Bab w. me da li.c om : er mb Su ww Program Linear Program linear merupakan salah satu bidang matematika terapan ang banak digunakan untuk memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Misalna, program linear digunakan untuk membantu pemimpin perusahaan dalam mengambil keputusan manajerial. Permasalahan ang berhubungan dengan program linear selalu berhubungan dengan proses mengoptimalkan fungsi objektif (fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi ang membatasi. Dalam hal ini, optimalisasi dapat berupa memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan. Salah satu contoh penggunaan program linear adalah untuk menelesaikan permasalahan berikut. Misalna, membuat medali bagi juara I, II, dan III pada pertandingan bulu tangkis, diperlukan campuran emas dan perak masing-masing dengan perbandingan :, :, dan :. Jika setiap juara memerlukan paling sedikit medali untuk juara I, medali untuk juara II, dan medali untuk juara III, tentukan model matematika dari masalah program linear tersebut. A. Sistem Pertidaksamaan Linear B. Program Linear
Kuis Cobalah kerjakan soal-soal berikut untuk mengetahui pemahaman Anda mengenai bab ini.. Tentukan daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan berikut. + ; + ; ;. Tentukan nilai maksimum P = + dan Q = +, pada sistem pertidaksamaan berikut.,, + dan + A. Sistem Pertidaksamaan Linear. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Masih ingatkah Anda dengan konsep pertidaksamaan linear? Di Kelas X, konsep tersebut telah Anda pelajari tentang bentuk dan penelesaianna. Di Kelas X pun Anda telah mempelajari persamaan linear dua variabel baik bentuk-bentukna maupun penelesaianna. Pada subbab ini akan dipelajari pertidaksamaan linear dua variabel. dan suatu keuntungan apabila Anda pernah memahami konsep pertidaksamaan linear dan persamaan linear dua variabel. Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk pertidaksamaan linear satu variabel, pertidaksamaan linear dua variabel memiliki dua variabel (peubah). Adapun pertidaksamaan linear satu variabel hana memiliki satu peubah. Begitu pula dengan persamaan linear dua variabel sama dengan pertidaksamaan linear dua variabel, hana saja berbeda dalam tanda ketidaksamaanna. Pada persamaan linear dua variabel, digunakan tanda hubung = sedangkan pertidaksamaan linear dua variabel digunakan tanda hubung >, <,, atau. Definisi Definisi Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika ang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan ang dimaksud adalah >, <,, atau. Info Matematika Penggunaan simbol dan, telah ada sejak tahun 6, setelah kara Artist Analticae Prais. Meskipun Oughtred telah mengembangkan beberapa variasi simbol pertidaksamaan pada abad ke 8, namun simbol ang paling umum digunakan adalah simbol ang dibuat Harrior. Sumber: Ensiklopedi Matematika Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk umum persamaan linear dua variabel. Seperti ang sudah disinggung sebelumna, perbedaanna terletak pada tanda ketidaksamaan. Pada persamaan digunakan tanda =, sedangkan pada pertidaksamaan digunakan tanda >, <,, atau. Berikut bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel. a + b > c a + b < c a + b c a + b c Dengan : a = koefisien dari, a b = koefisien dari, b c = konstanta a, b, dan c anggota bilangan real. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Anda telah mengenal dan mengetahui definisi serta bentuk umum dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel. Sekarang, Anda tentu dapat membedakan ang manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut ang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel.. <. +. + 6. +. + > Manakah di antara pertidaksamaan-pertidaksamaan tersebut ang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel? Dari ke lima nomor pertidaksamaan tersebut, ang merupakan pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan nomor dan. Pertidaksamaan nomor, merupakan pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan nomor bukanlah pertidaksamaan linear dua variabel karena pada pertidaksamaan tersebut memuat perkalian variabel. Pertidaksamaan nomor juga bukan pertidaksamaan linear dua variabel karena ada variabel ang derajatna lebih dari satu. Penelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel berupa pasangan terurut (a, b) ang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel. Semua penelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel disatukan dalam suatu himpunan penelesaian. Himpunan penelesaian dari suatu pertidaksamaan linear dua variabel biasana disajikan dalam bentuk grafik pada bidang koordinat cartesius. Langkah-langkah ang harus diambil untuk menggambar kan grafik penelesaian dari per tidaksama an linear dua variabel, hampir sama dengan langkah-langkah dalam menggambarkan grafik persamaan linear dua variabel. Berikut ini langkah-langkah mencari daerah penelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel. a. Ganti tanda ketidaksamaan >, <,, atau dengan tanda =. b. Tentukan titik potong koordinat cartesius dari persamaan linear dua variabel dengan kedua sumbu. Titik potong dengan sumbu, jika = diapit titik (,) Titik potong dengan sumbu, jika = diapit titik (,) c. Gambarkan grafikna berupa garis ang menghubungkan titik (,) dengan titik (,). Jika pertidaksamaan memuat > atau <, g ambarkanlah grafik tersebut dengan garis putus-putus. d. Gunakanlah sebuah titik uji untuk menguji daerah penelesaian pertidaksamaan. e. Berikanlah arsiran pada daerah ang memenuhi himpunan penelesaian pertidaksamaan. Tokoh Matematika George Bernard Dantzig (9 - ) George Bernard Dantzig mendapat gelar Ph.D. (Philosop Doctor) dari Universitas California. Pada tahun 97 ia bekerja di bagian perencanaan Angkatan Udara Amerika Serikat. Semua orang mengetahui bahwa sangat sulit mengokordinasikan persediaan, peralatan dan prajurit secara efisien. Akan tetapi, Dantig berhasil memformulasikan Angkata Udara Amerika Serikat sebagai masalah program linear. Masalah ang dihadapi memuat beribu variabel ang sulit dipecahkan dan Dantzig berhasil mengkoordinasikan persediaan, peralatan, dan prajurit secara efisien. Sumber: Finite Mathematic and Its Application, 998 Contoh Soal. Gambarlah daerah himpunan penelesaian pertidaksamaan +,, ŒR. +, ganti tanda ketidaksamaan sehingga diperoleh garis + =. Titik potong dengan sumbu, = + () = = = Program Linear
