METODE NEWTON RAPHSON (1) METODE NEWTON RAPHSON Solusi Persamaan Non Linier Oleh : Metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode terbuka untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier, dengan prinsip utama sebagai berikut : 1) Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal. 2) Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung (gradien) kurva dengan sumbu x 1 2 ITERATION PROCESS ITERATION PROCESS f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) y x 3 x 2 x 1 f(x) x 0 x y f(x) f(x k ) m= f (x k ) y = x f(x k ) -0 = x k x k+1 maka x k+1 x k x x k+1 = x k - f(x k) f (x k ) 3 4
Langkah Penyelesaian Example 1) Tentukan nilai awal x 0 2) Hitung f(x 0 ) kemudian cek konvergensi f(x 0 ) 3) Tentukan fungsi f (x), kemudian hitung f (x 0 ) 4) Lakukan iterasi 5) Hitung nilai taksiran akar selanjutnya x k+1 = x k - f(x k) f (x k ) 6) Cek konvergensi terhadap XTOL (jika ada) Tentukanlah salah satu akar persamaan nonlinier f(x) = x 2-5x + 6 dengan metode Newton- Raphson. Jika diketahui nilai awal x = 0, toleransi galat relatif x adalah 0,02 serta ketelitian hingga 3 desimal. 5 6 Persamaan Nonlinier : f(x) = x 2-5x + 6 Turunan fungsi : f (x) = 2x -5 i x k f(x k ) f (x k ) Ex k 0 0 6-5 - Diketahui nilai awal x 0 = 0 Cek konvergensi f(x 0 ) f(x 0 ) = f(0) = (0) 2 5(0) + 6 = 6 Sehingga perlu dilakukan iterasi Nilai awal x 0 = 0 f(x 0 ) = f(0) = (0) 2 5(0) + 6 = 6 f (x 0 ) = f (0) = 2(0) 5 = -5 Galat Relatif x k (Er x ) = - 7 8
i x k f(x k ) f (x k ) Ex k 0 0 6-5 - 1 1,2 1,44-2,6 1 Nilai x 1 = x 0 (f(x 0 ) / f (x 0 )) = 0 (6/(-5)) = 1,2 f(x 1 ) = f(1,2) = (1,2) 2 5(1,2) + 6 = 1,44 f (x 1 ) = f (1,2) = 2(1,2) 5 = - 2,6 Galat Relatif x k (Er x ) = x 1 x 0 / x 1 = 1,2 0 / 1,2 = 1 > XTOL = 0,02 i x k f(x k ) f (x k ) Ex k 0 0 6-5 - 1 1,2 1,44-2,6 1 2 1,754 0,307-1,492 0,316 Nilai x 2 = x 1 (f(x 1 ) / f (x 1 )) = 1,2 (1,4/(-2,6)) = 1,754 f(x 1 ) = f(1,754) = (1,754) 2 5(1,754) + 6 = 0,307 f (x 1 ) = f (1,754) = 2(1,754) 5 = - 1,492 Galat Relatif x k (Er x ) = x 2 x 1 / x 2 = 1,754 1,2 / 1,754 = 0,316 > XTOL = 0,02 9 10 i x k f(x k ) f (x k ) Ex k 0 0 6-5 - 1 1,2 1,44-2,6 1 2 1,754 0,307-1,492 0,316 3 1,96 0,042-1,080 0,105 Nilai x 3 = x 2 (f(x 2 ) / f (x 2 )) = 1,754 (0,307/(-1,492)) = 1,96 f(x 3 ) = f(1,96) = (1,96) 2 5(1,96) + 6 = 0,042 f (x 3 ) = f (1,96) = 2(1,96) 5 = - 1,080 Galat Relatif x k (Er x ) = x 3 x 2 / x 3 = 1,96 1,754 / 1,96 = 0,105 > XTOL = 0,02 11 Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke- 4. Karena E rx XTOL = 0,02, dengan salah satu akarnya = 2 12
