BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Teori Relativitas Einstein Relativitas merupakan subjek yang penting yang berkaitan dengan pengukuran (pengamatan) tentang di mana dan kapan suatu kejadian terjadi dan bagaimana kejadian tersebut dianalisa atau diukur menurut suatu kerangka acuan yang bergerak relatif terhadap kerangka yang lain. Topik tentang teori relativitas dibagi ke dalam dua bagian, yakni Teori Relativitas Khusus (Special Theory of Relativity) dan Teori Relativitas Umum (General Theory of Relativity). Dalam teori relativitas khusus, subjek yang menjadi fokus adalah kerangka acuan yang inersial, yaitu kerangka yang padanya hukum gerak Newton berlaku. Sedangkan teori relativitas umum berkaitan dengan situasi yang lebih rumit dimana kerangka acuannya mengalami percepatan gravitasi. Kedua teori tersebut dibuat untuk menjelaskan bahwa gelombang elektromagnetik tidak sesuai dengan teori relativitas klasik yang didasari konsep Galileo Galilei dan didefenisikan kembali oleh Sir Isasc Newton melalui teori relativitas geraknya. 2.1.1 Teori Relativitas Khusus (TRK) Pada tahun 1905, Albert Einstein mempublikasikan beberapa makalahnya yang salah satunya berjudul, On the Electrodynamics of Moving Bodies (Elektrodinamika Benda Bergerak). Makalah tersebut menyajikan teori relativitas khusus berdasarkan dua postulatnya:
1. Postulat Relativitas: Hukum-hukum fisika berlaku sama untuk setiap pengamat di dalam kerangka acuan yang inersial. 2. Postulat Kelajuan Cahaya: Kelajuan cahaya dinyatakan dengan c yang bernilai tetap pada semua kerangka acuan. Hadirnya kedua postulat tersebut memunculkan teori-teori baru. Seperti pada postulat pertamanya dikatakan bahwa jika hukum-hukum itu dibedakan, maka perbedaan tersebut dapat membedakan satu kerangka acuan inersial dari kerangka lainnnya. Disamping itu, yang tidak kalah baru adalah teori tentang ramalan mengenai laju radiasi elektromagnetik yang diturunkan dari persamaan Maxwell. Menurut analisis ini, cahaya dan semua gelombang elektromagnetik lain berjalan dalam ruang hampa dengan laju konstan yang sekarang didefenisikan secara eksak sebesar 299.792.458 m/s atau biasa dituliskan dengan 3 x 10 8 m/s. Hal ini akan kita temukan dalam ruang hampa yang memiliki peranan penting dalam teori relativitas Einstein. Kehadiran kedua postulat tersebut juga sukses dalam memperluas cakupan hukum-hukum gerak oleh Galileo yang terbatas di mekanika ke hukum-hukum elektromagnetik dan optik. Hasil dari memperkenalkan teori relativitas khusus ini, diperkenalkannya transformasi koordinat baru yang dinamakan Transformasi Lorentz yang sesuai untuk laju tinggi. 2.1.1.1 Transformasi Lorentz Transformasi Galileo mengenai koordinat, waktu dan kecepatan tidak taat dengan kedua postulat Einstein. Meskipun transformasi Galileo sesuai dengan akal sehat kita, ia tidak memberi hasil yang sesuai dengan berbagai percobaan pada laju tinggi. Oleh karena itu, kita memerlukan seperangkat persamaan transformasi baru yang dapat meramalkan berbagai efek relativistik seperti penyusutan panjang, pemuluran waktu dan efek Doffler relativistik. Karena kita juga mengetahui bahwa transformasi Galileo berlaku baik pada laju rendah, transformasi baru ini haruslah
memberikan hasil yang sama seperti transformasi Galileo apabila laju relatif antara dan adalah rendah. (Krane, Kenneth S., 2006) z S z S v o O y y x x Gambar 2.1 Kerangka acuan inersial dari S dan S Transformasi yang memenuhi semua persyaratan ini dikenal dengan transformasi Lorentz dan seperti halnya transformasi Galileo, ia mengaitkan koordinat suatu peristiwa sebagaimana diamati dari kerangka dengan koordinat peristiwa yang sama yang diamati dari kerangka acuan yang sedang bergerak dengan kecepatan terhadap. Dengan menganggap bahwa gerak relatifnya adalah sepanjang arah positif. Bentuk transformasi Lorentz ini adalah sebagai berikut: (2.1) Persamaan (2.1) adalah transformasi koordinat Lorentz yang merupakan generalisasi dari transformasi Galileo terdahulu. Untuk nilai yang mendekati nol, akar-akar dalam penyebut. Namun, umumnya baik