Titik potong dengan sumbu, = () + = = = Titik potong dengan sumbu koordinat di (, ) dan (, ). Diperoleh grafik + =. (, ) (, ) + = Ambil titik uji (, ) untuk mendapatkan daerah penelesaian dari pertidaksamaan +, diperoleh () + () (Benar) Dengan demikian, titik (, ) memenuhi pertidaksamaan + Himpunan penelesaian pertidaksamaan adalah daerah di bawah garis batas (ang diarsir). Daerah himpunan penelesaian + (, ) (, ) Gambar.: Grafik himpunan penelesaian pertidaksamaan + Contoh Soal. Gambarlah daerah himpunan penelesaian pertidaksamaan + >. Ganti tanda > pada + > menjadi tanda = sehingga diperoleh + =. Titik potong dengan sumbu, = + () = = = Titik potong dengan sumbu, = () + = = = sehingga diperoleh titik potong dengan sumbu- dan sumbu-, masingmasing di titik (, ) dan (, ). Dengan demikian, grafikna adalah (,) (,) + = Gambar. : Himpunan penelesaian pertidaksamaan + = Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Ambil titik uji (, ) untuk menentukan daerah penelesaian dari + > () + () > > tidak memenuhi Oleh karena (, ) tidak memenuhi + > maka himpunan penelesaianna berada di sebelah kanan kurva. Kurva pertidaksamaan tersebut digambarkan dengan garis putus-putus. Tugas. Daerah himpunan penelesaian + > + = Gambar. : Daerah himpunan penelesaian + > Buatlah dua buah pertidaksamaan linear dua variabel. Kemudian, tentukan daerah himpunan penelesaianna. Mintalah teman Anda untuk memeriksa hasil pekerjaan Anda.. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Jika Anda memiliki dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel, dan pertidaksamaan tersebut saling berkaitan maka terbentukl ah suatu sistem. Sistem inilah ang dinamakan sistem per tidaksamaan linear dua variabel. Definisi Definisi Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem ang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut mem punai dua variabel. Langkah-langkah menentukan daerah) penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut. a. Gambarkan setiap garis dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel. b. Gunakanlah satu titik uji untuk menentukan daerah ang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel. Gunakan arsiran ang berbeda untuk setiap daerah ang memenuhi pertidaksamaan ang berbeda. c. Tentukan daerah ang memenuhi sistem pertidaksamaan linear, aitu daerah ang merupakan irisan dari daerah ang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel pada langkah b. Pembahasan Soal Dalam himpunan pnelesaian pertidaksamaan,, + 6, dan +, nilai minimum dari + sama dengan... a. 9 d. b. e. c. (, ) (,) (, ) + = 6 + = F(, ) minimum pada terkecil dan terkecil aitu pada titik A(, ) F(, ) = + F(, ) = () + () = Jawaban: c Sumber: UMPTN, 998 Supaa Anda memahami langkah-langkah dalam menentukan daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, pelajari contoh soal berikut. Program Linear
Contoh Soal. Tentukan daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut. + 7 + Gambarkan setiap garis batas dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, aitu + =, 7 + =, = (sumbu ), = (sumbu ). Gambar. : Memperlihatkan + = dan 7 + = 7 6 6 7 7 + = + = Gambar. : Himpunan penelesaian + =, 7 + = Gunakan titik uji (, ) pada setiap pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan + () + () (memenuhi) Daerah ang memenuhi berada di sebelah kiri garis + = 7 + 7() + () (memenuhi) Daerah ang memenuhi berada di sebelah kiri garis 7 + = dan Daerah ang memenuhi berada di kuadran I. Dengan pola ang berbeda, arsirlah (raster) setiap daerah ang memenuhi setiap pertidaksamaan linear dua variabel tersebut, seperti ditunjukkan pada gambar berikut. 7 6 Gambar. : Memperlihatkan Daerah hitam ang memenuhi pertidaksamaan linear dua variabel + 7 + Daerah ang memenuhi sistem pertidaksamaan linear dua variabel 6 7 + = 7 + = 6 Gambar. : Bentuk Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Contoh Soal. Tentukan daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut. + 6 + 8 Lukis keempat garis batas dari sistem pertidaksamaan linear tersebut, aitu + = 6, + = 8, = (sumbu ), dan = (sumbu ), seperti pada gambar di bawah. Dengan menggunakan titik uji (, ), diperoleh hasil akhir berupa daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan seperti pada Gambar.6, aitu daerah ang berwarna hitam. 9 8 7 6 6 7 Daerah ang memenuhi sistem pertidaksamaan linear dua variabel + = 6 + = 8 Gambar.6 : memperlihatkan Daerah abu-abu tua ang memenuhi pertidaksamaan linear + = 6, + = 8 Dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel, Siswa tidak hana diminta untuk mencari daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan. Kadang-kadang, siswa juga diminta untuk membuat persamaan atau pertidaksamaan linear dari ang diberikan. Tentuna, Anda harus mengingat kembali tentang persamaan garis ang telah dipelajari. Jika garis batas ang akan diberikan pada daerah penelesaian sistem perti daksamaan linear memotong sumbu koordinat- dan koordinat- di titik (b, ) dan (, a) maka persamaan garisna adalah b + = a atau a + b = ab Jika garis batas diberikan pada daerah penelesaian sistem pertidaksamaan linear melalui titik (, ) dan (, ) maka persamaan garisna adalah D = m ( ) dengan m = = D atau = Cobalah () () () Tentukan sistem pertidaksamaan daerah linier jika daerah ang merupakan himpunan penelesaian dari pertidaksamaan ang dicari diarsir pada gambar di atas. Sumber: Ebtanas, 997 Program Linear 7
