TEORI PROBABILITAS ATA 2012-13 PENDAHULUAN MMA 10211 1 2 I. Diberikan data observasi harian (selama bulan Januari 2013) hujan / tidaknya pada sore hari # (banyaknya) H : # (banyaknya) T : 18 12 frekuensi H frekuensi T tanggal : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 kejadian : T H H T H T H H H T frekuensi H dalam sebulan = 18 tanggal : 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 kejadian: T T H H T H H T H H tanggal : 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 kejadian: H H T T H T T H H H 3 Probabilitas hujan = 18 / 30? Probabilitas hujan dalam bln Febr = 18 / 30? 4 II. Dalam tahun 2012, # (banyaknya) H : 152 # (banyaknya) T : 208 frekuensi H dalam setahun = 152 Probabilitas hujan = 152 / 360? Probabilitas hujan dalam th 2013 = 152 / 360? Lebih tepat mana probabilitas Hujan : I atau II? Lakukan pelemparan keping mata uang : G : kejadian keluarnya Gambar A : kejadian keluarnya Angka. Lakukan lemparan sebanyak : 10 kali Catat, # (banyaknya) G : # (banyaknya) A : Probabilitas kejadian keluarnya G :? 5 6 1
Lakukan lemparan sebanyak : 50 kali Probabilitas kejadian keluarnya G :? Lakukan lemparan sebanyak : 100 kali Probabilitas kejadian keluarnya G :?... SIMULASI simulasi hasil sekali lemparan : file lempar_ koin_0.m Capek (MALAS) melakukan observasi? Lakukan simulasi (menggunakan komputer)! 7 simulasi hasil n kali lemparan : file lempar_ koin.m... 8 Pertanyaan : Untuk sekali lemparan 1. Dapatkah kita memperkirakan hasil lemparan? 2. Mengapa hasil lemparan berbeda-beda? Untuk n kali lemparan 1. untuk n yg sama, mengapa probabilitas keluarnya H selalu berbeda? 2. untuk n yg sama, mengapa prob. keluarnya H tidak sama dengan prob keluarnya A? 3. Kapankah prob keluarnya H = prob keluarnya A? Apa syaratnya? 4. Apakah probabilitas adalah suatu FUNGSI? Bila ya, apakah domainnya?, kisarannya? 9 10 Perhatikan fungsi dalam kalkulus : f(x) = x 2 + 1 masukkan unt x = 1, apa hasilnya? masukkan lagi unt x = 1, apa hasilnya?... x = 1 f(x) = x 2 + 1 f(1) = 2 x = 2 f(2) = 5 Perhatikan lagi, f(x) = 1, unt x 0-1, unt x > 0 masukkan unt x = - ½, apa hasilnya? masukkan unt x = 11, apa hasilnya? unt suatu x, apakah hasilnya selalu sama? unt suatu x selalu tetap 11 12 2
Perhatikan, jika probabilitas adalah suatu fungsi prob (kejadian) =... domain Pada pelemparan mata uang : E 1 : kejadian munculnya G E 2 : kejadian munculnya A E = {E 1, E 2 }: himpunan kejadian E 1 prob(e) prob( E1 ) =? E 2 prob( E2 ) =? 13 dari simulasi yg telah dilakukan tidak pernah sama 14 Kalau hasilnya (bayangannya) tidak tetap, maka prob (E) bukan fungsi? katanya (sewaktu Anda di S1), probabilitas adalah fungsi? Apakah simulasinya yg salah? katanya (sewaktu Anda di S1), prob (E 1 ) = prob (E 2 ) = ½? Kalau semasa di S1 dianggap prob (E) adalah fungsi, maka apakah syaratnya? Atau adalah faktor lain yg belum dipertimbangkan? 15 16. Kita telah mengenal grafik p(x) berdistribusi seragam :.. Kita telah mengenal grafik f(x) berdistribusi normal : 1/( ), unt. x p( x) 0, unt. x. yg. lain 17 18 3
