Analsa Penerapan Metode Robust Locally Weght Regresson Smoothng Scatterplots Pada Oblgas ( Analyss of Applcaton Robust Locally Weght Regresson Smoothng Scatterplots s Method n Oblgaton ) Oleh : Wahyu Saf 124 1 59 Dosen Pembmbng : Drs. Soehardjoepr, M.S Jurusan Matemata Faultas Matemata dan Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Tenolog Sepuluh Nopember Surabaya 21 ABSTRAKSI Oblgas adalah surat perjanjan yang dterbtan oleh pha yang butuh dana janga panjang, dmana penerbt oblgas berjanj aan membayar bunga dan poo hutang pada watu tertentu epada pemegang oblgas. Salah satu atrbut pentng dalam penlaan harga oblgas adalah strutur yeld. Penlaan yeld untu peneltan n dgunaan pendeatan Yeld to Maturty (YTM). Metode yang dgunaan untu memodelan yeld curve dalam peneltan n adalah Robust Locally Weghted Regresson Smoothng Scatterplots (RLWRSS). RLWRSS merupaan salah satu metode yang tegar terhadap outler. Data oblgas pemerntah Indonesa ddapatan dar Badan Pengawas Pasar Modal (BAPEPAM) melalu Indonesan Bond Prcng Agency (IBPA). Data yang dgunaan dalam peneltan n sebanya 12 pasangan YTM-TTM yang dplh berdasaran ecuupan data untu proses valdas. Hasl peneltan n menunjuan bahwa nla Root mean Square Error (RMSE) out sample dar metode RLWRSS dplh nla resdual ሺɂ ୧ ሻ terecl sehngga, menurut Cleveland (1979) ddapatan suatu rtera yang ba dalam menentuan harga oblgas yang optmal. Kata unc : Oblgas, yeld, RLWRSS, outler, RMSE. I. Pendahuluan Bag para nvestor, pasar modal merupaan wahana yang dapat dmanfaatan untu mengnvestasan dananya (dalam aset fnansal). Dalam hal n aset fnansal tersebut serng ta enal dengan stlah surat berharga.pada dasarnya, surat berharga d pasar modal dlasfasan dalam dua bentu yatu surat berharga yang bersfat eutas (equty), umumnya denal dengan nama saham dan surat berharga yang bersfat pendapatan tetap (fxed ncome), umumnya denal dengan oblgas. Sedangan surat berharga yang lannya merupaan turunan dar edua bentu tu. Pada peneltan n yang dbahas adalah surat berharga berupa oblgas. Penetapan harga wajar suatu oblgas dapat dtentuan dengan perraan besar arus as yang dharapan dan besarnya hasl (yeld). Salah satu cara untu menguur yeld yang umumnya dgunaan oleh manajer portofolo adalah pendeatan Yeld to Maturty (YTM). Sedangan model yang mencermnan hubungan Yeld to Maturty (YTM) dengan Tme to Maturty (TTM) serngal dsebut urva mbal hasl (yeld curve). Pada peneltan n aan dgunaan data oblgas pemerntah Indonesa yang ddapatan dar Bapepam dengan menggunaan metode Robust Locally Weght Regresson Smoothng Scatterplots (RLWRSS). 1
Pada Tugas Ahr n dlauan analsa model matemats yang dgunaan dalam menyelesaan permasalahan dalam oblgas. Selan tu, dlauan peneltan dengan menggunaan metode RLWRSS yang bertujuan untu mendapatan suatu rtera ebaan dalam menentuan harga oblgas yang optmal berdasaran Hubungan YTM dan TTM yang dtunjuan berupa yeld curve. