Menemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear Muhtadin, ST. MT.
Agenda Metode Tertutup Biseksi Regula Falsi Metode Terbuka Newton Method 3
Solusi untuk Persamaan Non Linear Akar-akar dari persamaan (y = f()) nilai dari yang menjadikan f() = 0. Aljabar umum untuk persamaan sederhana, misalkan: f() = 3 = 0 = 1.5 f() = 4 5 = 0 1 = 5 and = -1 Persamaan Non Linear lebih sulit dikerjakan. h() = h 0 (sin(π/α)cos(πtv/ α) + e - f() = 9.34 1.97 + 16.3 3 3.7 5 = 0 4
Cara Menemukan Akar Menemukan akar dari persamaan kuadrat. a b c 0 b b 4ac a General solution Untuk fungsi yang kompleks sin 1 1. e Menggunakan Metode Numerik 5
Graphical Method F() = - 3 X 0 1 3 F(X) -3-1 6 - < 0 1 > 0 => Terdapat sedikitnya satu akar diantara 1 dan. Theorema: Jika sebuah fungsi f() kontinyu dan f(a)f(b) < 0, maka persamaan f() mempunyai paling sedikit satu akar real pada interval (a,b). Plot fungsi pada grafik [a, b]. 6
Graphical Method (cont d) Plot grafik fungsi dengan menggunakan penggaris dan pensil. Subplot the graph 7
Root Approimation: The Methods Metode Tertutup (bracketing methods) Pendekatan akar pada interval [a, b]. Menjamin menemukan minimal 1 (satu) akar. Bisection dan regula falsi Metode Terbuka Menebak terlebih dahulu akar yang dimaksud. Secara iterative, mendekati akar sebenarnya, menggunakan nilai yang lama. Terkadang bersifat difergen maupu konvergen. Newton method 8
Closed Methods Pada sebuah interval, bisa terdapar satu atau lebih akar, atau mungkin tidak ada akar. f(a)f(b) < 0 Σ root = odd a b b a f(a)f(b) > 0 Σ root = zero or even a b a b 9
Bisection Method f() f(m1)>0 a 1 a 0 m m 1 = b 0 = Pastikan f(a i ) f(b i ) < 0 for i = 0,1,,3,... b 1 10
Eample (Bisection Method) Tentukan akar dari persamaan f() = -11 - + 17 -.5 3 Dengan menggunakan metode biseksi, dengan nilai error Ԑa, hingga mendapatkan 3 digit yang sama, dengan nilai awal i = 0 dan u = 4 11
0 th iteration: f() = -11 - + 17 -.5 3 l = 0; u = 4; r = (0 + 4) / = f( l ) = -11; f( r ) = -7; f( l ) f( r ) = 77 i l u r f( l ) f( r ) f( l ) f( r ) E a e a 0 0 4-11 -7 77 1
f()=-11-+17^-.5^3 0 15 10 5 0-5 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 u -10-15 r -0 l -5 13
1 st iteration: l = ; ( f( l ) f( r ) > 0) u = 4; r = ( + 4) / = 3 f( l ) = -7; f( r ) = 8.5; f( l ) f( r ) = -59.5 E a = r new r old = 3 = 1 e a = ( r new r old ) / r new = (3 ) / 3 = 0.3333333 i l u r f( l ) f( r ) f( l ) f( r ) E a e a 0 0 4-11 -7 77 1 4 3-7 8.5-59.5 1 0.3333333 14
f()=-11-+17^-.5^3 0 15 10 5 0-5 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 r u -10-15 l -0-5 15
i l u r f( l ) f( r ) f( l ) f( r ) 0 0 4-11 -7 77 E a e a 1 4 3-7 8.5-59.5 1 0.3333333 3.5-7 1.1875-8.315-0.5-0. 3.5.5-7 -.91406 0.39844-0.5-0.1111111 4.5.5.375 -.91406-0.85059.478661 0.15 0.056316 5.375.5.4375-0.85059 0.17346-0.14754 0.065 0.05641 6.375.4375.4065-0.85059-0.33754 0.87106-0.0315-0.01987 7.4065.4375.41875-0.33754-0.08175 0.07595 0.01565 0.0064516 8.41875.4375.49688-0.08175 0.04598-0.00375 0.007813 0.003154 9.41875.49688.4578-0.08175-0.0179 0.001463-0.0039-0.0016103.45781 10Lanjutkan.49688 iterasi hingga dihasilkan nilai pembulatan 3 l dan u menghasilkan 3 digit yang sama Jawaban : =.43 16