Di kalkulus : y = f(x) Di probabilitas : y = prob(e i ) x R domain Apakah sifatnya domain E i E domain Apakah sifatnya domain Ini hal penting yg membedakan? 19 20 Jika probabilitas bukan merupakan fungsi, maka kita tidak mungkin melakukan pendekatan matematis! 21 Pendekatan dalam Matematika Dalam MATEMATIKA, bagaimanakah posisi pendekatannya? CERTAINTY Deterministic UNCERTAINTY Non Deterministic 22 Uncertainty Probabilistic Probable? Possibilistic Fuzzy Possible? Other? Fenomena Probabilistik Fenomena Keacakan Peluang terjadinya suatu kejadian Dari sejumlah besar perulangan, terdapat suatu kecenderungan Mengapa demikian? 23 24 4
Dari simulasi melempar keping mata uang: (rata-rata dari 10 percobaan unt setiap n) n : 10 100 1000 2000 3000 4000 5000 Dikatakan bahwa : Prob(G) : 0.46 0.513 0.4981 0.4993 0.50366 0.49753 0.5001 0.053 0.0149 0.0012 0.00436 0.00613 0.00246 untuk n, prob (E) stabil (tetap) pada saat itulah, probabilitas merupakan suatu fungsi terdapat kecenderungan ke arah stabil 25 26 TIPS : Mulailah menambah softskill Dow Jones Index adakah keacakan, kecenderungan? membuat program komputer (Matlab, Mathematica, dsb) secara MANDIRI! 27 28 Pendekatan studi probabilistas PENDEKATAN : 1. KLASIK Frekuensi diskret 2. MODERN Sifat umum kontinum 29 Pendekatan klasik - modern 1. Domain Diskret Bagaimana dalam Domain Kontinu? AM Legendre, J.Bernoulli, A.De Moivre,Th.Bayes, PS Laplace, CF Gauss, (abad 17-18); A.Markov 2.Domain Kontinum Bagaimana u/hal khusus : Domain diskrit A.M. Kolmogorov 30 5
Pendekatan Modern Mempelajari sifat umum : Fenomena Keacakan Peluang terjadinya suatu kejadian Dari sejumlah besar perulangan, terdapat suatu kecenderungan A.Kolmogorov, memperkenalkan : Andrey N.Kolmogorov (1903-1987) TEORI UKUR 31 From wikipedia free encyclopedia 32 Teori Probabilitas Manfaat (i) (Minimal) : Menjawab keingintahuan dari apa yg kita anggap sebagai hal yg diterima saja sewaktu mempelajari probabilitas di tingkat Sarjana (ii) (Lanjut) : Menggunakan ke bidang aplikasi lanjut, mengembangkan teori probabilitas 33 34 f : fungsi (diskret) prob, memenuhi f(x i ) 0, dan Untuk f kontinu, f(x i ) 0, dan Pertanyaan : Kenapa BOLEH? Sigma menjadi integral? Peubah Acak: dikatakan sebagai fungsi, tetapi tidak dipelajari, (i) apa, (ii) bagaimana, (iii) mengapa Digunakan saja pengertian peubah acak 35 36 6
Demikian juga, unt peubah acak X Harapan matematis (rerata) : = E(X) = Unt kontinu, = E(X) = Variansi :. Tidak menggunakan pendekatan fungsional : (i) Ruang di mana fungsi berada (ii) Bagaimana sifat ruang tsb (iii) Fungsi i.e pemetaan antar ruang (iv) Bagaimana sifat fungsi tsb 37 38 Saran untuk dipelajari : Bahan Acuan TAYLOR, JC. (1998) An Introduction to MEASURE and PROBABILITY, Springer SULIT? Pendekatan dlm kuliah berbeda! Pendekatan dlm kuliah Berdasarkan pengertian dasar dalam TEORI UKUR dibahas pendekatan klasik dalam probabilitas. Buku yg disarankan hanya sebagai acuan kedua! 39 40 Rancangan Isi Kuliah : Pendahuluan Riview : Pendekatan Frekuensi - Penggunaan fungsi Sigma aljabar Ruang terukur ukuran Ruang Probabilitas fungsi probabilitas Peubah Acak... Rancangan Isi Kuliah : Topik dasar dalam probabilitas : fungsi distribusi (pdf, pmf), fungsi distribusi kumulatif, dsb. Hukum Bilangan Besar Aplikasi : proses stokastik 41 42 7