koordinat ruang maupun waktu dari suatu peristiwa dalam suatu kerangka acuan bergantung pada koordinat waktunya dalam kerangka acuan lainnya. Sekarang ruang dan waktu telah menjadi saling jalin menjalin. Kita tidak dapat lagi mengatakan bahwa panjang dan waktu mempunyai arti mutlak yang tidak tergantung kerangka acuannya. Bentuk-bentuk transformasi Lorentz pada (2.1) dapat digunakan untuk menurunkan generalisasi relativitas sebagai efek penggunaan transformasi ini. Diantaranya: Pemuluran Waktu Relativistik yang mana waktu bergerak lebih lambat dari penanda waktu yang berada dalam keadaan diam. Kontraksi Panjang Lorentz, Transformasi Kecepatan, Bila untuk laju yang lebih kecil dari laju cahaya c dalam ruang hampa, transformasi kecepatannya memperlihatkan kepada kita bahwa sebuah benda yang bergerak dengan laju yang lebih kecil dari c dalam satu kerangka acuan selalu mempunyai laju yang lebih kecil dari c dalam tiap-tiap kerangka acuan yang lain. Ini merupakan alasan yang digunakan untuk menyimpulkan bahwa tidak ada benda yang berjalan dengan laju yang sama atau lebih besar dari c dalam ruang hampa relatif terhadap sembarang kerangka acuan inersial. (M. S. Longair, 1987)
2.1.1.2 Kerangka Acuan Inersial Dengan adanya peta (atlas), setiap peristiwa mempunyai label berupa 4 bilangan real, misalnya atau. Arti fisis dari atlas adalah suatu kerangka acuan dengan sistem koordinat tertentu. Kerangka acuan terdiri atas partikel-partikel berlabel yang dilengkapi dengan penanda waktu. Sebuah kerangka acuan dicirikan dengan gerakan tertentu dari partikel-partikel penyusunnya, sedangkan cara pemberian label menunjukkan sistem koordinat yang digunakan dalam kerangka acuan itu. Jadi, kerangka acuan adalah suatu sarana untuk memberikan label pada setiap peristiwa. Salah satu label menunjukkan saat terjadinya peristiwa, dan dalam mekanika klasik Newtonian, label itu bersifat mutlak. Cara penentuan saat terjadinya peristiwa adalah dengan menyediakan penanda waktu yang sudah disinkronkan dan kemudian disebar ke dalam ruang. Saat dari suatu peristiwa ditunjukkan dengan penanda waktu yang berada di tempat peristiwa itu terjadi. Penunjukkan waktu bersifat mutlak, artinya tidak dipengaruhi oleh gerakan waktu ketika dibawa oleh partikel penyusun kerangka acuan. Karena saat dari peristiwa-peristiwa dalam ruang-waktu bersifat mutlak, maka ruang-waktu dapat dibagi menjadi sub ruang 3 dimensi, dimana setiap subruang (ruang spatial) terdiri atas peristiwa-peristiwa yang terjadi pada saat yang sama (simultan). Peristiwa dalam ruang spatial cukup diberi label berupa 3 bilangan real dan memberikan posisi dari peristiwa itu dalam ruang spatial. Mekanika klasik Newtonian menyatakan bahwa hanya ada satu cara pembagian ruang-waktu menjadi subruang yang simultan dan subruang berdimensi 3 itu berstruktur Euklidean. Sebuah partikel bebas yang bergerak merupakan serentetan peristiwa yang disebut sebagai garis sejarah (world line). Dalam ruang spatial, himpunan titik-titik yang merupakan posisi dari peristiwa-peristiwa dalam garis sejarah merupakan sebuah kurva (disebut sebagai lintasan) yang pada umumnya melengkung. Kurva lintasan partikel itu dapat dinyatakan sebagai dan kecepatannya adalah
Kita dapat menggunakan atlas yang lain dalam manifold ruang-waktu, misalnya menghasilkan label untuk peristiwa yang dinyatakan sebagai atau. Karena hanya ada satu cara pembagian ruang-waktu, maka itu berarti Hubungan antara dengan mempunyai dua kemungkinan, yaitu yang berarti kita berpindah kerangka acuan, atau yang berarti kita hanya berganti sistem koordinat. Jika dapat ditemukan suatu transformasi sehingga dalam ruang spatial kerangka acuan itu, kurva lintasan partikel bebas berupa garis lurus dan kecepatannya konstan, maka kerangka acuan itu disebut sebagai kerangka acuan yang inersial. (Arief Hermanto, 2003) 2.1.2 Teori Relativitas Umum Einstein Teori relativitas umum merupakan perluasan dari teori relativitas khusus ke arah gravitasi dan menggantikan hukum gravitasi Newton. Teori ini menggunakan matematika geometri diferensial dan tensor untuk menjelaskan gravitasi. Bentuk teori ini sama untuk seluruh pengamat yang bergerak dalam kerangka acuan inersial ataupun bagi pengamat yang bergerak dalam kerangka acuan yang dipercepat. Dalam relativitas umum, gravitasi bukan lagi sebuah gaya seperti dalam hukum gravitasi Newton tetapi merupakan konsekuensi dari kelengkungan ruang-waktu. Dan melalui relativitas umum juga ditunjukkan bahwa kelengkungan ruang-waktu terjadi akibat kehadiran massa.