Cobalah () Contoh Soal. Tentukan persamaan garis dari gambar berikut. a. b. () Tentukan sistem pertidaksamaan ang memenuhi daerah penelesaian ang diarsir pada gambar di atas. Sumber: Ebtanas, 997 (, ) a. Berdasarkan gambar tersebut, diketahui bahwa garis memotong sumbu- di titik (, ) dan memotong sumbu- di titik (, ) sehingga persamaan garisna adalah a + b = ab a = dan b = maka + = + = b. Berdasarkan gambar tersebut, diketahui bahwa garis melalui titik (, ) dan titik (, ) sehingga persamaan garisna adalah = dengan =, =, =, dan = - (- ) maka - ( ) = - - (- - - + = -+ - ( + ) = 6 = + = 6 Contoh Soal.6 Tentukan pertidaksamaan ang memenuhi daerah penelesaian berikut. Berdasarkan gambar, diketahui garis batas tersebut memotong sumbu- di titik (, ) dan memotong sumbu di titik (, ) sehingga persamaan garisna adalah 8 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
a + b = ab dengan a = dan b = maka + ( ) = ( ) = Untuk menentukan tanda pertidaksamaanna, gunakan titik uji ang terdapat pada daerah ang diarsir. Ambil titik uji (, ). Titik uji (, ) terhadap garis =... () ()... > (memenuhi) Garis =. Jika digambarkan secara utuh maka pertidaksamaan ang memenuhi daerah penelesaian tersebut adalah Contoh Soal.7 Daerah ang diarsir pada gambar berikut merupakan grafik himpunan penelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan. Tentukan sistem pertidaksamaan ang dimaksud. (, ) (, ) (, ) I II Untuk mencari persamaan garisna (sebelum dicari pertidaksamaanna), Anda dapat mempergunakan rumus ang pertama ataupun kedua karena kedua garis memotong sumbu- dan sumbu-. Gunakan rumus = atau = ( ) Garis I melalui titik (, ) dan (, ) maka persamaan garisna - ( - ) - = ( - ) - = ( ) = + + =...() Garis II melalui titik (, ) dan (, ) maka persamaan garisna - ( - ) - = ( - ) - = - ( - ) = - + + = atau + =...() Cobalah () () () III IV I II V 6 Pada gambar tersebut ang merupakan himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan + 6, +, dan + 6, adalah daerah... Sumber: Ebtanas, 998 Program Linear 9
Gunakan titik uji ang terdapat pada daerah penelesaian. Ambil titik uji (, ). Titik uji (, ) terhadap garis I (persamaan ()) +... +... > Jadi, pertidaksamaan linear dua variabelna adalah + Titik uji (, ) terhadap garis II (persamaan()) +... + ()... < Jadi, pertidaksamaan linear dua variabelna adalah +. Oleh karena daerah penelesaian pada gambar tersebut berada di kuadran I maka daerah penelesaian tersebut memenuhi pertidaksamaan dan. Sistem pertidaksamaan linear dari daerah penelesaian pada gambar tersebut adalah + + Tes Pemahaman. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Tentukan daerah penelesaian dari pertidaksamaanpertidaksamaan berikut pada bidang koordinat cartesius. a. + 6 e. 6 b. + 8 f. c. 8 g. +. d. 6 < h. < 6.. Tentukan daerah penelesaian sistem per tidaksamaan linear berikut ini pada bidang koordinat cartesius. a. + 6 d. + 6 + 9 + 7 + b. + e. + 6 + + 7 + c. 8 f. + + 6. Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah ang diarsir pada bidang koordinat cartesius berikut ini. a. b. c. 7 6 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
d. e. (, ) (, ) (, ) (, ). Buatlah contoh sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Kemudian, tentukan daerah penelesaianna pada bidang koordinat cartesius.. Buatlah contoh daerah penelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel (pada koordinat cartesius). Kemudian, tentukanlah sistem pertidaksamaan linear dua variabel ang memenuhi daerah penelesaian tersebut. 6. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunai persediaan 8 kaleng cat berwarna putih dan 6 kaleng cat berwarna abu-abu. Pemborong tersebut mendapat tawaran untuk mengecat ruang tamu dan ruang tidur. Setelah dihitung, ternata ruang tamu menghabiskan kaleng cat putih dan kaleng cat abu-abu, sedangkan ruang tidur menghabiskan kaleng cat putih dan kaleng cat abu-abu. Jika banak ruang tamu buah dan banakna ruang tidur buah, dapatkah Anda menentukan sistem pertidaksamaan dari permasalahan tersebut? B. Program Linear Pada subbab sebelumna, Anda telah mempelajari mengenai per tidaksamaan linear dua variabel dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Konsep ang telah Anda pelajari tersebut, akan dipergunakan kembali dalam memecahkan masalah program linear ang akan dipelajari pada subbab ini. Program linear merupakan salah satu bagian dari matematika terapan ang dapat digunakan dalam memecahkan berbagai macam persoalan ang timbul dalam kehidupan sehari-hari. Sebelum Anda belajar lebih jauh mengenai program linear, terlebih dahulu Anda akan diperkenalkan pada model matematika berikut.. Model Matematika Permasalahan ang Anda hadapi dalam kehidupan sehari-hari adalah masalah nata, bukan masalah ang langsung berbentuk angka ataupun hitungan-hitungan matematika. Masalah nata ang akan Anda selesaikan ataupun dicari solusina, dapat Anda temukan dalam berbagai bidang. Misalna, dalam menjalani proses produksi pada suatu perusahaan, pastilah tersedia bahan baku, tenaga kerja, mesin, dan sarana produksi lainna. Seorang pengusaha harus memperhitungkan semua faktor ang ada supaa perusahaanna dapat meminimumkan biaa produksi dan memaksimumkan keuntungan ang diperoleh. Program linear dapat digunakan untuk menelesaikan masalahmasalah tersebut. Akan tetapi, masalah-masalah tersebut terlebih dahulu harus diterjemahkan ke dalam bahasa matematika sampai ke tingkat ang paling sederhana. Proses menterjemahkan masalah nata ke dalam bahasa matematika dinamakan pemodelan matematika. Bagan proses pemodelan matematika dapat digambarkan sebagai berikut. Program Linear
