TUGAS ANREAL BAB Dosen: Julan HERNADI SELESAIKAN SOAL-SOAL BERIKUT SEKUAT KEMAMPUAN YANG ANDA MI- LIKI. WALAUPUN DALAM KETERBATASAN INTELIGENSI, COBALAH BERUSAHA LEBIH KERAS DALAM BELAJAR.. Jelaskan peran elemen nol dan elemen satuan pada bilangan real. Buktikan kedua elemen ini tidak sama. (Petunjuk: Untuk pertanyaan pertama, deskripsikan jawaban Anda menurut bahasa sendiri. Untuk membuktikan 0 6=, dapat digunakan metoda kontradiksi).. Bagaimana menurut pendapat Anda apakah sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian diperlukan sebagai aksioma bilangan real. Petunjuk: Kedua sifat tersebut disajikan adalah a, b R! a + b R dan a, b R! a b R. Coba amati apakah sifat ini mempunyai signifikansi dalam sistem bilangan real. 3. Operasi pembagian ( ) didefinisikanmelaluiperkalian,yaitu a := a (/b) di mana b b 6= 0. Mengapa perlu adanya syarat b 6= 0. Apakahadasyaratkhususpada pendefinisian operasi pengurangan. (Petunjuk: Kembalikan ke sifat aljabar bilangan real khususnya (M4)). 4. Jelaskan dengan bahasa Anda sendiri, bagaimana proses pendefinisian bilangan positif, bilangan negatif, dan nol pada bilangan real. Bagaimana pula sifat urutan pada bilangan real didefinisikan. (Petunjuk: Sajikan jawaban secara runtut). 5. Apa yang dimaksud dengan sifat trikotomi pada bilangan real. Apakah pada bilangan real ada sifat dikotomi, berikan contohnya. (Petunjuk: Sifat trikotomi adalah tiga sifat yang saling asing, sedangkan dikotomi adalah dua sifat yang saling asing). 6. Misalkan ada tiga bilangan real a, b dan c. Diketahui a<cdan b<c. Bagaimana cara membedakan status kurang dari kedua bilangan a dan b ini terhadap bilangan c. (Petunjuk:Gunakansifatjarak).
7. Bagaimana kebenaran pernyataan berikut: perkalian dua bilangan bernilai negatif bila hanya bila kedua bilangan tersebut bertanda sama. Buatlah pernyataan sejenis untuk perkalian dua bilangan bernilai positif dan untuk pembagian dua bilangan. (Petunjuk: Manfaatkan Teorema. dan Contoh.6). 8. Apa manfaat beberapa ketidaksamaan di dalam matematika. (Petunjuk: Deskripsikan jawaban Anda dalam bentuk narasi atau dengan contoh terkait). 9. Bagaimana deskripsi ketidaksamaan segitiga dalam perjalanan tiga kota, misalkan A, B dan C. (Petunjuk:Bayangkanketigakotatersebutadalahtitiksudutsebuah segitiga). 0. Bagaimana kaitan antara supremum dan maksimum, infimum dan minimum. Mengapa konsep minimum dan maksimum perlu dikembangkan menjadi konsep infimum dan supremum. (Petunjuk: Deskripsikan jawaban Anda dengan narasi).. Pendefinisian bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional dilakukan secara konstruktif, yaitu elemen-elemennya didefinisikan secara jelas. Sedangkan bilangan irrasional tidak didefinisikan dengan jelas. Bagaimana kita yakin ada bilangan lain selain bilangan rasional. Selanjutnya, bagaimana kita mengidentifikasi suatu bilangan adalah bilangan irrasional. Adakah bilangan irrasional lain selain dari bentuk akar, seperti p, p 3 dan lain-lain dan bagaimana pembuktiannya. (Petunjuk: Masalah-masalah yang dirumuskan ini dapat dijadikan sebagai bahan diskusi kelompok).. Apakah yang dimaksud sifat kelengkapan pada R dan sifat kepadatan bilangan rasional. Apakah bilangan irrasional bersifat padat juga. 3. Bilangan real dan beberapa himpunan bagiannya ada yang tidak terbatas ke atas dan juga tidak terbatas ke bawah. Apakah fungsi simbol ketakberhinggaan dan pada sistem bilangan real. 4. Buktikan dengan definisi urutan: jika a<bdan c<dmaka ad + bc < ac + bd. Petunjuk. Karena a<bdan c<dmaka berdasarkan definisi diperoleh a b<0 dan c d<0. Terapkansifatbilanganpositifdandefinisiurutan. 5. Diketahui a, b R. Buktikan a + b =0$ a =0dan b =0. Petunjuk. ( ):Sangat jelas. (!) :Diketahui a + b =0. Karena a 0 maka ada dua kemungkinan, yaitu a =0dan a > 0. Tunjukkan bahwa a > 0 tidaklah mungkin. Argumen yang sama digunakan untuk menyimpulkan b =0. 6. Buktikan jika 0 <a<bmaka berlaku a< p ab < b dan b < a.
