BAB 2 GERBANG LOGIKA & ALJABAR BOOLE

Transkripsi

1 SISTEM DIGITL 16 2 GERNG LOGIK & LJR OOLE Gerbang Logika (Logical Gates) atau gerbang digital merupakan komponen dasar elektronika digital. erbeda dengan komponen elektronika analog yang mempunyai tegangan input dan outputnya bervariasi nilainya, maka tegangan input dan output pada komponen digital hanya mempunyai 2 keadaan yaitu tegangan tinggi dan rendah (biasanya +5 Volt dan 0 Volt). Dalam bentuk bilangan biner keadaan pada tegangan tinggi dilambangkan dengan bit 1 sedangkan tegangan rendah dengan bit 0.Gerbang logika dasar terdiri dari gerbang Inverter, ND, dan OR, sedangkan gerbang logika lanjut terdiri dari gerbang NND, NOR, EXOR, dan EXNOR. Dikatakan lanjut karena sebenarnya gerbang digital lanjut dapat dibentuk dari beberapa gerbang digital dasar, tetapi untuk mempermudahnya dilambangkan dengan suatu gerbang digital yang baru. Perbedaan gerbang logika ditunjukkan oleh perbedaan outputnya pada setiap saat yang tergantung pada input yang diberikan pada saat itu. Jumlah input setiap gerbang minimal 2 buah, hanya inverter yang mempunyai input 1 buah. Untuk menunjukkan output dari gerbang digital berdasarkan inputnya, maka digunakan tabel kebenaran. Tabel 2.1 menunjukkan jenis gerbang logika, simbol dan tabel kebenarannya. 2.1 Gerbang Logika Dasar Inverter Sesuai dengan namanya inverter yang artinya pembalik, maka gerbang ini berfungsi untuk membalik inputnya. Karena data digital hanya 2 macam yaitu 1 dan 0, jika inputnya 1 maka outputnya 0 dan jika inputnya 0 maka outputnya ND Jika salah satu input gerbang ND bernilai 0 maka outputnya 0, dengan demikian outputnya akan bernilai 1 hanya jika seluruh inputnya bernilai OR Untuk gerbang OR, jika salah satu inputnya bernilai 1 maka outputnya bernilai 1. Output akan bernilai 0 jika seseluruh inputnya bernilai Gerbang Logika Lanjut NND NND singkatan dari Not ND yang berarti outputnya merupakan output dari gerbang ND yang kemudian dibalik. tau secara singkat dapat dikatakan output gerbang NND merupakan kebalikan dari gerbang ND NOR Sama seperti gerbang NND yang merupakan kebalikan dari gerbang ND, maka gerbang NOR (Not OR) juga merupakan kebalikan dari gerbang OR. Jika salah satu input gerbang NOR bernilai 1 maka outputnya akan bernilai 0.

2 SISTEM DIGITL EXOR Gerbang EXOR (atau XOR) disebut juga Paritas Ganjil yang artinya jika banyaknya input yang bernilai 1 berjumlah ganjil maka outputnya bernilai 1.Contohnya, gerbang EXOR 3 input pada suatu saat diberikan input bernilai 1011 maka outputnya akan bernilai 1 karena banyaknya input yang bernilai 1 ada 3 buah (ganjil) EXNOR Output gerbang EXNOR (Paritas Genap) merupakan kebalikan dari gerbang EXOR. Jika banyaknya input bernilai 1 berjumlah genap, maka outputnya akan bernilai 1 Tabel 2.1. Tabel Kebenaran Gerbang Digital NM SIMOL TEL KEENRN 0 1 Inverter 1 0 ND OR NND NOR XOR XNOR

3 SISTEM DIGITL ljabar oole ljabar oole merupakan aljabar yang digunakan di dalam sistem digital. ljabar oole terdiri dari sebuah himpunan yang anggotanya terdiri dari 1 dan 0, sebuah himpunan operator, dan sejumlah aksioma yang tidak perlu dibuktikan atau postulat Postulat ljabar Postulat merupakan asumsi dasar yang mendasari terciptanya : aturan, teorema, dan properti dari sistem. Postulat yang biasanya digunakan untuk memformulasikan struktur aljabar adalah sbb : 1. ersifat tertutup Suatu operator dikatakan bersifat tertutup jika untuk setiap variabel pada operasi aritmatika tersebut merupakan anggota himpunan S. Contoh : S 0,1,2,3,4, 5 z y Jika : = 2 ; y = 1,y S Maka : z = z = 3 z S Jadi operator + bersifat tertutup 2. Hukum asosiatif y z y z untuk setiap, zs 3. Hukum komutatif y y untuk setiap, y S 4. Elemen identitas (e) e e untuk setiap S Elemen identitas untuk penjumlahan (+) adalah 0 karena, 0 0 dan elemen identitas untuk perkalian () adalah 1 karena, ersifat kebalikan (inversi) y e 6. ersifat distributif ( y ( y) (

