PENGANTAR Saa berpendapat bahwa Matematika adalah pelajaran ang mudah dan sederhana, hal ini didasarkan pada pengalaman saa selama mempelajari Matematika selama tiga tahun di SMA salah satu pelajaran favorit saa ) dan pengalaman mengajar privat anak anak SMA selama lima tahun. Matematika menjadi mudah bagi saa karena saa melihatna sebagi suatu rumus jadi ang langsung bisa diaplikasikan untuk menjawab soal, dan hebatna lagi pengalaman membuktikan bahwa soal-soal tersebut demikian adana dari dulu sampai sekarang. Lantas kenapa beberapa murid ang saa temui menganggap Matematika sebagai suatu hal ang sulit dan kompleks, padahal di SMA hana memerlukan M untuk mempelajari Matematika aitu Mengingat dan Mengulang Pengalaman kuliah di jurusan Matematika FMIPA UGM, memberikan pemahaman lebih mendalam kepada saa tentang Matematika, dan ternata saa menadari bahwa pendapat Matematika sebagai suatu hal ang sulit dan kompleks adalah benar adana. Suatu hal ang tidak pernah terpikirkan oleh saa sewaktu SMA dulu ang telah dipikirkan oleh beberapa murid SMA ang saa ajar. Kesulitan tersebut saa dapatkan karena saa tidak lagi mempelajari rumus jadi dan soal, tetapi saa harus mulai memikirkan darimana rumus tersebut berasal dan apa aplikasina dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa permasalahan malah tidak bisa dipecahkan dengan hitungan matematis, tetapi memakai hitungan logika. Saa harus mempertanakan suatu rumus atau theorema dengan menjawab pertanaan 5 W Wh, When, Where, Who, What ) dan 1 H How to). Buku ini dimaksudkan untuk memberikan pemahaman 5 W terhadap anak-anak SMA terhadap Matematika terutama kalkulus ), sehingga tingkat pemahaman mereka terhadap Matematika bukan sebatas 1 H. Dalam buku ini saa hana mengambil sebagian rumus atau teorema saja disertai dengan sejarahna, dengan harapan dapat memberikan motivasi bagi anak untuk lebih mengerti dan memahami tentang Matematika 1
PENDAHULUAN Apabila anda telah lulus SMA dan masuk ke PT maka anda akan mendapatkan mata kuliah Kalkulus di silabus kurikulum dasar. Kalkulus ini sebetulna adalah bagian dari Matematika ang sebetulna sebagian besar telah kita pelajari di SMA. Sejarah Kalkulus dapat kita temukan pertama kali di Yunani dimana para ahli matematikana mengalami kesulitan dalam menghitung keliling dengan menggunakan panjang, luas, dan volume, sampai kemudian Archimedes memberikan solusi untuk permasalahan tersebut Archimedes adalah cikal bakal penemu kalkulus tertua ang hidup tahun 5 Sebelum Masehi ), baru kemudian beberapa tokoh besar setelah Masehi mulai mengenalkan kalkulus sebagai bagian dari Matematika ang cukup penting. Dalam bagian selanjutna dari buku ini, kita akan mengenal beberapa tokoh penting dibalik laar beserta kontribusina terhadap kalkulus. Sedang di bagian akhir akan ada contoh aplikasi sehari-hari ang bisa diselesaikan menggunakan pendekatan kalkulus. Dalam bagian isi akan ada 9 tokoh ang berpengaruh dalam kalkulus, setiap tokoh akan dikupas tersendiri disertai dengan konsep dasar dan kesimpulan. Pada konsep dasar akan diambil sebagian rumus atau teorema saja karena tujuan buku ini bukan sebagai kumpulan rumus atau teorema lengkap, tetapi sebagai buku motivasi bagi pelajar untuk sedikit mengenal filosofi dari matematik, terutama kalkulus.
