Bab 16 Grafik LIMIT dan TURUNAN Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 1/35
Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 2/35
Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; nilai sangat besar; Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 2/35
Grafik Pada dasarnya, konsep limit dikembangkan untuk mengerjakan perhitungan matematis yang melibatkan: nilai sangat kecil; nilai sangat besar; besaran yang tidak dapat diketahui nilainya secara tepat. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 2/35
Grafik Perhatikan fungsi f(x) = x2 9 x 3. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 3/35
Grafik Perhatikan fungsi f(x) = x2 9 x 3. f(x) tidak ada nilainya di x = 3, karena terjadi pembagian dengan nol. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 3/35
Grafik Perhatikan fungsi f(x) = x2 9 x 3. f(x) tidak ada nilainya di x = 3, karena terjadi pembagian dengan nol. Untuk x 3 fungsi tersebut dapat diubah menjadi f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 3/35
Untuk x 3, Grafik f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3, dan perhatikan nilai f(x) untuk x di dekat 3 x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,999999... f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999 5,999999... Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 4/35
Untuk x 3, Grafik f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3, dan perhatikan nilai f(x) untuk x di dekat 3 x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,999999... f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999 5,999999... Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 4/35
Untuk x 3, Grafik f(x) = (x 3)(x + 3) x 3 = x + 3, dan perhatikan nilai f(x) untuk x di dekat 3 x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999 2,999999... f(x) 5 5,5 5,9 5,99 5,999 5,9999 5,999999... Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 dibaca: limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri sama dengan 6. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 4/35
Grafik Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f(x) dengan pendekatan dari sebelah kanan: x 4 3, 5 3, 2 3, 1 3, 01 3, 001 3, 0001 3, 00001... f(x) 7 6, 5 6, 2 6, 1 6, 01 6, 001 6, 0001 6, 00001... Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 5/35
Grafik Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f(x) dengan pendekatan dari sebelah kanan: x 4 3, 5 3, 2 3, 1 3, 01 3, 001 3, 0001 3, 00001... f(x) 7 6, 5 6, 2 6, 1 6, 01 6, 001 6, 0001 6, 00001... Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 + Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 5/35
Grafik Dapat juga dilakukan pencarian nilai fungsi f(x) dengan pendekatan dari sebelah kanan: x 4 3, 5 3, 2 3, 1 3, 01 3, 001 3, 0001 3, 00001... f(x) 7 6, 5 6, 2 6, 1 6, 01 6, 001 6, 0001 6, 00001... Diduga bahwa untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, maka nilai f(x) makin dekat ke 6, dapat ditulis lim f(x) = 6 x 3 + dibaca: limit fungsi f(x) untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan sama dengan 6. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 5/35
Grafik Jika maka ditulis lim f(x) = lim f(x) = L x a x a + lim f(x) = L x a dan disebut limit dua sisi (sisi kiri dan kanan). Dalam hal ini L disebut limit fungsi f. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 6/35
Beberapa limit dasar lim k = k x a lim x = a x a lim k = k x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim k = k x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim k = k x lim x = x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim x = 5 x 5 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim x = 5 x 5 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Beberapa limit dasar Grafik lim k = k x a lim x = a x a Contoh: lim 3 = 3 x 2 lim x = 5 x 5 lim k = k x + lim x = + x + lim 3 = 3 x + lim x = + x + lim k = k x lim x = x lim 3 = 3 x lim x = x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 7/35
Sifat-sifat limit Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl [ (c) lim f(x)g(x) x a ] = lim x a f(x) lim x a g(x) = LM Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl [ (c) lim f(x)g(x) x a (d) lim x a [ ] f(x) = g(x) ] = lim x a f(x) lim x a g(x) = LM lim f(x) x a lim g(x) = L M untuk M 0 x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
