Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta pada peggaris ii mempuyai jarak yag sama, yaitu 1 cm. Jarak atar bilaga beruruta ii meujukka selisih atarbilaga. Jadi, selisih atara bilaga pertama da kedua adalah 1-0 = 1, selisih atara bilaga kedua da ketiga adalah 1 = 1, da seterusya higga selisih atara bilaga keduapuluh da keduapuluh satuya juga 1. Bilaga-bilaga beruruta seperti pada peggaris ii memiliki selisih yag sama utuk setiap dua suku berurutaya sehigga membetuk suatu barisa bilaga. Barisa bilaga seperti ii disebut barisa aritmetika dega selisih setiap dua suku berurutaya disebut beda (b). Barisa aritmetika adalah suatu barisa dega selisih (beda) atara dua suku yag beruruta selalu tetap. Betuk umum: 1,, 3, 4 atau a, a b, a b, a 3b,...,... Dega : 1 a disebut suku pertama 3 a b disebut suku ketiga a b disebut suku kedua 4 a 3b disebut suku ke empat,dst ifat-sifat khusus pada barisa aritmatika 1. tuk setiap bilaga asli berlaku b 1. Bila a,b,c merupaka barisa aritmatika yag beruruta maka berlaku b = a + c
3. Bila suatu barisa aritmatika disisipka k buah bilaga higga mejadi barisa aritmatika baru, maka beda baru : b baru blama k 1 1. Meetuka Rumus uku ke- Barisa Aritmatika. Jika suku pertama 1, kita misalka a, beda kita misalka b, da suku ke- kita misalka maka Rumus suku ke- suatu barisa aritmatika adalah = a + ( 1)b ifat-sifat suku ke- = a + ( 1) b = a + b b = b + b). Jadi, suku ke- suatu barisa aritmatika adalah fugsi liier dari, dega bilaga asli. E. Deret Aritmatika ( Deret Hitug ) Jika,..., 1,, 3, merupaka suatu barisa aritmatika maka 1 3,... merupaka suatu deret aritmatika atau deret hitug. Rumus jumlah suku pertama deret aritmatika : {a 1b } atau a Dega : a = jumlah suku pertama deret aritmatika = bayakya suku = beda = suku ke- deret aritmatika
Dalam deret arimatika berlaku hubuga atara da sebagai berikut : 1 betuk umum Jika rumus jumlah suku pertama deret aritmatika di yataka dalam a b, maka suku ke- deret aritmatika tersebut dapat di tetuka dega cepat dega rumus praktis sebagi berikut : a b a Meetuka Jumlah uku dari Deret Aritmatika Pada bahasa sebelumya kamu sudah mempelajari barisa aritmatika. Jika suku-suku barisa aritmatika kita jumlahka, maka deret tersebut disebut deret aritmatika. Jika 1,, 3, adalah suku-suku barisa aritmatika, maka 1 + + 3 + 4 + 5 + disebut deret aritmatika. Jika jumlah suku pertama deret aritmatika itu kita lambagka dega, maka = 1 + + 3 + 4 + 5 +. eorag matematikawa Karl Friedrech Gauss (1777 1855) ketika di sekolah dasar, guruya memita dia utuk mejumlahka seratus bilaga asliyag pertama. Gauss memberika jawaba dalam beberapa detik, dia mejawab sebagai berikut: 100 = 1 + + 3 + + 99 + 100 100 = 100 + 99 + + + 1 100 = 1001 + 101 + 101 + + 101 + 101 100 = 100 + 101 + 100101 100 5050 Jadi, jumlah seratus bilagaa asli yag pertama adalah 5050.
Kita dapat mecari rumus utuk jumlah suku pertama (), dari deret aritmatika, yaitu: 1... Atau 3 = a + + b) + + b) + + ( b) + ( b) +. Kemudia uruta suku-suku dijumlahka da dibalik sehigga: = a + + b) + + b) + + ( b) + ( b) +. = + ( b) + ( b) + + + b) + + b) + + b) + a + = + ) + + ) + + ) + + + ) + + ) + + ) Pejumlaha suku, tiap sukuya + ) = + ) = ) Jumlah suku pertama deret aritmatika adalah = ) atau = a ( -1)b Catata : = a + ( 1)b ifat-sifat = ) b b b b a ( a ) = a ( -1)b Jadi, merupaka fugsi kuadrat dari dega bilaga asli. =
Cotoh 1.1 Tetuka jumlah 5 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +... Peyelesaia: Deret 3 + 6 + 9 +... adalah deret aritmatika dega a = 3 da b = 3. Oleh karea itu dega megguaka rumus = a ( -1)b diperoleh 5 = 5 [(3) + (5-1)(3)] = 5 [6 + 4(3)] 5 = (6 + 7) = 5 (39) = 975. Jadi jumlah 5 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +... adalah 975. Cotoh 1. Tetuka jumlah semua bilaga gajil atara 50 da 100. Peyelesaia: Diketahui a = 51, b =, da = 99. tuk mecari jumlah semua bilaga gajil di atara 50 da 100, pertama - tamakita cari dulu bayakya bilaga gajil di atara 50 da 100, yaitu dega megguaka rumus: = a + ( - 1) b 99 = 51 + ( - 1)() 99 = 51 + - 99 = 49 + = 99-49 = 5.
elajutya dega rumus jumlah suku pertama suatu barisa aritmatika, = a ( -1)b diperoleh: 5 5 = [(51) + (5-1)()] = 5(51 + 4) = 5(75) = 1.875. Jadi jumlah semua bilaga gajil atara 50 da 100 adalah 1.875. Cotoh 1.3 Ditetuka deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + Carilah : a. rumus suku ke-, b. rumus jumlah suku pertama, da c. jumlah 0 suku pertama. Peyelesaia: a. Diketahui a = 1, da b = 3 = a + ( 1)b = 1 + ( 1)3 = 3 1 b. Jumlah suku pertama = ) = (1 3 - )
= (3 1) 3 c. Jumlah 0 suku pertama 0 3 3 0 (0) = 600 10 = 590 Jadi, jumlah 0 suku pertama adalah 590. Cotoh 1.4 Hituglah jumlah deret aritmatika 3+ 8 + 13 + + 98 Peyelesaia: Diketahui = 3, b = 5 da = 98 = a + ( 1)b 98 = 3 + ( 1)5 98 = 5 5 = 98 5 = 100 = 0 0 = 0 ) 0 = (3 98) = 1010 Jadi, adalah 1010