Comments on Bisection Methods Two-point method, Bracketing Method. Nilai yang dihitung hanya berdasarkan tanda dari nilai fungsi. Pasti konvergen. Tingkat konvergen rendah. Setiap step menghasilkan peningkatan akurasi satu binary digit. (one decimal digit / 3.3 steps) Jika error didefiniskan sebagai Maka setiap kali iterasi dihasilkan error sebesar, dengan mengambil nilai, maka dapat diperoleh jumlah iterasi yang akan dilakukan adalah : 17
Tugas Hitung persamaan f() = -4 - - + 3 Dengan nilai awal i= dan u=3 hingga 3 iterasi. 18
Regula Falsi 19
Regula Falsi Method (False-position Method) f() u r l S ) ( ) ( ) ( ) ( l u l u u l r f f f f ) ( ) ( ) ( l u l l u l f f f y r y dengan, 0 0
Algorithm of False-position method Pilihlah inisialisasi awal f( r ) f( l ) < 0 dan Ulangi sehingga f ( r ) r l f f ( ( u u ) ) u f ( l f ( ) l ) Jika f( r ) = 0, maka = r adalah akar persamaan, STOP Jika f( l ) f( r ) < 0, gantikan u dengan r. Jika f( l ) f( r ) > 0, gantikan l dengan r. Kembali ke perulangan 1
False-position Eample 0 th iteration: f() = -11 - + 17 -.5 3 l = 0; u = 4; r = l f ( u ) u f ( l ) = 1.833333 f ( ) f ( ) u l f( l ) = -11; f( r ) = -9.59954; f( l )f( r ) = 105.5949 i l u r f( l ) f( u ) f( r ) f( l )f ( r ) E a e a 0 0 4 1.83333 3-11 13-9.59954 105.5949
f()=-11-+17^-.5^3 0 15 10 5 0-5 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 u -10-15 -0-5 l r 3
1 st iteration: l = 1.833333; ( f( l ) f( r ) > 0) u = 4; l f ( u ) u f ( l ) r = =.75366 f ( ) f ( ) u f( l ) = -9.59954; f( r ) = 5.1439; f( l )f( r ) = -49.1918 l E a = r new r old =.75366 1.833333 = 0.9038 e a = ( r new r old ) / r new = (.75366 1.833333) /.75366 = 0.334199 i l u r f( l ) f( u ) f( r ) 0 0 4 1 1.833333 1.83333 3 Metode Numerik 3 By : Muhtadin 4.75366-9.59954-11 13-9.59954 f( l )f ( r ) 105.5949 13 5.1439-49.1918 E a 0.903 8 e a 0.334199 4
f()=-11-+17^-.5^3 0 u 15 10 r 5 0-5 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4-10 -15-0 l -5 5
i l u r f( l ) f( u ) f( r ) 0 0 4 1 3 1.833333 3 1.833333 3 1.833333 3 4.46813 4.75366.43335 9.43335 9 1.83333 3.75366.43335 9.4681 3.4688-9.59954-9.59954-9.59954-0.00103-11 13 5.1439 0.10587 4 0.10587 4-9.59954 f( l )f ( r ) 105.5949 13 5.1439-49.1918 0.10587 4-0.00103 E a 0.903 8-1.01635-0.303 0.00998-0.00655 e a 0.334199-0.1316301-0.00697 5E-07-5.E-10 6.3E-05.609E-05.4687 5 Lanjutkan.46813 iterasi hingga 6 l dan u memiliki pembulatan 3 angka yang sama Jawab: =.43 6
Kesimpulan Regula Falsi Merupakan two-point method, Bracketing Method. Pada umumnya, lebih cepat menuju konvergen dibandingkan dengan biseksi 7
Metode Newton-Raphson 8
Newton-Raphson Method f() f( i ) i, f i i1 = i - f(i ) f ( ) i f( i-1 ) i+ i+1 i X
