Rivised impleks Method (metode simpleks yang diperbaiki) Metode simpleks yang sudah kita pelajari, menunjukkan bahwa setiap perpindahan tabel baru selalu membawa semua elemen yang terdapat dalam tabel. Dalam metode simpleks yang diperbaiki, setiap perpindahan tabel baru tidak semua elemen diperlukan. Informasi yang sangat diperlukan untuk berpindah dari satu tabel ke tabel berikutnya adalah : () Nilai pada baris Z j C j. () Kolom kunci (variabel yang akan masuk basis). () Variabel basis. (4) Nilai konstanta ruas kanan (b i ) yang berkorespondensi dengan variabel basis. elain keempat informasi tersebut, sebenarnya yang lain tidak diperlukan (tidak memiliki peran) dalam proses perpindahan tabel simpleks. Jika persoalan linier program cukup besar, hal ini akan menjadi tidak efisien jika membawa semua elemen ke dalam tabel berikutnya. Cara yang lebih efisien yang dapat digunakan untuk mengatasi permasalahan seperti diatas adalah dengan metode simpleks yang diperbaiki atau simpleks multiplier. BENTUK UMUM METODE IMPLEK YANG DIPERBAIKI Matriks dari bentuk standar linier program adalah sebagai berikut : di mana, Maksimum Z = c x dk Ax = b i x A = (m x m) a a. a n a a. a n a m a m. a mn b i = (m x ) b x b x x = (n x ) b i x n dan, c = ( x n) [ c, c,.c n ]
Misalkan kolom yang berkorespondensi dengan matriks (A) dinyatakan dengan : Y, Y,, Y n, di mana, Y = (m x ) a a a n a a a n Y ; = Y ; = (m x ) (m x ) a m a m a mn Misalkan kita memiliki variabel basis x, x,, x m, maka matriks basisnya adalah : B = Y, Y, Y m = (m x n) a a. a m a a. a m a m a m. a mm - B B. B m B B. B m B invers = B B m B m. B mm Misalkan vektor (B) dipecah menjadi B = (n x ) B B N di mana B berkorespondensi dengan variabel basis, dan B N merupakan variabel nonbasis, maka : B = (m x ) b x m+ b x B m+ dan N = (n - mx) b m x m+n
dengan demikian solusi basis optimum adalah : B I = B - b i = B b + B b +. + B m b m B b + B b +. + B m b m B m b + B m b +. + B mm b m Misalkan C B merupakan koefisien fungsi tujuan untuk variabel basis, maka fungsi tujuan dari variabel basis adalah : Z = Cx = C B B I = c b + c b + + c m b m Untuk menguji apakah solusi telah optimum, perlu dihitung simpleks multiplier (π) = C B B -. Koefisien fungsi tujuan yang baru = ĉ j = πy i c j. Oleh karena fungsi tujuan berbentuk maksimum, maka solusi optimum akan dicapai apabila ĉ j. Jika solusi belum optimum, maka pilih salah satu nilai ĉ j yang memiliki negatif terbesar, sebagai variabel masuk basis. edangkan variabel yang akan keluar basis perlu ditentukan kolom pivot dengan menggunakan rumus berikut : Y jn = B - Y jn = â n â n â mn etelah itu uji perbandingan minimum untuk menentukan variabel yang akan keluar basis dengan rumus : b b = Minimum, untuk, i =,,, m. â n â n Proses ini diulangi sampai solusi optimum tercapai.
Contoh : Penyelesaian LP dengan Rivised impleks, pada prinsipnya sama dengan metode simpleks terdahulu. Akan tetapi kita hanya menghitung informasi yang penting saja pada setiap perpindahan tabel baru. Maksimum Z = 4X + X + + Dk. [] X + X + = [] X + X + = [] X, X,, Untuk melihat hasil perhitungan dengan Rivised impleks, terlebih dahulu kita akan selesaikan dengan metode simpleks biasa, sebagai perbandingan. CB Basis C j 4 b i X X Indeks := := Z j -C j -4 - CB Basis C j 4 b i X X Indeks 7 /4 -/ 7:,=6 4 X ¼ / :,= Z j -C j - CB Basis C j 4 b i X X X 6, -, 4 X -,, Z j -C j 9, Indeks olusi optimum permasalahan diatas adalah X =, X = 6 dengan nilai Z =.9. Dalam rivised simpleks, tidak semua angka yang terdapat dalam tabel diatas kita perlukan. Jika, kolom X, X, dan kita kita sebut Y, Y, Y dan Y 4. Konstanta nilai kanan kita sebut bi, dan koefisien fungsi tujuan kita sebut C, C, C, dan C 4, maka angka-angka tersebut dapat dibuat sebagai berikut : Y = b i =, Y =, Y =, Y4 =. ; C = [4], C = [], C = [], C 4 = []. ehingga tabel awal metode rivesed simpleks adalah :
Tabel. Tabel awal simpleks diperbaiki basis B - b i Dalam tabel variabel basis adalah dan dengan koefisien fungsi tujuan C dan C 4. impleks multiplier = π = C B B -, dimana C B = [C,C 4 ] = [,]. impleks multiplier = π = [,] = [,] C = π Y C = [,] C = π Y C = [,] - 4 = - 4. - = -. Oleh karena C memiliki angka negatif terbesar, maka X masuk basis (menjadi kolom kunci). Untuk menentukan variabel yang akan keluar basis (baris kunci) adalah memilih angka terkecil dari (aturan perbandingan minimum) b i : Y. Minimum = b i Y : = Keluar basis Pada tabel berikutnya, variabel basis menjadi dan X, oleh karena itu matriks basis berubah menjadi : B = [Y,Y ] = Invers matriks basisnya adalah : B - = [ x] [ x] = Berdasarkan teori matriks, setiap nilai pada tabel berikutnya dapat diperoleh dengan mengalikan kolom persamaan asal dengan invers matriks basisnya. b i = B - b i = 7 = X Perhitungan diatas menghasilkan tabel kedua simpleks yang diperbaiki berikut :
