ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA YOGYAKARTA 1
Abstrak Dari pegertia beda (selisih) dari suatu barisa bilaga yag diketahui, dicari selisih sampai diperoleh selisih tetapya da dega memperhatika bahwa koefisie suku-sukuya dari betuk hubuga suku dega beda tersebut dapat membetuk segitiga pascal yag koefisie suku-sukuya dapat diyataka dega teorema Biomial dari Newto. Teryata betuk rumus suku ke- dari suatu barisa bilaga dapat dikaitka dega teorema Biomial. Dega mejumlahka suku-suku dari barisa tersebut aka membetuk deret yag jumlah ya dapat dikaitka teorema Biomial tersebut, maka secara iduktif dapat dikembagka dari pegertia suku ke- (U ) tersebut dapat dihubugka dega jumlah suku (S ) maka ditemuka rumus jumlah suatu deret tersebut Kata Kuci: Barisa Bilaga, Beda, Koefisie Suku, Teorema Biomial, Jumlah Deret
Meetuka rumus jumlah suatu deret dega operator beda A. Latar Belakag Materi pembelajara barisa da deret, baik utuk Sekolah Meegah Atas maupu Sekolah Meegah Kejurua terkadag masih ada permasalaha. Permasalaha yag dihadapi guru dalam barisa da deret kadagkala berakar dari masalah-masalah yag kurag cermat memahami soal, atau haya bersifat hafala seperti apa yag biasa mereka teragka kepada siswa yaitu megeai deret aritmetika da geometri saja. Berdasarka hasil pretes pada kegiata diklat guru pegembag matematika jejag dasar yag terkait dega materi barisa da deret, sebagia jawaba peserta diklat masih kosog, da masih perlu kecermata dalam memahami soal. Disampig itu setelah mediskusika materi megeai ciri-ciri, sifat-sifat, da cara meetuka suku ke- barisa aritmetika maupu barisa geometri serta jumlah suku pertama dari deret aritmetika maupu deret geometri, masih bayak juga peserta diklat yag belum bisa meyelesaika soal seperti meetuka jumlah 5 suku pertama (S 5 ) dari deret: 1 + + + 10 +..., karea deret tersebut buka merupaka deret aritmatika maupu deret geometri. Hal iilah yag mejadika permasalaha guru yag terkait dega materi barisa da deret yaitu Bagaimaa cara mecari jumlah suatu deret yag buka deret aritmetika maupu deret geometri Salah satu cara dalam meetuka rumus umum jumlah suku pertama dari deret ii adalah dega memperhatika beda (selisih) atara dua suku yag beruruta. Bagaimaakah peraa beda tersebut utuk meetuka rumus jumlah suatu deret? B. Pembahasa Perhatika pegerjaa dari beda (selisih) tetap dari suatu barisa bilaga, apabila pada satu tigkat pegerjaa belum diperoleh selisih tetap, maka pegerjaa dilakuka pada tigkat berikutya sampai diperoleh selisih tetap. Suatu barisa disebut berderajat satu (liear) bila selisih tetap diperoleh dalam satu tigkat pegerjaa, disebut berderajat dua bila selisih tetap diperoleh dalam dua tigkat pegerjaa da seterusya. Utuk lebih jelasya perhatika cotoh berikut: Barisa 1,,, 4, disebut barisa berderajat satu karea selisih tetap diperoleh pada satu tigkat peyelidika.
1 4, 1 1 1 selisih tetap 1 Barisa 1,,, 10, 15, disebut barisa berderajat dua karea selisih tetap diperoleh pada dua tigkat peyelidika. 1 10 15 4 5 selisih tetap 1 1 1 1 Barisa,, 19, 4, 9, disebut barisa berderajat tiga karea selisih tetap diperoleh pada tiga tigkat peyelidika. 19 4 9 4 1 7 4 9 14 19 5 5 selisih tetap 5 Secara umum apabila barisa bilaga tersebut adalah: U 1, U, U,... da operator beda (selisih) dilambagka dega, maka dapat kita gambarka sebagai berikut: U 1 U U U 4 U 5 U U 7... beda 1 U 1 U U U 4 U 5 U beda U 1 U U U 4 U 5 beda U 1 U U U 4 dst Diperoleh : U U 1 + U 1 (1 + ) U 1 U U + U dega U U 1 + U 1 4