ISI Rene Descartes 1596 1650 ) Lahir di Prancis dan seorang sarjana hukum ang juga seorang ahli matematika. Karana ang terbesar adalah La Geometrie 1637 ) ang menggabungkan geometri tua dengan aljabar ang pada waktu itu masih baru. Bersama dengan teman sejawatna, orang Prancis juga aitu Pierre Fermat 1601 1665 ) melahirkan suatu pemikiran besar di bidang matematika aitu geometri analitik atau geometri koordinat. Kebiasaan unik ang dilakukan oleh Rene Descartes sepanjang hidupna adalah menghabiskan waktu pagina dengan belajar di tempat tidur. Konsep dasar: Gambarlah garis horizontal sumbu ) dan garis vertical sumbu ). Kedua garis tersebut akan saling berpotongan di titik asal label 0 ). Rene Descartes memberi nama koordinat ini sebagai koordinat cartesius. Sumbu dan sumbu ini disebut sebagai sumbu koordinat ang membagi empat daerah ang dinamakan kuadran ang diberi label I, II, III, dan IV. II 1 I III - -1 0 1-1 - IV Berikutna kita akan menaruh satu titik P di koordinat tersebut. Titik P tersebut dapat dinatakan sebagai sepasang bilangan, ang memiliki koordinat Pa,b), dimana a disebut sebagai absis dan b disebut sebagai ordinat. 3
b 1 Pa,b) - -1 0 1-1 - a Sekarang kita akan mencoba untuk membuat suatu penemuan lagi dari koordinat cartesius tersebut. Kita akan menggambar segitiga seperti pada gambar di bawah ini. Q, ) 1 1 R, 1 ) P 1, 1 ) Pthagoras mengatakan bahwa panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah akar kwadrat dari jumlah kwadrat kedua sisi lainna, sehingga segitiga di atas akan memiliki persamaan sbb: 4
5 [ ] 1 1 1 1 ) ) ), ), ) ) ) ) ) Q P d Q P d PQ RQ PR + + + Bravo! Kita telah menemukan rumus jarak antara titik P 1, 1 ) dan Q, ) adalah 1 1 ) ) ), Q P d + Sebelumna kita telah menggambar segitiga pada koordinat cartesius dan telah menemukan rumus jarak, berikutna kita akan menggambar lingkaran pada koordinat cartesius ang memiliki pusat 1, ) dan jari-jari 3 Seandaina,) adalah sembarang titik pada lingkaran maka menurut rumus jarak, jarak dari P1, ) ke, ) adalah 3 ) 1) ) 1) 3 + + Eureka! Dari persamaan tersebut kita telah menemukan persamaan lingkaran dengan jari-jari r dan pusat a,b) adalah ) ) r b a +,) P1,) R3
catatan: kita bisa menggambar ellips, parabola, hperbola, atau bangun ang lain untuk menemukan persamaan ang lain.. Selanjutna kita akan membuat garis lurus sederhana pada koordinat cartesius temuan Descartes tersebut. 4 C,) B8,4) 4 A3,) 3 8 3 3 8 garis ang kita buat melalui titik A3,) dan B8,4) akan memiliki kemiringan B A 4 m AB B A 8 3 5 apabila kita menaruh titik C,) pada garis tersebut, maka AC akan memiliki kemiringan m AC C C A A 3 kita bisa melihat pada gambar tersebut bahwa titik A, B, dan titik C akan memiliki kemiringan ang sama, sehingga m m AB 5 3 3) 5 Bravo! Kita telah menemukan kemiringan titik dari persamaan sebuah garis pada titik 1, 1 ) dengan kemiringan m adalah m 1) AC 1 6
Kita akan membuat sedikit modifikasi pada persamaan di atas, apabila nilai 1 0 dan 1 0 maka m 1) 1 0 m 0) m + c Dimana c dapat kita sebut sebagai suatu konstanta Eureka! Kemiringan perpotongan dari persamaan sebuah garis dengan kemiringan m dan suatu konstanta c adalah m + c Kita akan mengadakan sedikit perhitungan pada persamaan garis berikut 4 + ) 4 + 8 4 + 10 4 + 10 0 bentuk diatas dapat kita tulis ulang persamaan garis tersebut sebagai A + B + C 0 Bravo! Persamaan garis umum atau persamaan linear umum sebuah garis adalah A + B + C 0 kesimpulan Pada akhir bab ini kita telah mencoba untuk menelami pemikiran Descartes tentang Koordinat Cartesius dan telah menemukan lima rumus berkaitan dengan koordinat Cartesius tersebut, aitu: rumus jarak, persamaan lingkaran, kemiringan titik, kemiringan perpotongan, dan persamaan garis umum sebuah garis. 7
