Modul 1 : Aljabar Boolean dan Gerbang Logika Dasar 1.1 Tujuan Setelah mengikuti praktek ini mahasiswa diharapkan dapat: 1. Memahami Aksioma dan Teorema Aljabar Boolean. 2. Memahami gerbang logika dasar dan penggunaannya. 3. Mampu menyederhanakan persamaan Boolean dengan Aksioma dan Teorema Aljabar Boolean. 4. Mampu merealisasikan persamaan Boolean yang telah disederhanakan dengan menggunakan gerbang logika dasar dalam bentuk SOP dan POS dengan cara biasa dan bubble pushing. 1.2 Alat & Bahan Alat & Bahan Yang digunakan adalah hardware perangkat PC/Laptop dengan Sistem Operasi Windows/GNU Linux beserta Kelengkapannya serta Software Logisim yang telah terinstall pada masing-masing PC/Laptop. 1.3 Dasar Teori 1.3.1 Persamaan Boolean Persamaan Boolan berhubungan dengan variabel-variabel yang bernilai TRUE atau FALSE sehingga sempurna untuk menjelaskan rangkaian logika. 1.3.1.1 Bentuk Sum of Products (SOP) Sebuah tabel kebenaran dengan N input memiliki 2 N baris, output bernilai 1 untuk tiap kombinasi semua input tertentu. Tiap baris dalam sebuah tabel kebenaran diasosiasikan dengan sebuah minterm yang bernilai TRUE untuk baris tersebut. Gambar 1 menunjukkan tabel kebenaran 2 input yaitu A dan B. Tiap baris berkorespodensi dengan mintermnya. Sebagai contoh, minterm untuk baris pertama adalah karena bernilai TRUE ketika A = 0 dan B = 1. Gambar 1 Tabel Kebenaran minterm Kita dapat menulis persamaan Boolean untuk semua tabel kebenaran dengan menjumlahkan tiap minterm dengan output Y bernilai TRUE. Gambar 2 menunjukkan sebuah tabel kebenaran dengan lebih dari 1 baris yang memiliki output TRUE. Dengan menjumlahkan tiap minterm yang dilingkari memberikan Gambar 2 Tabel kebenaran dengan banyak minterm TRUE Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 8
Persamaan Boolean di atas disebut bentuk kanonik Sum of Products (SOP) dari sebuah fungsi karena merupakan sum (OR) dari semua product-productnya (meng-and-kan semua bentuk mintermnya). 1.3.1.2 Bentuk Product of Sums (POS) Alternatif lain untuk mengungkaplan persamaan Boolean yaitu dengan bentuk kanonik product of sum. Tiap baris tabel kebenaran berkorespodensi dengan sebuah maxterm yang bernilai FALSE untuk baris tersebut. Sebagai contoh, maxterm pada baris pertama dari tabel kebenaran 2 input adalah ( ) karena ( ) bernilai FALSE untuk A = 0 dan B = 0. Kita dapat menulis sebua persamaan Boolean secara langsung dari tabel kebenarannya dengan meng-and-kan tiap maxtermnya yang nilai OUTPUTnya FALSE. Untuk Gambar 3 persamaan Boolean dengan bentuk kanonik POS yaitu: ( ) ( ) Gambar 3 Tabel Kebenaran dengan banyak maxterm bernilai FALSE 1.3.1.3 Aljabar Boolean Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan operasioperasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabelvariabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner. Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu struktur aljabar yang operasioperasinya memenuhi aturan tertentu. Aljabar Boolean berdasarkan sekumpulan aksioma yang kita asumsikan benar dan teorema untuk menyederhanakan persamaan Boolean yang diketahui. Tabel 1 Aksioma Aljabar Boolean Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 9
Tabel 2 Teorema Aljabar Boolean untuk 1 variabel Tabel 3 Teorema Aljabar Boolean untuk beberapa variabel Contoh 1: Sederhanakan persamaan Boolean menggunakan Aksioma dan Teorema Aljabar Boolean! Jawaban: Langkah 1: T3: idempotency Langkah 2: ( ) ( ) T8: Distributif Langkah 3: ( ) ( ) T5: Komplemen Langkah 4: T1: Identitas Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 10
