Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012
Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Objek disebut diskrit jika: terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda dan elemen-elemennya tidak bersambungan (unconnected). Contoh: himpunan bilangan bulat (integer) Lawan kata diskrit adalah kontinyu (continue). Contoh: himpunan bilangan riil (real)
(set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang objek x yang diberikan dapat kita tentukan apakah objek x tersebut kepunyaan dari suatu himpunan atau bukan. Objek yang merupakan kepunyaan dari suatu himpunan disebut elemen atau anggota. Kita akan nyatakan himpunan dengan huruf besar, seperti A atau X dan elemen dengan huruf kecil, seperti a atau x. Jika a adalah elemen dari himpunan A, kita tulis a A dan jika a adalah bukan elemen dari himpunan A, kita tulis a / A.
dapat dinyatakan dengan mendaftarkan semua elemennya di dalam sepasang tanda kurung atau dengan menyatakan sifat-sifat keanggotaannya sehingga dapat ditentukan apakah suatu objek adalah elemen dari suatu himpunan atau bukan. Kita dapat tuliskan X = {x 1, x 2,, x n } untuk himpunan yang memuat elemen-elemen x 1, x 2,, x n atau X = {x : x memenuhi } jika setiap x di dalam X memenuhi suatu sifat tertentu dari.
jika E adalah himpunan bilangan bulat genap, kita dapat nyatakan E dengan menuliskan ke dalam salah satu notasi atau E = {2, 4, 6, } E = {x : x adalah bilangan bulat genap dan x > 0}. Kita tuliskan 2 E bila kita ingin mengatakan bahwa 2 adalah elemen dari E, dan 3 E untuk mengatakan bahwa 3 adalah bukan elemen dari E.
Berikut ini adalah beberapa himpunan penting yang akan sering digunakan dalam pembahasan kita selanjutnya: N = {n : n adalah bilangan asli } = {1, 2, 3, }; Z = {n : n adalah bilangan bulat } = {, 2, 1, 0, 1, 2, }; Q = {r : r adalah bilangan rasional } = { p q : p, q Z dimana q 0}; R = {x : x adalah bilangan real }; C = {z : z adalah bilangan kompleks }.
Kita dapat menemukan berbagai relasi antara himpunan-himpunan dan juga dapat melakukan operasi-operasi pada himpunan. A adalah subhimpunan (subset) dari B, ditulis A B atau B A, jika setiap elemen dari A juga elemen dari B. Sebagai contoh, {4, 5, 8} {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dan N Z Q R C
Kita juga akan menemukan suatu himpunan tanpa unsur-unsur di dalamnya. yang seperti ini disebut himpunan kosong (empty set) dan dinotasikan dengan {} atau. Sebagai catatan bahwa himpunan kosong adalah sub- himpunan dari setiap himpunan.
Untuk memperoleh sebuah himpunan baru dari himpunan-himpunan yang telah ada, kita dapat melakukan operasi-operasi tertentu: gabungan (union) A B dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai A B = {x : x A atau x B; irisan (intersection) A B dari himpunan A dan B didefinisikan sebagai A B = {x : x A dan x B. Jika A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 9}, maka A B = {1, 2, 3, 5, 9} dan A B = {1, 3}.
Untuk kasus dimana gabungan dan irisan melibatkan lebih dari dua himpunan yaitu A 1, A 2,, A n, maka untuk gabungan dan irisan secara berurutan kita tuliskan sebagai n A i = A 1 A 2 A n i=1 dan n A i = A 1 A 2 A n i=1
Jika dua buah himpunan tidak memiliki elemen yang sama maka kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas (disjoint). Sebagai contoh, jika E himpunan bilangan bulat genap dan O himpunan bilangan bulat ganjil, maka E dan O adalah saling lepas. Dua buah himpunan A dan B adalah saling lepas jika A B =.
Kadang-kadang kita akan bekerja dalam suatu himpunan tertentu U yang disebut dengan himpunan semesta (universal set). Untuk setiap himpunan A U, kita definisikan komplemen (complement) dari A, dinotasikan dengan A, adalah himpunan A = {x : x U dan x A}.
Selanjutnya kita definisikan selisih (difference) dari dua himpuan A dan B sebagai A B = A B = {x : x A dan x B}.
Contoh Misalkan R adalah himpunan semesta dan anggap bahwa bahwa A = {x R : 0 < x 3} dan B = {x R : 2 x < 4} maka A B = {x R : 2 x 3} A B = {x R : 0 < x < 4} A B = {x R : 0 < x < 2} A = {x R : x 0 atau x > 3}
Berikut ini adalah beberapa sifat penting operasi gabungan dan irisan: 1 A A = A, A A = A, dan A A = ; 2 A = A dan A = ; 3 A (B C) = (A B) C dan A (B C) = (A B) C; 4 A B = B A dan A B = B A; 5 A (B C) = (A B) (A C); 6 A (B C) = (A B) (A C).
Disini akan dibuktikan hasil (1) dan (3), sisanya sebagai latihan. (1) Perhatikan bahwa dan A A = {x : x A atau x A} = {x : x A} = A A A = {x : x A dan x A} = {x : x A} = A Juga, A A = A A =.
(3) Untuk himpunan A, B dan C, A (B C) = A {x : x B atau x C} = {x : x A atau x B, atau x C} = {x : x A atau x B} C = (A B) C. Dengan langkah yang sama dapat ditunjukkan bahwa A (B C) = (A B) C.
Teorema berikut ini dikenal sebagai Hukum De Morgan s. Teorema Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan maka 1 (A B) = A B ; 2 (A B) = A B.
Kita harus tunjukkan bahwa (A B) A B dan (A B) A B. Misalkan x (A B) maka x A B. Dari definisi gabungan himpunan, maka x bukan elemen dari A dan juga bukan elemen dari B. Dari definisi komplemen x A dan x B. Sehingga x A B dan kita peroleh (A B) A B. Untuk menunjukkan dalam arah sebaliknya, andaikan bahwa x A B. Maka x A dan x B, sehingga x A dan x B. Jadi x A B dan diperoleh x (A B). Dengan demikian (A B) A B sehingga (A B) = A B.
Contoh Buktikan bahwa (A B) (B A) = Perhatikan bahwa (A B) (B A) = (A B ) (B A ) = A A B B =.