Sifat-sifat limit Grafik Misal lim f(x) = L dan lim g(x) = M, dan c bilangan real, x a x a maka [ ] (a) lim f(x) + g(x) = lim f(x) + lim g(x) = L + M x a x a x a (b) lim x a cf(x) = c lim x a f(x) = cl [ (c) lim f(x)g(x) x a (d) lim x a [ ] f(x) = g(x) ] = lim x a f(x) lim x a g(x) = LM lim f(x) x a lim g(x) = L M untuk M 0 x a (e) lim x a f(x) = lim x a f(x) = L, untuk L 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 8/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = Sifat (a) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = lim x 5 x lim x 5 x 4 lim x 5 x + lim x 5 3 Sifat (a) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = lim x 5 x lim x 5 x 4 lim x 5 x + lim x 5 3 = 5 2 4(5) + 3 Sifat (a) Sifat, (b) dan (c) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit dari polinomial Contoh: Grafik Dapatkan lim x 5 (x 2 4x + 3) dan jelaskan setiap langkahnya. Jawab: lim x 5 (x2 4x + 3) = lim x 2 lim 4x + lim 3 x 5 x 5 x 5 = lim x 5 x lim x 5 x 4 lim x 5 x + lim x 5 3 = 5 2 4(5) + 3 = 8 Sifat (a) Sifat, (b) dan (c) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 9/35
Limit polinomial Untuk sebarang polinomial Grafik p(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n dan sebarang bilangan real a, berlaku lim p(x) = c 0 + c 1 a + + c n a n = p(a) x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 10/35
Limit polinomial Untuk sebarang polinomial Grafik p(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n dan sebarang bilangan real a, berlaku Contoh: lim p(x) = c 0 + c 1 a + + c n a n = p(a) x a ( ) lim x 2 4x + 3 = 5 2 4(5) + 3 = 8 x 5 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 10/35
Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Contoh: Dapatkan lim x 2 5x 3 + 4 x 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Contoh: Dapatkan lim x 2 5x 3 + 4 x 3 Jawaban: 5x 3 + 4 lim x 2 x 3 lim(5x 3 + 4) = x 2 lim (x 3) = 5 23 + 4 = 44 2 3 x 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
Limit fungsi rasional Grafik rasional merupakan pembagian dari dua polinomial. Limit polinomial dan Sifat limit (d) dapat digunakan sebagai kombinasi untuk menghitung limit dari fungsi rasional. Contoh: Dapatkan lim x 2 5x 3 + 4 x 3 Jawaban: 5x 3 + 4 lim x 2 x 3 lim(5x 3 + 4) = x 2 lim (x 3) = 5 23 + 4 = 44 2 3 x 2 Perhatikan bahwa cara tersebut hanya berlaku untuk penyebut yang tidak nol. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 11/35
Perhatikan fungsi berikut Grafik f(x) = x + 2 x untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x 1 10 100 10 3 10 7 10 9... f(x) 3 1,2 1,02 1,002 1,0000002 1,000000002... Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 12/35
Perhatikan fungsi berikut Grafik f(x) = x + 2 x untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x 1 10 100 10 3 10 7 10 9... f(x) 3 1,2 1,02 1,002 1,0000002 1,000000002... jika x terus makin besar, maka dugaan nilai f(x) akan mendekati 1, yang ditulis x + 2 lim = 1 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 12/35
Perhatikan fungsi berikut Grafik f(x) = x + 2 x untuk x makin besar (positif) tanpa batas: x 1 10 100 10 3 10 7 10 9... f(x) 3 1,2 1,02 1,002 1,0000002 1,000000002... jika x terus makin besar, maka dugaan nilai f(x) akan mendekati 1, yang ditulis x + 2 lim = 1 x x y 3 1 f (x) = x + 2 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 12/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Limit fungsi rasional untuk x + atau x hanya dipengaruhi oleh suku dengan pangkat tertinggi pada pembilang dan penyebutnya, yaitu jika c n 0 dan d m 0, dan lim x + lim x c 0 + c 1 x + + c n x n d 0 + d 1 x + + d m x m = c 0 + c 1 x + + c n x n d 0 + d 1 x + + d m x m = lim x + lim x c n x n d m x m c n x n d m x m Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 13/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = lim 3x x + 6x = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = lim 3x x + 6x = lim 1 x + 2 = 1 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 1 x + 2 = 1 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = lim 3x x + 6x = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = 3 2x 4 3 lim x + x + 1 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = 3 2x 4 3 lim x + x + 1 = lim 2x 4 x + x lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
Limit fungsi rasional, untuk x dan x + Grafik Contoh: 3x + 5 1 lim x + 6x 8 = 4x 2 x 2 lim x 2x 3 5 = lim 3x x + 6x = lim 4x 2 x 2x 3 = 3 2x 4 3 lim x + x + 1 = lim 2x 4 x + x lim 1 x + 2 = 1 2 lim 2 x x = 0 = lim x + 2x3 = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 14/35
subsetionlimit untuk 1/x Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 15/35
Limit yang memuat 1 x 1 lim x 0 + x = + Grafik 1 x y = 1 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 15/35
Limit yang memuat 1 x 1 lim x 0 x = Grafik y = 1 x x 1 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 16/35
Limit yang memuat 1 x 1 lim x + x = 0 Grafik 1 x y = 1 x x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 17/35
