LAB MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 1

LAB MANAJEMEN DASAR MODUL STATISTIKA 1 Nama : NPM/Kelas : Fakultas/Jurusan : Hari dan Shift Praktikum : Fakultas Ekonomi Universitas Gunadarma Kelapa dua E531 1

UKURAN STATISTIK Pendahuluan Ukuran statistik merupakan ukuran yang menunjukkan bagaimana suatu gugus data memusat dan menyebar. Di dalam ukuran statistik ada tiga bentuk ukuran deskripsi data, yaitu : ukuran pusat data, ukuran variabilitas data dan ukuran bentuk distribusi data. Ukuran pusat data yang banyak digunakan untuk mendeskripsikan data adalah mean (rata-rata hitung), median dan modus. Ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data disebut disperse atau variasi atau keragaman data. Ukuran disperse data yang umum dipakai adalah jangkauan (range), variansi dan standar deviasi. UKURAN PEMUSATAN 1. MEAN (rata-rata hitung) Rata-rata dihitung dengan menjumlahkan seluruh angka data yang selanjutnya dibagi dengan banyaknya (jumlah) data. Jumlah data untuk data sampel disebut sebagai ukuran sampel yang disimbolkan dengan n dan untuk data populasi disebut sebagai ukuran populasi yang disimbolkan dengan N. Untuk rata-rata hitung sekumpulan data hasil observasi dihitung dengan menggunakan rumus berikut : Rata-rata (X ) = (Xi) / N Dimana : Xi = nilai dari observasi yang ke-i N = banyaknya observasi ukuran sample. 2. MEDIAN Median adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar. Letak median = (n+1)/2 Kuartil adalah nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi empat bagian yang sama besar. Nilai kuartil terdiri dari kuartil 1, kuartil 2 dan kuartil 3. Nilai kuartil 2 suatu gugus data sama dengan nilai median tersebut. 3. MODUS Modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau nilai yang frekuensinya paling tinggi. UKURAN PENYEBARAN 1. Jangkauan (range) Jangkauan atau range (r) suatu gugus data adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum. 2. Variansi Variansi adalah rata-rata kuadrat selisih atau kuadrat simpangan dari semua nilai data terhadap rata-rata hitung. Variansi untuk sampel dilambangkan dengan s 2. sedangkan untuk populasi dilambangkan dengan σ 2 Variansi (s) 2 = [ (Xi-X)] / (n-1) 3. Standar Deviasi Standar deviasi adalah akar pangkat dua dari variansi. Standar deviasi seringkali disebut simpangan baku. 2

Contoh : Diketahui data umur pegawai PT DOFI yaitu 19 40 38 31 42 20 27 22 37 42 Untuk mencari nilai-nilai ukuran statistik data tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah-langkah berikut : 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah umur, lalu tekan tombol OK. 3. Masukkan data umur pegawai PT. DOFI. Jika data editor tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan RGui di taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. Jika sudah selesai dalam pengisian data tekan tombol Close. Untuk mengubah nama dan tipe variabel, dapat dilakukan dengan cara double click pada variable yang ingin di setting 3

4. Untuk mengecek kebenaran data yang sudah dimasukkan, tekan tombol View data set maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. Jika ada data yang salah, tekan tombol edit data set, lalu perbaiki data yang salah. 5. Jika data sudah benar, pilih menu Statistic, Summaries, Active data set. 4

6. Akan muncul tampilan : Maka kita bisa mengetahui bahwa dari data umur pegawai PT. DOFI, memiliki nilai : Minimum : 19.00 Kuartil 1 : 23.25 Median : 34.00 Mean : 31.80 Kuartil 3 : 39.50 Maximum : 42.00 5

Untuk mengetahui standar deviasi, lakukan langkah berikut : 1. Tekan Statistic, Summaries, Numerical Summeries. 2. Maka akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini, kemudian tekan tombol OK. Mean sd 0% 25% 50% 75% 100% n 31.80 9.2111 19 23.25 34.00 39.50 42 10 6