2.1.2.1 Prinsip Ekuivalensi Ketika Newton merumuskan hukum gerak dan hukum gravitasinya, ia mendefenisikan massa inersial dan massa gravitasi. Massa inersial diukur berdasarkan ukuran kelembaman suatu benda terhadap gaya dorong atau gaya tarik yang bekerja, sedangkan massa gravitasi diukur berdasarkan pengaruh gaya gravitasi pada benda tersebut. Para eksperimentalis sejak zaman Newton hingga pertengahan abad ke-20 telah berusaha membuktikan kesetaraan antara kedua jenis massa tersebut. Salah satu percobaan yang paling terkenal adalah percoban Eotvos yang membuktikan bahwa kedua massa tersebut setara. Berdasarkan bukti eksperimen tersebut, akhirnya Einstein menyimpulkan dalam postulatnya yang terkenal dengan nama Prinsip Ekuivalensi Massa bahwa, Gaya gravitasi dan gaya inersial yang bekerja pada 1 benda adalah sama dan tidak terbedakan (indistinguisable) satu sama lain. Konsekuensinya adalah bahwa tidak ada lagi kerangka acuan inersial. 2.1.2.2 Prinsip Kovariansi Umum Akibat prinsip ekuivalensi massa yang menyebabkan tidak adanya kerangka acuan inersial, maka prinsip relativitas khusus menyatakan bahwa hukum-hukum fisika berlaku sama pada kerangka acuan inersial tidaklah berlaku umum. Oleh karena itu, Einstein merumuskan postulat keduanya yang terkenal dengan nama Prinsip Kovariansi Umum yang menyatakan bahwa, Semua hukum-hukum fisika berlaku sama pada semua kerangka acuan tanpa kecuali. Konsekuensinya adalah setiap besaran fisika haruslah dinyatakan dalam bentuk umum dan tidak bergantung pada koordinat dimana ia didefenisikan. Artinya semua besaran fisika harus dinyatakan dalam bentuk tensor. Seperti telah dinyatakan sebelumnya dalam relativitas khusus, hukum-hukum gerak dinyatakan dalam bentuk yang invarian terhadap transformasi Lorentz dengan konsekuensi diperkenalkannya konsep ruang dan waktu dimensi 4 dengan metrik Minkowski. Generalisasinya, teori relativitas umum menyatakan bahwa hukum-hukum fisika harus invarian terhadap transformasi umum dengan konsep ruang-waktu 4 dimensi.