Derivation f() f( i ) B tan( AB AC f '( i ) f ( i ) i i1 C i+1 A i X i1 i f ( i ) f '( ) i Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Prasyarat Metode Newton-Raphson Diperlukan SATU HARGA AWAL (dapat berupa tebakan), dan tebakan harga awal tersebut tidak menyebabkan harga fungsi menjadi tak berhingga. Persamaan y = f () mempunyai turunan yang dapat disebut sebagai y = f () dan harus kontinyu di daerah domain jawab. Turunan fungsi tersebut tidak berharga nol, y 0, pada harga k (pada iterasi ke-k) yang diinginkan 31
Kriteria Penghentian Bilamana SALAH SATU dari syarat berikut ini terpenuhi : Selisih harga k (pada iterasi terbaru) dengan k-1 (pada iterasi sebelumnya) lebih kecil atau sama dengan harga Ԑ, atau dapat dituliskan sebagai:, atau Harga fungsi f( k ) (dengan menggunakan harga pada iterasi terbaru) sudah sangat kecil dan menuju nol atau dapat dikatakan juga lebih kecil atau sama dengan harga Ԑ, yang dapat dituliskan sebagai: 3
Algoritma Newton-Raphson Tentukan Nilai Awal Hitung nilai f() Hitung nilai estimasi akar untuk iterasi selanjutnya, i1 = i - f(i f'( i ) ) Hitung absolut error : a = i 1 - i i1 100 Ulangi hingga memenuhi syarat kriteria penghentian iterasi 33
Tabel Newton-Raphson 34
Contoh : Newton-Raphson Menemukan akar persamaan : f 3-4 -0165. + 3993. 10 35
Contoh : Newton-Raphson Hitung f f ' 3 3 f ' -0165. -0.33 + 3. 993 10-4 Asumsi awal f 0 Untuk 0 0.05 36
Iterasi 1 Perkiraan akar : 1 0 0.05 0 ' 0 3 0.05 0.1650.05 30.05 0.330.05 1.118 10 0.05 3 910 0.05 0.014 f f 0.064 4 3.993 10 4 37
38
a Hitung relative approimate error pada iterasi 1 a 1 1 0 100 0.064 0.05 0.064 19.90% 100 39
Iterati Perkiraan akar : 1 f f ' 0.064 0.064 0.064 0.0638 1 3 0.064 0.1650.064 30.064 0.330.064 1 3.97781 10 8.90973 10 5 4.4646 10 7 3 3.993 10 4 40
41
a Hitung relative approimate error pada iterasi a 1 100 0.0638 0.064 0.0638 0.0716% 100 4
Iterasi 3 Perkiraan akar : 3 f f ' 0.0638 0.0638 0.0638 0.0638 3 0.0638 0.1650.0638 30.0638 0.330.0638 11 4.4410 8.91171 10 4.98 10 3 9 3.993 10 4 43
44
a Hitung relative approimate error pada iterasi 3 a 1 100 0.0638 0.0638 0.0638 0% 100 45
Keuntungan Newton-Raphson Memiliki tingkat konvergensi yang cepat (quadratic convergence), jika konvergen. Hanya memerlukan satu buah nilai tebakan 46
Kerugian Newton-Raphson Divergen pada inflection point Iteration Number i 0 5.0000 1 3.6560.7465 3.1084 4 1.6000 5 0.9589 6 30.119 7 19.746 18 0.000 47
Kerugian Newton-Raphson Division by zero f 3 6 0.03.410 0 Akar dihitung dengan : i1 i 3 i 0.03i.410 3 0.06 i 0 0 atau 0 i 0.0 Untuk dihasilkan pembagian dengan 0 6 48
Kerugian Newton-Raphson Root Jumping 49
Quiz Pada persamaan f = 3 4 + 5 = 0, Tunjukkan bahwa persamaan di atas memiliki solusi untuk selang [0,]. Jelaskan kondisi-kondisi yang harus dipenuhi sehingga bisa menyimpulkan bahwa fungsi f() memiliki akar di dalam interval [0,]. Carilah solusi untuk persamaan di atas dengan metode Regula Falsi atau metode newton raphson (sebanyak 3 iterasi). 50
Reference www.cse.cuhk.edu.hk/~csc800/tuto/tutorial_03.ppt, By Albert 51
TERIMA KASIH 53