1.3.2 Gerbang Logika Dasar Pengertian GERBANG (GATE) : Rangkaian satu atau lebih sinyal masukan tetapi hanya menghasilkan satu sinyal keluaran. Rangkaian digital (dua keadaan), karena sinyal masukan atau keluaran hanya berupa tegangan tinggi atau low ( 1 atau 0 ). Setiap keluarannya tergantung sepenuhnya pada sinyal yang diberikan pada masukanmasukannya. Operasi logika NOT ( Invers ) : Operasi mengubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya Tabel 4 Tabel Kebenaran NOT X X 0 1 1 0 Operasi logika AND Operasi antara dua variabel atau lebih Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika sebuah variabel masukan tersebut berlogika 1 Tabel 5 Tabel Kebenaran AND 2 masukan A B Y = A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Operasi logika OR Operasi antara 2 variabel atau lebih Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika semua variabel tersebut berlogika 0. Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika minimal 1 variabel tersebut berlogika 1. Tabel 6 Tabel Kebenaran OR 2 masukan A B Y = A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 11
Operasi logika NOR Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR yang di inverter. Tabel 7 Tabel Kebenaran NOR 2 masukan A B Y = (A + B) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 Operasi logika NAND Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan keluaran gerbang AND yang di inverter. Tabel 8 Tabel Kebenaran NAND 2 masukan A B Y = (A.B) 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Operasi logika XOR Operasi logika ini akan menghasilkan keluaran 1 jika jumlah masukan yang bernilai 1 berjumlah ganjil. Tabel 9 Tabel Kebenaran XOR 2 masukan A B Y = A XOR B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 12
Operasi logika XNOR Operasi ini akan menghasilkan keluaran 1 jika jumlah masukan yang bernilai 1 berjumlah genap atau tidak ada sama sekali. Tabel 10 Tabel Kebenaran XNOR 2 masukan A B Y = A XNOR B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 2 3 Contoh 2: Realisasikan, simulasikan dan carilah tabel kebenaran dari persamaan Boolean menggunakan Logisim!. Jawaban: Realisasi rangkaian logika dari persamaan Boolean yaitu: Gambar 4 Rangkaian Logika untuk Tabel Kebenaran dari persamaan Boolean hasil simulasi dengan Logisim yaitu: 1.3.3 Bubble Pushing Kadang kala kita dibuat pusing oleh sebuah rangkaian logika yang sulit ditentukan persamaan Booleannya karena banyak bubble. Bubble pushing merupakan cara yang berguna untuk menggambar kembali rangkaian logika sehingga buble-buble dapat dikurangi sehingga fungsi/persamaan Boolean dari rangkaian logika tersebut dapat ditentukan dengan mudah. Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 13
Backward: Bentuk berubah Menambahkan bubble ke semua input Forward: Bentuk berubah Menambahkan bubble ke output 1.4 Percobaan 1. Tuliskan persamaan Boolean dalam bentuk kanonik Sum of Product (SOP) dan Product of Sums (POS) untuk tabel kebenaran berikut ke dalam jurnal saudara: a. b. c. 2. Minimasi/Sederhanakan Persamaan Bolean dalam bentuk SOP yang didapat pada no. 1a sampai 1c dan tuliskan di jurnal saudara persamaan Boolean tersebut, rangkaian logikanya menggunakan gerbang AND, OR dan NOT dan tabel kebenaran hasil simulasi dari percobaan ini!. Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 14
3. Minimasi/Sederhanakan Persamaan Bolean berikut dan tuliskan di jurnal saudara persamaan Boolean tersebut rangkaian logikanya menggunakan gerbang NAND dan NOR 2 input dan tabel kebenaran hasil simulasi dari percobaan ini!. a. b. ( ) 4. Menggunakan Gerbang Ekivalen De Morgan dan metode bubble pushing, tuliskan di jurnal saudara rangkaian baru dari Gambar 5, persamaan Booleannya dan tabel kebenarannya berdasarkan hasil simulasi dari percobaan ini!. Gambar 5 Rangkaian Soal 4 5. Menggunakan Gerbang Ekivalen De Morgan dan metode bubble pushing, tuliskan di jurnal saudara rangkaian baru dari Gambar 6, persamaan Booleannya dan tabel kebenarannya berdasarkan hasil simulasi dari percobaan ini!. Gambar 6 Rangkaian Soal 5 DAFTAR PUSTAKA David M. Harris & Sarah L. Harris. 2012. Digital Design and Computer Architecture, 2nd edition: Chapter 2 Modul Praktek Konfigurasi Perangkat Keras Komputer 15