BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi tentang kondisi dan jumlah elemen dalam suatu himpunan. Suatu himpunan diberi nama dengan menggunakan huruf kapital. Pengapit elemen dalam suatu himpunan adalah tanda kurung kurawal { }. a) Suatu himpunan S memiliki 5 objek, yaitu s, t, i, m, a, maka dapat ditulis: S = {s,t,i,m,a} Urutan penulisan anggota dalam himpunan tidak berpengaruh, sehingga himpunan di atas dapat ditulis S = {m,a,t,i,s} atau bentuk lainnya. b) Himpunan mahasiswa pecinta kuliner (PK) terdiri dari Samuel, Jujun, Vogel, Yani, maka dapat ditulis: PK = {Jujun, Samuel, Vogel, Yani} 2. Penyajian Himpunan Ada 4 cara yang sering digunakan dalam menyajikan suatu himpunan. a) Enumerasi Apabila sebuah himpunan terbatas dan memiliki anggota yang tidak terlalu banyak, maka himpunan dapat disajikan dengan cara enumerasi. Artinya, menuliskan semua elemen himpunan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10} Untuk menuliskan himpunan yang memiliki banyak anggota dan memiliki pola tertentu, dpaat digunakan tanda (ellipsis). Himpunan B memiliki anggota seluruh alphabet. Maka himpunan B dapat dituliskan: B = *a,b,c,, x,y,z+ Dalam suatu himpunan, suatu object dapat dinyatakan sebagai anggota himpunan atau bukan anggota himpunan. Untuk menyatakan keanggotaan himpunan digunakan notasi: x A untuk menyatakan bahwa x adalah anggota dari himpunan A x A untuk menyatakan bahwa x bukan anggota dari himpunan A
A = *2,4,6,8,10+ dan B = *a,b,c,, x,y,z+, maka 2 A c B x A 2 B 2 b) Simbol simbol baku Beberapa himpunan khusus dapat dituliskan dengan simbol yang sudah baku. Beberapa simbol baku yang sering digunakan adalah: P = himpunan bilangan bulat positif = *1,2,3, + N = himpunan bilangan asli = *1,2, + Z = himpunan bilangan bulat = *, -2,-1,0,1,2, + Q = himpunan bilangan rasional (bilangan dalam bentuk a/b di mana a dan b anggota bilangan bulat dan b 0) R = himpunan bilangan riil (gabungan bilangan rasional dan bilangan irrasional) Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau bilangan yang bukan bilangan rasional. Contoh 2, 3, 5 C = bilangan kompleks (bilangan yang berbentuk a +bi) c) Notasi pembentuk himpunan Pada suatu himpunan, sering ditemukan unsur unsur himpunan yang memiliki satu atau lebih sifat yang sama. Hal itu dapat digunakan untuk menjelaskan keanggotaan himpunan dengan menyebutkan sifat yang secara khas mencirikan unsur himpunan tersebut. Terdapat himpunan A = {2,4,6,8,10}. Himpunan A dapat dispesifikkan berdasarkan unsur unsur anggotanya. Anggota himpunan A adalah bilangan genap positif yang tidak lebih besar daripada 10. Oleh karena itu, dapat dituliskan dalam notasi: A = {x x adalah bilangan genap positif yang tidak lebih besar daripada 10} atau dapat dinotasikan secara umum: {x x memiliki sifat tertentu} Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan: a. Bagian di sebelah kiri tanda melambangkan elemen himpunan b. Tanda dibaca di mana atau sedemikian sehingga c. Bagian di sebelah kanan tanda melambangkan syarat keanggotaan himpunan d. Setiap tanda, di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, maka dinyatakan sebagai: A = {x x adalah bilangan bulat positif yang tidak lebih kecil daripada 5} atau dalam bentuk notasi dituliskan: A = *x x P, x < 5}
d) Diagram Venn Untuk menyajikan himpunan secara grafis, digunakan diagram venn. Dalam diagram venn, himpunan semesta (S) digambarkan sebagai suatu segi empat. Sementara itu, himpunan lainnya digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat tersebut. Anggota himpunan dituliskan di dalam lingkaran. Ada kemungkinan, anggota suatu himpunan dapat menjadi anggota himpunan yang lainnya, dalam hal ini digambarkan sebagai lingkaran yang beririsan. Himpunan A = {1,2,3,5} dan himpunan B = {2,5,6,8}, maka jika digambarkan dalam diagram venn menjadi: S A B 3 1 3 2 6 5 8 3. Kardinalitas Definisi 2 Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak negatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak berhingga (infinite set). Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A. Notasi: n(a) atau A a) A = {x x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, maka A = 8 dengan elemen elemen A adalah 2,3,5,7,11,13,17,19. b) B = {x x adalah faktor dari 12}, maka B = 6 dengan elemen elemen B adalah 2,3,4,6,12. c) C = {x x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1}, maka C = 0 karena tidak ada bilangan bulat positif yang kurang dari 1. 4. Himpunan Kosong Definisi 3 Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut sebagai himpunan kosong, atau dilambangkan dengan { } atau