Dari tampilan ini, anda bisa mendapatkan tambahan informasi numeric, yaitu standar deviasi : 9.2111. Perhatikan perbandingan tampilan pertama dan kedua. Terlihat bahwa nilai minimum pada tampilan pertama sama dengan nilai kuartil 0% pada tampilan kedua. Nilai median sama dengan quartile 50% dan seterusnya. Nilai n menunjukkan banyaknya data. Untuk melihat bentuk histogram dari data umur pegawai PT DOFI, lakukan langkah berikut : 1. Tekan R Commander, Graphs, Histogram kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih Frequency Counts, OK. 3. Akan terlihat bahwa kelas modus adalah antara 40-42 dengan frekuensi 3. Jika histogram tidak aktif maka dapat diaktifkan dengan menekan RGui di Taskbar windows pada bagian bawah layar monitor. 7

Untuk membersihkan script window pada R Commander, lakukan langkah berikut : 1. Letakkan kursor pada script window 2. Kilik Kanan 3. Klik kiri pada clear window Untuk membersihkan output window pada R commander, lakukan langkah berikut : 1. Letakkan kursor pada output window 2. Kilik kanan 3. Klik kiri pada clear window Untuk melakukan perhitungan, misalnya mencari nilai : Jangkauan (r) = nilai maksimum nilai minimum, maka lakukan langkah sebagai berikut : 8

1. Aktifkan R Commander kemudian tuliskan pada script window, misalkan a=26. lalu tekan tombol submit 2. Tuliskan pada script window, misalkan b=19. lalu tekan tombol submit 3. Tuliskan pada script window, c=a-b. lalu tekan tombol submit 4. Tuliskan pada script window, c lalu tekan tombol submit 5. Maka hasilnya akan muncul pada output window 9

DISTRIBUSI BINOMIAL Pendahuluan Distribusi binomial merupakan suatu proses distribusi probabilitas yang dapat digunakan apabila suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Proses Bernoulli adalah suatu proses probabilitas yang dapat dilakukan berulang kali. Misalnya : Dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali. Hasil setiap pelemparan uang logam tersebut hanya mungkin muncul sisi gambar atau angka saja. Dalam pengambilan kartu yang dilakukan secara berturut-turut, kemungkinan yang muncul hanya kartu merah atau kartu hitam saja. Dari contoh di atas dapat diberikan suatu label berhasil untuk sisi gambar dan label gagal untuk sisi angka ataupun sebaliknya. Begitu juga dengan pengambilan kartu, kita dapat memberi label berhasil untuk pengambilan kartu warna merah dan label gagal untuk pengambilan kartu warna hitam ataupun sebaliknya. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang berhasil atau gagal setiap ulangan memiliki probabilitas yang sama yaitu 50% atau ½. Sebenarnya ada sedikit persamaan antara distribusi binomial dengan distribusi poisson. Keduanya berusaha mencari kemungkinan yang timbul dari suatu peristiwa/kejadian yang ada. Namun ada beberapa hal yang membedakan penggunaan kedua distribusi tersebut yaitu: Distribusi binomial digunakan jika besarnya sampel (n) < 20 (kurang dari 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) > 0.05 Distribusi poisson digunakan jika besarnya sampel (n) 20 (lebih dari 20 atau sama dengan 20) dan nilai peluang berhasil dalam setiap ulangan (p) 0.05 (kurang dari 0.05 atau sama dengan 0.05) Adapun ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial antara lain : a. Percobaan diulang sebanyak n kali b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas Misal : berhasil atau gagal ya atau tidak success atau failed c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap, dimana p = 1 - q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q = 1 - p d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan x e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya. Catatan Untuk memberikan kemudahan dalam membedakan antara nilai p dan nilai q, terlebih dahulu harus ditetapkan yang mana yang merupakan kejadian yang dapat dikategorikan sukses atau berhasil dan yang mana kejadian yang dapat dikategorikan gagal. Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari suatu permasalahan bisa dikategorikan sebagai kejadian sukses atau berhasil. Dengan demikian kejadian yang menjadi pertanyaan dari suatu permasalahan dapat disimbolkan dengan p. Selain itu perlu diperhatikan juga penggunaan simbol yang tepat misalnya : Kurang dari disimbolkan dengan < Lebih dari disimbolkan dengan > Paling banyak disimbolkan dengan 10

