BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif disebut dengan harga mutlak atau nilai mutlak. 1. Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif. Misalnya: Parhatikan garis bilangan berikut. Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6 Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6 Jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3 Jarak angka 3 dari titik 0 adalah 3 Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar. Misalnya seperti berikut. a. Definisi Nilai Mutlak Nilai mutlak dari sebarang nilai bilangan real, yang dinotasikan dengan, Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut. = x jika x 0 x jika x < 0 Edited by Agustina Page 1
Contoh 1: 1. Nilai mutlak dari 2 adalah = 2 karena 2 0 2. Nilai mutlak dari 0 adalah 0 = 0 karena 0 0 3. Nilai mutlak dari -3 adalah = ( ) = 3 karena < 0 Dari definisi nilai mutlak di atas dapat diperluas sehingga diperoleh definisi berikut. = ax b jika ax b 0 (ax b )jika ax b < 0 Contoh 2: = x jika x 0 ( x )jika x < 0 Contoh 3: A. Tentukan nilai mutlak bilangan berikut. 1. 2. Jawaban: 1. = 7 2. = ( ) B. Tentukan hasil operasi berikut. 1. 0 2. Jawaban: 1. 0 =10 ( ( )) = 10 + 4 = 14 2. = 0 = 20 ( ( )) = 20 = 17 C. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai mutlak di bawah ini. 1. 2. 3. 4. Jawaban: Bentuk-bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) x + 5 = 3, maka x = 3-5 = -2 Edited by Agustina Page 2
(**) x + 5 = -3, maka x = -3-5 = -8 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8} 2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) 2x + 3 = 5, maka 2x = 5-3 2x = 2 <==> x = 1 (**) 2x + 3 = -5, maka 2x = -5-3 2x = -8 <==> x = -4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1} 3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan 0 atau Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau < Mari kita selesaikan. (*) untuk (x + 1) + 2x = 7 3x = 7-1 3x = 6 x = 2 (terpenuhi, karena batasan ) (**) untuk < -(x + 1) + 2x = 7 -x - 1 + 2x = 7 x = 7 + 1 x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < ) Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}. 4. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan 3x+4 0 atau x -4/3 Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3 Mari kita selesaikan. (*) untuk x -4/3 (3x + 4) = x - 8 Edited by Agustina Page 3
3x - x = -8-4 2x =-12 x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan -4/3) (**) untuk x < -4/3 -(3x + 4) = x - 8-3x - 4 = x -8-3x - x = -8 + 4-4x = -4 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3) Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya. b. Sifat-Sifat Nilai Mutlak 1. = 2. 3. = 4. = = 5. Untuk sebarang, bilangan real dan 0, berlaku sebagai berikut. a) Jika maka b) Jika maka 6. Untuk sebarang,y bilangan real berlaku sebagai berikut. a) Jika y maka y b) y y c) Jika y maka y d) y = y e) =, y 0 f) y + y g) y y Edited by Agustina Page 4
Latihan Siswa 1. 0..... 2. Hasil dari... 0.. 3. Nilai yang memenuhi 0 adalah. 0... 0 0. 0 4. Jika, nilai k yang memenuhi adalah.... 5. Penyelesaian persamaan adalah. 0 0. 0 0. 0 0. 0 c. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 1. Definisi Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak Pertidaksamaan nilai mutlak adalah pertidaksamaan yang variabelnya di dalam tanda mutlak. Contoh pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak. a. b. 2. Penyelesaian Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak Penyelesaian pertidaksamaan nilai mutlak adalah bilangan-bilangan pengganti dari variabel yang membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar. Contoh: Penyelesaian adalah karena nilai nilai pada interval membuat pertidaksamaan menjadi pernyataan bernilai benar. Untuk = diperoleh ( ) Untuk = 0 diperoleh 0 ( ) Untuk = diperoleh 0 ( ), dan seterusnya Edited by Agustina Page 5
3. Menentukan Penyelesaian Pertidaksamaan yang Memuat Nilai Mutlak Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak, gunakan pengertian dari sifat-sifat nilai mutlak berikut. Untuk sebarang 0 1. Jika 2. Jika Contoh: Tentukan nilai yang memenuhi: 1) 2) Jawab 1) Berdasarkan sifat jika, diperoleh: Jika maka Jadi nilai yang memenuhi adalah 2) Berdasarkan sifat jika <, diperoleh: Jika maka( ) < ( ) ( ) < ( ) < Jadi nilai yang memenuhi adalah < Latihan Siswa 1. 2. y 3. 4. Edited by Agustina Page 6
TUGAS BERKELOMPOK 1. Jika y y, nilai y yang memenuhi adalah 2. Himpunan penyelesaian persamaan 0 3. Nilai q yang memenuhi 00 0 4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan y < 5. Penyelesaian pertidaksamaan 6. Jika < 0 y Edited by Agustina Page 7