U U 1 + U 1 + U 1 (1 + ) U 1 U 4 U + U dega U U + U U 1 + U 1 + U 1 + U 1 sehigga: U 1 + U 1 + U 1 U 4 U 1 + U 1 + U 1 + U 1 + U 1 + U 1 U 1 + U 1 + U 1 + U 1 (1 + ) U 1 Apabila kita amati koefisie suku-sukuya dari betuk diatas, da kita badigka apa yag telah kita ketahui yaitu: (a + b) a + ab + b (a + b) a +a b +ab +b (a + b) 4 a 4 + 4a b + a b + 4ab + b 4 maka koefisieya membetuk segitiga Pascal, yag disajika sebagai berikut: (a + b) 1 1 (a + b) 1 1 (a + b) 1 1 (a + b) 4 1 4 4 1 Secara umum:... (a + b) a a -1 b a - b a - b dega koefisie 1 Maka (a+b) a + a -1 b + ( -1) 1. ( 1) a - b +! ( -1)( - )... 1.. a - b +...! Hal iilah yag serig kita keal dega teorema Biomial yaitu: (a+b) a + a -1 ( 1) b + a - b +... + a b -1 + b! C(, r) a r b r r 0 Pada teorema Biomial tersebut meyataka bahwa koefisie biomial dari sembarag sukuya diyataka dega C(,r) atau Biomial dapat juga ditulis: dimaa r!, sehigga teorema r r! ( r)! 5
1 (a + b) a + a -1 b 1 + a - b + a - b +... + b 0 1 Karea pada barisa tersebut sebagai awalya adalah 1 atau domaiya bilaga asli (diperjelas pada uraia U U 1 + U 1 (1 + ) U 1 diatas), sehigga koefisie sukusukuya dari persamaa suku ke- barisa bilaga diatas adalah,, 0 1 da seterusya. Maka betuk rumus suku ke- dari suatu barisa bilaga dapat diyataka sebagai berikut: U U 1 + U 1 + U 1 + + r U 1 0 1 r U 1 + (-1) U 1 + ( 1)( ( 1)(...1 U 1 + + r U 1 1. 1... r Secara iduktif utuk meetuka rumus jumlah suku pertama dapat dicari sebagai berikut: S 1 U 1 1. U 1. S S 1 + U U 1 + (U 1 + U 1 ) U 1 + U 1.U 1 + 1. S S + U (U 1 + U 1 ) + (U 1 + U 1 + U 1 ) U 1 U 1 + U 1 + U 1 ( 1).U 1 + U 1 + 1. ( )( 1) U 1 1.. S 4 S +U 4 (U 1 + U 1 + U 1 )+(U 1 + U 1 + U 1 + U 1 ) 4U 1 + U 1 + 4 U 1 + U 1 4.U 1 + 4(4 1) U1 + 1. 4(4 1)(4 ) U 1 + 1.. 4(4 1)(4 )(4 ) U 1 1...4... Jadi secara umum rumus jumlah suku pertama dari suatu deret dapat disimpulka sebagai berikut: S U 1 + U + U + +U ( 1) U 1 + U 1 + 1....1 U 1 + + r U 1 1.. 1... r
Sebagai salah satu jawaba dari pertayaaa guru, yaitu meetuka rumus suku ke da jumlah 5 suku pertama dari suatu deret: 1 + + + 10 + 15 +...dapat disajika sebagai berikut: Dega memperhatika beda (selisih) dari pejelasa diatas, yaitu: 1 10 15 4 5 1 1 1 selisih tetap 1 Maka dega rumus di atas didapat: ( 1) S U 1 + U 1 + 1. ( 1).1 +. + 1. + - + + + + U 1 1... 1 1.. Jadi jumlah 5 suku pertama adalah S 5 5 +.5 +.5 17550 95 Utuk memperjelas jawaba dari pertayaa guru tersebut diatas, diberika cotoh lai misalya, tetuka rumus jumlah suku pertama da jumlah 0 suku pertama dari deret: + 5 + 18 + 45 + 90 +... Seperti pejelasa diatas, perhatika beda (selisih) barisa tersebut yaitu: 5 18 45 90 1 7 45 4 4 Maka dega rumus di atas didapat: S U 1 + ( 1)! 10 U 1 + 14 U 1 +! 18 selisih tetap 4 ( ) U 1 4! 7
( 1). +. +. 10 + ( ).4 4 1 {1 +(9-9) + (10-0 +0) + ( - + 11 )} 1 ( + 4-10 + 17) 4 + 4 10 + 17 Diperoleh S 0 4 + 4. 0 10.0 + 17.0 10000 + 4.8000 10.400 + 17.0 10000 + 000 4000 + 40 18840 190 Jadi jumlah 0 suku pertama adalah S 0 190 C. Kesimpula da Sara Kesimpula Apabila suatu barisa bilaga adalah: U 1, U, U,... da operator beda (selisih) dilambagka dega yag dapat digambarka sebagai berikut: U 1 U U U 4 U 5 U U 7... beda 1 U 1 U U U 4 U 5 U beda U 1 U U U 4 U 5 beda U 1 U U U 4 dst Maka betuk rumus suku ke- dari suatu barisa bilaga tersebut dapat diyataka sebagai berikut: 1 U 1 U 1 + 0 1 U 1 + 1 1 U 1 + + r U 1 r Dega demikia diperoleh secara umum rumus jumlah suku pertama dari suatu deret sebagai berikut: S U 1 + U + U + +U 8
( 1) U 1 + U 1 + 1....1 U 1 + + r U 1 1.. 1... r Sara Dalam materi pembelajara barisa da deret, sebagai seorag guru hedakya dalam mejelaska materi tersebut mulai dari masalah-masalah sehigga tidak haya bersifat hafala seperti apa yag biasa diteragka kepada siswa. Dapat dikembagka pola tidak haya megeai pola barisa da deret aritmetika da geometri saja tetapi dapat dikembagka yag lai terkait dega materi barisa da deret. D. Referesi: 1. K.A.Stroud alih bahasa Erwi Sucipto (199). Matematika utuk Tekik judul asli Egieerig Mathematics, Peerbit Erlagga, Jakarta,. Soehardjo, (199), Matematika, FMIPA-ITS, Surabaya 9