BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai sifat-sifat dasar Ring, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Ring b. Menjelaskan definisi Ring Komutatif c. Menjelaskan definisi Ring dengan unsur kesatuan d. Mengidentifikasi suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang berupa Ring maupun tidak e. Menjelaskan definisi dari Integral Domain f. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Integral Domain (tanpa pembagi nol) atau bukan Integral Domain (ada pembagi nol) g. Menjelaskan definisi dari Field h. Mengidentifikasi suatu Ring apakah merupakan Field Deskripsi Singkat : Ring adalah suatu himpunan tak kosong yang memenuhi dua operasi biner terhadap penjumlahan dan perkalian. Dalam bab ini akan dibahas sifat-sifat Ring, Integral Domain dan Field. 90

6.1. Sifat-sifat Ring Pada bab terdahulu telah dibicarakan mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner yaitu terhadap penjumlahan (aditif) atau terhadap perkalian (multifikatif) yang disebut Grup. Misalkan kita pandang suatu bilangan bulat Z sebagai suatu Grup (Z, +) dan himpunan bilangan bulat yang tidak sama dengan nol Z sebagai monoid (Z,.), tetapi kedua struktur tersebut mengabaikan relasi antara penjumlahan (+) dan perkalian (.), misalkan kita ketahui bahwa perkalian tersebut distributif terhadap penjumlahan. Pada bagian ini akan dibahas mengenai struktur aljabar yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu terhadap penjumlahan dan perkalian, struktur aljabar ini disebut dengan Ring (Gelanggang). Untuk lebih jelasnya dalam definisi berikut : Definisi 6.1 : Suatu ring (R,+,.) adalah suatu himpunan tak kosong R dengan operasi biner penjumlahan (+) dan perkalian (.) pada R yang memenuhi aksiomaaksioma berikut : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a + b R 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b, c R maka (a + b) + c = a + (b + c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R maka a + e = e + a = a 91

4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b R maka a + b = b + a 6. Tertutup terhadap penjumlahan (+) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a. b R 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) Misalkan a, b, c R maka (a. b). c = a. (b. c) 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap perkalian (.) Misalkan a R maka a. e = e. a = a 9. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) Misalkan a, b, c R maka a. (b + c) = (a. b) + (a. c) dan (a + b). c = (a. c) + (b. c) Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid (Catatan : Beberapa penulis buku mengatakan bahwa di dalam suatu Ring tidak perlu mempunyai identitas terhadap perkalian) 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan 92

Sebagai catatan yang perlu diingat pada konsep Ring bahwa notasi untuk kedua operasi tersebut boleh apa saja, misalkan (R,+,o) ataupun (R,+,*) ataupun yang lainnya. Kita juga bebas menamakan mana yang merupakan operasi yang pertama ataupun mana operasi yang kedua, asalkan operasi biner tersebut memenuhi syarat-syarat suatu Ring. Contoh 6.1 : Tunjukan bahwa Z 4 adalah merupakan suatu Ring. Penyelesaian : Tabel 6.1. Daftar Cayley (Z 4, +) dan (Z 4,.)-0 + 0 1 2 3. 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 Dari tabel 6.1. akan ditunjukan bahwa Z 4 = {0, 1, 2, 3} merupakan suatu Ring bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z 4,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan 0, 1, 2, 3 Z 4 1 + 0 = 1 1 + 1 = 2 93

1 + 2 = 3 1 + 3 = 0 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z 4, maka tertutup terhadap Z 4 Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z 6 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z 4 (a + b) + c = (2 + 1) + 3 = 3 + 3 = 2 a + (b + c) = 2 + (1 + 4) = 2 + 4 = 2 Sehingga : (a + b) + c = a + (b + c) = 2 maka Z 4 assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas Ambil sebarang nilai dari Z 4 o misalkan 0 Z 4 0 + e = e + 0 = 0 o misalkan 1 Z 4 1 + e = e + 1 = 1 o misalkan 2 Z 4 2 + e = e + 2 = 2 o misalkan 3 Z 4 3 + e = e + 3 = 3 maka Z 4 ada unsur satuan atau identitas Adanya unsur balikan atau invers o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 0 Z 4, pilih 0 Z 4, sehingga 0 + 0 = 0 = e, maka (0) -1 = 0 o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 1 Z 4, pilih 3 Z 4, sehingga 1 + 3 = 0 = e, maka (1) -1 = 3 o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 2 Z 4, pilih 2 Z 4, sehingga 2 + 2 = 0 = e, maka (2) -1 = 2 94

o Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 3 Z 4, pilih 1 Z 4, sehingga 3 + 1 = 0 = e, maka (3) -1 = 1 maka Z 4 ada unsur balikan atau invers Komutatif Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan a = 2, b = 3 Z 4 (a + b) = (2 + 3) = 1 (b + a) = (3 + 2) = 1 Sehingga : (a + b) = (b + a) = 1 maka Z 4 komutatif Jadi, Z 4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (Z 4, +). 2. Semigrup terhadap perkalian (Z 4,.) Tertutup Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan 0, 1, 2, 3 Z 4 1. 0 = 0 1. 1 = 1 1. 2 = 2 1. 3 = 3 karena hasilnya 0, 1, 2, 3 Z 4, maka tertutup terhadap Z 4 Assosiatif Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z 4 (a. b). c = (2. 1). 3 = 2. 3 = 2 a. (b. c) = 2. (1. 3) = 2. 3 = 2 Sehingga : (a. b). c = a. (b. c) = 2 95

maka Z 4 assosiatif Jadi, Z 4 = {0, 1, 2, 3} merupakan Semigrup terhadap perkalian (Z 4,.). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari Z 4 misalkan a = 2, b = 1 dan c = 3 Z 4 a.(b + c) = 2.(1 + 3) = 2.(0) = 0 (a.b) + (a.c) = (2.1) + (2.3) = 2 + 6 = 0 maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = 0 (a + b).c = (2 + 1).3 = (3).3 = 1 (a.c) + (b.c) =(2.3) + (1.3) = 2 + 3 = 1 maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = 1 Jadi, Z 4 = {0, 1, 2, 3} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena Z 4 = {0, 1, 2, 3} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka Z 4 adalah suatu Ring (Z 4,+,.). Contoh 6.2 : Misalkan R = {-1, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Contoh 6.3 : Misalkan R = {0, 1}, (R,+,.) bukan merupakan suatu Ring karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan, tetapi Z 2 = {0, 1}, (Z 2,+,.) merupakan suatu Ring karena tertutup terhadap operasi penjumlahan dan memenuhi sifat-sifat dari Ring. 96

Suatu Ring dikatakan komutatif/abelian bila pada operasi perkalian (multifikatif) terpenuhi sifat komutatifnya. Secara singkat akan dijelaskan syarat dari Ring Komutatif pada definisi berikut : Definisi 6.2 : Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) Komutatif (Abelian) bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R,.) merupakan suatu Semigrup/Monoid Komutatif 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Jadi, pada Ring Komutatif (R,.) yang merupakan suatu Semigrup/Monoid harus memenuhi sifat-sifat komutatifnya, yaitu : a. b = b. a, a,b R Contoh 6.4 : Dari contoh 6.1, tunjukan bahwa Ring (Z 4,+,.) merupakan suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Dari contoh 6.1, telah ditunjukan bahwa Z 4 = {0, 1, 2, 3} adalah suatu Ring (Z 4,+,.). Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Ring tersebut. a. b = b. a, a,b Z 4 Ambil sebarang nilai dari Z 4, misalkan 2 dan 3 Z 4 (pada tabel 6.1.) 2. 3 = 2 3. 2 = 2 sehingga 2. 3 = 3. 2 = 2 Karena Ring (Z 4,+,.) tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Ring (Z 4,+,.) tersebut adalah Ring Komutatif atau Ring Abelian. 91

Contoh 6.5 : Misalkan P = {genap, ganjil} dan P Z. Tunjukan bahwa elemen-elemen bilangan genap dan ganjil adalah suatu Ring Komutatif. Penyelesaian : Tabel 6.2. Daftar Cayley (P, +) dan (P,.) + genap ganjil. Genap ganjil genap genap ganjil genap Genap genap ganjil ganjil genap ganjil Genap ganjil Dari tabel 6.2. akan ditunjukan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan suatu Ring Komutatif bila memenuhi : 1. Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P,+) Tertutup Ambil sebarang nilai dari P misalkan genap, ganjil P genap + genap = genap genap + ganjil = ganjil ganjil + ganjil = genap karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P (a + b) + c = (genap + ganjil) + genap = ganjil + genap = ganjil a + (b + c) = genap + (ganjil + genap) = genap + ganjil = ganjil Sehingga : 92