2.1.2.3 Kelengkungan Ruang-Waktu Dari teori relativitas khusus, baik waktu atau ruang adalah bergerak relatif terhadap gerak pengamat dengan interval panjang dan waktu diukur oleh seorang pengamat secara umum tidak sama dengan interval panjang dan waktu yang diukur oleh pengamat yang berbeda. Karena panjang dan waktu relatif dan keduanya bergantung pada gerak relatif pada lintasan yang sama maka perlu untuk menyatakan kembali bahwa ruang berdimensi 3 dan 1 dimensi waktu tidak terpisah, dan lebih dari itu juga keduanya merupakan komponen yang setara dari suatu ruang-waktu 4 dimensi yang tunggal. Untuk menggambarkannya memang sulit tapi kita masih dapat merepresentasikannya secara matematis dengan menggunakan pertimbangan persamaan yang sesuai. Beberapa contoh penggambaran kelengkungan ruang-waktu ditunjukkan pada gambar 2.2 yang mengilustrasikan ruang datar berimensi 1 yang berupa garis lurus. Untuk melengkungkannya, harus dibengkokkan pada arah yang lain. Tapi, kelengkungan yang ditunjukkan dalam 1 dimensi tidak cukup dan memerlukan 2 dimensi untuk mengilustrasikannya lebih lanjut. Gambar 2.3 menyajikan suatu ruang 2 dimensi dan ilustrasi bagaimana ruang itu dilihat jika dibengkokkan. (a) (b) Gambar 2.2 Ruang 1 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung
(a) (b) Gambar 2.3 Ruang 2 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung Geometri dari sistem koordinat ruang datar adalah geometri Euklidean yang aturan penggunaanya diilustrasikan pada 2.4 dengan suatu garis lurus yang menjadi jarak terpendek antara dua titik dan total sudut segitiga dalam ruang datar adalah 180 o, serta garis-garis sejajar yang tidak akan saling berpotongan. Untuk geometri lengkung yang dikenal dengan geometri non-euklidean diberikan oleh 2.5, dimana aturan geometri euklidean tidak bisa digunakan, sehingga jarak terpendek antara dua titiknya merupakan busur lingkaran besarnya dengan jumlah sudut segitiga dalam ruang ini lebih dari 180 o dan garis-garis sejajarnya dapat saling berpotongan. B A B A Gambar 2.4 Ruang Euklid dan komponen-komponen geometrinya Gambar 2.5 Ruang non-euklid dan komponen-komponen geometrinya Lebih lanjut, kita dapat menentukan kapan suatu ruang dikatakan melengkung atau datar dengan mengukur derajat kelengkungannya. Caranya dengan menghitung rasio keliling bola terhadap diameternya. Dalam ruang datar, rasionya diberikan sebesar (Gambar 2.6.a), sedang dalam ruang lengkung rasionya akan menjadi lebih besar atau
kurang dari (Gambar 2.6.b). Sebagaimana yang akan dibahas berikutnya, kelengkungan ruang-waktu ditentukan oleh massa terdekat atau disekitar massa massifnya, dengan kelengkungan yang dapat bernilai cukup besar untuk memberikan efek yang tampak (2.7). D D C C (a) (b) Gambar 2.6 (a) Dalam ruang datar atau. (b) Dalam ruang lengkung Lintasan-lintasan sejajar Ruang melengkung Ruang Datar yang jauh dari massa bumi Bumi Gambar 2.7 Tampilan ruang-waktu yang melengkung oleh benda bermassa Sumber: Nggieng (2007) Pada gambar 2.7 tampak bahwa ketika jauh dari posisi bumi (dalam hal ini memiliki massa lebih besar dibandingkan dengan benda yang bermassa lain disekitarnya), ruang berbentuk datar dan lintasan-lintasan sejajarnya tetap sejajar. Sebaliknya, ketika dekat dengan bumi, lintasan-intasan sejajar mulai konvergen karena ruang dilengkungkan oleh massa bumi tersebut.