ASSIGNMENT METODE NEWTON RAPHSON (2) 1) Tentukan salah satu akar dari persamaan non linier f(x) = x 2 4x 5 dengan mengunakan Metode Newton Raphson. Jika diketahui nilai awal x = -2 dan toleransi galat relatif x (XTOL) = 0,002 serta ketelitian hingga 3 desimal. 2) Tentukan salah satu akar dari persamaan non linier f(x) = (1/2)x 2 2x 2 dengan mengunakan Metode Newton Raphson. Jika diketahui nilai awal x = 11 serta ketelitian hingga 3 desimal. 3) Tentukan salah satu akar dari persamaan non linier f(x) = 2x 3 x 2 1 dengan mengunakan Metode Newton Raphson. Jika diketahui nilai awal x = -3 serta ketelitian hingga 3 desimal. Menyelesaikan akar dari suatu bilangan, misal ( 25)... 1). 3 7 = 2). ( 12,55) 7 =... ( 19)... 3). 3 8 = Prinsip & langkah penyeleasiannya identik dengan metode Newton-Raphson untuk menentukan akar dari suatu persamaan nonlinier 13 14 Bentuk Akar Example Bentuk Umum : n Contoh : m a = a 1 2 5 = 5 m n 2 3 ( 7 ) = 7 3 2 5 Tentukanlah nilai 70 dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika diketahui nilai awal x = 3 dan ketelitian hingga 3 desimal 15 16
: 5 Bentuk 70 Dapat diubah dalam bentuk pangkat 5 Misal : x = 70 Persamaan Nonlinier : f(x) = x 5-70 Turunan fungsi : f (x) = 5x 4 Diketahui nilai awal x 0 = 3 Cek konvergensi f(x 0 ) x = 70 1 5 5 Pangkatkan 5 kedua ruas f(x 0 ) = f(3) = (3) 5 70 = 173 x 5 = 70 Sehingga perlu dilakukan iterasi maka : y = x 5-70 f(x) = x 5-70 dan y = 5x 4 f (x) = 5x 4 17 18 i x k f(x k ) f (x k ) 0 3 173 405 Nilai awal x 0 = 3 f(x 0 ) = f(3) = (3) 5 70 = 173 f (x 0 ) = f (0) = 5(3) 4 = 405 i x k f(x k ) f (x k ) 0 3 173 405 1 2,573 Nilai awal x 1 = 42,771 219,144 x 0 (f(x 0 ) / f (x 0 )) = 3 (173/405) = 2,573 f(x 1 ) = f(2,573) = (2,573) 5 70 = 42,771 f (x 1 ) = f (2,573) = 5(2,573) 4 = 219,144 19 20
i x k f(x k ) f (x k ) 0 3 173 405 1 2,573 42,771 219,144 2 2,378 6,043 159,889 Nilai awal x 2 = x 1 (f(x 1 ) / f (x 1 )) = 2,573 (42,771/219,144) = 2,378 f(x 2 ) = f(2,378) = (2,378) 5 70 = 6,043 f (x 2 ) = f (2,378) = 5(2,378) 4 = 159,889 Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-4. Karena nilai x 4 dan x 5 telah konstan (x 4 = x 5 = 2,339), sehingga ditemukan salah satu akarnya = 2,339 ASSIGMENT 21 22 34 7 2 1). Tentukanlah nilai dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika diketahui nilai awal x = 9 dan ketelitian hingga 3 desimal. 9 19 2). Tentukanlah nilai dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika diketahui nilai awal x = 2,5 dan ketelitian hingga 3 desimal. Thank You 23 24
f(x) = x 2 4x 5. Nilai awal x = -2. XTOL = 0,002. f(x) = (1/2)x 2 2x 2. Nilai awal x = 11. 25 26 f(x) = 2x 3 x 2 1. Nilai awal x = -3. 7 2 34 Nilai awal x = 9. 27 28
9 19 Nilai awal x = 2,5. 29