Limit yang memuat 1 x 1 lim x x = 0 Grafik y = 1 x x 1 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 18/35
Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + 1 lim x a x a = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + 1 lim x a x a = lim x + 1 x a = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
Limit yang memuat 1 x a Grafik a y = 1 x - a x 1 lim x a + x a = + 1 lim x a x a = lim x + lim x 1 x a = 0 1 x a = 0 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 19/35
Grafik Pada bagian logaritma telah diketahui bahwa logaritma dengan bilangan pokok e = 2,7182818459045235360287471... tersebut adalah bilangan yang merupakan nilai limit, yaitu ( lim 1 + 1 x = e x x) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 20/35
Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x tan x lim = x 0 x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x tan x lim = lim x 0 x x 0 ( sin x x ) 1 = cos x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
Limit fungsi trigonometri Grafik Dua rumus penting dari limit fungsi trigonometri: Contoh: sin x 1 cos x lim = 1 dan lim = 0 x 0 x x 0 x tan x lim = lim x 0 x x 0 ( sin x x ) 1 = (1) (1) = 1. cos x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 21/35
Grafik Jika diketahui fungsi y = f(x), dan telah dipelajari bahwa turunan fungsi tersebut di x = a adalah asalkan limit tersebut ada. f(a + h) f(a) f(x) f(a) lim = lim h 0 h h 0 x a Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 22/35
Grafik Jika diketahui fungsi y = f(x), dan telah dipelajari bahwa turunan fungsi tersebut di x = a adalah asalkan limit tersebut ada. f(a + h) f(a) f(x) f(a) lim = lim h 0 h h 0 x a Untuk fungsi y = f(x), turunan fungsinya adalah f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h asalkan limitnya ada. baru ini dinamakan fungsi turunan. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 22/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Jawaban: Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = lim h 0 2xh + h 2 3h h = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = lim h 0 2xh + h 2 3h h = lim h 0 (2x + h 3) = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Contoh Dapatkan fungsi turunan dari f(x) = x 2 3x. Grafik Jawaban: f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h = lim h 0 (x + h) 2 3(x + h) (x 2 3x) h = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 3x 3h x 2 + 3x h = lim h 0 2xh + h 2 3h h = lim h 0 (2x + h 3) = 2x 3 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 23/35
Beberapa aturan mendapatkan fungsi turunan asal turunan Grafik f(x) = c, c konstan f (x) = 0 f(x) = x n p(x) = cf(x), c konstan p(x) = f(x) + g(x) p(x) = f(x)g(x) p(x) = f(x) g(x) f (x) = nx n 1 f (x) = cf (x) p (x) = f (x) + g (x) p (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) p (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [ g(x) ] 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 24/35
fungsi trigonometri Grafik asal f(x) = sin x f(x) = cos x turunan f (x) = cos x f (x) = sin x f(x) = tan x f (x) = 1 cos 2 x = sec2 x f(x) = cot x f(x) = sec x f(x) = csc x f (x) = csc 2 x f (x) = sec x tan x f (x) = csc x cot x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 25/35
Aturan rantai Contoh: Grafik Telah diketahui bahwa f(x) = x n = f (x) = nx n 1 dan g(x) = sin x = g (x) = cos x Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 26/35
Aturan rantai Contoh: Grafik Telah diketahui bahwa f(x) = x n = f (x) = nx n 1 dan g(x) = sin x = g (x) = cos x Bagaimana cara mendapatkan fungsi turunan dari fungsi-fungsi f(x) = (ax 2 + b) n atau g(x) = sin(ax n + b)??? Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 26/35
Aturan rantai f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
Aturan rantai Grafik f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Selanjutnya dapat dicari f (x), yaitu dengan aturan f (x) = f (u) u (x). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
Aturan rantai Grafik f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Selanjutnya dapat dicari f (x), yaitu dengan aturan f (x) = f (u) u (x). g(x) = sin(ax n + b) dapat dipandang sebagai bentuk g(u) = sin u dengan u = ax n + b. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
Aturan rantai Grafik f(x) = (ax 2 + b) n dapat dipandang sebagai bentuk f(u) = u n dengan u = ax 2 + b. Selanjutnya dapat dicari f (x), yaitu dengan aturan f (x) = f (u) u (x). g(x) = sin(ax n + b) dapat dipandang sebagai bentuk g(u) = sin u dengan u = ax n + b. Selanjutnya dapat dicari g (x), yaitu dengan aturan g (x) = g (u) u (x). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 27/35