Banyak prediksi akan peristiwa yang terjadi yang telah berhasil dibuktikan dan dikemukakan oleh teori relativitas umum yang tentunya berbeda dari fisika klasik. Prediksinya juga telah dikonfirmasikan dalam semua percobaan dan pengamatan fisika. Walaupun teori ini bukan satu-satunya teori tentang relativistik gravitasi, ia merupakan teori paling sederhana dan konsisten dengan data-data eksperimen. Salah satu prediksinya adalah peristiwa terbeloknya cahaya matahari di sekitar matahari. Teori relativitas umum memprakirakan bahwa titik-titik kerucut cahaya (bintang) yang berada di dekat matahari akan terbelokkan menuju matahari karena pengaruh massa matahari. Karenanya cahaya yang datang dari bintang-bintang jauh dan lewat dekat matahari akan mengalami defleksi yang menyebabkan bintang-bintang tersebut tampak berbeda di posisi yang berbeda bagi pengamat di bumi. Karena bumi bergerak dengan mengorbit pada matahari maka bintang-bintang yang berbeda akan berada di belakang matahari dan cahayanya terdefleksi sehingga posisinya berubah relatif terhadap bintang lain. (Kenneth S. Krane, 1983) 2.2 Analisis Tensor Aljabar tensor adalah suatu disiplin matematik yang sangat penting peranannya dalam fisika karena hukum fisis tidak akan bergantung pada sistem koordinat yang digunakan untuk memberikan tafsiran yang tepat pada hukum tersebut. Jika di dalam sebuah sistem koordinat terdapat suatu persamaan tensor maka bentuk daripada persamaan tersebut akan tetap sama (kovarian) di dalam semua sistem koordinat lain. Sifat tersebut menyebabkan tensor sangat banyak sekali digunakan di dalam fisika. Khususnya dalam teori relativitas umum, maka semua perumusan fisis selalu dinyatakan dengan persamaan tensor seperti yang akan dibahas. Tensor pada dasarnya merupakan generalisasi daripada skalar dan vektor. Kita akan melihat vektor sebagai suatu tensor yang mempunyai rank 1 sedang skalar adalah suatu tensor yang mempunyai rank 0. Semua sifat-sifat vektor yang telah kita kenal akan dimiliki juga oleh tensor. Dikatakan juga bahwa penggunaan tensor di dalam fisika, umumnya akan membuat hukum-hukum fisis mempunyai bentuk yang lebih umum dan sederhana. (Pantur S, 1979)
2.2.1 Transformasi Koordinat Misalkan koordinat-koordinat tegak lurus (x, y, z) dari sebarang titik dinyatakan sebagai fungsi-fungsi sehingga Andaikan bahwa bentuk di atas dapat dipecahkan untuk dalam, yakni Fungsi-fungsi dalam (2.5) dan (2.6) dianggap tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontiniu sehingga kaitan dengan adalah tunggal. Diketahui sebuah titik P dengan koordinat-koordinat tegak lurus maka dari (2.5) kita dapat mengasosiasikan suatu himpunan koordinat-koordinat yang tunggal yang disebut koordinat-koordinat kurvilinier dari P. Himpunan persamaan (2.5) dan (2.6) mendefenisikan suatu transformasi koordinat. x kurva P kurva kurva y z Gambar 2.8 Kurva-kurva dan garis koordinat Selanjutnya, akan didefenisikan transformasi koordinat menyangkut sistem koordinat lain dengan dimensi yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diketahui terlebih dahulu mengetahui ruang dengan sebarang dimensi dimana kita akan membahas sifat-sifat transformasi daripada ruang tersebut.
Sebuah ruang berdimensi n, dimana n adalah sembarang bilangan bulat positif, adalah merupakan himpunan daripada susunan yang teratur, dan yang memenuhi sifat-sifat daripada sebuah ruang vektor. Komponen sebuah vektor dalam ruang berdimensi n tersebut akan dinyatakan dengan indeks tertentu. Suatu kurva di dalam sebuah ruang berdimensi n adalah himpunan dari titik-titik x yang memenuhi n buah persamaan, yaitu, dimana t adalah parameter dan. Jika dianggap sebagai subruang dari (n < N) maka ditunjukkan oleh dimana menyatakan n buah parameter dan. Kemudian diberikan sistem koordinat mencakup ruang tersebut, yaitu yang membentuk sistem koordinat di. Setiap menyatakan titik pada ruang. Misalkan ada transformasi dari suatu sistem koordinat ke siatem yang lain maka bentuk perubahan koordinatnya dinyatakan sbb:......... Dengan demikian, diferensial untuk dapat ditulis sebagai berikut:.........