Masalah Nata diterjemahkan Bahasa Matematika diinterpretasikan untuk memecahkan dibuat Solusi dari Model Matematika dicari Model Matematika Proses Pemodelan Matematika Pembahasan Soal Tanah seluas. m akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan m dan tipe B seluas 7 m, rumah ang akan dibangun paling banak unit. Keuntungan rumah tipe A Rp 6..,/unit dan tipe B Rp..,/unit. Keuntungan maksimum ang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah... a. Rp.., b. Rp6.., c. Rp7.., d. Rp8.., e. Rp9.., Diketahui Tipe A = unit (luas tanah m, keuntungan Rp6..,) Tipe B = unit (luas tanah 7 m, keuntungan Rp..,) Persediaan rumah unit, luas tanahna. m. Model matematika,, +, + 7. Dengan bentuk objektif adalah (6., +..) Titik Sudut (, ) (, ) (, ) (, ) f(, ) = 6.. +.. 6...... Jadi, keuntungan maksimum hasil penjualan rumah tersebut sebesar Rp6..,. Jawaban: b Sumber: UAN, Supaa memahami proses pemodelan matematika tersebut, pelajarilah uraian berikut. Misalkan seorang agen sepeda ingin membeli paling banak buah sepeda untuk persediaan. Ia ingin membeli sepeda model biasa dengan harga Rp..,/buah dan sepeda model sport dengan harga Rp.6.,/buah. Ia mempunai modal Rp.6.,. Ia berharap memperoleh untung Rp., untuk setiap sepeda biasa dan Rp., untuk setiap sepeda sport. Jika Anda diminta untuk memodelkan masalah ini, dengan harapan agen sepeda tersebut mendapatkan keuntungan maksimum, dapatkah Anda membantuna? Untuk memodelkan permasalahan tersebut, langkah pertama dimulai dengan melakukan pemisalan. Pada permasalahan tersebut, ada model sepeda ang ingin dibeli oleh agen, aitu sepeda biasa dan sepeda sport. Misalkan banakna sepeda biasa ang dibeli adalah buah dan banakna sepeda sport ang dibeli adalah buah. Oleh karena keuntungan ang diharapkan dari sepeda biasa dan sport berturut-turut adalah Rp., dan Rp., maka keuntungan ang mungkin diperoleh agen tersebut ditentukan oleh z = f(, ) =. +. Fungsi z = f(, ) tersebut dinamakan sebagai fungsi objektif (fungsi tujuan). Dari permasalahan ang ada, diinginkan untuk memaksimumkan keuntungan ang didasarkan pada kondisi-kondisi ang ada (kendala). Setiap kendala ang ada, bentukna berupa pertidaksamaan. Fungsi kendala dari permasalahan agen sepeda tersebut ditentukan sebagai berikut: Banakna sepeda ang akan dibeli oleh agen tersebut + Besarna modal ang dimiliki agen sepeda.. +.6..6. + Banakna sepeda ang dibeli tentu tidak mungkin negatif sehingga nilai dan. Dengan demikian, terbentuklah model matematika berikut. z = f(, ) =. +. Tujuanna memaksimumkan fungsi tujuan ang didasarkan pada kondisi + + Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Model matematika dari setiap permasalahan program linear secara umum terdiri atas komponen, aitu:. Fungsi tujuan z = f(, ) = a + b dan. Fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear) Contoh Soal.8 Suatu lahan parkir memiliki luas 8 m dan hana mampu menampung 6 bus dan mobil. Sebuah mobil menghabiskan tempat 6 m dan bus m. Biaa parkir Rp.,/mobil dan Rp.,/bus. Pemilik lahan parkir mengharapkan penghasilan ang maksimum. Tentukan model matematika dari permasalahan tersebut. Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel seperti berikut. Banakna kendaraan Lahan ang dipakai Penghasilan Mobil Bus Maksimum 6 Keuntungan ang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut. z = f(, ) =. +. Banakna mobil dan bus ang dapat ditampung di lahan parkir tersebut memenuhi pertidaksamaan + 6 Luas lahan ang dapat dipakai untuk menampung mobil dan bus memenuhi pertidaksamaan 6 + 8 Oleh karena dan berturut-turut menatakan banakna mobil dan bus, maka dan. Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah fungsi tujuan z = f(, ) =. +. dengan fungsi kendala + 6 6 + 8 Contoh Soal.9 6 8.. Seorang pedagang menjual jenis buah, aitu semangka dan melon. Tempatna hana mampu menampung buah sebanak 6 kg. Pedagang itu mempunai modal Rp.,. Harga beli semangka Rp.,/kg dan harga beli melon Rp./kg. Keuntungan ang diperoleh dari penjual semangka Rp.,/kg dan melon Rp.,/kg. Tentukan model matematika dari permasalahan ini. Permasalahan tersebut dapat disusun dalam bentuk tabel seperti berikut. Semangka Melon Maksimum Cobalah Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam pada mesin I dan jam pada mesin II. Adapun untuk membuat barang jenis B, memerlukan jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Kedua mesin tersebut dioperasikan setiap harina masing-masing tidak lebih dari 8 jam. Setiap hari dibuat buah barang A dan buah barang B. Tentukan model matematika dari masalah tersebut. Sumber: Sipenmaru, 98 Sumber: www.balipost.com Gambar.7 Penjual semangka dan melon Banakna buah (kg) Pembelian Keuntungan 6..... - Program Linear