Aturan rantai Contoh: Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
Aturan rantai Contoh: Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Grafik Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
Aturan rantai Contoh: Grafik Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Sehingga didapat f (x) = f (u) u (x) = = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
Aturan rantai Contoh: Grafik Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Sehingga didapat f (x) = f (u) u (x) = (cos u) (2x + 2) = Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
Aturan rantai Contoh: Grafik Dapatkan f (x) untuk f(x) = x 2 + 2x 2. Jawab: f(x) = sin u, untuk u = x 2 + 2x 2 Sehingga didapat f (x) = f (u) u (x) = (cos u) (2x + 2) = cos(x 2 + 2x 2) (2x + 2) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 28/35
tingkat tinggi Grafik Misal diketahui fungsi y = f(x) pertama: ke-dua: Didefinisikan dy dx = y = f (x) d 2 y dx 2 = y = f (x) d 2 y dx 2 = d [ dy ] dx dx Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 29/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 30/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. f naik di I jika untuk x 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) < f(x 2 ) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 30/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I. f naik di I jika untuk x 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) < f(x 2 ) f turun di I jika untuk x 1 < x 2 berlaku f(x 1 ) > f(x 2 ) Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 30/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Jika f (x) < 0 pada I, maka f fungs turun di I. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
grafik fungsi berdasarkan turunannya Grafik naik dan fungsi turun Misal fungsi f terdefinisi pada interval I, dan dapat diturunkan di I: Jika f (x) > 0 pada I, maka f fungsi naik di I. Jika f (x) < 0 pada I, maka f fungs turun di I. Contoh: f(x) = sin x = f (x) = cos x. Interval 0 < x < π 2 π 2 < x < 3π 2 Tanda y Positif Negatif Positif 3π 2 < x < 2π Sifat fungsi Naik Turun Naik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 31/35
Titik stasioner Grafik Titik stasioner Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan di x = a. Titik x = a disebut titik stasioner jika f (a) = 0. Perlu dicatat bahwa jika f (a) = 0 maka a belum tentu titik stasioner. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 32/35
Test turunan pertama untuk titik stasioner Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. Grafik Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). 2 Jika nilai f negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). 2 Jika nilai f negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a). 3 Jika di sekitar x = a tidak ada perubahan tanda nilai f, maka a disebut titik belok horisontal. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan dan f (a) = 0. 1 Jika nilai f positif di x < a dan negatif di x > a, maka a adalah titik balik maksimum lokal (di sekitar titik a). 2 Jika nilai f negatif di x < a dan positif di x > a, maka a adalah titik balik minimum lokal (di sekitar titik a). 3 Jika di sekitar x = a tidak ada perubahan tanda nilai f, maka a disebut titik belok horisontal. Misal diketahui fungsi f. Jika titik a adalah titik stasioner, maka nilai f(a) adalah nilai stasioner. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 33/35
Test turunan pertama untuk titik stasioner Grafik Contoh: Diberikan fungsi f(x) = 1 3 x3 2x 2 + 3x + 2. (a) Tentukan titik stasioner, tentukan pula nilai stasionernya. (b) Tentukan jenis titik stasioner yang ditemukan. (c) Buatlah sketsa grafiknya. Jawab: (a) Titik stasioner: x = 1 dan x = 3 Nilai stasioner: f(1) = 10 3 dan f(3) = 2. (b) Karena di kiri x = 1 fungsi naik dan di kanan x = 1 fungsi turun, berarti x = 1 adalah titik maksimum; sedangkan di kiri x = 3 fungsi turun dan di kanan x = 3 fungsi naik, berarti x = 3 adalah titi minimum. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 34/35
Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). 1 Jika nilai f (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). 1 Jika nilai f (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a. 2 Jika nilai f (a) < 0, maka f maksimum di sekitar titik a. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35
Test turunan ke-dua untuk titik stasioner Grafik Misalkan y = f(x) fungsi yang mempunyai turunan ke-dua di titik stasioner a (f(a) = 0). 1 Jika nilai f (a) > 0, maka f minimum di sekitar titik a. 2 Jika nilai f (a) < 0, maka f maksimum di sekitar titik a. 3 Jika f (a) = 0, gunakan test turunan pertama untuk menentukan jenis titik stasioner. Matematika SMK, Bab 16: Limit dan 35/35