Atau dapat juga disederhanakan menjadi dimana 2.2.2 Koordinat Kurvalinier 2.2.2.1 Koordinat Kurvalinier Ortogonal Permukaan dimana adalah konstanta, disebut permukaan-permukaan koordinat, dan setiap pasangan permukaan-permukaan ini berpotongan melalui kurva-kurva yang disebut kurva-kurva atau garis-garis koordinat (gambar 2.8). Bila permukaan-permukaan koordinat ini berpotongan tegak lurus, maka sistem koordinatnya disebut ortogonal. Dengan menggunakan hubungan transformasi (2.5) dan (2.6), dimisalkan atau sebagai vektor posisi dari titik P. Maka berdasarkan persamaan tersebut dapat bentuk vektornya. 2.2.2.2 Vektor Satuan dan Faktor Skala dalam Sistem Koordinat Kurvalinier Dengan demikian, masing-masing adalah vektor singgung terhadap kurva dengan koordinat:. Maka vektor-vektor satuan dalam masing-masing arah koordinat kurvalinier ini adalah:
dimana adalah panjang vektor-vektor singgung yang bersangkutan atau disebut juga sebagai faktor skala. Uraian di atas memberikan bentuk pernyataan untuk sistem koordinat ortogonal yang ditinjau dimana berlaku syarat: yang ketiga vektor satuan ini membentuk himpunan vektor satuan koordinat kurvalinier (gambar 2.9). Dalam hal seperti ini penggunaan sistem koordinat kurvalinier yang sesuai seperti koordinat bola ternyata mengalihkan persoalan menjadi sederhana untuk ditangani. (Hans J. Wospakrik, 1972) 2.2.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum z er eφ θ r eθ u2 y φ x u1 Gambar 2.9 Sistem koordinat kurvalinier umum bola
Dari kita peroleh Maka diferensial dari panjang busur ditentukan dari Untuk sistem ortogonal, Untuk sistem-sistem kurvalinier yang tak ortogonal maka bentuk tidak akan memiliki bentuk yang sederhana seperti sebelumnya. Tapi secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: dimana komponen pada persamaan merepresentasikan koefisien-koefisien yang muncul dalam perhitungan. Bentuk dapat juga disederhanakan menjadi Dalam bentuk matriks dapat dituliskan dengan Persamaan (2.14) adalah representasi matriks. (M. L. Boas, 1983) lainnya yang dinyatakan oleh bentuk
2.2.3 Kaidah Penjumlahan Dalam menuliskan suatu pernyataan seperti mempergunakan notasi singkat kita dapat atau notasi yang lebih singkat lagi, dimana menyetujui suatu kaidah (convention) bahwa setiap sebuah indeks (indeks atas atau bawah) diulangi dalam suatu suku tertentu maka ini berarti kita menjumlahkan terhadap indeks tersebut dari 1 sampai n kecuali bila ada pernyataan lain. Inilah yang disebut kaidah penjumlahan. 2.2.4 Klasifikasi Tensor Berdasarkan Hukum Transformasi Skalar dan vektor dapat dikatakan sebagai kasus khusus dari tensor. Karena tensor adalah objek geometri yang memerlukan uraian lebih dari satu faktor seperti skalar atau tiga faktor seperti pada vektor. Secara umum tensor termasuk didalamnya skalar dan vektor dibedakan berdasarkan penempatan indeksnya. Namun demikian, tensor juga dapat dibedakan berdasarkan hukum transformasi yang dimilikinya. 2.2.4.1 Vektor Kontravarian Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kontravarian jika pada suatu transformasi koordinat, sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat
disebut komponen vektor kontravarian atau tensor kontravarian rank satu. 2.2.4.2 Vektor Kovarian Fungsi dalam sistem koordinat disebut vektor kovarian jika pada suatu transformasi koordinat, sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat disebut komponen vektor kovarian atau tensor kovarian rank satu atau order satu. 2.2.4.3 Invarian Suatu fungsi disebut invarian jika pada suatu transformasi koordinat, sehingga fungsi akan ditransformasikan menjadi
2.2.4.4 Tensor Campuran Dalam konsep tensor, suatu tensor campuran adalah tensor yang bukan jenis kovarian kuat maupun kontravarian kuat. Fungsi dalam sistem koordinat disebut tensor campuran yang memiliki komponen kontravarian rank satu dan komponen kovarian rank satu. Jika pada suatu transformasi koordinat, maka fungsi ditransformasikan menjadi dimana merupakan fungsi dalam sistem koordinat. Diperoleh yang menyatakan komponen tensor campuran. Dengan menggunakan defenisi dari tensor campuran di atas akan ditunjukkan bahwa juga merupakan suatu tensor campuran. Sekarang perhatikan persamaan transformasi berikut dimana dan. Jadi diketahui bahwa merupakan tensor campuran dengan kontravarian dan kovarian masing-masing ber-rank satu atau biasa dinamakan dengan delta kronecker.