Augustin Louis Cauch 1789 1857 ) Lahir di Paris dan dididik di Ecole Poltechnique. Ia menjadi guru besar di Ecole Poltechique, Sorbone, dan College de France. Produktivitas pemikiranna sangatlah tinggi sehingga Academ Paris memilih untuk membatasi ukuran makalahna dalam majalah ilmiah. Walaupun kalkulus diciptakan pada akhir abad 17, dasar-dasarna tetap kacau dan berantakan sampai Cauch dan teman sejawatna Gauss, Abel, dan Bolzano ) mengadakan ketelitian baku. Cauch memberikan pemikiran dasar kalkulus pada definisi ang jelas dari konsep limit. Konsep dasar Konsep limit membedakan kalkulus dengan cabang matematika ang lain. Bahkan ada ang mendefinisikan kalkulus adalah pengkajian tentang limit. Sebelum kita mendalami pemikiran Cauch kita akan melihat fungsi berikut: Fungsi pertama f ) 1 Apabila 1 maka kita akan mendapatkan f 1) 11 0 Fungsi kedua 1 f ) 1 11 0 Apabila 1 maka kita akan mendapatkan f 0) 11 0 Catatan: Suatu bentuk ang boleh dikatakan tidak berarti karena pembagian dengan 0 ini disebut sebagai bentuk tak tentu ) Dari fungsi kedua, kita akan mencoba untuk mencari tahu apabila mendekati 1 seperti dalam tabel berikut beserta hasilna X 0,75 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1 f) 1,75 1,9 1,99 1,999?,001,01,1 Dari tabel tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa apabila mendekati 1 maka f) akan mendekati. Oleh Cauch hal ini dituliskan sebagai berikut 1 lim 1 1 8
Pendekatan kedua untuk menelesaikan persoalan limit adalah dengan menggunakan pendekatan aljabar sbb: 1 1) + 1) lim lim lim + 1) 1 + 1) 1 1 1 1) 1 Mengagumkan bukan! Suatu metode cerdik untuk menelesaikan limit fungsi dengan metode aljabar. Kesimpulan Pada akhir bab ini, kita telah melihat bahwa Cauch telah meletakkan konsep limit sebagai cikal bakal lahirna kalkulus. Pendekatan aljabar untuk menelesaikan persoalan limit fungsi merupakan metode cerdik ang pernah ditemukan dalam kalkulus dan masih dipakai sampai sekarang 9
Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 1716 ) Lahir di Leipzig, Jerman. Ia mendaftar di Universitas Leipzig dan meraih gelar doctor dari Universitas Altdorf. Bersama dengan Isaac Newton 164 177 ), ia membagi penghargaan untuk penemuan kalkulus. Pertentangan antara Jerman dan Inggris memberikan dampak ang cukup menedihkan buat Leibniz. Sejarah mencatatkan Newton sebagai penemu kalkulus pertama, tetapi kenataan bahwa Leibniz juga menemukanna secara tersendiri tidak mendapat perhatian, Ia meninggal sebagai seorang ang kesepian bahkan pemakamanna hana dihadiri oleh seorang pelaat, aitu sekretarisna. Leibniz adalah pencipta lambang matematis terbesar, dari pemikiranna muncul nama nama seperti kalkulus diferensial, kalkulus integral, fungsi, dan kesamaan. Perkembangan pesat kalkulus di Eropa daripada di Inggris disebabkan oleh keunggulan perlambanganna. konsep dasar kita akan mengingat kembali konsep kemiringan garis pada bab sebelumna. 4 C,) B8,4) 4 A3,) 3 8 3 3 8 Garis ang kita buat melalui titik A3,) dan B8,4) akan memiliki kemiringan m AB B B A A 4 8 3 5 Kemiringan di atas sangat mudah ditemukan karena grafikna berupa garis lurus. Bagaimana jika grafikna seperti pada gambar berikut: 10