Keuntungan ang diharapkan, dipenuhi oleh fungsi tujuan berikut. z = f(, ) =. +. Banakna buah semangka dan melon ang dapat ditampung di tempat pedagang tersebut memenuhi pertidaksamaan berikut. + 6 Banakna buah semangka dan melon ang dapat dibeli oleh pedagang memenuhi pertidaksamaan berikut.. +.. Oleh karena dan berturut-turut menatakan banakna buah semangka dan melon maka dan. Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah fungsi tujuan z = f(, ) =. +. dengan fungsi kendala + 6. +.. Cobalah Sepuluh tahun ang lalu, umur A dua kali umur B. lima tahun kemudian umur A menjadi kali umur B. Berapa tahun umur A sekarang?. Masalah Program Linear Program linear akan sangat berguna bagi Anda ketika dihadapkan pada beberapa pilihan dengan kendala-kendala tertentu, ang menuntut Anda untuk mengambil keputusan ang optimum (maksimum atau minimum). Oleh karena itu, permasalahan dalam program linear selalu berhubungan dengan pengoptimalisasian fungsi tujuan berdasarkan kendala ang membatasina. Suatu program linear dua variabel dan memiliki satu fungsi tujuan ang dioptimumkan. Bentuk umum dari fungsi tujuan tersebut adalah sebagai berikut. z = f(, ) = a + b dengan a, b bilangan real, a dan b Pada Contoh Soal.9, fungsi tujuan ang ingin dimaksimumkan adalah z = f(, ) =. +., dan fungsi kendalana adalah + 6. +.. Tujuan dari permasalahan tersebut adalah menentukan banakna buah semangka dan melon ang harus dibeli/disediakan agar diperoleh keuntungan maksimum. Dalam memaksimumkan suatu fungsi tujuan z = a + b, Anda perlu menentukan titik-titik (, ) ang menghasilkan nilai z terbesar. Titik (, ) ang menghasilkan nilai z terbesar harus memenuhi setiap pertidaksamaan linear pada fungsi kendala ang diberikan. Hampir sama dengan hal itu, dalam meminimumkan suatu fungsi, Anda perlu menentukan titik-titik (, ). Namun dalam meminimumkan fungsi tujuan, dicari titik (, ) ang menghasilkan nilai z terkecil. Berdasarkan uraian tersebut, diketahui bahwa model matematika ang diperoleh pada Contoh Soal.9 merupakan contoh permasalahan dalam upaa memaksimumkan fungsi tujuan. Dengan demikian, masalah program linearna sebagai berikut. fungsi tujuan z = f(, ) =. +. dengan kendalana adalah Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
+ 6. +.. Dengan menggunakan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel, diperoleh daerah penelesaian seperti pada gambar berikut. A(, 6) 7 C B(6, ) 6 + = 6. +. =. Selanjutna, cari koordinat titik C ang merupakan perpotongan antara garis + = 6 dan. +. =.. Gunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi + = 6.. +. =.. +. =.. +. =. =. = Substitusikan nilai = ke persamaan + = 6 diperoleh + = 6 = 6 = Jadi, koordinat titik C adalah (, ). Dari permasalahan ini diketahui koordinat titik sudut daerah penelesaian dari sistem tersebut adalah A(, 6), B(6, ), C(, ) dan O(, ). Oleh karena tujuan dari permasalahan ini adalah ingin memaksimumkan nilai z maka tentukan dari keempat titik tersebut ang membuat nilai z maksimum, dengan cara menubstitusikanna ke fungsi z = f(, ) =. +.. Untuk A (, 6) maka z =.() +.(6) = 7. Untuk B (6, ) maka z =.(6) +.() = 8. Untuk C (, ) maka z =.() +.() = 8. Untuk O (, ) maka z =.() +.() = Fungsi z maksimum di titik C (, ) dengan z = 8.. Gambar.8 Grafik himpunan penelesaian program linear + 6. +.. Pembahasan Soal S(, ) P(6, ) Jika segilima OPQRS merupakan himpunan penelesaian program linear maka nilai maksimum fungsi tujuan + terletak di titik... a. O d. R b. P e. S c. Q Titik Sudut (, ) O(, ) P(6, ) Q(, ) R(, ) S(, ) R(, ) Q(, ) f(, ) = + 6 + () = 6 + () = + () = 7 + () = 9 Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan + adalah 7 ang terletak pada titik R. Jawaban: d Sumber: Proek Perintis, 98 Program Linear
Cobalah Nilai maksimum dari f(, )= + dengan kendala,, +, + 6 adalah Sumber: SPMB, Metode ang Anda gunakan pada uraian tersebut dikenal sebagai metode titik sudut. Secara umum, langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum masalah program linear dengan fungsi tujuan z = f(, ) = a + b menggunakan metode titik sudut adalah sebagai berikut.. Buat model matematika dari masalah program linear ang diberikan.. Gambarkan grafik-grafik dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel ang diketahui.. Tentukan daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel ang terdapat pada masalah (irisan dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan).. Tentukan titik-titik sudut pada daerah himpunan penelesaianna.. Substitusikan titik-titik sudut tersebut ke dalam fungsi tujuan. Ambil nilai ang paling besar untuk penelesaian maksimum, atau ambil nilai ang paling kecil untuk penelesaian minimum. Titik ang memberikan nilai optimum (maksimum atau minimum) dinamakan titik optimum. Contoh Soal. Tentukan nilai maksimum f(, ) = + pada himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan berikut. + + Titik potong + = dan + = dengan sumbu- dan sumbu- + = memotong sumbu- di titik (, ) + = memotong sumbu- di titik (, ) + = memotong sumbu- di titik (6, ) + = memotong sumbu- di titik (, 8) Grafi k dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel beserta penelesaianna pada masalah tersebut adalah sebagai berikut. 8 C Gambar.9 Grafik sistem pertidaksamaan linear dua variabel + + B A O 6 + = + = Berdasarkan gambar tersebut, Anda dapat mengetahui setiap titik sudut ang terdapat pada daerah himpunan penelesaian, aitu O(, ), A(6, ), B, dan C(, ). Oleh karena titik B belum diketahui koordinatna maka Anda terlebih dahulu harus menentukan koordinat titik B. 6 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Titik B merupakan perpotongan garis + = dan + =. Selesaikan kedua persamaan tersebut untuk mendapatkan absis dan ordinat dari titik B, diperoleh + = + 8 = + = + = = 6 = 6 Substitusikan nilai = 6 + = Ê + 6 ˆ Á Ë = + = ke persamaan + =, diperoleh = - = = 8 Ê Jadi, koordinat titik B adalah Á Ë 8, 6 ˆ. Selanjutna, substitusikan titik-titik sudut dari daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel ke dalam fungsi tujuan z = f(, ) = +. Titik sudut O(, ) A(6, ) f(, ) = + 8 Ê B 8 Á Ë, 6 ˆ,6 C(, ) Jadi, nilai maksimum f(, ) = + adalah,6. Contoh Soal. Cokelat A ang hargana Rp6, per bungkus dijual dengan laba Rp8, per bungkus. Cokelat B hargana Rp., per bungkus dijual dengan laba Rp, per bungkus. Modal ang dimiliki pedagang adalah Rp., dan kotak tempat menjual cokelat mampu memuat bungkus. Tentukan: a. laba maksimum ang dapat diperoleh pedagang, b. banakna cokelat A dan cokelat B ang harus dibeli pedagang agar dapat diperoleh laba ang maksimum. Misalkan banakna cokelat A ada bungkus dan cokelat B ada bungkus. Model matematika dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut. Cobalah Tempat parkir seluas 6 m hana mampu menampung 8 bus dan mobil, tiap mobil membutuhkan Rp, dan bus Rp7, untuk membaar sewa parkir, jika tempat parkir itu penuh. Tentukanlah, hasil dari biaa parkir maksimum. Sumber: Ebtanas, Program Linear 7