Paling sedikit disimbolkan dengan Kurang dari sama dengan disimbolkan dengan Lebih dari sama dengan disimbolkan dengan Tujuan Praktikum Binomial Tujuan dari praktikum materi distribusi binomial ini adalah untuk membantu praktikan dalam mempelajari dan memahami bagaimana cara mencari nilai probabilitas (kemungkinan) dari suatu kejadian binomial (kejadian dengan jumlah sampel < 20 dan nilai peluang berhasil > 0.05) dengan menggunakan program R. Rumus umum binomial b (x;n,p) = C x n p x q n-x Keterangan : n = banyaknya kejadian berulang x = banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x p = peluang berhasil dalam setiap ulangan dimana p = 1 - q q = peluang gagal dimana q = 1 - p Langkah-langkah mengoperasikan program R untuk distribusi binomial : a. Apabila diketahui x = Tekan R Commander Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window atau dbinom (x,n,p), maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut. kemudian tekan Submit maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya. b. Apabila diketahui nilai x Atau nilai x = sampai Tekan R Commander Perintah mencari probabilitas binomial pada Script Window adalah sum (dbinom (x,n,p)),maka tuliskan nilai x,n,p pada Script Window tersebut. kemudian tekan Submit maka pada output window akan muncul nilai probabilitasnya. c. Apabila diketahui kata-kata paling banyak atau x Tekan R Commander Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail probabilities. Input variabel value (s) = nilai x Contoh : Paling banyak 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola. Maka nilai x 5, jadi input var value (s) =5 Input binomial trial = nilai n Input probability of success = (nilai p) Lalu pilih lower tail (karena ditanyakan probabilitas paling banyak ) Tekan ok Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut. d. Apabila diketahui kata-kata paling sedikit atau x Tekan R Commander 11

Tekan distribution, discret distributions, binomial distribution, lalu binomial tail probabilities Perhatikan bahwa yang ditanyakan adalah paling sedikit, maka x atau x >. Contoh : Paling sedikit 5 orang menyatakan tertarik menonton sepak bola. Maka nilai x 5 atau x > 4 Input variabel value (s) = 4 Input binomial trial s = nilai n Input probability of success = (nilai p) lalu pilih upper tail (karena yamg ditanyakan probabilitas paling sedikit atau lebih dari ). Tekan ok Maka akan diperoleh nilai probabilitas tersebut. KASUS Berdasarkan data BPS mengenai warga yang menerima BLT, 40 % warga miskin menyatakan menerima BLT dan sisanya tidak menerima BLT. Apabila ditanyakan pada 5 orang warga miskin di Indonesia, berapakah probabilitas: a. Paling sedikit 4 orang diantaranya menerima BLT b. 3 orang diantaranya menerima BLT c. Paling banyak 2 orang tidak menerima BLT d. Ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT JAWAB a. x 4 atau x > 3 1. Tekan icon R Commander pada desktop, 2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail probabilities 3. Masukkan variabel value (s) = 3, input binomial trial = 5, input probabilities of success = 0.4 serta pilih upper tail kemudian tekan tombol OK 12

4. Maka nilai probabilitas paling sedikit 4 orang menerima BLT adalah 0.08704 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 87.04% b. X = 3 1. Tekan icon R Commander pada desktop, 2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah dbinom (x,n,p),, maka tuliskan pada script window dbinom (3,5,0.4) kemudian tekan tombol Submit 3. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 % 13

Atau 1. Tekan icon R Commander pada desktop, 2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial probabilities 3. Isi nilai n pada kotak binomial trials = 5, kemudian input probabilities of success dengan nilai probabilitas berhasil ( probabilities of success = 0.4 ) kemudian tekan tombol OK 4. Maka output window muncul probabilitas 3 orang menerima BLT adalah 0.2304 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 23.04 % 14

c. x 2 1. Tekan icon R Commander pada desktop, 2. Pilih menu Distribution, Discrete distributions, Binomial distribution, lalu Binomial tail probabilities. 3. Input nilai variabel value (s) = 2, input binomial trial = 5, input probabilities of success = 0.6 (karena yang ditanyakan yang tidak menerima BLT), kemudian pilih lower tail (karena yang ditanyakan paling banyak ) dan tekan tombol OK 4. Maka nilai probabilitas paling banyak 2 orang tidak menerima BLT adalah 0.31744 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 31.744 % 15

d. 2 x 4 1. Tekan icon R Commander pada desktop, 2. Perintah mencari probabilitas binomial pada script window adalah sum(dbinom (x,n,p)),, maka tuliskan pada script window sum(dbinom (2:4,5,0.6)) 3. Tekan submit 4. Maka output window muncul probabilitas ada 2 sampai 4 orang yang tidak menerima BLT adalah 0.8352 atau jika dinyatakan dalam bentuk persentase sebesar 83.52 16

DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK PENDAHULUAN Jika sampling dilakukan tanpa pengembalian dari kejadian sampling yang diambil dari populasi dengan kejadian-kejadian terbatas, proses Bernouli tidak dapat digunakan, karena ada perubahan secara sistematis dalam probabilitas sukses seperti kejadian-kejadian yang diambil dari populasi. Jika pengambilan sampling tanpa pengembalian digunakan dalam situasi sebaliknya dan memenuhi syarat proses Bernouli, distribusi hipergeomentrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat. RUMUS DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK P (X N, X T, n) = ( N-XT C n-x.xt C X ) / N C n Ket : X = Jumlah sukses dalam sampel, untuk X = 0,1,2,3,...n (nilai yang ditanyakan dalam probabilitas) N = Jumlah kejadian dalam populasi X T = Jumlah sukses dalam populasi n = Jumlah kejadian dalam sampel Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling dilakukan tanpa pengembalian menimbulkan efek teradap probabilitas sukses dalam setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat n 0,05 N. Banyaknya keberhasilan X dalam suatu percobaan hipergeometrik disebut peubah acak hipergeometrik. Percobaan hipergeometrik bercirikan dua sifat berikut: 1. Suatu contoh acak berukuran n diambil dari populasi yang berukuran N. 2. n dari N benda diklasifiksikan sebagai berhasil dan N n benda diklasifikasikan sebagai gagal. CONTOH SOAL Dari enam kontraktor jalan, tiga diantaranya telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih. Jika empat kontraktor dipanggil secara random dari enam kontraktor tersebut, berapakah probabilitas bahwa dua kontraktor telah berpengalaman selama lima tahun atau lebih? Penyelesaian Diketahui : X = 2, N = 6, X T = 3, n = 4 Untuk menyelesaikan persoalan distribusi Hipergeometrik, dapat digunakan program R. Langkahlangkahnya sebagai berikut : 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian pilih menu Distributions, Discrete distributions, Hypergeometrik distribution, Hypergeometrik probabilities 17

2. Masukkan nilai m (the number of white balls in the urn jumlah sukses dalam populasi = nilai X T dalam soal) = 3 Masukkan nilai n (the number of black balls in the urn - jumlah gagal dalam populasi atau = lawan dari nilai m) = 3 Masukkan nilai k (the number of balls drawn from the urn - Jumlah kejadian dalam sampel ) = 4, karena banyaknya nilai yang diambil dari percobaan adalah 4, kemudian tekan tombol OK 3. Maka akan tampil seperti berikut : 4. Karena yang ditanya adalah nilai X = 2, maka lihat output Pr yang 2, yaitu 0,6. 18

DISTRIBUSI POISSON Pendahuluan Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D. Poisson. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi tertentu. Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi poisson ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu. Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial Pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial dilakukan untuk mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n percobaan binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20 atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan rumus binomial. Untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi poisson digunakan rumus sebagai berikut P ( x ; µ ) = (e µ. µ X ) / X! Dimana : e = 2.71828 µ = rata rata keberhasilan = n. p x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel n = Jumlah / ukuran populasi p = probabilitas kelas sukses Rumus Proses Poisson Distribusi poisson dalam konteks yang lebih luas dari pada rumus pertama tadi. Sebagai ilustrasi, misalkan pada hari Senin ini adalah jam kerja yang sibuk pada suatu bank, dan kita tertarik oleh jumlah nasabah yang mungkin datang selama jam kerja tersebut, dengan ketertarikan kita sebenarnya terletak pada interval waktu dan jumlah kedatangan dalam interval waktu jika proses kedatangannya mempunyai karakteristik sebagai berikut : 1. Tingkat kedatangan rata-rata setiap unit waktu adalah konstant. Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam, maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi : yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata rata yaitu 36 kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit. 2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit berikutnya adalah sama. 3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi, bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah yang dapat melewati jalan masuk dalam waktu satu detik. Untuk menghitung terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson digunakan rumus sebagai berikut : P ( x ) = (e λ. t. (λ.t) x ) / X! Dimana : λ = Tingkat rata rata kedatangan tiap unit waktu t = Jumlah unit waktu x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu 19