fc + h ) Bc+h,fc+h)) f) garis singgung fc) Ac,fc)) h fc+h) fc) c c + h Pada grafik di atas titik Ac,fc)) dan titik Bc+h,fc+h)) akan memiliki kemiringan m AB lim h 0 f c + h) h f c) Kita berhutang pada Cauch ang menemukan konsep limit sehingga dapat menemukan kemiringan grafik di atas. Selanjutna kita akan memberi nama m AB ini sebagai kemiringan garis AB ang f c + h) f c) sebetulna identik dengan m AB lim h 0 h Definisi ini memunculkan konsep baru dalam kalkulus ang dinamakan sebagai turunan Turunan fungsi f adalah fungsi f dibaca f aksen ) ang nilaina pada sembarang bilangan c adalah f c + h) f c) f ' c) lim h 0 h catatan: Apabila limit ini ada maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan terturunkan ) di c, pencarian turunan disebut pendiferensialan; bagian kalkulus ang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial. 11
Leibniz memberikan kontribusi besar dalam penulisan notasi turunan ang dikenal sebagai penulisan Leibniz, seperti tampak pada tabel berikut: Turunan Penulisan Penulisan f aksen aksen Pertama f ' ) ' Kedua f '' ) '' Penulisan d Penulisan Leibniz d D d D Ketiga f ''' ) ''' 3 D Keempat f '''' ) '''' 4 D Kelima 5) f ) Ke - n ) ) f n n) 5) 5 D d d 3 d 3 d 4 d 4 d 5 d 5 d D n n d n d Dari tabel di atas tampak bahwa Leibniz memberikan penulisan ang lebih manis daripada ang lain. kesimpulan Banak hal di dalam kalkulus diferensial menjadi terungkap dan mudah dengan penulisan notasi Leibniz ini. Berikutna kita akan melihat penerapan turunan oleh Newton ang sering disebut sebagai Bapak Kalkulus. 1
Isaac Newton 164 177 ) Lahir di Inggris dari keluarga petani. Newton adalah seorang pemuda ang bosan dengan sekolah dan lebih senang membuat laangan, roda air, jam dan perkakas lain. Pamanna ang melihat bakat dari diri Newton menekolahkanna di Trinit College. Hasilna Newton mendapatkan gelar kemahaguruan dari Isaac Barrow seorang pakar ilmu agama dan mahaguru matematika ). Dalam waktu singkat Newton menemukan teorema binomial umum, elemen dari kalkulus diferensial dan integral, teori warna, dan hukum gravitasi universal. Lagrange 1736 1813 ) memuji Newton sebagai seorang jenius terbesar ang pernah hidup. Konsep dasar Banak hal ang bisa digali dari pemikiran Newton, salah satuna adalah konsep maimum dan minimum suatu fungsi. maimum f minimum a c d b Pada gambar di atas fungsi f dibatasi oleh titik a dan b ang bisa kita tuliskan sebagai selang I[a,b], titik a dan titik b ini kemudian kita sebut sebagai titiktitik ujung. Dari f )0, kita menemukan titik c dan titik d ang kemudian kita sebut sebagai titik-titik stasioner. Dari definisi di atas kita dapat membuat suatu teorema ang kemudian kita sebut sebagai teorema titik kritis 13
Teorema Titik Kritis andaikan f didefinisikan pada selang I[a,b] ang memuat titik c. Jika c adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, akni c berupa salah satu: a. titik ujung dari I b. titik stasioner dari ff c)0) c. titik singular dari ff c) tidak ada ) Dari teorema titik kritis di atas kita dapat membuat suatu prosedur untuk mencari nilai maimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I. Contoh kita akan mencari nilai maimum dan minimum dari fungsi 3 1 f ) + 3 ang memiliki selang, solusi: Hal pertama ang perlu kita lakukan adalah mencari titik-titik kritis fungsi tersebut. 1 a. titik kritis pertama adalah titik ujung dari selang aitu dan b. titik kritis kedua adalah titik stasioner dari fungsi tersebut ang dapat kita cari dengan f ' ) 0 6 + 6 0 6 1) 0 0 1 kita telah mendapatkan titik kritis kedua aitu titik stasioner 0 dan 1 c. cari nilai fungsi di titik-titik kritis tersebut, didapat: 1 f ) 1 f 0) 0 f 1) 1 f ) 4 Tampak dari hasil tersebut bahwa nilai maimum fungsi adalah 1 dicapai pada -1/ dan 1 ) dan nilai minimum fungsi adalah - 4 dicapai pada ). 14