2.2.4.5 Tensor Simetri dan Antisimetri Misalkan sebarang tensor kontravarian, berlaku 1. Jika maka disebut simetri terhadap pertukaran indeks dan. 2. Jika maka disebut antisimetri terhadap pertukaran indeks dan. Sekarang perhatikan, jika adalah suatu tensor simetri dan adalah suatu tensor antisimetri, maka. Setiap tensor selalu dapat dinyatakan sebagai penjumlahan tensor simetri dengan tensor antisimetri. 2.2.5 Operasi-Operasi Dasar Tensor Semua sifat-sifat yang berlaku pada vektor, akan berlaku pula pada tensor. Hal itu dikarenakan operator-operator yang berlaku dan digunakan pada tensor merupakan bentuk generalisasi dari operator-operator yang berlaku pada vektor. Berikut ini akan dijelaskan operasi-operasi dasar yang berlaku pada tensor. Penjumlahan Penjumlahan dari dua tensor atau lebih memiliki rank dan jenis yang sama (sebagai contoh: Misalkan tensor A dan B banyaknya indeks kontravarian dan indeks kovarian adalah sama) akan menghasilkan tensor yang memiliki rank dan jenis yang sama pula. Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat, maka (2.21) Pengurangan Selisih dari dua tensor atau lebih yang memiliki rank dan jenis yang sama adalah tensor dengan rank yang jenisnya sama pula. Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat, maka
(2.22) merupakan tensor juga. Perkalian (Outer Multiplication) Hasil kali dua tensor adalah tensor dimana ranknya merupakan jumlah dari rank tensor-tensor tersebut. Komponen tensor ini disebut outer product. Sebagai contoh, (2.23) adalah outer product dari dan. Tetapi tidak semua bentuk tensor dapat dinyatakan sebagai hasil kali dari dua tensor yang ranknya lebih sederhana. Konstraksi Misalkan adalah suatu tensor campuran yang memiliki rank lima, dengan kontravarian rank dua dan kovarian rank tiga. Jika salah satu indeks kovarian samadengan salah satu indeks kontravarian, maka rank tensor tersebut akan berkurang sebanyak dua. Artinya, bentuk merupakan tensor yang memiliki rank tiga. Proses demikian lebih dikenal sebagai konstraksi tensor. Perkalian Dalam (Inner Multiplication) Misalkan dan merupakan tensor dalam sistem koordinat, maka (2.24) disebut outer product. Misalkan, sehingga diperoleh atau dengan memisahkan dan, sehingga diperoleh bentuk tensor. Dengan menggunakan proses outer multiplication dan konstraksi, dapat diperoleh tensor baru yang disebut inner product. Proses ini disebut inner multiplication. Pada inner maupun outer multiplication berlaku juga sifat komutatif dan assosiatif.
2.2.6 Tensor Metrik A B Gambar 2.10 Jarak antara dua titik A dan B ditinjau dalam ruang berdimensi α Pada bagian ini jika A dan B adalah dua titik dalam suatu ruang berdimensi n masingmasing dengan vektor kedudukan dengan titik, maka jarak di antara kedua titik tersebut dinyatakan oleh persamaan (2.25) dimana Susunan besaran-besaran dapat disusun menjadi (2.26) Tensor mana dinamai tensor metrik untuk ruang tersebut. Ruang dengan metrik, di (2.27) dikenal dengan sebutan ruang Riemann. Tensor tensor simetri, karena: dapat dianggap sebagai sebuah
Karena ( Maka Yakni bahwa adalah sebuah tensor simetri. Jika, di mana t adalah sebuah parameter, maka atau Yang menyatakan jarak antara dua titik di dalam ruang Riemann tersebut. Sebuah kurva (t) dinamai kurva nol (null curve), jika di dalam sebuah ruang non-euklidean maka jarak antara dua titik boleh sama dengan 0, walaupun kedua titik tersebut tidak berimpit. Misalnya dalam teori relativitas khusus, setiap elemen jarak akan dinyatakan oleh persamaan (2.29) (2.30) Ruang yang bermetrik diatas, dinamai sebuah ruang Minkowski. Elemen garis atau kuadrat metrik jarak memiliki interval yang diklasifikasikan ke 3 kelompok yang berbeda berdasarkan bentuk kurva dan interval kurva itu sendiri.