4 SISTEM DIGITL 19 Dari 6 buah postulat ljabar di atas maka dapat diturunkan ketentuan-ketentuan untuk Penjumlahan dan Perkalian pada aljabar - Operator iner untuk Penjumlahan (OR) : + - Elemen Identitas untuk Penjumlahan : 0 - Kebalikan Penjumlahan : Pengurangan - Operator iner untuk Perkalian (ND) :. - Elemen Identitas untuk Perkalian : 1 - Kebalikan Perkalian : Pembagian - Hukum Distributif : a.( b c) ( a. b) ( a. c) Postulat Hantington Postulat Hantington direpresentasikan dalam 2 bagian. agian yang satu dapat diperoleh dari bagian lainnya jika operator biner (penjumlahan dan perkalian) dan elemen identitasnya (1 dan 0) saling dipertukarkan. Properti ini disebut sebagai prinsip dualitas. 1. a. ersifat tertutup terhadap operasi + b. ersifat tertutup terhadap operasi. 2. a. Elemen Identitas untuk penjumlahan : b. Elemen Identitas untuk perkalian : a. ersifat Komutatif untuk penjumlahan y y b. ersifat Komutatif untuk perkalian. y y. 4. a. ersifat Distributif untuk penjumlahan.( y (. y) (. b. ersifat Distributif untuk perkalian ( y. ( y).( 5. Untuk setiap elemen ada elemen ( : komplemen ) sehingga didapat a. '1 b.. ' 0 6. da 2 elemen :,y dimana y Postulat dan teorema ljabar oole Postulat dan teorema yang banyak digunakan dalam aljabar boole dapat dilihat pada tabel 2.1 di bawah ini. Teorema harus dapat dibuktikan berdasarkan postulat yang ada, sedangkan postulat tidak perlu pembuktian.

5 SISTEM DIGITL 20 Tabel 2.2 Postulat dan Teorema ljabar oole =================================================================== Postulat 2 a. 0 b.. 1 Postulat 5 a. 1 b.. 0 Teorema 1 a. b.. Teorema 2 a. 11 b Teorema 3, involusi a. Postulat 3, komutatif a. y y b.. y y. Teorema 4, asosiatif a. y z y z b.. y. z. yz. Postulat 4, distributif a. y z y z b. y. z y z Teorema 5. DeMorgan a. y y b.. y y Teorema 6, bsorbsi a. y b..( y) Contoh : Pembuktian untuk teorema 1a yaitu : + = ukti : + = = (+). 1 dari postulat 2b. = (+). (+ ) dari postulat 5a. = + dari postulat 4b. = + 0 dari postulat 5b. = dari postulat 2a Minterm dan materm Minterm merupakan kombinasi dari variabel biner dalam bentuk perkalian. Untuk 2 variabel dan akan terdiri dari minterm y, y, dan sedangkan materm merupakan kombinasi dari variabel biner dalam bentuk penjumlahan. Tabel 2.3 menunjukkan minterm dan materm untuk 3 variabel beserta simbolnya. Untuk minterm disimbolkan dengan huruf kecil sedangkan materm dalam huruf besar. Fungsi boole dapat juga ditunjukkan dalam bentu penjumlahan minterm ()dan perkalian materm () Tabel 2.3. Minterm dan Materm VRIEL MINTERM MXTERM y z Terms Simbol Terms Simbol y z m0 + y + z M y z m1 + y + z M y z m2 + y + z M y z m3 + y + z M y z m4 + y + z M y z m5 + y + z M y z m6 + y + z M y z m7 + y + z M7 Contoh : F (, (1,4,6 ) yz yz yz

6 SISTEM DIGITL Implementasi Fungsi oole Untuk menuliskan Fungsi oole digunakan ekspresi aljabar (persamaan) yang terdiri dari variabel dan operator logika. Selain itu fungsi oole dapat juga dituliskan dalam bentuk minterm atau materm. Dari fungsi oole dapat diturunkan tabel kebenaran untuk fungsi tersebut dan implementasinya dalam bentuk rangkaian digital yang terdiri dari beberapa gerbang logika. Contoh : Tentukan Tabel Kebenaran dan Diagram Rangkaian digital dari Fungsi oole berikut ini : F (,. y ' z 1 Tabel 2.4 Tabel Kebenaran F (,. y y z.y z F ' z b. Rangkaian Digital F (,. y ' z 1 y F1=.y+ z z Gambar 2.1 Rangkaian F1(, =.y + z 2.5 Penyederhanaan Fungsi oole Fungsi (Persamaan) oole dapat disederhanakan dengan menggunakan Postulat dan teorema aljabar oole. Suatu persamaan dikatakan lebih sederhana jika jumlah variabel dan/atau minterm yang ada dalam persamaan itu lebih sedikit bila dibandingkan dengan persamaan asalnya, contoh :

7 SISTEM DIGITL 22 (,, C, D) = + D + D + C D + C D = ( + D + D ) + (C D + C D) = (( + ((D + D)) + (C (D + D)) = ( +) + C = + C = (+ )(+C ) (,, C, D) = +C

8 SISTEM DIGITL 23 SOL GERNG LOGIK & LJR OOLE 1. Suatu rangkaian digital mempunyai persamaan oole sbb : F, y y' ' y' a. Gambarlah rangkaian digital dari persamaan di atas. b. Sederhanakan persamaan oole di atas dengan menggunakan ljabar oole. Jawab: a. y b. F, y y' ' y' ' y'( ' y') ' y' ' y' ' y' 2. Sederhanakan persamaan oole di bawah ini dengan menggunakan ljabar oole. F, z ' y' ' z y y ' Jawab : F, z ' y' ' z y y' y z y y' z y y' z ( y y') z

9 SISTEM DIGITL Untuk rangkaian logika di bawah ini, buatlah : C 1 2 a. Persamaan oole b. Tabel kebenaran. Jawab : a.,, C ( ' C' ( ' ))' b. C