Kesimpulan Dari contoh diatas kita tarik suatu kesimpulan bahwa turunan telah terbukti sebagai suatu metode ang cukup efektif dalam menghitung permasalahan maimum dan minimum suatu fungsi, hebatna lagi kita tidak perlu menggambar grafik fungsi tersebut. Banak permasalahan praktis maimum dan minimum sehari-hari ang dapat dipecahkan dengan metode ini. 15
Georg Friedrich Bernhard Riemann 186 1866 ) Rieman meraih gelar Ph D di bawah Gauss dari Universitas Gottingen. Dimana kemudian dia memilih tinggal di Gottingen dan mengajar di sana. Hidupna sangat singkat, hana 39 tahun tetapi Rieman menghasilkan makalah makalah matematika ang menetapkan arah baru dalam teori fungsi kompleks, memprakarsai studi mendalam tentang apa ang sekarang ini disebut topologi, dan dalam geometri memulai perkembangan ang memuncak 50 tahun kemudian dalam teori relativitas Einstein. Walaupun Newton dan Leibniz disebut sebagai penemu integral dan teorema dasar dari kalkulus integral, tetapi Riemanlah ang memberikan definisi modern tentang integral tentu. Yang kemudian untuk menghormatina disebut Integral Riemann. Konsep dasar Ada beberapa teorema dasar dalam Matematika, aitu: Teorema dasar aritmatika sebuah bilangan bulat dapat difaktorkan secara tunggal menjadi hasil kali dari bilangan-bilangan prima. Teorema dasar aljabar sebuah persamaan polinom derajat n tepat mempunai n penelesaian akar ), termasuk ang berulang. Teorema dasar kalkulus Teorema dasar kalkulus andaikan f kontinu karenana terintegralkan ) pada [a,b] dan andaikan F sebarang anti turunan dari f di atas, maka b a f ) d F b) F a) Munculna integral bermula dari operasi invers dalam matematika seperti: - penambahan dan pengurangan - perkalian dan pembagian - pemangkatan dan penarikan akar - pendiferensialan dan anti pendiferensialan 16
contoh: 1 Apabila 3 + maka d pendiferensialan ) 3 d Kita bisa membalik operasi di atas menjadi 1 3 d + c anti pendiferensialan ) 3 Kesimpulan Integral anti pendiferensialan ) sebetulna merupakan operasi balikan dari pendiferensialan. Konsep ini bermula dari adana fenomena operasi balikan dari matematika seperti penambahan/pengurangan, perkalian/pembagian, dsb. Rieman memberikan ide ang cukup kuat bagi Newton dan Leibniz ang kemudian melahirkan teorema dasar kalkulus. 17
Archimedes 87 1 BC ) Archimedes merupakan matematikawan terbesar dari zaman purbakala. Ia dikenal sebagai pencipta dan penemu praktis. Beberapa ciptaanna seperti sekrup Archimedes, model mekanis gerakan bulan dan planet, dan prinsip daa apung Archimedes. Tulisanna di bidang matematika dicurahkan ke bagian matematika ang sekarang dikenal sebagai kalkulus integral. Dengan memakai metode keletihan ia menjumlahkan sejumlah besaran-besaran ang sangat kecil. Sumbangan lainna adalah rumus luas lingkaran, luas dari potongan parabol, luas elips, volume dan luas permukaan bola, volume kerucut dan benda putar lain. Ia bahkan meminta kepada temanna agar di atas batu nisanna diletakkan sebuah bola berisi tabung berukir, ditulisi dengan hasil bagi volume bola dan tabung tersebut. Konsep dasar: Untuk menghormati keinginan Archimedes di saat terakhirna, kita akan membuat sebuah bola dengan tabung didalamna. Seandaina kita mempunai bola dengan jari-jari R dan tabung dengan jari-jari r maka kita akan mencari persamaan ang timbul dari kedua parameter tersebut. A C B 18
