Graf digunakan untuk mrprsntasikan objk-objkdiskrit dan hubunganantara objk-objk trsbut. Gambar brikut ini sbuah graf yang Gambar brikut ini sbuah graf yang mnyatakan pta jaringan jalan rayayang mnghubungkan sjumlah kota di Provinsi Jawa Tngah.
Brbs Tgal Pmalang Kndal Dmak Smarang Kudus Rmbang Slawi Pkalongan Blora Purwokrto Tmanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga Banjarngara Boyolali Solo Purwodadi Sragn Cilacap Kroya Kbumn Maglang Sukoharjo Purworjo Klatn Wonogiri
Masalah jmbatan Konigsbrg(tahun 736) Bisakah mlalui stiap jmbatan tpat skali dan kmbali lagi k tmpat smula?
Graf yang mrprsntasikan jmbatan Konigsbrg: Simpul(vrtx) mnyatakan daratan Busur (dg) mnyatakan jmbatan
Eulr mngungkapkan bahwa tidak mungkin ssorang brjalan mlwati tpat satu kali masing-masing jmbatan dan kmbali lagi k tmpat smula. Hal ini disbabkan pada graf modl jmbatan Königsbrg itu tidak smua simpul brdrajat gnap
Graf G didfinisikan sbagai pasangan himpunan (V,E), ditulis dngan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak kosong dari simpulsimpul (vrtics) = { v, v 2,..., v n } E = himpunan busur/sisi (dgs) yang mnghubungkan spasang simpul = {, 2,..., n }
2 3 G 3 2 2 3 6 5 7 G 2 G adalah graf dngan V= {, 2, 3, } E= { (, 2), (, 3), (2,3), (2, ), (3, ) } G 2 adalahgrafdngan V= {, 2, 3, } E= { (, 2), (2, 3), (, 3), (, 3), (2, ), (3, ), (3, ) } = {, 2, 3,, 5, 6, 7 }
3 2 2 3 5 6 G 3 adalah graf dngan V= {, 2, 3, } 6 8 E= {(, 2), (2, 3), (, 3), (, 3), 7 (2, ), (3, ), (3, ), (3, 3) G 3 = {, 2, 3,, 5, 6, 7, 8 }
3 2 2 3 5 6 PadaG 2, sisi 3 = (, 3) dansisi = (, 3)dinamakansisi-ganda(multipl dgs atau parall dgs) karna 5 7 kduasisiinimnghubungiduabuah ini buah G 2 simpulyang sama, yaitusimpul dan simpul 3.
Brdasarkan ada tidaknya glang atau sisi ganda pada suatu graf, maka graf digolongkan mnjadi dua jnis:. Graf sdrhana(simpl graph) Graf yang tidak mngandung glang maupun sisi-ganda contoh: 2 3 G
2. Graf tak-sdrhana(unsimpl-graph). Graf yang mngandung sisi ganda atau glang dinamakan graf tak-sdrhana(unsimpl graph) contoh: 3 2 2 3 6 5 7 2 2 3 3 G 2 5 6 8 G 3 7
Brdasarkan orintasi arah pada sisi, maka scara umum graf dibdakan atas 2 jnis:. Graf tak-brarah(undirctd graph) Graf yang sisinya tidak mmpunyai orintasi arah disbutgraftak-brarah. 2 3 3 2 2 3 5 6 7 2 2 3 3 5 6 8 7 G G 2 G 3
2. Graf brarah(dirctd graph atau digraph) Graf yang stiap sisinya dibrikan orintasi arah disbut sbagai graf brarah dan tidak mmiliki sisiganda. 2 3 2 3 graf brarah graf-ganda brarah
. Kttanggaan(Adjacnt) Dua buah simpul dikatakan brttangga bila kduanyatrhubunglangsung. Contoh TinjaugrafG : simpul brttanggadngansimpul2 dan3 simpul tidak brttangga dngan simpul. 2 3 G
2. Brsisian(Incidncy) Untuksmbarangsisi= (v j, v k ) dikatakan brsisiandngansimpulv j, atau brsisiandngansimpulv k Contoh TinjaugrafG : sisi(2, 3) brsisiandngansimpul2 dansimpul3 sisi(, 2) tidakbrsisiandngansimpul. 2 3 G
3. Simpul Trpncil(Isolatd Vrtx) Simpul trpncil ialah simpul yang tidak mmpunyai sisi yang brsisian dngannya. Contoh: TinjaugrafG 3 : simpul 5 adalah simpul trpncil. 5 2 3 G 3