Petunjuk. Karena a, b > 0 maka berdasarkan RAG berlaku 0 < p ab apple (a + b). Karena a<bmaka aa < ab sehingga a = p aa < p ab. Juga karena a<b maka (a + b) < (b + b) =b. Selanjutnya gunakan RAG pada bilangan a dan b untuk membuktikan ketidaksamaan pertama. Untuk pernyataan kedua menggunakan kenyataan bahwa b a>0 dan ab > 0 sehingga b a > 0. ab 7. Bila c>0, selidikilahrelasiurutanc dan c. Petunjuk. Tulis c c = c(c ). Diperhatikanduakasusberikut:0 <c< dan c>. Jugaperhatikankasuskhususc =. 8. Tentukan semua x yang memenuhi x <x. Petunjuk. Tulis x = x3 < 0. Terapkan dua kemungkinan x x pada pembilang dan penyebut terkait hasil bagi mereka bernilai negatif. x = ( x)(+x+x ) 9. Tentukan semua pasangan titik (x, y) dan sketsa grafik pada R R yang memenuhi persamaan x + y =. Petunjuk. Bagi bidang koordinat XY dalam 4 kuadran. Terapkan definisi nilai mutlak untuk menghilangkan tanda nilai mutlak pada persamaan. Tentukan himpunan penyelesaian pada setiap kuadran. Hasil yang diperoleh digambarkan pada bidang koordinat. 0. Buktikan bahwa max{a, b} = (a + b + a b ). Petunjuk. Terapkan sifat trikotomi pada a dan b, kemudian gunakan definisi maksimum dan definisi nilai mutlak. Sebagai contoh jika a>bmaka max{a, b} = a.. Buktikan untuk setiap a, b R berlaku (a + b) apple (a + b ). Petunjuk. Gunakan ketidaksamaan Cauchy dengan mengambil a = a, a = b dan b = b =.. Tentukan supremum dan infimum, maksimum dan minimum (bila) himpunan sebagai berikut: (a) E := {x x x < 0} (b) E := { n N} (c) E 3 := { n n m m, n N}. Petunjuk. Dengan memainkan variabel pada domain yang diberikan, selidiki kemungkinan nilai terbesar dan nilai terkecil yang dapat didekati oleh anggota himpunan tersebut. 3
3. Misalkan A suatu himpunan takkosong pada R dan terbatas di bawah. Didefinisikan B := { x : x A}. Buktikansup A = inf B. Petunjuk. Misalkan w := inf B maka w apple x untuk setiap x B. Kedua ruas dikalikan dengan diperoleh w x untuk setiap x B. Pernyataanini berarti w x untuk setiap x A. Jadi w batas atas A. Selanjutnya ditunjukkan w =supa. 4. Misalkan E sebuah himpunan dan untuk a 6= 0,didefinisikanaE := {ax : x E}. Buktikan ( a inf E jika a>0 inf(ae) = a sup E jika a<0. Petunjuk. Untuk a<0, misalkanu =supe maka u x untuk setiap x E. Karena a<0diperoleh au apple ax untuk setiap x E. Jadi au batas bawah ae. Misalkan z > au maka ( )z < u. Karena u supremum E maka ( )z a a bukan atas E, yakniadas E sehingga s>( )z. Secara equivalen, as < z a di mana as ae. Ini berarti z bukan batas bawah ae, sehinggadisimpulkan au =inf(ae). Akhirnya, inf(ae) =au = a sup E. Dengan argumen yang sama, silakan buktikan untuk kasus a>0. Ilustrasi untuk a = diberikan pada Gambar. Dalam Gambar ini berlaku inf( E) = sup E dan sup( E) =infe. 4 Figure : Hubungan supremum infimum antara E dan E 5. Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan pada domain X. Jika rangenya terbatas, buktikan sup{f(x)+g(x) :x X} applesup{f(x) :x X} +sup{g(x) :x X}. Petunjuk: Misalkan M f := sup xx f(x) dan M g := sup xx g(x),makaf(x) apple M f dan g(x) apple M g untuk setiap x X. Selanjutnyajumlahkanketidaksamaanini dan ambil supremumnya. 6. Buktikan fungsi d(x, y) := x y + x y merupakan metrik pada R. Petunjuk. Keterpenuhan tiga sifat pertama dapat ditunjukkan dengan mudah. Cukup ditunjukkan berlaku ketidaksamaan segitiga, yaitu x y x z z y apple + + x y + x z + z y