Fungsi Tujuan: z = f(, ) = 8 + Kendala + 6 +.. Berdasarkan model tersebut, diperoleh daerah himpunan penelesaian seperti pada gambar berikut. C (, ) B daerah ang diarsir pada Gambar. memperlihatkan Himpunan penelesaian + 6 +.. A(, ) + = 6 + =. Titik B merupakan titik koordinat perpotongan antara kedua garis. Koordinat titik B diperoleh dengan cara menelesaikan kedua persamaan garis seperti berikut. + =. +. =. 6 + =. 6 +. =. =. = Substitusi nilai = ke persamaan + =, diperoleh + = + = = = Jadi, koordinat titik B adalah (, ). Titik sudut ang terdapat pada daerah himpunan penelesaian tersebut adalah O (, ), A (, ), B(, ) dan C (, ). Nilai fungsi tujuan dari keempat titik tersebut disajikan pada tabel berikut. Titik Sudut Z = f (, ) = 8 + O(, ) A(, ) B(, ) C(, ) 8. 8. 7. a. Berdasarkan tabel tersebut diketahui bahwa laba maksimum ang dapat diperoleh pedagang adalah Rp8.,. b. Laba maksimum diperoleh jika banakna cokelat A sebanak bungkus dan cokelat B sebanak bungkus. 8 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Contoh Soal. Seorang anak penderita kekurangan gizi diharuskan makan dua jenis tablet vitamin setiap hari. Tablet pertama mengandung unit vitamin A dan unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung unit vitamin A dan unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan unit vitamin A dan unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp,/biji dan tablet kedua Rp6,/biji, tentukan pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harina. Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam tabel berikut. Vitamin A Vitamin B Tablet Tablet Misalkan, banakna tablet sebanak biji dan tablet sebanak biji. Model matematika untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut. Fungsi tujuan: z = f (, ) = + 6 Kendala: + + Berdasarkan model matematika tersebut, diperoleh daerah himpunan penelesaianna seperti pada gambar berikut. Cobalah Rokok A ang harga belina Rp., dijual dengan harga Rp., perbungkus. seorang pedagang rokok mempunai modal Rp.,, sedangkan kiosna hana dapat menampung paling banak bungkus rokok. pedagang tersebut dapat keuntungan maksimum jika ia membeli... Sumber: UMPTN, C (, ) B A(, ) + = + = Titik B adalah koordinat titik potong garis + = dan + =. Untuk mendapatkan titik B, cari penelesaian dari kedua garis tersebut. + = + = + = + = = Gambar. Himpunan penelesaian + + = 6 Program Linear 9
Substitusikan nilai = 6 ke persamaan + =, diperoleh Ê 6 ˆ Á Ë + = = 8-8 = = 7 Titik-titik sudut ang terdapat pada daerah himpunan penelesaian Ê 6 7 ˆ tersebut adalah A (, ), B, Á, dan C (, ). Nilai fungsi tujuan dari Ë ketiga titik tersebut disajikan dalam tabel berikut. Titik Sudut A(, ) Ê 6 7 ˆ B, Á Ë C(, ) Z = f (, ) = + 6.6.. Jadi, nilai minimum untuk fungsi tujuan tersebut adalah.. Artina, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per harina Rp.,. Tugas. Coba Anda cari permasalahan di sekitar Anda ang berhubungan dengan program linear. Buatlah modelna, kemudian selesaikan. Kemukakan hasilna di depan kelas Cobalah Pedagang teh mempunai lemari ang hana cukup ditempati untuk boks teh. Teh A dibeli dengan harga RP6., setiap boks dan teh B dibeli dengan harga Rp8., setiap boks. Jika pedagang tersebut mempunai modal Rp., untuk pembeli boks teh A dan boks teh B, tentukanlah sistem pertidaksamaan dari masalah tersebut. Sumber: Ebtanas, 999 Selain metode titik sudut, terdapat metode lain ang digunakan sebagai alternatif untuk menentukan nilai optimum dari suatu fungsi tujuan. Metode alternatif tersebut dikenal sebagai metode garis selidik. Jika bentuk umum fungsi tujuan dinotasikan dengan f(, ) = z = a + b maka bentuk umum garis selidik dinotasikan dengan a + b = k, dengan k Œ R Pada dasarna, metode garis selidik dilakukan dengan cara menggeser garis selidik secara sejajar ke arah kiri, kanan, atas, atau bawah sampai garis tersebut memotong titik-titik sudut daerah himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Untuk fungsi tujuan maksimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penelesaian dari kendala-kendala sistem pertidaksamaan linear dua variabel berada di bawah atau sebelah kiri garis selidik. Adapun untuk fungsi tujuan minimum, titik optimum dicapai jika semua himpunan penelesaian berada di atas atau sebelah kanan garis selidik dengan sarat koefisien harus positif (b > ). Jika koefisien negatif (b < ), maka berlaku sebalikna. Secara umum, langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum dari masalah program linear dengan fungsi tujuan z = f(, )= a + b, menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