5. Himpunan Bagian (Subset) Definisi 4 Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B. Dalam hal ini B dikatakan superset dari A. Notasi : A B 4 Diagram venn: S A B 6. Himpunan yang Sama Definisi 5 Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya memiliki anggota yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A tidak sama dengan B. Notasi: A = B A B dan B A Jika A = {0,1} dan B = {x x(x-1) = 0} maka A = B Jika A = *3,8,5+ dan B = *3,8+ maka A B 7. Himpunan yang Ekuivalen Definisi 6 Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika cardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A B A = B Jika A = {2,3,5,7} dan B = {a,b,c,d} maka A B karena A = B = 4 8. Himpunan Saling Lepas Definisi 7 Dua buah himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Notasi: A B
Diagram venn: S A B 5 9. Operasi terhadap Himpunan Apabila terdapat dua buah himpunan atau lebih, maka dapat dilakukan operasi untuk menghasilkan himpunan lainnya. a) Irisan (intersection) Definisi 8 Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B Notasi: A B = *x x A dan x B } Jika A = {2,4,6,8,10} dan B = {4,10,14,18} maka A B = {4,10} b) Gabungan (union) Definisi 9 Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B. Notasi: A B = *x x A atau x B } Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22} maka A B = {2,5,7,8,22} A = A c) Komplemen (complement) Definisi 10 Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta S adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen S tetapi bukan elemen A Notasi: A = A C = *x x S dan x A } S A A C
d) Selisih (difference) Definisi 11 Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan himpunan B relative terhadap himpunan A. Notasi: A B = *x x A dan x B } = A B Jika A = *1,2,3,,10+ dan B = {2,4,6,8,10} maka: A B = {1,3,5,7,9} dan B A = e) Beda setangkup (Symmetric Difference) Defiisi 12 Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya. Notasi: A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Jika A = {2,4,6} dan B = {2,3,5} maka A B = {3,4,5,6} Jika A = {1,2,3,4,5} dan B = {5,6,7,8,9} maka A B= {1,2,3,4,6,7,8,9} 10. Perampatan Operasi Himpunan Operasi himpunan dapat dilakukan pada dua atau lebih himpunan. Oleh karena itu dapat dilakukan perampatan operasi himpunan dengan menggunakan dasar perampatan yang ada pada operasi aritmatika biasa. Misalkan A 1, A 2, A 3,, A n adalah himpunan maka: A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n = 11. Hukum Aljabar Himpunan Apabila dua himpunan atau lebih dioperasikan, maka berlaku hukum yang mengatur operasi tersebut. Beberapa hukum aljabar himpunan yang penting antara lain: n i=1 n i=1 A i A i 6
Hukum Identitas A = A A S = A Hukum Idempoten A A = A A A = A Hukum Komutatif A B = B A A B = B A Hukum De Morgan A B = A B A B = A B Hukum null / dominasi A = A S = S Hukum Involusi (A) = A Hukum Asosiatif A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Hukum 0/1 = S S = Hukum Komplemen A A = S A A = Hukum Absorpsi A (A B) = A A (A B) = A Hukum Distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 7 a) Buktikan bahwa (A B) (A B) = A (A B) (A B) = A (B B) hukum distributif = A S hukum komplemen = S hukum identitas b) Buktikan bahwa A (B A) = A B A (B A) = A (B A ) definisi operasi selisih = (A B) (A A ) hukum distributif = (A B) S hukum komplemen = (A B) hukum identitas 12. Prinsip Inklusi Eksklusi Penggabungan dua buah himpunan (A dan B) menghasilkan himpunan baru yang elemen elemennya berasal dari himpunan A dan B. Ada kemungkinan elemen dalam himpunan A juga merupakan elemen himpunan B. Jumlah elemen himpunan A yang juga menjadi elemen himpunan B adalah A B. Setiap unsur yang sama tersebut telah dihitung satu kali dalam A dan satu kali pada B., meskipun seharusnya dianggap satu buah elemen dalam A B. Oleh karena itu, jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen dalam irisannya. A B = A + B A B Prinsip ini disebut prinsip inklusi enklusi. Untuk menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup dapat digunakan persamaan: A B = A + B 2 A B Berapa banyak bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau5? Misalkan: A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5
A B = himpuna bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 Maka: A = 100 3 B = 100 5 = 33 = 20 A B = 100 15 = 6 Sehingga A B = A + B A B = 33 + 20 6 = 47 Jadi, ada 47 bilangan yang habis dibagi 3 dan 5. 8 Prinsip inklusi eksklusi dapat digunakan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. Teorema 1 Misalkan A, B dan C adalah himpunan berhingga, maka A B C berhingga dan A B C = A + B + C A B A C B C + A B C