D Lihat segitiga ABC diatas: R r + h) R 0 C B R misalkan kita mempunai bola dengan R3 maka R 3 A r r + h) R 0 r + h)3 0 9 3r 3h 0 3 r h 0 h 3 r h E ACCBRjari-jari bola DECRjari-jari tabung CDREtinggi tabung Maka: AC AD ER CB DE RB R R h h R r R r R h h 1 r R r R h) R r) hr apabila kita bandingkan volume bola dengan volume tabung seperti ang diminta oleh Archimedes ) maka kita akan dapatkan R rr hr + hr hr V V bola tabung 4 πr 3 π r h 4R 3r h kesimpulan Archimedes membuat suatu kontribusi penting di Yunani sekitar tahun 5 SM, lewat pemikiranna kita mengenal volume dan keliling sebuah lingkaran, volume dan luas kerucut dengan alas berbentuk ellips,volume dari semua bagian revolusi paraboloid dan sebagian untuk bagian revolusi hperboloid. 19
Leonard euler 1707 1783 ) Lahir di dekat Basel, Swiss, ia belajar pada Johann Bernoulli dan telah menerbitkan makalah makalah pada usia 18 tahun. Pengarang matematika paling subur dalam sejarah. Ia memperkenalkan e sebagai bilangan dasar untuk logaritma asli. Kebutaan selama 17 tahun terakhir dari hidupna tidak menghambat karana. daa ingatna sangat luar biasa, ia mengetahui rumusrumus trigonometri dan analisis, ditambah banakna puisi dan seluruh aenid. Bahkan kabarna dia telah mengerjakan suatu perhitungan sampai 50 posisi decimal di kepalana. Konsep dasar Lewat pemikiran euler kita, dalam kalkulus kita bukan mengenal fungsi aljabar semata tetapi juga fungsi transenden. Fungsi transenden ini meliputi: fungsi logaritma, fungsi eksponen, fungsi trigonometri, fungsi hiperbol, dan fungsi invers. Lewat euler juga kita mengenal persamaan pertumbuhan dan peluluhan kt eksponensial aitu e o Sebagai contoh pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanak 4 milard. Menjelang tahun 000 menjadi 6,6 milard. Kita dapat meramalkan setelah berapa tahunkah lewat 1975, penduduk dunia akan mencapai 8 milard? Kita akan membandingkan fakta di lapangan dengan persamaan tersebut. Pada tahun 1975 kita akan mempunai k0,0198 dari pengamatan) dan 0 4 satuan milard ) berarti kita memiliki persamaan: 4e 0,0198t sehingga pada tahun 000, berarti t 5 kita dapat melihat bahwa 0,01985) 4e 6, 6milar apabila 8 milar maka kita akan memiliki persamaan 8 4e 0,0198t t 35tahun jadi kita dapat membuat estimasi bahwa setelah 35 tahun dari tahun 1975 ) penduduk dunia akan mencapai 8 milar. 0
Kesimpulan Di tangan euler, kalkulus menjadi sedemikian kompleks sehingga dapat memecahkan persoalan-persoalan ang melibatkan fungsi-fungsi transenden selain fungsi aljabar ). Kontribusi terbesar euler adalah pengenalan bilangan e ang pada akhirna banak dipakai dalam pertumbuhan dan peluruhan suatu unsur kimia, dan lewat fungsi eksponena kita dapat menemukan perhitungan bunga majemuk ang dipakai oleh bank-bank saat ini. 1
Johan Bernoulli 1667 1748 ) johan dan saudarana Jacquess, setelah Newton dan Leibniz, merupakan perintisperintis terpenting dari kalkulus, keduana bersaing sengit satu sama lain. Bernoulli menangani semua jenis masalah dasar dalam kalkulus, termasuk titiktitik balik, panjang kurva, deret tak terhingga, dan teknik pengintegralan. Johan menulis buku ajar kalkulus ang pertama tahun 1691 dan 169, tetapi bagian tentang kalkulus integral tidak diterbitkan sampai tahun 174 dan tentang kalkulus diferensial sampai tahun 194. sebagai gantina pada tahun 1696, Hospital, mahasiswa Johan, menerbitkan naskah kalkulus ang pertama dengan bentuk ang diubah sedikit dari kara guruna. Pengaruh Johann ang paling baik dapat dilihat pada mahasiswana, Leonhadd Euler. Konsep dasar ub) uhv) ua) b vdu a b udv a b a b a udv u b) v b) u a) v a) udv [ uv] b a b a vdu b a vdu va) vb) Rumus di atas disebut sebagai integral parsial Kesimpulan Di tangan bernouli kita mengenal beberapa metode pengintegralan secara lebih mendalam. Lewat pemikiranna kita mengenal ang dinamakan metode pengintegralan dengan penggantian, pengintegralan parsial, pengintegralan trigonometri, dan pengintegralan fungsi rasional.