untuk setiap x, y, z R. Untukkeperluaninidefinisikanfungsif(t) := t,t> +t 0. Tunjukkan fungsi ini monoton naik. Dengan mengambil t = x y dan t = x z + z y maka berlaku t t,yaitumenggunakanketidaksamaan segitiga pada metrik nilai mutlak biasa. Dengan harapan pembaca sudah terbiasa dengan cara memulai langkah menyelesaikan soal analisis, maka pada latihan berikut tidak diberikan petunjuk penyelesaiannya. 7. Jika 0 <a<bdan 0 apple c apple d, buktikan0 apple ac apple bd. 8. Bila 0 apple a<b,buktikana apple ab < b.tunjukkanbahwaa < ab < b tidak selalu berlaku.. 9. Buktikan bahwa min{a, b} = (a + b a b ). 30. Temukan himpunan penyelesaian yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) x > 3x +4 (b) <x < 4 (c) x <x Selanjutnya, jawaban Anda dapat diverifikasi melalui grafik fungsi. Banyak program aplikasi matematika yang dapat digunakan untuk menggambar grafik fungsi, misalnya GeoGebra, MATLAB, MAPLE, dan lain-lain. 3. Dalam kondisi apa berlaku pernyataan a + b = a + b. JelaskanjawabanAnda. 3. Jika x<z,buktikanbahwax<y<zbila hanya bila x y + y z = x z. Interprestasikan fakta ini secara geometris. 33. Gambarkan grafik fungsi y = x + x. 34. Tentukan semua x yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) 4 < x + + x + < 5 (b) x 3 < 5 dan x + > secara bersamaan. 35. Tentukan semua pasangan titik (x, y) dan sketsa grafik pada R R yang memenuhi persamaan berikut (a) x = y (b) xy = (c) x y =. 5
36. Tentukan semua pasangan titik (x, y) dan sketsa grafik pada R R yang memenuhi pertidaksamaan berikut (a) x apple y (b) xy (c) x + y apple 37. Buktikan akibat sifat Archimedes berikut: (a) Tidak masalah seberapa besar bilangan real x yang diberikan, kita selalu dapat menemukan bilangan asli n sehingga n > x. (b) Sebesar apapun bilangan real positif y yang diberikan dan seberapa kecil bilangan real postif x yang diberikan maka kita selalu menggandakan x sampai melebihi y, yakniselaluadan N sehingga nx > y. (c) Diberikan bilangan positif sebarang ">0, tidak masalah seberapa pun kecilnya, maka selalu ada bilangan asli n 0 sehingga n 0 <". 38. Misalkan S himpunan takkosong yang terbatas dibawah. Buktikan inf S = sup{ s : s S}. 39. Misalkan S himpunan terbatas dan S 0 himpunan bagian dari S. Buktikan inf S apple inf S 0 apple sup S 0 apple sup S. 40. Misalkan S himpunan takkosong yang terbatas diatas. Untuk a R didefinisikan a + S := {a + x : x S}. 6 Buktikan sup(a + S) =a +sups. 4. Misalkan A dan B himpunan takkosong dan A + B := {a + b : a A, b B}. Buktikan bahwa sup(a + B) = sup A +supb dan inf(a + B) = inf A +infb. 4. Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan pada domain X. Jika rangenya terbatas, buktikan inf{f(x)+g(x) :x X} inf{f(x) :x X} +inf{g(x) :x X}.