Contoh : Perusahaan kerajinan tangan BAGUS ART mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya. Perusahaan memperkirakan 3 % diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar? Untuk menyelesaikan persoalan distribusi poisson, dapat digunakan program R. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut : 7. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 8. Tuliskan pada Script window dpois(2,3). Angka 2 menunjukkan nilai X dan angka 3 menunjukkan nilai µ yang didapat dari perkalian n * p (100 * 3%). Kemudian tekan tombol Submit. 9. Maka probabilitas 2 produk yang tidak sesuai standar adalah = 0.2240418 jika ditanyakan dalam bentuk prosentase ( % ) maka jawabannya adalah 22.40418% ( atau 0.2240418 * 100 ) 20

Atau cara lain tekan icon R commander, pilih menu Distributions, discreate distribution, poisson distribution, poisson probabilities Kemudian masukan mean = 3 ( didapat dari n * p ) = 100 * 3% Lihat di kolom paling kiri x = 2 yaitu 0.2240 atau 22.40% 21

Perusahaan kerajinan tangan BAGUS ART mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya. Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar? Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka langkah penyelesaiannya adalah : 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities. 3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3 (didapat dari n*p yaitu 100 * 3%) lalu pilih Upper tail (karena yang ditanyakan probabilitas lebih dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK 22

4. Maka probabilitas lebih dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.5768099 atau 57.68099% Perusahaan kerajinan tangan BAGUS ART mampu menghasilkan 100 produk setiap harinya. Perusahaan memperkirakan 3% diantara produk yang dihasilkan tidak sesuai dengan standar. Maka berapakah probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar? Jika dalam contoh kasus ditanyakan probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar. Maka langkah penyelesaiannya adalah : 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih menu Distributions, Discrete distribution, Poisson distribution, Poisson tail probabilities. 23

3. Kemudian masukkan Variable value(s) = 2 (karena variabel yang diamati adalah 2) dan Mean = 3 (didapat dari n*p yaitu 100*3%) lalu pilih Lower tail (karena yang ditanyakan probabilitas kurang dari 2 orang). Kemudian tekan tombol OK 4. Maka probabilitas kurang dari 2 produk yang tidak sesuai standar adalah 0.4231901 atau 42.31901% 24

DISTRIBUSI NORMAL Pendahuluan Distribusi normal adalah suatu distribusi yang digunakan untuk mengetahui probabilitas yang telah diketahui rata-rata ( µ ) dan standar deviasinya ( σ ). Banyaknya kejadian yang terdistribusi normal, tanda =,, dan diabaikan, jadi hanya ada tanda > dan <. Perhitungan probabilitas suatu sampel yang diambil, didapat dengan cara melakukan transformasi nilai-nilai pengukuran ke dalam bentuk bakunya ( nilai Z ). Distribusi normal ini memiliki ciri yaitu n 30 dan n,p 5. Distribusi normal sering digunakan dalam berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal, antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain. KURVA NORMAL Kurva normal berbentuk seperti lonceng dan simetris terhadap rata rata ( µ ) Mencari luas daerah pada suatu kurva normal dengan menggunakan tabel: P( 0 z a )= nilai tabel a P( z a )= 0.5 - nilai tabel a P( z -a ) = 0.5 + nilai tabel -a 25

P( z a )= nilai tabel a + 0.5 P( a1 z a2 )= nilai table a2 - nilai tabel a1 P( a1 z a2 )= nilai tabel a2 + nilai tabel a1 CONTOH KASUS Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal, berapa probabilitas dari tiap kedatangan bus kurang dari 300 bus per jam? Langkah-langkah penyelesaian kasus 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 26

2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities. a. Muncul Kotak dialog Normal probabilities. Input variabel Value(s) = 300 b. Input nilai mu (mean) = 250 c. Input nilai sigma (standar deviation) = 15 d. Pilih lower tail p(x < 300 ) tekan ok. e. Maka pada output window akan diperoleh p (x<300) = 0.999571 27