(a + b) + c = a + (b + c) = ganjil maka P assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P, sehingga genap + e = e + genap = genap, maka e = genap o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih genap P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = genap maka P ada unsur satuan atau identitas Adanya unsur balikan atau invers Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P, sehingga genap + genap = genap = e,maka (genap) -1 = genap Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P, sehingga ganjil + ganjil = ganjil = e, maka (ganjil) -1 = ganjil maka P ada unsur balikan atau invers Komutatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil P (a + b) = (genap + ganjil) = ganjil Sehingga : (a + b) = (b + a) = ganjil maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan (P, +). 2. Monoid terhadap perkalian (P,.) Tertutup Ambil sebarang nilai dari P misalkan genap dan ganjil P genap. ganjil = genap genap. genap = genap 93

ganjil. ganjil = ganjil karena hasilnya genap dan ganjil P, maka tertutup terhadap P Assosiatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P (a. b). c = (genap. ganjil). genap = genap. genap = genap a. (b. c) = genap. (ganjil. genap) = genap. genap = genap Sehingga : (a. b). c = a. (b. c) = genap maka P assosiatif Adanya unsur satuan atau identitas o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P, sehingga genap. e = e. genap = genap, maka e = ganjil o Ambil sebarang nilai dari P, misalkan ganjil P, pilih ganjil P, sehingga ganjil + e = e + ganjil = ganjil, maka e = ganjil maka P ada unsur satuan atau identitas Komutatif Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil P (a. b) = (genap. ganjil) = genap (b. a) = (ganjil. genap) = genap Sehingga : (a. b) = (b. a) = genap maka P komutatif Jadi, P = {genap, ganjil} merupakan Monoid Komutatif terhadap perkalian (P,.). 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Ambil sebarang nilai dari P misalkan a = genap, b = ganjil dan c = genap P 94

a.(b + c) = genap. (ganjil + genap) = genap.(ganjil) = genap (a.b) + (a.c) = (genap.ganjil) + (genap.genap) = genap + genap = genap maka, a.(b + c) = (a.b) + (a.c) = genap (a + b).c = (genap + ganjil). genap = (ganjil). genap = genap (a.c) + (b.c) = (genap. genap) + (ganjil. genap) = genap + genap = genap maka, (a + b).c = (a.c) + (b.c) = genap Jadi, P = {genap, ganjil} distributif perkalian terhadap penjumlahan. Karena P = {genap, ganjil} memenuhi semua aksioma-aksioma yang ada, maka P adalah suatu Ring Komutatif (P,+,.). 95

STRUKTUR ALJABAR Operasi Penjumlahan (+) Operasi Perkalian (.) GRUP KOMUTATIF SEMIGRUP Identitas Distributif MONOID RING Komutatif (.) RING KOMUTATIF Gambar 6.1. Bagan dari suatu Ring Telah kita ketahui bahwa suatu Ring merupakan Grup Komutatif terhadap penjumlahan. Balikan suatu unsur terhadap operasi penjumlahan dinamakan lawan atau invers aditif yang dinyatakan dengan tanda (-). Jadi yang dimaksud dengan a adalah invers aditif dari a. Misalkan unsur a ditambah invers aditif dari b, yaitu b, maka ditulis a + (-b) atau a b. Teorema 6.1 : Dalam suatu Ring berlaku sifat-sifat : 1. a.0 = 0.a = 0 2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b 3. -(-a) = a 96

4. -(a + b) = (-a) + (-b) 5. a.(b c) = a.b a.c 6. (a b).c = a.c b.c 7. (-1).a = -a 8. (-a).(-b) = a.b Bukti : 1. a.0 = 0.a = 0 a.0 = a.(0 + 0) = a.0 + a.0 Karena a.0 R dan R suatu Ring maka terdapat (a.0) R, sehingga : a.0 = a.0 + a.0 a.0 a.0 = a.0 + a.0 a.0 0 = a.0 Jadi terbukti a.0 = 0 2. a.(-b) = -(a.b) = (-a).b -(a.b) adalah balikan dari a.b Akan ditunjukan a.(-b) adalah balikan dari ab a.b + a.(-b) = a.(b + (-b) = a.0 = 0 Jadi terbukti -(a.b) = a.(-b) 3. -(-a) = a -(-a) + (-a) = 0 -(-a) + (-a) + a = 0 + a -(-a) + (-a + a) = a -(-a) + 0 = a -(-a) = a Jadi terbukti -(-a) = a 4. -(a + b) = (-a) + (-b) (a + b) + (-(a + b)) = 0 (-b) +(a + b) + (-(a + b)) = (-b) + 0 97