. Gambarkan daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.. Tentukan fungsi tujuan dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel.. Tentukan persamaan garis selidik. Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerah himpunan penelesaian. Titik ang paling jauh tersebut merupakan titik ang memaksimumkan fungsi tujuan.. Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerah himpunan penelesaian. Titik ang paling dekat tersebut merupakan titik ang meminimumkan fungsi tujuan. Untuk mempermudah Anda dalam memahami metode garis selidik, perhatikan gambar berikut. A B C D Garis selidik a + b = k, b > Daerah himpunan penelesaian Berdasarkan gambar tersebut, titik A merupakan titik ang meminimum kan fungsi tujuan (objektif) dan titik D merupakan titik ang me maksimum kan tujuan. Sebagai ilustrasi awal dari metode garis selidik, perhatikan kembali masalah program linear dari Contoh Soal.. Pada contoh soal tersebut, fungsi tujuan ang ingin dimaksimumkan adalah z = f(, ) = + dan fungsi kendalana adalah + + Nilai optimum dari masalah program linear tersebut dapat Anda cari dengan menggunakan metode garis selidik berikut. Daerah penelesaian dari sistem pertidaksamaan ang terdapat pada Contoh Soal. sebagai berikut. Cobalah Di sebuah kantin, Sandi dan kawan-kawan membawa mangkok bakso dan 6 gelas es ang dipesanna, sedangkan Dani dan kawan-kawan membaar tidak lebih dari Rp., untuk 8 mangkok dan gelas es. Jika kita memesan mangkok bakso dan gelas es. Tentukanlah, maksimum ang harus kita baar. Sumber: UM-UGM, 8 C B O A 6 + = + = Gambar. : memperlihatkan Daerah himpunan penelesaian + + Program Linear
Fungsi tujuan dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel pada masalah tersebut adalah +. Bentuk umum garis selidik: a + b = k fi + =. 8 Gambar. : memperlihatkan Garis selidik nilai maksimum + = C B O A 6 Garis selidik + = Berdasarkan gambar., garis selidik ang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel ang diketahui, aitu titik B. Koordinat titik B setelah dicari adalah Ê B 8 6 ˆ, Á Ë Dengan demikian, nilai optimum fungsi tujuan z = f(, ) = + dicapai pada titik Ê B 8 6 ˆ, Á Ë z = f(, ) = + Ê 8 f, Á Ë 6 ˆ = Ê 8 ˆ 6 Ë Á + Ê ˆ Á Ë = 6 + = 8 =,6 Berbeda halna jika ang dicari adalah nilai minimum maka garis selidik harus digeser ke kiri atau ke bawah seperti gambar berikut. 8 Gambar. Garis selidik nilai minimum + = C B O A 6 Garis selidik + = Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
Berdasarkan gambar tersebut, titik O(, ) merupakan titik paling dekat dari himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan. Dengan demikian, nilai minimum fungsi tujuan ang diberikan dicapai pada titik O(, ), aitu z = f(, ) = + f(, ) = () + () = Jadi, nilai maksimum sistem pertidaksamaan linear dua variabel Ê tersebut adalah,6 ang dicapai pada titik B 8 6 ˆ, Á dan nilai minimum dicapai pada titik O(, ) Ë Contoh Soal. Gunakan metode garis selidik untuk mencari nilai optimum pada Contoh Soal.. Fungsi tujuan dan kendala dari Contoh Soal. adalah Fungsi tujuan: z = f(, ) = 8 + Kendala: + 6 +.. Penelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut sebagai berikut. C (, ) B (, ) Gambar. : A(, ) + = 6 +. =. Fungsi tujuan dari masalah program linear tersebut adalah 8 +. Bentuk umum garis selidikna a + b = k 8 + =. atau 6 + =. Oleh karena ang dicari adalah nilai maksimum maka geser garis selidik ke kanan atau atas seperti pada gambar berikut. Gambar. : memperlihatkan Daerah himpunan penelesaian + 6 +.. C (, ) B (, ) Gambar.6 : memperlihatkan grafik nilai minimum + 6 +.. A(, ) + = 6 + =. Garis selidik 6 + =. Gambar.6 : Program Linear
Berdasarkan gambar.6, garis selidik ang digeser secara sejajar ke kanan atau ke atas, memotong titik terjauh dari himpunan penelesaian pertidaksamaan linear dua variabel di titik B (, ). Dengan demikian, nilai fungsi tujuan z = 8 + dicapai di titik B (, ) z = f (, ) = 8 + f (, ) = 8() + () =. + 8. = 8. Jadi, nilai maksimum fungsi tujuan z = 8 + adalah 8. Tugas. Gunakan metode garis selidik untuk menelesaikan masalah program linear pada Contoh Soal.. Kemukakan hasilna di depan kelas Tes Pemahaman. Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.. Apakah ang dimaksud dengan model matematika? Jelaskan dengan menggunakan kata-kata sendiri.. Apa ang Anda ketahui tentang program linear?. Harga kg beras Rp6, dan kg gula Rp,. Seorang pedagang memiliki modal Rp., dan tempat ang tersedia hana memuat kuintal. Jika pedagang tersebut membeli kg beras dan kg gula, tentukan model dari masalah tersebut.. Tentukan nilai maksimum fungsi tujuan z = 8 + 6 dengan kendala. + +. Seorang pedagang roti membuat dua jenis roti. Roti jenis A memerlukan gram tepung dan gram mentega. Roti jenis B memerlukan gram tepung dan gram mentega. Tepung ang tersedia 8 kg dan mentega ang tersedia, kg, serta harga jual roti jenis A Rp7, per buah dan roti jenis B Rp6, per buah, tentukan: a. Model dari permasalahan tersebut, lengkap dengan fungsi tujuanna. b. Daerah himpunan penelesaian dari sistem persamaan ang ada. c. Pendapatan maksimum ang dapat diperoleh oleh pedagang roti tersebut. Rangkuman. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem pertidaksamaan ang terdiri atas dua pertidaksamaan atau lebih dan setiap pertidaksamaan tersebut mempunai dua variabel.. Daerah penelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel, diperoleh dari irisan dari tiap-tiap pertidaksamaan linear dua variabel ang terdapat pada sistem tersebut.. Pada umumna, model matematika dari setiap permasalahan program linear, terdiri atas komponen, aitu a. fungsi tujuan z = f(, ) = a + b, b. fungsi kendala (berupa pertidaksamaan linear).. Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum masalah program linear dengan fungsi tujuan z = f(, ) = a + b menggunakan metode titik sudut adalah sebagai berikut. a. Buat model matematika dari masalah program linear ang diberikan. b. Gambarkan grafik-grafik dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel ang diberikan. c. Tentukan daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidakasamaan linear dua variabel ang terdapat pada masalah (irisan dari setiap pertidaksamaan linear dua variabel ang diketahui). d. Tentukan titik-titik sudut pada daerah himpunan penelesaianna. e. Substitusikan titik-titik sudut tersebut ke dalam fungsi tujuan. Ambil nilai ang paling besar untuk penelesaian maksimum dan ambil ang paling kecil untuk penelesaian minimum. Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