Gambar kurvanya adalah. Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal, berapa probabilitas dari kedatangan bus kurang dari 225 bus per jam? Langkah langkah penyelesaian kasus 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities. 28

3. Input variabel Value(s) = 225 4. Input nilai mu (mean) = 250 5. Input nilai sigma (standar deviation) = 15 6. Pilih lower tail p(x < 225 ) tekan ok. 7. Maka akan diperoleh p (x<225) = 0.04779035 Gambar kurvanya adalah. Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal berapa probabilitas dari kedatangan bus antara 225-300 bus per jam? 1) Untuk menghitung hasil ini dapat diperoleh dari P(x <300)- P (x < 225 ) 29

Maka dengan menggunakan kalkulator akan diperoleh hasil 0.999571-0.04779035 = 0.95178065 2) Atau jika menggunakan program R dapat mengikuti langkah berikut : Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. Klik kursor pada script window Tulis 0.999571-0.04779035. lalu tekan submit Maka akan tampil hasilnya yaitu 0.9517807 pada output window. 30

Gambar kurvanya adalah.. Diketahui bahwa rata-rata kedatangan bus dalam suatu terminal adalah 250 bus per jam dengan standar deviasi 15 per jam. Jika jumlah kedatangan bus tersebut berdistribusi normal berapa probabilitas dari kedatangan bus lebih dari 300 bus per jam? 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih Distributions, Continous distributions, Normal distributions, normal probabilities. 31

3. Input variabel Value(s) = 300 4. Input nilai mu (mean) = 250 5. Input nilai sigma (standar deviation) = 15 6. Pilih Upper tail p(x > 300) tekan ok. 7. Maka akan diperoleh p (x > 300) = 0.0004290603 Gambar kurvanya adalah.. Untuk membersihkan Script Windows : - Klik kiri pada Script Window - Klik kanan lalu pilih Clear window 32

Untuk membersihkan Output Windows : - Klik kiri pada Output window - Klik kanan kemudian pilih Clear window 33

DISTRIBUSI t PENDAHULUAN Pengujian hipotesis dengan distribusi t adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi t sebagai uji statistik. Tabel pengujiannya disebut tabel t-student. Distribusi t pertama kali diterbitkan pada tahun 1908 dalam suatu makalah oleh W. S. Gosset. Pada waktu itu, Gosset bekerja pada perusahaan bir Irlandia yang melarang penerbitan penelitian oleh karyawannya. Untuk mengelakkan larangan ini dia menerbitkan karyanya secara rahasia dibawah nama Student. Karena itulah Distribusi t biasanya disebut Distribusi Student. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel untuk kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan. Ciri ciri Distribusi t a. Sampel yang diuji berukuran kecil ( n < 30 ). b. Penentuan nilai tabel dilihat dari besarnya tingkat signifikan ( ) dan besarnya derajat bebas (db). Fungsi Pengujian Distribusi t a. Untuk memperkirakan interval rata rata. b. Untuk menguji hipotesis tentang rata rata suatu sampel. c. Menunjukkan batas penerimaan suatu hipotesis. d. Untuk menguji suatu pernyataan apakah sudah layak untuk dipercaya. BEBERAPA MACAM PENGGUNAAN HIPOTESA Pengujian sampel dalam distribusi t dibedakan menjadi 2 jenis hipotesa, yaitu : Satu Rata - Rata Rumus : to = Ket : Db = n- 1 (x - ) / (s / ( n)) to = t hitung x = rata rata sampel = rata rata populasi s = standar deviasi n = jumlah sampel CONTOH SOAL : Sebuah Perusahaan minuman meramalkan bahwa minuman hasil produksinya mempunyai kandungan alkohol sebesar 1,85 % per botol. Untuk menguji apakah hipotesa tersebut benar, maka Perusahaan melakukan pengujian terhadap 10 kaleng minuman dan diketahui rata rata sampel (ratarata kandungan alkohol) 1,95 % dengan simpangan baku 0,25 %. Apakah hasil penelitian tersebut sesuai dengan hipotesa awal Perusahaan? (selang kepercayaan 95 %) Jawab : Dik : = 1,85 x = 1,95 = 5% = 0,05 n = 10 s = 0,25 Untuk menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah-langkah berikut : a. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 34

b. Pilih menu Distribution, continuous distributions, t distribution, t quantiles 3) Maka pada tampilan window R-commander akan muncul tampilan t Quantiles. Kemudian masukkan nilai probabillitas(nilai alfa) dan masukkan nilai derajat bebasnya (hasil dari Db = n - 1). = 0.025 Db = n 1 = 10 1 = 9 4) Maka pada output window akan terlihat hasil nilainya. 35

