MAKALAH BASIS RUANG SOLUSI Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen pengampu : Darmadi,S.Si,M.pd Di susun Oleh : Kelompok 6/ VF 1. Fitria Wahyuningsih ( 08411.135 ) 2. Pradipta Annurwanda ( 08411.221 ) 3. Puput Tri Sarani ( 08411.227 ) 4. Susilo ( 08411.266 ) 5. Yudhi Agung Pranoto ( 08411.294 ) 6. Ririn setianingsih ( 07411.175 ) 7. Sundari ( 07411.210 ) 8. Suwandi ( 07411.214 ) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM IKIP PGRI MADIUN 2010 1
KATA PENGANTAR Dengan memanjatkan rasa syukur kepada Allah Yang Maha Esa serta limpahan rahmat-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini dengan judul Basis Ruang Solusi. Penulis menyadari bahwa tanpa adanya bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, belum tentu kami dapat menyelesaikan makalah ini dan kami mengucapkan banyak terima kasih serta penghargaan yang sebesar-besarnya atas segala bantuan yang diberikan kepada penulis. Dan tak lupa penulis selalu mengharapkan kritikan yang bersifat membangun demi kesempurnaan penulisan di kemudian hari dan mudah-mudahan makalah ini dapat membantu meningkatkan mutu pendidikan Madiun, 06 Januari 2011 Penulis 2
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL...1 KATA PENGANTAR...2 DAFTAR ISI...3 BAB I. PENDAHULUAN...4 A. Latar Belakang...4 B. Tujuan Penulisan...4 C. Rumusan Masalah...5 D. Tujuan Penulisan...5 BAB II. PEMBAHASAN...6 A. Pengertian basis Ruang Solusi...6 B. Macam macam teorema...6 BAB III. PENUTUP...11 A. Simpulan...11 B. Saran...11 DAFTAR PUSTAKA...12 3
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Jika kita perhatikan suatu matriks A dan transposnya A T secara bersamaan, maka terdapat enam vektor yang penting, yaitu: Ruang baris dari A Runang kolom dari A Ruang nul dari A ruang baris dari A T ruang kolom dari A T ruang nul dari A T Namun demikian dengan mentranspos suatu matriks, akan mengubah vektor-vektor barisnya menjadi vektor-vektor kolom dan mengubah vektor-vektor kolomnya menjadi vektor-vektor baris dari A. Dengan ini, kita tinggal memiliki 4 ruang vektor yang penting, yaitu; Ruang baris A Ruang nul dari A ruang kolom dari A ruang nul dari A T Keempat ruang vektor ini dikenal sebagai ruang matriks dasar (fundamental matrix space) yang terkait dengan A. Jika A adalah suatu metriks m x n, maka ruang baris dari A adalah sub ruang dari R n dan ruang kolom dari A dan ruang nul dari A T adalah sub ruang dari R m. B. Tujuan Penulisan Tujuan utama kita pada sub bab ini adalah untuk mengembangkan hubungan antara dimernsi-dimensi dari keempat ruang vektor ini. 4
C. Rumusan Masalah 1. Apa yang dimaksud dengan ruang baris dan ruang kolom yang memiliki dimensi yang sama dan bagaimana menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan hal tersebut? 2. Apa yang dimaksud dengan dimensi untuk matriks? 3. Bagaimana mengetahui nilai maksimum untuk rank? 4. Apa yang dimaksud dengan teorema konsisten dan bagaimana pembuktiannya? D. Tujuan Penulisan 1. Untuk mengerti, memahami dan dapat menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan ruang baris dan kolom yang memiliki dimensi yang sama. 2. Untuk mengerti dan memahami apa yang dimaksud dengan dimensi untuk matriks. 3. Untuk mengetahui nilai maksimum untuk rank A memiliki 4. Untuk mengerti dan memahami teorema konsisten dan pembuktiannya. 5
BAB II PEMBAHASAN BASIS RUANG SOLUSI Jika kita perhatikan suatu matriks A dan transposnya A T secara bersamaan, maka terdapat enam ruang vector yang penting, yaitu : Ruang baris dari A Ruang kolom dari A Ruang nul dari A Ruang baris dari A T Ruang kolom dari A T Ruang nul dari A T Namun demikian dengan mentranspos suatu matriks, akan mengubah vector-vektor barisnya menjadi vector-vektor kolom dan mengubah vector-vektor kolomnya menjadi vector-vektor baris. Sehingga kecuali perbedaan notasi, ruang baris dari A T adalah sama dengan ruang kolom dari A, dan ruang kolom dari A T adalah sama dengan ruang baris dari A. Dengan ini, kita tinggal memiliki empat ruang vector yang penting yaitu: Ruang baris dari A Ruang nul dari A Ruang kolom dari A Ruang nul dari A T Keempat ruang vector ini dikenal sebagai ruang matriks dasar yang terkait dengan A. Jika A adalah suatu matriks m x n, maka ruang baris dari A dan ruang nul dari A adalah sub ruang dari R n dan ruang kolom dari A dan ruang nul dari A T adalah sub ruang dari R m. Tujuan utama kita pada sub bab ini adalah untuk mengembangkan hubungan antara dimensi-dimensi dari keempat ruang vector ini 6