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pengertan Dasar Oblgas Sahaan (22) mendefnsan oblgas sebaga surat pengauan utang dengan esanggupan untu mengembalan poo utang pada watu yang telah dtentuan (jatuh tempo). Selan tu, penerbt wajb membayar bunga (upon) setap tahun atau enam bulan seal epada pemegang oblgas. Ketdamampuan membayar bunga sesua etetapan dalam ontra menyebaban pemnjam dsebut wanprestas (Fabozz, 24). Pemnjam dapat dtuntut untu dnyataan palt d pengadlan. Oblgas dapat dbel langsung dar emten (badan yang menerbtan) atau d pasar terbua melalu bursa efe. Oblgas dapat juga ddapatan melalu perusahaan efe (nvestment baners). Sebagan besar perdagangan oblgas dlauan d luar bursa efe (Over The Countermaret atau OTC). Transas d OTC dlauan secara langsung antara pha-pha berepentngan yatu emten, perantara dan nvestor melalu telepon meda eletron, palang dan lan sebaganya. Secara umum perdagangan oblgas dapat dtunjuan pada Gambar 2.1. PASAR PERDANA Adalah egatan penawaran dan penjualan oblgas untu pertama al PASAR SEKUNDER Adalah egatan perdagangan oblgas yang telah djual BURSA EFEK OTC Gambar 2.1 Transas Perdagangan Oblgas Sumber : Pusat Manajemen Oblgas Negara Departemen Keuangan Republ Indonesa dalam Sahaan (22). 2.2 Penetapan Harga Oblgas Penentuan harga oblgas dapat dlauan setelah detahu arus as oblgas dan hasl yang dngnan. Darenaan harga oblgas merupaan nla searang (present value) arus as, maa harga oblgas dtentuan dengan menambahan dua nla searang yatu : ) Nla searang pembayaran suu bunga upon (msal enam bulanan) ) Nla searang nla maturtas oblgas (nla searang dar nla oblgas pada saat jatuh tempo) Msalan upon dbayaran setahun dua al, maa formulas perhtungan harga oblgas adalah : n C M P (2.1) t n t 1 1 r (1 r) dengan : P = harga oblgas searang (pada saat t = ) n = jatuh tempo (jumlah tahun x 2), mnmal 4 tahun. C = besarnya pembayaran upon/ bunga oblgas (Rp) r = yeld yang dngnan/ tngat dsonto oblgas (%). M = nla par value/ maturtas oblgas (Rp) t = perode watu pembayaran upon ( t 1) Harga oblgas dapat berubah sewatu-watu. Hal n merupaan cr dasar oblgas, dmana perubahan harga terjad dengan arah berlawanan dar perubahan hasl yang dngnan. Penyebabnya adalah arena harga oblgas merupaan nla searang dar arus as. Serng dengan menngatnya hasl yang dngnan, nla searang dar arus as aan menurun. Sehngga harga oblgas juga turun. 2.3 Yeld To Maturty (YTM) Hasl saat jatuh tempo (YTM) adalah suu bunga yang menyamaan nla searang dar ssa arus as oblgas dengan harga oblgas dtambah bunga yang aan dbayar (Fabozz, 2). Sedangan yeld merupaan tngat euntungan nvestor atau tngat pengembalan emten dan berbeda dengan 2
bunga. Perhtungan hasl saat jatuh tempo membutuhan prosedur uj coba (tral and error). Untu memperoleh yeld dgunaan Persamaan (2.1) dengan mencoba berbaga nla suu bunga hngga nla searang dar arus as aan sama dengan harga oblgas. Fabozz (2) menyataan perhtungan untu oblgas zero coupon adalah sebaga berut : 1/ n M r 1 (2.2) P Hubungan antara yeld dengan harga oblgas berbandng terbal. Apabla nla suu bunga (upon) sama dengan yeld yang dngnan maa harga oblgas djual pada nla matur-tasnya (par). Ja oblgas djual dbawah nla maturtasnya, maa dsebut oblgas djual dengan dsonto (oblgas dsonto). Oblgas dengan harga datas nla maturtasnya dsebut djual pada prem (oblgas prem). 2.4 RLWRSS atau Robust Locally Weghted Regresson Smoothng Scatterplots Tasran loal dengan polnomal telah dgunaan selama lebh dar satu dasawarsa untu memperhalus plot tme seres (Macauley, 1931). Locally weghted regresson merupaan perlu-asan dar ten n dengan strutur varabel predtor yang lebh umum. Stone (1977) menjelasan bahwa locally regresson merupaan pendeatan untu menasr urva dengan prosedur smoothng. Dalam metode RLWRSS, fungs pembobot W ddefnsan dengan rtera sebaga berut: (Cleveland, 1979) ). W ( x) untu x 1 ). W ( x) W ( x) ). W (x) adalah fungs tda na untu x v). W ( x) untu x 1 dengan W adalah fungs pembobot trcube : 3 3 (1 x ), x 1 W ( x), x 1 Gambar 2.4 Fungs Pembobot Trcube Selanjutnya pembobot yang berbeda, ddefnsan untu setap ( x, y ) tergantung berdasaran besarnya resdual yang dhaslan. Resdual yang ecl mengabatan nla pembobot, besar, dan sebalnya Kemudan ddapatan nla tasran yang baru dengan prosedur sama sepert locally weghted regresson tetap menggant pembobot w ( x ) dengan w ( x ). Perhtungan pembobot dan nla tasran yang baru dulang hngga beberapa al. Keseluruhan tahapan prosedur, termasu penentuan nla awal f dan teras dsebut dengan robust locally weghted regresson. Prosedur penghalusan urva dengan satu varabel ndependen dsebut scatterplot smoothng. Prosedur smoothng telah dbuat untu memperhalus data dengan Persamaan : y g( x ) (2.3) dengan g adalah fungs penghalus dan merupaan varabel aca dengan rata-rata nol dan sala onstan. ŷ adalah tasran dar g ( x ). Pada proses penghalusan urva, tt d persetaran x, y ) dapat dgunaan dalam ( pembentuan ŷ. Untu fungs pembobot, W(x) nlanya menurun setap bertambahnya nla x (postf na) dan nla pembobot w x ) menurun sepert menngatnya jara ( x dar x. Tt yang deat dengan berpengaruh besar dalam pembentuan ŷ, dan sebalnya. Penngatan pada nla f berpengaruh pada tngat ehalusan urva yang dhaslan. x Maa fungs pembobot W, dapat dlustrasan dengan Gambar 2.4. 3
Prosedur RLWRSS secara rnc ddefnsan oleh Cleveland (1979) sebaga berut : (1). Nla awal f dapat dtentuan dantara hngga 1. Untu setap, menghtung h sebaga jara dar persetaran x e r terdeat x. Oleh arena tu, h adalah blangan r dantara x x terecl dmana j 1, 2,... n. Untu 1, 2,..., n, pembobot w ( x ) dapat dtentuan dengan persamaan : ( x x ) ( x ) W (2.4) w h dengan W adalah fungs pembobot trcube, 3 3 (1 x ), x 1 W ( x) (2.5), x 1 (2). Untu setap, dapat dtentuan estmas parameter ˆ j ( x ), j,1,..., d, yatu parameter d regres polnomal dar y e x dengan derajat d. Kemudan melauan analss regres polnomal dengan pembobot w ( x ) untu ( x, y ). Parameter ˆ ( ) ddapatan dengan j x memnmalsasan errornya dar persamaan : n 1 (2.6) w ( x ) d y ( x ) ( x ) x... ( x ) x 2 1 Berdasaran metode weghted least squares, estmas parameter untu RLWRSS dapat ddapatan dengan persamaan : x ˆ x ˆ x ˆ ' ˆ( ) ( ( ), ( ),..., ( x )) 1 x' w ( x ) x x' w ( x ) y 1 d d j (2.7) (3). Nla parameter ˆ ( ) telah ddapatan d j x langah (2). Langah selanjutnya adalah menentuan nla pembobot robust, : e B (2.9) 6s dengan B adalah fungs pembobot bsquare, yatu : 2 2 (1 x ), x 1 B ( x), x 1 (2.1) dan e merupaan resdual pada langah (2) yatu e y yˆ. Nla s adalah medan dar e. (4). Untu setap, nla tasran ŷ dhtung embal (sepert pada langah 2) menggunaan weghted least squares dengan pembobot w x ). ( 2.4 Krtera Pemlhan Model Terba Perbandngan model yeld curve yang dhaslan dar metode RLWRSS dapat dlauan dengan rtera RMSE (Root Mean Squared Error). Ba (26) menjelasan perhtungan RMSE untu yeld curve adalah sebaga berut : 1 m * 2 RMSEnout 1 m * Untu perhtungan nla RMSE nsample, m* merupaan banyanya oblgas pada har e-t dan adalah resdual yang dhaslan pada yeld har e-t. Pada RMSE out-sample, m* adalah banyanya oblgas pada har e-t+1 dan adalah resdual yang dhaslan pada yeld har e-t+1, yang dhtung berdasaran model pada har e-t. Data oblgas har e-t+1 merupaan data valdas. Menurut cleveland (1979) model terba adalah model yang menghaslan nla RMSE terecl out-sample yatu