Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic
Hak cipta pada penulis, 00 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham Darpublic, Bandung fdg-0 edisi Juli 0 http://.ee-cafe.org Alamat pos: Kanaakan D-30, Bandung, 4035. Fa: (6) () 5347 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
BAB Turunan Fungsi-Fungsi (3) (Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri Inversi, Logaritmik, Eksponensial).. Turunan Fungsi Trigonometri Jika sin maka d d sin sin( + ) sin sin cos + cos sin sin Untuk nilai ang kecil, menuju nol, sin dan cos. Oleh karena itu Jika cos maka d sin cos (.) d d cos cos( + ) cos cos cos sin sin cos Jik menuju nol, maka sin dan cos. Oleh karena itu d cos sin (.) Turunan fungsi trigonometri ang lain tidak terlalu sulit untuk dicari. d tan d sin cos sin ( sin ) sec cos cos cos d cot d cos sin cos (cos ) csc sin sin sin d sec d csc d d 0 ( sin ) sin sec tan cos cos cos 0 (cos ) cos csc cot sin sin sin 3
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. tan( 4 ) ; 5sin (3) ; 3cos cot(3+ 6) ; 3 sin () cos() 4 4 sec tan ; (csc + cot ) Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekaasa. Berikut ini kita akan melihat turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4). ). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus v C 00sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus ang mengalir pada kapasitor ang memiliki kapasitansi C 0-6 farad ini. Hubungan antara tegangan kapasitor v C dan arus kapasitor i C adalah i C C C dt Arus ang melalui kapasitor adalah 6 d i C C C 0 dt dt ( 00sin 400t) 0,60 cos 400t ampere Daa adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daa ang diserap kapasitor adalah pc vcic 00sin 400t 0,6cos 400t 3cos 400t sin 400t 6sin 800t att Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di baah ini. v C i C p C 00 00-00 0-00 i C v C p C 0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 t [detik] Pada aktu tegangan mulai naik pada t 0, arus justru sudah mulai menurun dari nilai maksimumna. Dengan kata lain kurva arus mencapai nilai puncak-na lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan 4 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
baha arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan kemunculan ini disebut perbedaan fasa ang untuk kapasitor besarna adalah 90 o ; jadi arus mendahului tegangan dengan beda fasa sebesar 90 o. Kurva daa bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris terhadap sumbu aktu. Kapasitor menerap daa selama setengah perioda dan memberikan daa selama setengah perioda berikutna. Secara keseluruhan tidak akan ada penerapan daa netto; daa ini disebut daa reaktif. ). Arus pada suatu inductor L,5 henr merupakan fungsi sinus terhadap aktu sebagai i L 0,cos400t ampere. Berapakah tegangan antara ujung-ujung induktor dan daa ang diserapna? Hubungan antara tegangan induktor v L dan arus induktor i L adalah dil vl L dt dil d vl L,5 0, cos 400t,5 0, sin 400t 400 00sin 400 dt dt ( ) t Daa ang diserap inductor adalag tegangan kali arusna. pl vlil 00sin 400t ( 0.cos 400t) 40sin 400t cos 400t 0sin 800t W Kurva tegangan, arus, dan daa adalah sebagai berikut. v L i L p L 00 00 v L i L p L 0 0-00 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05 t[detik] -00 Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-na lebih aal dari kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering dikatakan baha arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90 o, artina arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90 o. Daa bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu aktu, ang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daa reaktif. 5
.. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi ) sin sin cos d d d cos ) cos 3) tan 4) cot + + cos sin d d sin d tan d cos d cos d + cot d sin d sin d + 6 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
5) sec 0 ( sin ) sec d cos cos d cos sin 6) csc 0 (cos ) csc d sin sin d sin cos Soal-Soal ). Jika α sin (0.5) carilah cos α, tan α, sec α, dan csc α. ). Jika αcos ( 0.5) carilah sin α, tan α, sec α, dan csc α. 3). Hitunglah sin () sin ( ). 4). Hitunglah tan () tan ( ). 5). Hitunglah sec () sec ( )..3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi Jika v f(), maka d(sin v) d(sin v) d(cosv) d(cosv) cosv sin v 7
Jika f(), maka d(tan v) d sin v cos + sin sec v cosv cos d (cot v) d cosv csc v sin v d(secv) d cos 0+ sin v v cos v secv tan v d(cscv) d cscv cot v sin v d(sin ) d(cos ) d(tan ) + d(cot ) + d(sec d(csc ) ) d d d d d d Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. sin tan 3 (0,5) ; ; 3 cos sec () 4 8 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
.4. Turunan Fungsi Logaritmik Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah mengetahui baha fungsi f ( ) ln didefinisikan melalui suatu integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.) f ( ) ln dt ( > 0) t ln adalah luas bidang ang dibatasi oleh kurva (/t) dan sumbu-t, di selang antara t dan t pada Gb... 6 5 4 3 /t ln ln(+ ) ln Kita lihat pula 0 0 3 t 4 / + /(+ ) Gb... Definisi ln dan turunan ln secara grafis. ln( + ) ln( ) + dt (.3) t Apa ang berada dalam tanda kurung (.3) adalah luas bidang ang dibatasi oleh kurva (/t) dan sumbu-t, antara t dan t +. Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang ( /). Namun jika makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati ( /); dan jika mendekati nol luas tersebut sama dengan ( /). Pada keadaan batas ini (.3) akan bernilai (/). Jadi d ln (.4) 9
Jika v adalah v f(), kita mencari turunan dari lnv dengan memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v 3 + 4 d ln v d ln v d(3 + 4) 6 3 + 4 3 + 4 Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. ln( + ) ; ln ; ln(cos ) ; ln(ln ) +.5. Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial berbentuk 0 Sudaratno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral e (.5) Persamaan (.5) berarti ln ln e, dan jika kita lakukan penurunan secara implisit di kedua sisina akan kita dapatkan d ln d atau d (.6) Jadi turunan dari e adalah e itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial ang tidak berubah terhadap operasi penurunan ang berarti baha penurunan dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunan dari e adalah e e e dst. Formula ang lebih umum adalah jika eksponenna merupakan suatu fungsi, v v(). Kita ambil contoh: v tan e d tan e v e de de v e (.7) d tan tan e + Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut. e e e e sin / e ; ; ; e ; e e + e
Referensi. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut Teknologi Bandung, tahun 963 964, sebagai bahan utama tulisan dalam buku ini.. George B Thomas, Calculus And Analtic Geometr, addison Wesle, 956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika di ITB, tahun 963-964. 3. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Listrik, Penerbit ITB, ISBN 979-999-54-3, 00. 4. Sudaratno Sudirham: Analisis Rangkaian Elektrik, e-book, 00. 5. Sudaratno Sudirham, Mengenal Sifat Material, e-book, 00.