1 1 e b 1 1 f c 1 _ Re 1 g Re 1 1 d / /, h i Im Im
Geometri bilangan kompleks Y Sumbu imajiner.,y=+iy= arg arg Sumbu real X
Geometri bilangan kompleks 3 Segmen o menyatakan bilangan kompleks =+iy Panjang segmen o menyatakan modulus dari dan dilambangkan dengan, dan y Untuk sebarang nilai utama argumen didefinisikan sebagai nilai tunggal argumen yang memenuhi hubungan o, sumbu real positif argumen arg Nilai tunggal argumen tersebut dilambangkan dengan Arg.
Geometri bilangan kompleks 4 Buktikan sifat-sifat modulus dari suatu bilangan kompleks berikut ini. Jika C,w, maka berlaku, w w h w w d w w g c w w f w w b w w w e a
Akar Bilangan Kompleks 1 Coba Anda buktika teorea De Moivre : Jika C dengan r cos isin maka n r n cos n isin n untuk setiap n Z. DEFINISI Akar: Diberikan 1 w n,w C. Akar pangkat n dari w ditulis didefinisikan sebagai bilangan kompleks sehingga berlaku n w, n N, dan n.
Akar Bilangan Kompleks a. Hitunglah i 1/3 b. Berdasarkan penyelesaikan yang anda kerjakan, simpulkan bagimana cara menyelesaikan akar bilangan kompleks. Nyatakan kesimpulan tersebut dalam bentuk teorema, kemudian buktikan!
FUNGSI KOMPLEKS [1] DEFINISI Fungsi bernilai tunggal: Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi kompleks bernilai tunggal f : A B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap A dengan tepat satu w B yang dinotasikan dengan w = f. Berdasarkan definisi diatas, tuliskan domain dan range fungsi f, kemudian berikan contoh fungsi bernilai tunggal. Sekarang bandingkan apakah definisi berikut bertentangan dengan definisi fungsi bernilai tunggal? Berika penjelasan secukupnya.
FUNGSI KOMPLEKS [] DEFINISI Fungsi Bernilai Banyak : Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi kompleks bernilai banyak f:a B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap A dengan paling sedikit satu w B dan terdapat A yang dipasangkan dengan paling sedikit dua w B. Diberikan himpunan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f, A dan s=g, B. Tulisakan operasi dari fungsi f dan g padad=a B.
FUNGSI KOMPLEKS [3] Diberikan f : D f R f dan g : D g R g adalah fungsi kompleks. Tuliskan definisi fungsi komposisi dari f dan g. Kemudian definisikan domain dan range fungsi komposisi g o f. Diskusikan! Diberikan fungsi f = 3+i dan g = ++1 i a. Tentukan f + g b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
FUNGSI KOMPLEKS [4] Diberikan A C dan B C. Fungsi f dan g didefinisikan dengan w = f, A dan s=g, B. Tuliskan Operasi dari fungsi f dan g pada D = A B Diberikan f : D f R f dan g : D g R g adalah fungsi kompleks. Syarat apakah yang harus dipenuhi agar fungsi komposisi f dan g terdefinisi. Kemudian tuliskan persamaan fungsi komposisi f dan g, domain dan range gof Diskuskan! Diberikan fungsi f = 3+i dan g = ++1 i a. Tentukan f + g b. Selidiki apakah fungsi g o f terdefinisi dan tuliskan aturan fungsinya.