5) Untuk mencari nilai t hitung, maka kita tuliskan script rumus t hitung tersebut. Kemudian tekan tombol SUBMIT untuk mendapatkan hasilnya pada output window R. Catatan : Pada setiap akhir baris pengetikan di script windows diselingi dengan penekanan tombol SUBMIT 36

Dua Rata - Rata Rumus : to = (X 1 X 2 ) do / ( (S1 2 / n1) + (S2 2 / n2)) syarat : S1 S2 do = selisih 1 dengan 2 ( 1 2 ) Db = (n1 + n2) 2 Berikut ini adalah data rata rata berapa kali film yang dibintangi oleh Steven Chauw dan Jet Li ditonton / disaksikan: Mean Standar Deviasi Sampel Steven Chauw 15 7 17 Jet Li 12 8 15 Dengan taraf nyata 1 % ujilah apakah perbedaan rata rata berapa kali film yang dibintangi oleh Steven chauw dan Jet Li lebih dari sama dengan 6! Jawab : Dik : x 1 = 15 s 1 = 7 n 1 = 17 = 1% = 0,01 x 2 = 12 s 2 = 8 n 2 = 15 d o = 6 Untuk menyelesaikan soal tersebut dengan menggunakan program R, ikutilah langkah-langkah berikut : 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih menu Distribution, continuous distributions, t distribution, t quantiles 37

3. Kemudian masukkan nilai probabillitas (nilai alfa) dan masukkan nilai derajat bebasnya (hasil dari Db= (n1 + n2-2). = 0.01 Db = n1+n2 2 = 17+15-2 = 30 4. Maka akan tampil inputan seperti ini. 5. Maka pada output window akan terlihat hasil nilainya 38

6. Untuk mencari nilai t hitung, maka kita tuliskan script rumus t hitung tersebut. Kemudian tekan tombol SUBMIT untuk mendapatkan hasilnya pada output window R. 39

ANALISIS DERET BERKALA PENDAHULUAN Analisis deret berkala merupakan prosedur analisis yang dapat digunakan untuk mengetahui gerak perubahan nilai suatu variabel sebagai akibat dari perubahan waktu. Dalam analisis ekonomi dan lingkungan bisnis biasanya analisis deret berkala digunakan untuk meramal (forecasting) nilai suatu variabel pada masa lalu dan masa yang akan datang dengan berdasarkan pada kecenderungan dari perubahan nilai variabel tersebut. Analisis deret berkala bertujuan untuk: a. Mengetahui kecenderungan nilai suatu variabel dari waktu ke waktu. b. Meramal (forecast) nilai suatu variabel pada suatu waktu tertentu. KOMPONEN Terdapat empat komponen yang dapat mempengaruhi nilai suatu variabel dari waktu ke waktu. Komponen-komponen tersebut adalah trend sekuler (secular trend), fluktuasi siklis, variasi musiman, dan gerak tak beraturan. TREND SEKULER Trend sekuler merupakan perubahan nilai variabel yang relatif stabil dari waktu ke waktu. Model yang digunakan dalam analisis deret berkala dibuat berdasarkan asumsi bahwa antara nilai variabel dan waktu mempunyai hubungan linear, sehingga dalam menentukan suatu model akan sangat baik dengan menggunakan analisis trend. Y = a + bx Dimana: Y : nilai variable Y pada suatu waktu tertentu a : perpotongan antara garis trend dengan sumbu tegak (Y) b : kemiringan (slope) garis trend x : periode waktu deret berkala Metode Persamaan Garis Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis yang menunjukkan hubungan antara nilai variable dengan waktu, yaitu metode bebas (free hand method), metode semi rata-rata (semi average method), dan metode kuadrat terkecil (least square method). Metode Semi Rata-rata (Semi Average Method) Persamaan trend yang diperoleh dengan menggunakan metode ini, selain dapat digunakan untuk mengetahui kecenderungan nilai suatu variabel dari waktu ke waktu, juga dapat digunakan untuk meramal nilai suatu variable tersebut pada suatu waktu tertentu. Persamaannya adalah sebagai berikut : = A 2 - A 1 / n Keterangan : : perubahan nilai variabel setiap tahun A 1 : rata-rata kelompok pertama A 2 : rata-rata kelompok ke dua n : periode tahun antara tahun A 1 s.d. A 2 Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) Dalam analisis deret berkala, metode yang paling sering digunakan untuk menentukan persamaan trend adalah metode kuadrat terkecil. Persamaan garis trend linearnya adalah : Y = a + bx Dimana: Y : nilai variable yang akan ditentukan a : nilai Y apabila X sama dengan nol b : kemiringan (slope) garis trend x : periode waktu dan tahun dasar 40