. Graf Kosong(null graph atau mpty graph) Graf yang himpunan busurnya mrupakan himpunankosong(n n ). 5 2 3 Graf N 5
5. Drajat(Dgr) Drajatsuatusimpuladalahjumlahsisiyang brsisian dngan simpul trsbut. Notasi: d(v) TinjaugrafG : d() = d() = 2 d(2) = d(3) = 3 2 3 G
TinjaugrafG 2 : d() = 3 brsisiandngansisiganda d(3) = brsisiandngansisiglang(loop) 2 3 5 2 3 G 2
TinjaugrafG 3 : d(5) = 0 simpul trpncil d() = simpulanting-anting(pndant vrtx) 5 2 3 G 3
Pada graf brarah d in (v) = drajat-masuk(in-dgr) = jumlahbusuryang masukksimpulv d out (v)= drajat-kluar(out-dgr) = jumlahbusuryang kluardarisimpulv d(v) = d in (v) + d out (v)
TinjaugrafG : d in () = 2; d out () = d in (2) = 2; d out (2) = 3 d in (3) = 2; d out (3) = d in () = ; d out (3) = 2 2 3 G
Jumlah drajat smua simpul pada suatu graf adalah gnap, yaitu dua kali jumlah busur padagraftrsbut. Dngankatalain, jikag = (V, E), maka: d( v) = 2 E v V
TinjaugrafG : d() + d(2) + d(3) + d() = 2 + 3 + 3 + 2 = 0 2 3 v V d ( v) = 2 G E= 2 jumlahbusur= 2 5 = 0
TinjaugrafG 2 : d() + d(2) + d(3) = 3 + 3 + v V d( v) = 2 = 0 E= 2 jumlahbusur= 2 5 =0 2 3 5 2 3
Diktahui graf dngan lima buah simpul. Dapatkah kita mnggambar graf trsbut jika drajat masing-masing simpul adalah: (a) 2, 3,,, 2 (b) 2, 3, 3,,
a. Graf tidak dapat digambar, karna jumlah drajat smua simpulnya ganjil ( 2 + 3 + + + 2 = 9) b. Dapat digambar, karna jumlah drajat smua simpulnya gnap (2 + 3 + 3 + + = 6)
6. Lintasan Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ksimpultujuanv n didalamgrafgadalah barisan brslang-sling simpul-simpul dan sisi-sisiyang brbntukv 0,, v, 2, v 2,..., v n, n, v n sdmikianshingga = (v 0, v ), 2 = (v, v 2 ),..., n = (v n-, v n ) adalahsisi-sisidarigrafg.
TinjaugrafG : lintasan, 2,, 3 adalah lintasan dngan barisan sisi(,2), (2,), (,3). Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasantrsbut. Lintasan, 2,, 3 padag mmiliki panjang 3. G G 2 G 3 2 3 2 3 5 2 3 5 2 3
Simpul dan sisi yang dilalui di dalam lintasan bolh brulang Sbuah lintasan dikatakan Lintasan Sdrhana (simpl path) jika smua simpulnya brbda(stiap sisi dilalui hanya satu kali) Lintasanyang brawaldanbrakhirpadasimpulyang sama disbut lintasan Trtutup(clos path) Lintasan yang tidak brawal dan brakhir pada simpulyang samadisbutlintasantrbuka(opn path)
Pada G lintasan:,2,,3 : lintasan sdrhana dan lintasan trbuka,2,,3, : lintasan sdrhana dan lintasan trtutup,2,,3,2 : bukan lintasan sdrnana ttapi lintasan trbuka G G 2 G 3 2 3 2 3 5 2 3 5 2 3
7. Sirkuit Lintasan yang brawal dan brakhir pada simpul yang samadisbutsirkuitatausiklus. TinjaugrafG :, 2, 3, adalahsbuahsirkuit. Panjang sirkuit adalah jumlah sisi dalam sirkuit trsbut. Sirkuit, 2, 3, padag mmilikipanjang3 G G 2 G 3 2 3 2 3 5 2 3 5 2 3
MisalkanG= (V, E) adalahsbuahgraf. G = (V, E ) adalahsubgrafdarigjikav Vdan E E. Komplmn dari SubGraf G trhadap graf G KomplmndariSubGrafG trhadapgrafg adalahgrafg 2 = (V 2, E 2 ) sdmikianshingga E 2 = E-E danv 2 adalahhimpunansimpul yang anggota-anggotae 2 brsisiandngannya.