Fungsi yang berbentuk eksponen. DEFINISI: FUNGSI EKSPONEN f disebut fungsi Untuk bilangan kompleks = + iy didefinisikan e = e cos y + i sin y. Gunakan definisi di atas untuk membuktikan teorema berikut: Jika,w C, maka a e d e e b e +w =e.e w w e e e w e i c e e f Jika =+iy, maka e e dan Arge =y e, C
FUNGSI TRIGONOMETRI [1] DEFINISI: Untuk bilangan kompleks didefinisikan a cos e i e i b c d e f sin tan cot sec csc e i i sin cos cos sin 1 cos 1 sin e i
FUNGSI TRIGONOMETRI [] Berdasarkan definisi di atas buktikan Teorema berikut: Jika,w C, maka berlaku a b c d e sin cos sin cos sin jika jika cos sin cos dan hanya dan hanya 1 jika jika k, k k, Z k Z
FUNGSI TRIGONOMETRI [3] iy y k iy y j iy y i y i iy y i y h w w w g w w w f, sinh cos cos, sinh sin sin, sinh sin cosh cos cos, sinh cos cosh sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos sin sin
FUNGSI HIPERBOLIK [1] DEFINISI : Untuk variabel kompleks didefinisikan fungsi hiperbolik a sinh 1 e e b cosh 1 e e c tanh sinh cosh
FUNGSI HIPERBOLIK [] DEFINISI : Untuk variabel kompleks didefinisikan fungsi hiperbolik d e f coth sec csh cosh sinh 1 cosh 1 sinh
FUNGSI HIPERBOLIK [3] Berdasarkan definisi di atas, buktikan Teorema berikut: Jika,w C, maka berlaku sifat-sifat a b 1 c cosh coth tanh d sinh 1 e cosh sinh sech csch sinh cosh f tanh tanh 1
FUNGSI HIPERBOLIK [4] g h i sinh cosh sinh w sinh coshw cosh sinh w w cosh coshw sinh sinh w sinh cos y icosh sin y, iy j cosh cosh cos y i sinh sin y, iy k sinh sinh sin y, iy l cosh cosh sin y, iy
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [1] DEFINISI : Diberikan o C, r R,dengan r>. a N o,r={ C: o < r} disebut lingkungan r dari o b N* o,r={ C:< o < r} disebut lingkungan r dari o tanpa o
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [] DEFINISI : Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik dalam himpunan A, jika terdapat bilangan r>, sehingga berlaku Np,r A. b. Himpunan titik dalam A didefinisikan dengan A = {p C: p titik dalam himpunan A}. c. Titik p C disebut titik luar himpunan A, jika terdapat bilangan r>, sehingga berlaku Np,r A C. d. A disebut himpunan terbuka jika berlaku A =A, yaitu setiap A merupakan titik dalam himpunan A.
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [3] DEFINISI : Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik limit himpunan A, jika untuk setiap bilangan r> berlaku Np,r A {p}. b. Himpunan titik limit A didefinisikan dengan A = { p C: p titik limit himpunan A } c. A disebut himpunan tertutup, jika berlaku A A. d. Titik p C disebut titik terasing terpencil himpunan A, jika dan p bukan titik limit A, yaitu terdapat bilangan r> sehingga berlaku Np,r A=.
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [4] DEFINISI: Diberikan himpunan A C. a. Titik p C disebut titik batas himpunan A, jika untuk setiap bilangan r> berlaku Np,r A dan Np,r Ac. b. Himpunan titik batas A didefinisikan dengan A = {p: p titik batas himpunan A} c. Interior himpunan A didefinisikan dengan IntA = {: titik dalam A} d. Eksterior himpunan A didefinisikan dengan EksA ={: titik luar A} e. Penutup himpunan A didefinisikan dengan A A A A A
Konsep Dasar Dalam Topologi di Bidang Kompleks [5] Definisi : Diberikan himpunan A C a. Himpunan A dikatakan terhubung connected, jika setiap 1, A dapat dihubungkan oleh suatu lengkungan kontinu C yang seluruhnya terkandung di A b. Himpunan A dikatakan daerah domain di C, jika A adalah suatu himpunan terbuka dan terhubung di C. Region adalah suatu daerah dengan atau tanpa titik batasnya. Catatan: Daerah seringkali disebut region terbuka sedangkan suatu daerah beserta titik batasnya disebut region tertutup.
Limit Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : Diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah D C dan D. a. lim f Ljika dan hanya jika untuk setiap bilangan > terdapat bilangan > sehingga jika < - o <, D berlaku f-l < b. lim f L jika dan hanya jika untuk setiap lingkungan NL, terdapat lingkungan terhapuskan N*, sehingga jika N*, D berlaku f NL,.
Limit Fungsi Kompleks [] Buktikan bahwa: i lim 1 a. b. i lim i iy 4i TEOREMA : Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada daerah D C dengan o D dan L,M C. a. jika lim f L dan lim f M, maka L = M o o b. lim f L jika dan hanya jika terdapat bilangan o k> dan bilangan > sehingga berlaku * f k untuk setiap N, D o
Limit Fungsi Kompleks [3] TEOREMA: Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah D=D f D g C dengan o D. Jika lim f L dan lim g M, maka a. lim [ f g ] L M b. c. d. lim lim lim kf kl, k [ f. g ] LM f L, M g M C
Limit Fungsi Kompleks [4] TEOREMA : 1. Diberikan fungsi kompleks f yang terdefinisi pada daerah D C dengan o D. a. lim f jika dan hanya jika lim f b. jika lim f L, L maka lim o f L. Diberikan fungsi f, g, dan h didefinisikan pada daerah D=D f D g C dan o D. Jika f g untuk setiap N*o, D, lim f L dan, maka lim h L lim g L h
Limit Fungsi Kompleks [5] TEOREMA : 1. Diberikan f=u,y+iv,y terdefinisi pada daerah D C dan o=a+ib D. lim f A ib jika dan hanya jika lim u, y A dan, y a, b. Diberikan f=u,y+iv,y terdefinisi pada daerah D C dan o=a+ib D. Jika lim f L, maka lim f selalu ada dengan nilai L untuk lim v, y suatu titik limit S. B o, y a, b sepanjang kurva S D dan o
Limit Fungsi Kompleks [6] Diskusikan! 1. Diketahui f= y y i. Selidiki apakah lim f y 1 ada. y yi. Buktikan bahwa lim 4 y y Selidikilah apakah lim i y 1 1 ada?