dplh nla resdual yang terecl dar banyanya sampel yang dplh. 3. Metode Peneltan 3.1 Sumber Data Data yang dgunaan dalam peneltan n merupaan data seunder berasal dar IBPA. Sedangan IBPA mendapatan data n dar BAPEPAM perode Januar hngga Aprl 29. Data tersebut berbentu data pasangan YTM dan TTM. 3.2 Varabel Peneltan Varabel yang dgunaan untu memodelan yeld curve dalam peneltan n melput, varabel dependen (y) yatu YTM dalam persentase dan varabel ndependen (x) yang merupaan TTM dalam satuan tahun. Data oblgas perode Januar hngga Aprl 29 terdapat 82 har transas. Pada 4
peneltan n dgunaan 12 har transas, yatu tga har dtap bulannya. Pasangan data YTM-TTM yang dmodelan dplh berdasaran ecuupan data untu proses valdas secara out-sample. Data valdas yang dgunaan adalah har berutnya. Krteranya adalah nla TTM data valdas tda melebh dar data nla TTM yang dmodelan. Hal n darenaan pada RLWRSS, metode yang dgunaan untu menasr YTM har berutnya adalah dengan nterpolas. 3.3 Langah Analss Gambar 3.1 adalah dagram alr proses peneltan secara umum mula dar pengumpulan data oblgas pemerntah perode Januar hngga Aprl 29, analsa data dengan metode RLWRSS hngga pemlhan metode terba berdasaran nla RMSE n-out sample RLWRSS. Pengumpulan data oblgas pemerntah Indonesa sebaga study asus Analsa data metode RLWRSS Mula Menetapan YTM sebaga varabel y dan TTM sebaga varabel x Menentuan nla f dengan batasan -1 Menghtung r yatu (f.n) Menghtung h yatu jara terdeat e-r persetaran x Menghtung w x ) ( Melauan analss regres antara varabel y dan x dengan pembobot w x ) ( Mendapatan resdual ( ) Menghtung pembobot robust Melauan analss regres embal antara varabel y dan x dengan pembobot w x ) ( Iteras hngga onvergen Perbandngan metode berdasaran auras preds dan ehalusan urva yeld Pemlhan metode terba dengan rtera RMSE n-out sample Kesmpulan dan saran Nla onvergen Selesa ya tda Gambar 3.2 Proses Pemodelan yeld curve Menggunaan Metode RLWRSS. Gambar 3.1 Dagram Alr Peneltan 5
4. Hasl Peneltan 4.1 Desrps Data Transas Oblgas Pemerntah Dalam pembahasan n, YTM sebaga varabel ndependen dan TTM sebaga varabel dependen. Data oblgas pemerntah Indonesa meml banya outler dan juga meml nterval TTM yang panjang. Hal nlah yang mendasar peneltan untu menggunaan metode RLWRSS. Metode RLWRSS merupaan salah satu metode non-lnear yang tegar terhadap adanya data outler. Oleh arena tu, data transas oblgas pemerntah yang aan dgunaan adalah data asl tanpa proses penghlangan outler. Gambar 4.1 adalah plot dar data transas oblgas pemerntah sebanya 12 buah yang aan dmodelan. Data pasangan YTM-TTM n dambl pada bulan Januar hngga Aprl masng-masng 3 har. Gambar tersebut menunjuan pola hubungan antara YTM dan TTM yang seman mena. Hal n menunjuan bahwa antar varabel meml hubungan yang non-lnear..12.15.9.12.1.8.15.12.9 15 1 3 2.12.15.9.13.15.8 15 1 3 2.12.15.9 YTM-9F*TTM-9F YTM-26F*TTM-26F YTM-4M*TTM-4M YTM-5M*TTM-5M.16.16 1 2.12.1 Plot 12 Pasang Data YTM-TTM YTM-5J*TTM-5J YTM-16J*TTM-16J YTM-23J*TTM-23J YTM-4F*TTM-4F (a) (b) (c) (d) 1 2.12.8.12.1 (e) (f) (g) (h) YTM-17M*TTM-17M YTM-8A*TTM-8A YTM-17A*TTM-17A YTM-28A*TTM-28A () (j).8.8 ().8 (l) Gambar 4.1 Plot Pasangan Data YTM-TTM Januar-Aprl 29 Gambar 4.1 merupaan data pasangan YTM-TTM yang aan dmodelan. Plot (a), (b) dan (c) merupaan data pasangan YTM- TTM tanggal 5, 16 dan 23 Januar. Plot (d), (e) dan (f) adalahytm-ttm tanggal 4, 9 dan 26 Februar. Plot (g), (h) dan () adalah YTM- TTM tanggal 4, 5 dan 17 Maret. Plot (j), () dan (l) merupaan data pasangan YTM-TTM tanggal 8, 17 dan 28 Aprl. Data pasangan n 15 1 1 3 2 2.12.1.8.12.8.12.1 1 1 1 2 2 2 dplh berdasaran ecuupan nla TTM untu proses valdas. 