Trend tahunan, Kuartalan, dan Trend Bulanan Persamaan trend yang diperoleh dari hasil perhitungan pada bagian terdahulu adalah persamaan trend tahunan yang dapat diubah menjadi persamaan trend kuartalan. Ada dua macam persamaan trend kuartalan yang dapat diperoleh dari persamaan trend tahunan, yaitu persamaan trend kuartalan dimana nilai kode waktu X menunjukkan waktu tahunan dan nilai kode waktu menunjukkan waktu kuartalan. CONTOH KASUS : PT. Alamanda Coorporation adalah sebuah perusahaan yang bergerak dalam bidang telekomunikasi. Manajer perusahaan tersebut ingin mengetahui penjualan ponsel merek NEO MADAS selama 5 tahun terakhir yaitu dari tahun 2003 s/d 2007. Berikut ini adalah data penjualannya : Tahun 2003 2004 2005 2006 2007 Penjualan 3242 4245 4542 5035 5325 Tentukan garis persamaan trend linier dari data penjualan perusahaan tersebut selama 5 tahun terakhir! Jawab : Untuk menjawab kasus di atas dapat menggunakan program R. Berikut ini adalah langkah-langkah pengerjaannya : 1. Tekan icon R Commander pada desktop, kemudian akan muncul tampilan seperti gambar di bawah ini. 2. Pilih menu Data, New data set. Masukkan nama dari data set adalah Dataset, lalu tekan tombol OK 41

3. Ubah nama variable var1 menjadi Y dan tipe variable menjadi numeric, dapat dilakukan dengan cara double click pada var1 pada data editor 4. Lakukan langkah di atas untuk mengubah variabel var2 menjadi X dan tipe variabel menjadi numeric 5. Masukkan data Penjualan (seperti pada tabel soal) pada kolom Y 6. Masukkan data Kode_waktu yaitu (-2, -1, 0, 1, dan 2 ) pada kolom X Kode waktu dalam analisis deret berkala besarnya tergantung dari banyaknya waktu yang digunakan. Penentuan kode waktu ini dilakukan dengan terlebih dahulu membagi banyaknya waktu yang digunakan menjadi dua bagian. Periode waktu yang berada ditengah-tengah dari semua waktu yang digunakan mempunyai kode 0. Selisih antara tahun yang satu dengan tahun berikutnya pada periode waktu analisis deret berkala yang menunjukkan bilangan ganjil adalah satu. Contoh data ganjil: Tahun 2001 2002 2003 2004 2005 Kode waktu ( X ) -2-1 0 1 2 Penjualan ( Y ) 100 200 300 400 500 42

Contoh data genap: Tahun 2001 2002 2003 2004 Kode waktu ( X ) -2-1 0 1 2 Penjualan ( Y ) 100 200 300 400 7. Setelah semua data terisi maka data editor di close, maka akan tampil inputan seperti berikut ini : 8. Pada tampilan R Commander pilih menu Statistics, Fit models, Linear regression maka akan muncul menu seperti gambar di bawah ini 9. Pada Response Variable pilih variabel Penjualan (Y) dan pada Explanatory Variable pilih variabel Kode_waktu (X), kemudian tekan tombol OK 43

10. Maka akan muncul hasil pada output window sebagai berikut : Catatan : yang dilihat hanya pada bagian estimate saja Maka didapat fungsi persamaan trend linier (y = a+bx) dari penjualan ponsel tersebut adalah Y = 4477.80 + 495.60x 44