Guillaume F.A. de l Hospital 1661 1704 ) Lahir dari orang tua bangsawan Prancis. Dengan sedikit bakat matematika dan banak uang, ia menunjang Johann Bernoulli untuk menerbitkan penemuanpenemuanna. Karana ang dikenal dengan nama Aturan l Hospital sebetulna merupakan kara Johann Bernoulli, hana saja Bernoulli tidak memiliki bukti untuk menuntutna. Sampai kemuidan pada tahun 1955, surat-surat antara Bernoulli dan l Hospital membenarkan tuntutan Bernoulli. Submangan l Hospital ang lain adalah buku pelajaran pertama tentang kalkulus differensial, ang diterbitakan tahun 1696. Konsep dasar Masih ingat Cauch ang menelesaikan limit dengan pendekatan aljabar ang kemudian kita sebut sebagai suatu metode ang sangat cerdik untuk menelesaikan bentuk tak tentu ) 1 1) + 1) lim lim lim + 1) 1 + 1) 1 1 1 1) 1 L Hospital menerbitkan suatu buku ang berisi ang mengenalkan metode supercerdik untuk menelesaikan limit tak tentu ang disebut sebagai teorema L Hospital. f ) f ' ) lim lim g ) g' ) ang berarti soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut 1 lim lim.1 1 1 1 1 sangat cerdik bukan! Kesimpulan Sebagai salah seorang murid Bernouli, L hospital boleh dikatakan sebagai murid ang tidak berbakti. Beberapa kara Bernouli diaku dan diterbitkan oleh L Hospital ang memang kaa dan beruntung. Kara orisinalna mungkin adalah tentang teori infinitesimal ang mengatakan bahwa jika dua besaran dibedakan suatu bilangan ang sangat kecil, mereka dapat dipandang sebagai sama. Oleh orang orang jenius seperti Newton, Leibniz, Bernouli, dan Euler ide ini digantikan oleh penemuan limit, tetapi ide ini kembali dihidupkan oleh cabang matematika baru saat ini ang disebut analisis tak baku. 3
APLIKASI Kasus: seorang konglomerat berencana untuk berinvestasi di kompleks perumahan Madu Kismo, pertimbanganna adalah kompleks tersebut berada di pinggir jalan ang ramai sehingga akan sangat strategis apabila dibangun ruko. Pihak kompleks perumahan Madu Kismo memberi harga kepada konglomerat tersebut sebagai berikut: Rp 5000 / m sisi horizontal dan Rp 000 / m sisi vertical, dan luas maimum ang bisa diambil adalah 100.000 m Permasalahan: anda sebagai seorang consultant diminta untuk menentukan berapa ukuran tanah ang harus dia beli untuk meminimumkan harga belina. Solusi: Pertama kali ang anda lakukan adalah menggambarkan kasus tersebut sbb: JALAN RAYA L 100.000 m Pihak Perumahan Madu Kismo memberikan harga Rp 5000 / m horizontal dan Rp 000 / m vertical, berarti biaa ang harus dikeluarkan oleh konglomerat tersebut dapat dituliskan sbb: B 5000 + 000..1) pihak perumahan Madu Kismo juga memberikan batasan bahwa luas tanah ang bisa diambil adalah 100.000 m ang dapat dituliskan sbb: 4
100000 100000.) kita akan memasukkan persamaan ) ke dalam persamaan 1) menjadi 100000 B 5000 + 000 00000000 B 5000 + kita akan mencari titik stasioner persaman tersebut dengan mengikuti aturan B' ) 0 5000 00000000 0 00000000 5000 00000000 40000 5000 ± 00 kita akan ambil 00 karena angka -00 tidak berarti ), dan akan melakukan test apakah nilai ini memang membuat Biaa menjadi minimum. Test bisa dilakukan dengan melakukan uji turunan kedua aitu apabila hasilna lebih dari nol berarti nilai itu adalah pembuat minimum ). 400000000 400000000 B '' ) 50 3 lebih dari nol ) 00) 00 ternata setelah kita melakukan uji turunan kedua kita mendapatkan nilai ang lebih dari nol berarti memenuhi persaratan untuk pembuat minimum ) sehingga nilai 00 adalah pembuat minimum. Dengan memasukkan nilai ini ke persamaan ) kita mendapatkan 500. sehingga harga beli konglomerat tersebut dapat kita minimumkan dengan membeli 00 dan 500 ang berarti konglomerat tersebut harus meniapkan biaa sebesar B 5000 00 ) + 000 500 ) 000000 rupiah. Selamat anda bisa mengirimkan analisis ini ke konglomerat tersebut, dan jangan lupa anda meminta hak anda aitu komisi 10 % 5