a + ((-b) + b) + (-(a + b)) = (-b) -(a + b) = (-a) + (-b) Jadi terbukti -(a + b) = (-a) + (-b) 5. a.(b c) = a.b a.c a.(b + (-c)) = a.b + a.(-c) a.(b c) = a.b a.c Jadi terbukti a.(b c) = a.b a.c 6. (a b).c = a.c b.c (a + (-b)).c = a.c + (-b).c (a b).c = a.c b.c Jadi terbukti (a b).c = a.c b.c 7. (-1).a = -a (-1).a = -1.(1.a) = -(1.1).a = -a(1.1) = -a Jadi terbukti (-1).a = -a 8. (-a).(-b) = a.b (-a).(-b) = (-1).a.(-1).b = (-1).(-1).a.b = 1.a.b = a.b Jadi terbukti (-a).(-b) = a.b 6.2. Integral Domain (Daerah Integral) Salah satu sifat yang banyak digunakan dari sistem bilanganbilangan yang telah kita kenal adalah bahwa bila ab =0, maka a = 0 atau b = 0. Sifat tersebut menyatakan bahwa hukum kensel berlaku untuk 98

unsur-unsur (elemen-elemen) yang bukan unsur nol, karena bila ab = ac dan a 0, maka a(b c) = 0 dan diperoleh b = c. Definisi 6.3 : Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b R sedemikian hingga a.b = 0 Dengan kata lain suatu unsur a 0 R disebut pembagi nol di R bila a.b = 0 untuk suatu unsur b 0 R Definisi 6.4 : Suatu Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol disebut Integral Domain (Daerah Intergral). Untuk lebih jelas mengenai syarat-syarat dari Integral Domain adalah sebagai berikut : Definisi 6.5 : Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Integral Domain (Daerah Integral) bila : 1. Tertutup terhadap penjumlahan (+) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a + b R 2. Assosiatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b,c R maka (a + b) + c = a + (b + c) 3. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R 99

maka a + e = e + a = a 4. Adanya unsur balikan atau invers terhadap penjumlahan (+) Misalkan a R maka a + (-a) = (-a) + a = e = 0 5. Komutatif terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b R maka a + b = b + a 6. Tertutup terhadap perkalian (.) Misalkan a dan b adalah anggota R, maka a dan b tertutup bila a. b R 7. Assosiatif terhadap perkalian (.) Misalkan a,b,c R maka (a.b).c = a.(b.c) 8. Adanya unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan (.) Misalkan a R maka a.e = e.a = a 9. Komutatif terhadap perkalian (.) Misalkan a,b R maka a. b = b. a 10. Tidak ada pembagi nol Misalkan a,b R Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0 11. Distributif perkalian (.) terhadap penjumlahan (+) Misalkan a,b,c R maka a.(b +c) = (a.b) + (a.c) dan (a + b).c = (a.c) + (b.c) Contoh 6.6 : Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan bahwa Ring Komutatif tersebut adalah Integral Domain. 100

Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif Syarat dari Integral Domain adalah Ring Komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol, dengan kata lain: a.b = 0, untuk a = 0 atau b = 0 Misalkan : X = {,-3, -1, 1, 3,...} adalah himpunan bilangan ganjil dan Y = {, -4, -2, 0, 2, 4, } adalah himpunan bilangan genap. Dari himpunan tersebut dapat dilihat bahwa bilangan ganjil tidak ada unsur nol, tetapi bilangan genap ada unsur nol. Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Integral Domain, karena a.b = 0 jika a = 0 atau b = 0, a,b P. Contoh 6.7 : Jika R adalah suatu Daerah Integral dan ab = ac untuk a 0, serta b,c R.Tunjukan bahwa b = c. Penyelesaian : ab = ac, maka: ab ac = 0 a(b c) = 0 Karena R adalah Integral Domain yang tidak mempunyai pembagi nol dan a 0, maka : b c = 0 Jadi b = c Contoh 6.8 : Tunjukan bahwa Z 4 bukan merupakan Integral Domain. Penyelesaian : 101