Jika: (Lampiran A). Kurva Timelike Kurva Spacelike Kurva null 2.2.7 Tensor Konjugat Misalkan merupakan tensor metrik dan dinotasikan sebagai determinan dengan elemen-elemen dari sebagai berikut (2.31) maka adalah kontravarian tensor simetri rank dua yang disebut konjugat atau reciprocal tensor dari. 2.2.8 Differensiasi Tensor Proses differensiasi tensor adalah suatu generalisasi proses differensial yang biasa dikenal sebagai differensial fungsi. Pada analisis tensor dikenal dua jenis differensiasi yang biasa digunakan, yaitu 1. Differensiasi Kovarian 2. Differensiasi Intrinsik Selanjutnya akan dijabarkan differensiasi kovarian yang terkait dengan pembahasan masalah selanjutnya. Untuk itu maka tinjau persamaan transformasi. Dengan mendifferensiasikan terhadap, maka diperoleh persamaan yang berikut:
Kita telah perlihatkan bahwa bukanlah suatu tensor dan untuk membentuk tensor dari turunan parsial tersebut maka didefenisikan simbol-simbol Christoffel berikut: 1. Simbol Christoffel yang pertama, yang biasanya dinyatakan dengan notasi yang didefenisikan menurut persamaan (2.32) 2. Simbol Christoffel yang kedua, yang biasanya didefenisikan menurut persamaan dan dinyatakan dengan notasi di mana adalah tensor metrik untuk ruang yang bersangkutan (ruang Riemann). Jadi (2.33) Adapun hukum transformasi untuk Simbol Christoffel diatas adalah sebagai berikut: Tinjau suatu geodesik, untuk kedua sistem koordinat hubungan antara dengan dalam ruang Riemann. Sekarang ditentukan disubtitusi, kita peroleh
Selanjutnya, persamaan di atas dikalikan dengan dan dijumlahkan harga yang sama, Hasil di atas dibandingkan dengan bentuk geodesiknya, tampak bahwa Ini merupakan hukum transformasi untuk. bukan merupakan komponen tensor, sehingga memungkinkan harga pada semua sistem koordinat. bernilai nol pada suatu sistem koordinat tapi bukan 2.2.9 Geodesik Pada bagian ini akan dibahas generalisasi pengertian jarak terpendek di antara dua titik dalam suatu ruang Riemann. Andaikan kurva menguhubungkan titik A dan B dengan koordinat A dan B masing-masing diberikan oleh dan. Maka persamaan geodesik diberikan oleh penjumlahan pada indeks-indeks, dimana s adalah panjang busur dan adalah simbol Christoffel dari jenis kedua. Untuk kasus bagaimana persamaan geodesik untuk koordinat kartesius di ruang Euklidean. Jika koefisien jaraknya konstan maka turunannya nol, dan simbol Christoffelnya juga nol. Akibatnya, persamaan geodesiknya berbentuk untuk solusi adalah berupa garis lurus. Sembarang sistem koordinat yang simbolsimbol Christoffelnya adalah sistem koordinat geodesik.
2.3 Medan Gravitasi Einstein Disini akan ditentukan hukum suatu gerak, yang tidak tergantung pada sistem koordinat yang digunakan, yang menggambarkan medan gravitasi suatu partikel tunggal. Dalam teori relativitas khusus, elemen garis untuk koordinat ruang-waktunya adalah diberikan oleh Dalam ruang (x, y, z, t), adalah konstanta dan ruangnya adalah Euklidean, maka. Untuk partikel yang berada di bawah pengaruh gravitasi tensor Riccinya dihilangkan. Karena, suatu ruang 4 dimensi menghasilkan persamaan menyertakan dan turunannya. Karena, dimana,, dan untuk j = 1, 2, 3, 4, kesepuluh persamaan utama akan direduksi menjadi 6 persamaan. Kita andaikan elemen garis (dalam kaitan dengan Schwarzchild) berubah bentuk menjadi sehingga ruangnya menjadi non-euklidean. Dari persamaan tersebut dapat kita susun,,, dan,,,, Sekarang, dan karena untuk, kita peroleh dengan i tidak dijumlahkan.
Jika i, j, k adalah berbeda, maka. Kita juga lihat bahwa Ketiga persamaan tersebut digunakan untuk mendapat harga-harga berikut:,,,,,,,. Dan semua yang lain dihilangkan. Selanjutnya, hargaharga tersebut digunakan untuk hukum gravitasi Einstein yang dirumuskan dalam tensor Ricci yang diberikan sebagai berikut: Sedemikian sehingga, Dengan jalan yang sama dengan yang di atas, dapat ditentukan pula,, dan. (Harry Lass, 1950)