Teorema 4.24. Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama. Definisi 4.11. Dimensi umum dari ruang baris baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari A dan dinyatakan sebagai rank(a). Dimensi ruang nul dari A disebut sebagai nulitas (nullity) dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(a). Teorema 4.25. Jika A adalah suatu matriks sembarang, maka rank(a) = rank(a T ) Teorema 4.26. Dimensi untuk matriks Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka rank(a) + nulitas(a) = n Teorema 4.27. Jika A adalah suatu matriks n x n, maka: a) rank (A) = banyaknya variabel pada solusi dari Ax = 0 b) nulitas (A) = banyaknya parameter pada solusi umum dari Ax = 0 7
Banyaknya Rank dan Nulitas Matriks A -1 2 0 4 5-3 3-7 2 0 1 4 2-5 2 4 6 1 4-9 2-4 -4 7 Memiliki 6 kolom, sehingga: Rank (A) + nulitas (A) = 6 Sehingga kita dapat menyimpulkan dimensi-dimensi dari keempat ruang dasar dari suatu matriks A, m x n dengan rank r, seperti pada table berikut ini: Ruang Dasar Ruang baris dari A Ruang kolom dari A Ruang nul dari A Ruang nul dari A T Dimensi R R n r m r Nilai Maksimum Untuk Rank Jika A adalah suatu matriks m x n, maka vector-vektor barisnya terletak pada R n dan vector-vektor kolomnya terletak pada R m. Ini mengimplikasikan bahwa ruang baris dari A paling banyak berdimensi n, dan ruang kolom dari A paling banyak berdimensi m. Karena ruang baris dan ruang kolom memiliki dimensi yang sama, kita harus menyimpulkan bahwa jika m n, maka rank dari A yang paling banyak adalah nilai yang lebih kecil antara nilai m dan n. Kita menotasikan dengan menulis : Rank (A) min (m, n) 8
Dimana min(m,n) menotasikan nilai yang lebih kecil antara nilai m dan nilai n jika m n, atau nilai yang sama jika m = n. Teorema 4.28. (Teorema Konsistens) Jika Ax = b adalah suatu system linier yang terdiri dari m persamaan dengan n factor yang tidak diketahui, maka pernyataan berikut adalah equivalen. a) Ax = b adalah konsisten b) B berada pada ruang kolom dari A c) Matriks koefisien A, dan matriks yang diperbesar [A b] memiliki rank yang sama. Teorema 4.29. Jika Ax = b adalah suatu system linier yang terdiri dari m persamaan dengan factor yang tidak diketahui, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah equivalent. a) Ax = b adalah konsisten untuk setiap matriks b, m x 1 b) Vektor-vektor kolom dari A merentang R m c) Rank (A) = m Teorema 4.30. Jika Ax = b adalah suatu system linier konsisten yang terdiri dari m persamaan dengan n factor yang tidak diketahui, dan A memiliki rank r, maka solusi umum dari system tersebut dari n r parameter. Teorema 4.31 Jika A adalah suatu matriks m x n, maka pernyataa-pernyataan berikut adalah equivalent. a) Ax = 0 hanya memiliki satu solusi trivial b) Vektor-vektor kolom A adalah bebas linier c) Ax = b memiliki paling banyak satu solusi untuk setiap matriks b, m x 1. Teorema 4.32. 9
Pernyataan-pernyataan yang equivalent. Jika A adalah suatu matriks n x n dan TA : R n -R n adalah perkalian dengan A, maka pernyataanpernyataan berikut ini adalah equivalent. a) A dapat dibalik b) Ax = 0 hanya memiliki satu solusi trivial c) Bentuk eselon baris tereduksi dari A adalah In. d) A dapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali dari matriks-matriks elementer e) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b, n x 1. f) Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b, n x 1 g) Det(a) 0 h) Range dari T a adalah R n i) T A adalah satu ke Satu j) Vektor-vektor kolom dari A adalah bebas linier k) Vektor-vektor baris dari A adalah bebas linier l) Vektor-vektor kolom dari A adalah merentang R n m) Vektor-vektor baris dari A adalah merentang R n n) Vektor-vektor kolom dari A adalah membentuk basis untuk R n o) Vektor-vektor baris dari A adalah membentuk basis untuk R n p) A memiliki rank n q) nulitas 0 10
BAB III PENUTUP Kesimpulan Untuk menentukan suatu basis maka kita harus menunjukkan bahwa vektor merentang dan bebas linier. Basis ruang solusi jika dilihat basis dari ruang basis maka memakai operasi baris elementer.dan jika basis dilihat dari ruang kolom maka memakai operasi kolom elementer. Rank A yaitu banyaknya vektor yang membentuk ruang baris dan ruang kolom pada suatu matriks(a). Ruang nul merupakan Ruang solusi dari sistem persamaan homogen pada matriks A (nulitas). Jika A adalah matriks ( m x n ) maka, Nulitas (A) = n r Nulitas ( A T ) m r Nilai maximum jika A adalah matrik m xn maka : Rank(A) m x n (m,n) Persamaan non homogen dikatakan konsisten jika persamaaan linier non homogen tersebut mempunyai solusi/penyelesaian. 11
DAFTAR PUSTAKA Departemen Pendidikan dan Kebudayaan,Matematika untuk SMA jilid 10 dan 12.1984.PT..rmasa: jakarta Scott Mathematics Group.Modern Mahtematics for schools 9, Great Britai.1974 12