Aljabar Boolean. Rudi Susanto

Transkripsi

1 Aljabar Boolean Rudi Susanto

2 Tujuan Pembelajaran Bisa menghasilkan suatu realisasi rangkaian elektronika digital dari suatu persamaan logika matematika Persamaan logika matematika tersebut dimodifikasi sehingga menghasilkan realisasi rangkaian dengan jumlah gerbang yang minimal/optimal. 2

3 Rangkaian digital yang ekivalen dengan persamaan logika Misalnya diketahui persamaan logika: x = A.B+C Rangkaiannya: 3

4 Urutan Operasi (Parentheses) Operasi bilangan biner hanya mengenal AND dan OR Jika terjadi operasi AND dan OR bersamaan tanpa ada kurung, maka yang didahulukan adalah AND Misal : x = A.B+C = (A.B)+C A dan B diand-kan dulu, baru di-or-kan dengan C A.B+C =/= A.(B+C) 4

5 Contoh rangkaian (dengan inverter) x = A BC(A+D) 5

6 Tabel kebenaran rangkaian digital Merupakan list output rangkaian/ persamaan logika untuk seluruh kombinasi input Contoh: buatlah tabel kebenaran untuk rangkaian x = A BC(A+D) 6

7 Tabel kebenaran D C B A A B.C (A+D) x = A BC(A+D) 7

8 Sifat Aljabar Boolean Sifat komutatif Sifat Asosiatif Sifat Distributif 8

9 Sifat Komutatif 9

10 Sifat Asosiatif

11 Sifat Distributif

12 Aturan aljabar Boolean 2

13 Latihan Sederhanakan! a. y=ac + ABC b. Y=A B CD + A B C D c. Y=A D + ABD d. Y=(A +B)(A+B) 3

14 Teorema De Morgan Yang perlu diingat: break the bar, change the operator -Teori De Morgan sangat berguna untuk disain rangkaian digital -Menggunakan teknik ini, gerbang AND dan OR bisa saling ditukar -Penukaran dilakukan dengan menambahkan gerbang NOT 4

15 Contoh : X = A +B, realisasi rangkaian: A B U6A U7A X=A +B sesuai de Morgan bisa diubah menjadi ekspresi AND sebagai berikut X=(A.B), realisasi rangkaian U3A X A B 2 U4A 3 X 74 5

16 Latihan. Implementasikan rangkaian z=a B C menggunakan sebuah gerbang NOR dan sebuah inverter! 2. Ubahlah ekspresi y=(a+b +C D) menjadi ekspresi yang berisi inversi single variable! 6

17 Universalitas gerbang NAND Fungsi-fungsi boolean bisa dibentuk menggunakan gerbang NAND 7

18 Universalitas gerbang NOR Fungsi-fungsi boolean bisa dibentuk menggunakan gerbang NOR 8

19 Bentuk Kanonik Ada dua macam bentuk kanonik:. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) Contoh:. f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm 2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) POS Setiap suku (term) disebut maxterm Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap 9

20 Bentuk Kanonik 2 Input Minterm Maxterm x y Suku Lambang Suku Lambang x y x y xy x y m m m 2 m 3 x + y x + y x + y x + y M M M 2 M 3 2

21 Bentuk Kanonik 4 Input Minterm Maxterm x y z Suku Lambang Suku Lambang x y z m x + y + z M x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z m m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m 7 x + y + z x + y +z x + y +z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z M M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 2

22 Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Tabel 7. x y z f(x, y, z) Contoh 22

23 Penyelesaian (a) SOP Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,, dan, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah f(x, y, z) = x y z + xy z + xyz atau (dengan menggunakan lambang minterm), f(x, y, z) = m + m 4 + m 7 = (, 4, 7) 23

24 Penyelesaian (b) POS Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan adalah,,,, dan, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) (x + y + z )(x + y + z) atau dalam bentuk lain, f(x, y, z) = M M 2 M 3 M 5 M 6 = (, 2, 3, 5, 6) 24

25 Contoh Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y z dalam bentuk kanonik SOP dan POS. Penyelesaian: (a) SOP x = x(y + y ) = xy + xy = xy (z + z ) + xy (z + z ) = xyz + xyz + xy z + xy z y z = y z (x + x ) = xy z + x y z Jadi f(x, y, z) = x + y z = xyz + xyz + xy z + xy z + xy z + x y z = x y z + xy z + xy z + xyz + xyz atau f(x, y, z) = m + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 = (,4,5,6,7) 25

26 (b) POS f(x, y, z) = x + y z = (x + y )(x + z) x + y = x + y + zz = (x + y + z)(x + y + z ) x + z = x + z + yy = (x + y + z)(x + y + z) Jadi, f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y + z )(x + y + z)(x + y + z) = (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z ) atau f(x, y, z) = M M 2 M 3 = (, 2, 3) 26

27 Konversi Antar Bentuk Kanonik Misalkan f(x, y, z) = (, 4, 5, 6, 7) dan f adalah fungsi komplemen dari f, f (x, y, z) = (, 2, 3) = m + m 2 + m 3 Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS: f (x, y, z) = (f (x, y, z)) = (m + m 2 + m 3 ) = m. m 2. m 3 = (x y z ) (x y z ) (x y z) = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z ) = M M 2 M 3 = (,2,3) Jadi, f(x, y, z) = (, 4, 5, 6, 7) = (,2,3). Kesimpulan: m j = M j 27

28 Contoh. Nyatakan f(x, y, z)= (, 2, 4, 5) dan g(w, x, y, z) = (, 2, 5, 6,, 5) dalam bentuk SOP. Penyelesaian: f(x, y, z) = (, 3, 6, 7) g(w, x, y, z)= (, 3, 4, 7, 8, 9,, 2, 3, 4) 28

29 Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y + xy + x yz Penyelesaian: (a) SOP f(x, y, z) = y + xy + x yz = y (x + x ) (z + z ) + xy (z + z ) + x yz = (xy + x y ) (z + z ) + xyz + xyz + x yz = xy z + xy z + x y z + x y z + xyz + xyz + x yz atau f(x, y, z) = m + m + m 2 + m 4 + m 5 + m 6 + m 7 (b) POS f(x, y, z) = M 3 = x + y + z 29

30 Tugas(hardware) Implementasikan persamaan x = AC+BC menggunakan gerbang NAND (IC 74LS) seluruhnya! Berapa buah gerbang NAND yang digunakan? Berapakah IC 74LS yg digunakan? 3