Kasus: PT ANEKA TAMBANG berencana untuk membuat pipa ang menalurkan minak dari titik A sumber ) ke titik C perusahaan ) melewati hutan lebat. Seperti tertampil pada gambar dibawah ini. C 100 km 5 km HUTAN LEBAT B X A Pihak BOD Board of Director ) menginginkan pipa dari A ke C, akan melewati pinggir hutan AX) dan pada satu titik tertentu X) memotong hutan XC ). Dari pihat konstruksi sendiri menawarkan biaa Rp 100.000 / km melewati pinggir hutan dan Rp 00.000 / km memotong hutan. Permasalahan Kebetulan anda adalah analisis sstem di PT ANEKA TAMBANG, dan harus membuat presentasi ke BOD tentang biaa ang diperlukan untuk mengimplementasikan pipa tersebut dengan biaa minimum. Solusi: Pertama ang bisa anda lakukan adalah membuat persamaan untuk biaana dengan memperhatikan parameter parameter berikut: Misalkan BX maka AX 100 BX 100..1) Lihat segititiga XBC: Teorema phthagoras mengatakan bahwa XB + BC XC + 5) XC XC + 5) ) dari persamaan 1) dan ) kita dapat menentukan biaa implementasi pipa adalah 6
B 100000AC + 00000XC B 100000100 ) + 00000 + 5) B 100100 ) + 00 B 10000 100 + 00 + 65 dalam _ ribuan) + 65) 1/ untuk mencari nilai pembuat minimum kita lakukan uji turunan pertama B' ) 0 1 100 + 00 00 100 + + 65) 00 + 65) 100 4 + 65 3 00 + 65) 65 1/ 65 08.33 3 ± 14,43 + 65) 1/ 100 1/ 0 1/ ) 0 kwadratkan _ kedua _ sisi) kita mendapatkan nilai 14, 43 dan dengan uji turunan kedua kita bisa membuktikan bahwa nilai ini adalah pembuat minimum B 14,43) > 0 ) berarti biaa minimum ang perlu dikeluarkan oleh PT ANEKA TAMBANG untuk implementasi pipa adalah B 10000 100 + 00 B 10000 10014,43) + 00 B 1439 dalam _ ribuan) B 1439000 + 65 dalam _ ribuan) 14,43 + 65 dalam _ ribuan) biaa minimum ang perlu dikeluarkan adalah Rp 14.39.000. Bravo anda telah membuat analisis mengagumkan ang akan meningkatkan karier anda di perusahaan. 7
PENUTUP Buku BASIC CALCULUS FOR STUDENTS: mengenal kalkulus dengan pendekatan filosofis ini diharapkan dapat memberikan dasar wacana terhadap pelajaran matematika di SMA. Sehingga penampaian maupun penerapan materi menjadi lebih menenangkan dan tidak mematikan imaginasi maupun kreatifitas siswa maupun pengajar. Akhir kata Penghargaan tertinggi saa haturkan kepada Tuhan, mama, kakak, dan hone elfira sidharta. Selanjutna ucapan ucapkan terima kasih saa ucapkan kepada penerbit Gava Media, para guru, teman, dan murid-murid saa. Segala saran, kritik, dan masukan ang membangun bisa dilewatkan www.fendnovento.com atau dengan mengirimkan email ke admin@fendnovento.com DAFTAR PUSTAKA - Kalkulus dan Geometri Analitik: edisi keempat, jilid 1, Edwin Purcell, Dale Varberg, Erlangga, Jakarta - Aplied Mathematics for business, economics, and the social scince, 4 th edition, Frank S Budnic, McGraw Hill Inc, 1993 - Sejarah Matematika Klasik dan modern, Salah Kaduri Haza s, Dastriningrum S, Ibnu Ngathoillah, UAD PRESS, 004 8