Graf G Upagraf (subgraf)g KomplmnG
SubGrafG = (V, E ) darig= (V, E) dikatakan SubGrafrntangjikaV =V(yaituG mngandungsmuasimpuldarig). Graf G Bukan Upagraf Rntang G Upagraf Rntang G
Cut-st dari graf trhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G mnybabkan G tidak trhubung. Jadi, cut-st slalu mnghasilkan dua buah komponn. Trdapat banyak cut-st pada sbuah graf trhubung.
Padagrafdibawah, {(,2), (,5), (3,5), (3,)} adalah cut-st. Himpunan{(,2), (2,5)} jugaadalahcut-st, {(,3), (,5), (,2)} adalahcut-st, {(2,6)} jugacut-st, {(,2), (2,5), (,5)} bukan cut-st sbab himpunan bagiannya, {(,2), (2,5)} adalahcut-st.
Graf brbobot adalah graf yang stiap sisinya dibri sbuah bobot Contoh:
Lintasan Eulr ialah lintasan yang mlalui masing-masingsisididalamgraftpatsatukali. Sirkuit Eulr ialah sirkuit yang mlwati masing- masing sisi tpat satu kali. Graf yang mmpunyai sirkuit Eulr disbut graf Eulr(Eulrian graph). Graf yang mmpunyai lintasan Eulr dinamakan juga graf smi-eulr (smi-eulrian graph).
Graf tidak brarah mmiliki lintasan Eulr jika dan hanya jika: Trhubung Mmiliki dua buah simpul brdrajat ganjil atau stiapsimpulbrdrajatgnap. Graf tidakbrarahg mmilikisirkuiteulr (Graf Eulr) jika dan hanya jika stiap simpul brdrajat gnap.
Jika diktahui graf G Solusi: a. 3,, 2, 3,, b., 3, 2,,, 3 Tntukan lintasan ulr graf G! Catatan: Graf G mmiliki2 buah simpul brdrajat ganjil (simpul dan3)
Jika diktahui graf G Solusi: a., 2, 3,, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, b.???? TntukanSirkuitEulr graf G! Catatan: StiapsimpulpadaGraf G brdrajat gnap
. JikadiktahuigrafG Tntukan smua lintasan dan sirkuit ulr pada graf G (Jika Ada)!Jika tidak ada jlaskan!
2. JikadiktahuigrafH Tntukan smua lintasan dan sirkuit ulr pada graf H (Jika Ada)! Jika tidak ada jlaskan!
3. JikadiktahuigrafG TntukanLintasandanSirkuitEulr padagrafg (jika ada)! Jika tidak ada jlaskan!
Lintasan Hamilton ialah lintasan yang mlalui tiapsimpuldidalamgraftpatsatukali. Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang mlalui tiap simpul di dalam graf tpat satu kali, kcuali simpul asal(skaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali. Graf yang mmiliki sirkuit Hamilton dinamakan Graf Hamilton, sdangkan graf yang hanya mmiliki lintasan Hamilton disbut Graf Smi- Hamilton.
(a) (b) (c) (a) grafyang mmilikilintasanhamilton (misal: 3, 2,, ) (b) grafyang mmilikisirkuithamilton (, 2, 3,, ) (c) graf yang tidak mmiliki lintasan maupun sirkuit Hamilton
JikadiktahuigrafG danh G H Tntukan Lintasan dan Sirkuit Hamilton pada grafg danh (jikaada)! Jikatidakadajlaskan!