Tabel 6.3. Daftar Cayley (Z 4,.). 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 2 0 2 0 2 3 0 3 2 1 Dari tabel 6.3, dapat kita lihat bahwa [2] adalah merupakan pembagi nol, dimana diperolah [2].[2] = 0, sehingga kita tidak selalu dapat mengkensel seperti [2].[1] = [2].[3] tetapi [1] [3]. Jadi dapat disimpulkan bahwa Z 4 bukan merupakan suatu Integral Domain karena memiliki pembagi nol yaitu [2]. 6.3. Field (Lapangan) Pada umumnya di dalam suatu Ring, penjumlahan, pengurangan dan perkalian terhadap unsur suatu Ring akan diperoleh hasil, tetapi untuk pembagian tidak selalu diperoleh hasil. Di dalam Integral Domain, unsurunsurnya dapat dikensel tetapi tidak selalu diperoleh hasil bila dibagi dengan unsur yang bukan nol. Misalkan, bila a,b Z, maka 3a =3b menghasilkan a = b, tetapi tidak setiap unsur Z dapat dibagi 3. Ada suatu sistem bilangan-bilangan yang selalu diperoleh hasil bila dibagi unsur yang bukan nol, yang disebut Field (Lapangan). 102

Definisi 6.6 : Field adalah suatu Ring yang unsur-unsur bukan nolnya membentuk Grup Komutatif/Abelian terhadap perkalian. Dengan kata lain suatu Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan/invers terhadap perkalian. Dari definisi tersebut dapat kita simpulkan bahwa suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field bila : 1. (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif 2. (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif 3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan Jadi untuk menunjukan bahwa suatu Ring adalah Field harus kita buktikan Ring itu komutatif dan mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian. Atau kita tunjukan R merupakan suatu Grup Komutatif terhadap penjumlahan dan perkalian serta distributif perkalian terhadap penjumlahan. Contoh 6.9 : Dari soal 6.5, P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif. Akan ditunjukkan apakah Ring Komutatif tersebut adalah Field. Penyelesaian : Diketahui P = {genap, ganjil} adalah suatu Ring Komutatif Syarat dari Field adalah Ring Komutatif yang mempunyai unsur balikan atau invers terhadap perkalian, dengan kata lain: a P, a -1 P, sedemikian sehingga a. a -1 = a -1. a = e Telah diketahui identitas dari P adalah e = ganjil Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih ganjil P, sehingga genap.ganjil = genap e Ambil sebarang nilai dari P, misalkan genap P, pilih genap P, sehingga genap.genap = genap e 103

maka P tidak ada unsur balikan atau invers Jadi dapat disimpulkan bahwa P = {genap, ganjil} merupakan Field. bukan Dari contoh 6.9, dapat kita simpulkan bahwa P = {genap, ganjil} dimana P Z, adalah suatu Ring Komutatif yang juga merupakan Integral Domain (Daerah Integral) tetapi bukan merupakan Field (Lapangan). 6.4. Rangkuman 1. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) bila : (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Distributif perkalian terhadap penjumlahan 2. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Ring (Gelanggang) Komutatif bila : (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif Distributif perkalian terhadap penjumlahan 3. Bila (R,+,.) adalah suatu Ring Komutatif, suatu unsur bukan nol a R disebut pembagi nol bila ada unsur yang bukan nol b R sedemikian hingga a.b = 0 4. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Integral Domain (Daerah Integral) bila : 104

(R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R,.) merupakan suatu Semigrup / Monoid Komutatif Tidak ada pembagi nol Distributif perkalian terhadap penjumlahan 5. Suatu struktur aljabar dengan dua operasi biner (R,+.) dikatakan suatu Field (Lapangan) bila : (R,+) merupakan suatu Grup Komutatif (R-0,.) merupakan suatu Grup Komutatif Distributif perkalian terhadap penjumlahan 6.5. Soal-soal Latihan 1. Tunjukan bahwa bilangan bulat (Z,+,.) adalah merupakan suatu Ring Komutatif, dengan penjumlahan dan perkalian pada kelas-kelas kongruensi modulo n yang didefinisikan oleh [x] + [y] = [x + y] dan [x].[y] = [x.y]. 2. Misalkan (R,+,.) didefinisikan operasi dan pada R sebagai berikut: a b = a + b + 1 dan a b = ab + a + b. Tunjukan apakah merupakan suatu Ring Komutatif. 3. Tunjukan bahwa ( Q ( 2),+,.) adalah Ring Komutatif dengan Q ( 2) = { a + b( 2) a,b Q}. 4. Buatlah tabel penjumlahan dan perkalian untuk (Z 5,+,.). Tunjukan apakah merupakan suatu Ring Komutatif. 105

5. Tunjukan pada soal no 1, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 6. Tunjukan pada soal no 2, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 7. Tunjukan pada soal no 3, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 8. Tunjukan pada soal no 4, apakah merupakan : a. Integral Domain b. Field 106