Kekontinuan Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : a. Diberikan fungsi kompleks f terdefinisi pada region D C yang memuat o dengan o suatu titik limit dari D. Fungsi f dikatakan kontinu di o jika f f lim b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C yang memuat. Fungsi f dikatakan kontinu di o jika untuk setiap bilangan > terdapat bilangan > sehingga jika, D berlaku f f c. Fungsi f dikatakan kontinu pada region D C jika f kontinu di setiap titik pada D
Kekontinuan Fungsi Kompleks [] Diskusikan bukti teorema berikut: a. Diberikan f = u,y + iv,y terdefinisi pada region D C yang memuat o = a + ib. Fungsi f kontinu di o jika dan hanya jika u,y dan v,y kontinu di a,b. b. Diberikan fungsi f dan g terdefinisi pada region D C dan o D dan k suatu konstanta kompleks. Jika f dan g kontinu di o, maka fungsi f + g, kf, dan fg semuanya kontinu di o. Sedangkan fungsi f/g kontinu di o asalkan g o.
Kekontinuan Fungsi Kompleks [3] c. Jika fungsi kompleks f kontinu di o dan fungsi g kontinu f o, maka fungsi komposisi g o f kontinu di o. d. Fungsi polinom f kontinu pada seluruh bidang kompleks. h e. Fungsi rasional f h dan g fungsi g polinom kontinu pada C { C: g = }
Turunan Fungsi Kompleks [1] DEFINISI : a. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C dan o D. Turunan fungsi f di o didefinisikan dengan jika limit ini ada. b. Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D C. Turunan fungsi f pada D didefinisikan dengan jika limit ini ada. f f lim f ' f f lim f f f lim ' w f w f w lim
Turunan Fungsi Kompleks [] Diskusikan bukti teorema berikut: Diberikan fungsi f terdefinisi pada region D dan o D. Jika f o ada, maka f kontinu di o. Perlihatkan bahwa f kontinu di seluruh bidang kompleks, tetapi f hanya dapat diturunkan di =. Diberikan fungsi f dan g dapat diturunkan pada region D C, tuliskan turunan fungsi f + g, f g, kf k konstanta dan fg pada D. C
Turunan Fungsi Kompleks [3] Buktikan teorema berikut: Diberikan fungsi f yang dapat ditunkan pada C. a. Jika f = k untuk setiap C dengan k suatu konstanta, maka f = b. Jika f = untuk setiap C, maka f = 1 c. Jika f = n untuk setiap C, n N, maka f = n n-1 d. Jika f = a o n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n untuk setiap C, n N, maka f = a o n n-1 + a 1 n-1 n- + + a n-1 e. Jika f = n untuk setiap C, n Z, maka f = n n-1
Persamaan Cauchy Reimann [1] Buktikan teorema berikut: a. Diberikan terdefinisi pada region D C dan o = o +iy o D. Jika maka sehingga persamaan Cauchy Reimann berlaku yaitu ada, f o ',y y u i,y y v,y v i,y u f o o o o o o o o o ',y v,y y u dan,y y v,y u o o o o o o o o
Persamaan Cauchy Reimann [] b. Diberikan f u, y iv, y terdefinisi pada region D C dan o= o +iy o D. Jika 1 fungsi u,y, v,y, u,y, u y,y, v,y,dan v y,y semuanya kontinu di titik o = o,y o Memenuhi persamaan Cauchy Reimann u o,y o = v y o,y o dan u y o,y o = - v o,y o maka f o ada dan f o = u o,y o +i v o,y o = v y o,y o -i uy o,y o
Persamaan Cauchy Reimann [3] Diskusikan! 1. Diberikan fungsi f dengan aturan f 1 sin,, y,, y,, Perlihatkan bahwa f ada tetapi tak kontinu di,.
Persamaan Cauchy Reimann [4]. Diberikan fungsi f dengan aturan f,, Tunjukkan bahwa persamaan C R dipenuhi di =, tetapi f tidak ada.
Persamaan Cauchy Reimann [5] 3. Selidiki dimanakah fungsi berikut dapat diturunkan, kemudian tentukan fungsi turunannya. a. f = iy b. f = c. f =
Sekian Terima Kasih