Tabel. Tabel kedua simpleks diperbaiki basis B - b i -/ 7 X / Apakah tabel dua tersebut sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perlu dihitung nilai C j baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis yaitu X dan sebagai berikut. impleks multiplier = π = C B B -, dimana C B = [,4]. π = [,4] = [,] C = π Y C = [,] C 4 = π Y C = [,] - = -. - =. Tabel akan optimum apabila nilai C j. Berarti tabel belum optimum, karena nilai C yang baru masih negatif yang berkorespodensi dengan variabel keputusan X. Pada tabel selanjutnya X masuk basis (kolom kunci). Untuk menentukan variabel mana diantara dan X yang akan keluar basis (baris kunci), dipilih dari hasil minimum b i : Y. Nilai vektor kolom baru yang berkorespondensi dengan X adalah Y = B - Y. Y = 4 = 4 Variabel yang akan keluar basis adalah : Minimum = b i Y 7 4 : 4 6 = X Keluar basis Variabel basis yang baru menjadi X dan X, dan menghasilkan matriks basis seperti berikut : B = [Y,Y ] = Invers matriks basisnya adalah :
B - = [ x] [ x] 4 = Nilai konstanta ruas kanan yang baru (b i ) untuk tabel berikutnya adalah : b i = B - b i = 4 6 = X X Hasil perhitngan diatas dapat dibuat dalam tabel simpleks yang diperbaiki seperti berikut ini : Tabel. Tabel ketiga simpleks diperbaiki basis B - b i X 4/ -/ 6 X -/ / Apakah tabel tiga tersebut sudah optimum? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perlu dihitung nilai C j baru yang berkorespondensi dengan variabel non basis ( dan ). impleks multiplier = π = C B B -, dimana C B = [,4]. π = [,4] 4 = [;,] C = π Y C = [;,] - =. C 4 = π Y 4 C 4 = [;,] - =,. Tabel akan optimum apabila nilai C j. Oleh karena nilai baru dari C dan C 4 yang baru positif dan,, maka tabel adalah optimum, dengan nilai X dan X masing-masing adalah dan 6. ehingga nilai Z maksimum adalah 4() + (6) =.9. olusi optimum metode simpleks diperbaiki sama dengan solusi optimum metode simpleks biasa. Akan tetapi penggunaan metode simpleks yang diperbaiki jauh lebih efisien jika dikerjakan secara manual.
Contoh : Maximum Z = X + X + + - MA - MA Dk. [] X + = 4 [] X - + A = [] X + X + A = [4] X, X,,, A, A Misalkan Y,, Y 6 menunjukkan kolom yang berkorespondensi dengan X, X,,, A, A dan b i berkorespondensi dengan konstanta ruas kanan, maka : Y =, Y =, Y =, Y 4 =, Y =, Y 6 =, dan b i = 4 Variabel basis awalnya adalah, A dan A, sehingga tabel awal simpleks yang diperbaiki adalah sebagai berikut : Tabel. Tabel awal simpleks diperbaiki basis B - b i 4 A A Variabel manakah yang masuk basis? Karena fungsi tujuan berbentuk maximum, maka variabel yang memiliki nilai C j negatif terbesar adalah variabel yang akan masuk basis. impleks multiplier = π = C B B -, dimana C B = [,-M,-M] π = [,-M,-M] = [,-M,-M] C j = π Y j C j. C = [,-M,-M]. C = [,-M,-M] - = - M - = - M
. C = [,-M,-M] - = 4. C 4 = [,-M,-M] - = M. C = [,-M,-M] - (-M) = 6. C 6 = [,-M,-M] - (-M) = C menghasilkan angla negatif terbesar yaitu M, oleh karena itu variabel X masuk basis. Variabel manakah diantara, A dan A yang akan keluar basis? adalah hasil minimum dari b i : Y, atau Minimum = 4 : = A A Keluar basis Pada tabel pertama variabel basisnya adalah, A dan A yang berarti matriks basisnya adalah Y, Y, dan Y 6 atau : B = baris baris baris Untuk mencari invers matriks basis (B - ) dapat dilakukan dengan operasi pivot, di mana kolom pivotnya adalah kolom Y.. Kalikan baris dengan nol, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris. Baris = [ ] x = [ ] Baris = [ ] Nilai baru = [ ] +. Bagi baris dengan satu. Baris = [ ] : = [ ]. Kalikan baris dengan minus satu, kemudian hasilnya tambahkan dengan baris.
Baris = [ ] x = [ - ] Baris = [ ] Nilai baru baris = [ - ] + Dengan demikian, B - = Nilai konstanta ruas kanan yang baru dapat dicari dengan cara : b i = B - b i b i = 4 = 4 X A Hasil perhitungan di atas dapat dibuat dalam tabel kedua simpleks diperbaiki seperti berikut : Tabel. Tabel kedua simpleks diperbaiki basis B - b i 4 X A - Apakah tabel tersebut sudah optimum?, lihat proses berikut ini : impleks multiplier = π = C B B -, dimana C B = [,,-M] [,,-M] = [, +M, -M]