4.2 Pemodelan Yeld Curve dengan RLWRSS Metode RLWRSS merupaan salah satu metode yang tegar terhadap adanya data outler. Hal n arena RLWRSS meml nla penghalus f, yang berfungs sebaga tt penghalus yang dapat dtentuan oleh penelt. Nla f meml batasan antara hngga 1. Penentuan nla f tergantung dar pola datanya. Ja terdapat data outler dalam data, maa seman besar nla f aan seman halus urva yang dhaslan. Sebagan besar penelt menyaranan menggunaan nla f sebesar.5 Nla lan yang dapat dtentuan oleh penelt adalah derajat polnomal, d. Dalam peneltan n derajat polnomal yang dgunaan adalah polnomal uadrat dan nla f yang dgunaan adalah.3 dan.5. Nla f n dplh arena sebagan besar data oblgas pemerntah meml hasl resdual yang ecl. Tabel 4.2 Nla RMSE Data YTM-TTM n-out sample RMSE outsample Tgl RMSE n-sample Transas f =.3 f =.5 f =.3 f =.5 p 5-Jan.23*.32.97*.11 16-Jan.48*.64.76*.156 23-Jan.41*.43.44.43* 4-Feb.3.27*.57.55* 5 9-Feb.59*.6.98.96* 2 26-Feb.92.62*.191*.21 4-Mar.69*.75.167.155* 2 5-Mar.38*.42.97*.98 7 17-Mar.41*.57.152.87* 8-Apr.29*.3.3*.31 4 17-Apr.18*.18*.33*.35 2 28-Apr.2*.26.161*.169 *Nla RMSE lebh ecl Berdasaran Tabel 4.2 menunjuan nla RMSE n-out sample dar 12 pasang data YTM-TTM. Dtunjuan bahwa sebagan besar nla RMSE n-sample dengan nla f sebesar.3 meml nla lebh ecl darpada menggunaan f sebesar.5 Dengan nla f sebesar.3, sebanya 9 har meml RMSE n-sample lebh ecl. Dan pada transas tanggal 17 Aprl meml nla RMSE nsample yang sama antara nla f sebesar.3 6
dan.5. Nla n menjad nla RMSE nsample terecl yatu.18. 5. Penutup Berdasaran analss dan pembahasan pada bab sebelumnya maa dperoleh dua esmpulan yang merupaan jawaban dar permasalahan peneltan n, yatu Pemodelan yeld curve oblgas pemerntah Indonesa menggunaan RLWRSS menunjuan bahwa dengan nla awal f sebesar.3 dan derajat polnomal dua (uadrat) menghaslan nla RMSE out sample yang lebh ecl dbandngan Ͳǡͷ. Selan tu urva yang dhaslan dar plot preds out sample RLWRSS lebh halus arena ada pembobot robust. Rata-rata jumlah data valdas yang eluar dar selang metode RLWRSS sebanya 2 (pembulatan) buah data. Metode RLWRSS merupaan metode yang tahan terhadap adanya data outler sehngga data outler tersebut tda perlu dhapus/ dhlangan. DAFTAR PUSTAKA [1] Prasetyo, H d. 1996. Manajemen Portofolo dan Analss Investas. Yogyaarta : ANDI Yogyaarta. [2] Bolder, D., & Strels, D. 1999. Yeld Curve Modellng at the Ban of Canada. Techncal. Ottawa: Ban of Canada. [3] Cleveland, W.S. 1981. LOWESS: A Program for Smoothng Scatterplots by Robust Locally Weghted Regresson. The Amercan Statstcan, 35, 54. [4] Durand, D. 1942. Basc Yelds of Corporate Bonds, 199-1942. Cambrdge: Mass. [5] Fabozz, F. J. 2. Manajemen Investas Buu 2. Jaarta : Salemba Empat. [6] Fahruddn, M. & Hadanto, M. S. 21. Perangat dan Model Analss Investas d Pasar Modal. Jaarta : PT. Elex Meda Komputndo. [7] Drapper, N.R., & Smth, H. 1992. Analss Regres Terapan. Jaarta : PT. Grameda Pustaa Utama. [8] Cleveland, W. S. 1981. LOWESS: A Program for Smoothng Scatterplots by Robust Locally Weghted Regresson. The Amercan Statstcan. [9] Cleveland, W. S. & Grosse, E. 1991. Computatonal Methods for Local Regresson. Statstcs and Computng. 7