. Langkah-langkah dalam menentukan nilai optimum masalah program linear dengan fungsi tujuan z = f(, ) = a + b menggunakan metode garis selidik adalah sebagai berikut. a. Gambarkan daerah himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. b. Tentukan fungsi tujuan dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. c. Tentukan persamaan garis selidik. d. Untuk mendapatkan nilai maksimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kanan atau atas sampai memotong titik paling jauh dari daerah himpunan penelesaian, titik ang paling jauh tersebut merupakan titik ang memaksimumkan fungsi tujuan. e. Untuk mendapatkan nilai minimum, geser garis selidik secara sejajar ke arah kiri atau bawah sampai memotong titik paling dekat dari daerah himpunan penelesaian. Titik ang paling dekat tersebut merupakan titik ang meminimumkan fungsi tujuan. Peta Konsep Program Linear memecahkan masalah Pertidaksamaan Linear Sistem Pertidaksamaan Linear (Fungsi Tujuan, Fungsi kendala) diselesaikan untuk mendapatkan menggunakan Nilai Optimum berupa Metode Titik Sudut Metode Garis Selidik Maksimum Minimum Program Linear
Kerjakanlah di buku latihan Anda. I. Pilihlah satu jawaban ang benar... Tes Pemahaman Bab (, ) (, ) Daerah ang diarsir pada gambar tersebut ditunjukkan oleh pertidaksamaan... a. + d. b. + e. c. + (, ). Himpunan penelesaian dari sistem pertidaksamaan +, +,, terletak pada daerah ang berbentuk... a. trapesium b. persegipanjang c. segitiga d. segiempat e. segilima. Daerah penelesaian dari gambar di bawah ini ang memenuhi pertidaksamaan adalah... + 6 + 6 adalah.... (, ) Sistem pertidaksamaan ang menunjukkan himpunan penelesaian dari daerah ang diarsir pada gambar tersebut adalah... a. +,, b. +,, c. +,, d. +,, e. +,, (, ) (, ) I a. I b. II c. III d. IV e. V 6. Nilai minimum f(, ) = + untuk dan ang terdapat pada daerah ang diarsir pada gambar berikut adalah... IV II V III (, ) (6, ) Sistem pertidaksamaan ang memenuhi daerah himpunan penelesaian seperti ang ditunjukkan pada gambar tersebut adalah... a. +, + 6,, b. +, + 6,, c. +, + 6,, d. +, + 6,, e. +, + 6,, a. b. c. d. e. 6 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
7. Titik-titik pada gambar berikut merupakan grafik himpunan penelesaian suatu sistem pertidaksamaan. 6 6 Nilai maksimum ( + ) pada himpunan penelesaian itu adalah... a. b. c. 6 d. e. 8. Daerah ang diarsir adalah himpunan penelesaian dari... a. +,,, b. +,,, c. +,,, d. +,,, e. +,,, 9. Nilai maksimum dari f(, ) = + dengan sarat +, + 9,, dan adalah... a. 9 b. c. d. e.. Untuk (, ) ang memenuhi +, +,,, nilai fungsi z = + terletak dalam selang... a. {z z } b. {z z } c. {z z } d. {z z } e. {z z }. Segilima OPQRS merupakan penelesaian program linear, fungsi maksimum fungsi tujuan + terletak di titik... S(, ) R(, ) Q(, ) P(6, ) a. O d. R b. P e. S c. Q. Himpunan penelesaian pertidaksamaan I II V III IV + 6 + 6 Ditunjukkan oleh... a. I d. IV b. II e. V c. III. Nilai minimum dari bentuk + pada daerah penelesaian sistem pertidaksamaan + 9 + adalah... a. 8 d. b. 6 e. c.. Harga per bungkus sabun A Rp., dan sabun B Rp.,. Jika pedagang hana mempunai modal Rp9., dan kiosna hana mampu menampung Sumber: www.buzlu.com bungkus sabun, model matematika dari permasalahan tersebut adalah... a. + ; +, 9; ; b. + ; +, 9; ; c. + ; +, 9; ; d. + ; +, 9; ; e. + ; +, 9; ; Program Linear 7
. Sebuah pabrik roti memproduksi kaleng roti setiap hari. Roti ang diproduksi terdiri atas dua jenis. Roti I diproduksi tidak kurang dari kaleng dan roti II Sumber: www.pbase.com kaleng. Jika roti I dibuat kaleng dan roti II dibuat kaleng, maka dan harus memenuhi sarat-sarat... a. ; ; + b. ; ; + c. ; ; + d. ; ; + e. ; ; + 6. Suatu perusahaan cokelat membuat dua jenis cokelat. Jenis I membutuhkan gram cokelat murni dan gram gula, cokelat jenis II membutuhkan gram Sumber: www.blogsome.com cokelat murni dan 7 gram gula. Jika tersedia kg cokelat murni dan, gula maka banak cokelat ang terbanak dapat dibuat adalah... a. d. b. e. c. 7. Seorang penjaja buah-buahan ang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang. Harga pembelian apel Rp, tiap kg dan pisang Rp, tiap kg. Modalna hana Rp.. dan muatan gerobak tidak dapat melebihi kg. Jika keuntungan tiap kg apel kali keuntungan tiap kg pisang, maka untuk memperoleh keuntungan sebesar mungkin pada setiap pembelian, pedagang itu harus membeli... II. Kerjakan soal-soal berikut.. Daerah ang diarsir pada gambar berikut merupakan daerah himpunan penelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear. Tentukan sistem pertidaksamaan linear ang memenuhi penelesaian tersebut. a. kg apel saja b. kg pisang saja c. 79 kg apel dan kg pisang d. kg apel dan kg pisang e. kg apel dan kg pisang 8. Untuk dapat diterima di suatu lembaga pendidikan, seseorang harus lulus tes matematika dengan nilai tidak kurang dari 7 dan tes biologi dengan nilai tidak kurang dari, sedangkan jumlah nilai matematika dan biologi tidak kurang dari. Seorang calon dengan jumlah dua kali nilai matematika dan tiga kali nilai biologi sama dengan. Calon itu... a. pasti ditolak b. pasti diterima c. diterima asal nilai matematika lebih dari 9 d. diterima asal nilai biologi tidak kurang dari e. diterima hana bila nilai biologi 6 9. Diketahui P = + dan Q = +, maka nilai maksimum dari P dan Q pada sistem pertidaksamaan,, + dan + adalah... a. 8 dan d. 6 dan b. 6 dan 6 e. 8 dan c. dan 6. Pesawat penumpang mempunai tempat duduk 8 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa barang di bagasi 6 kg sedang kelas ekonomi kg. Pesawat hana dapat membawa bagasi kg. Hana tiket kelas utama Rp., dan kelas ekonomi Rp.,. Supaa pendapatan dari penjual tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah... a. d. 6 b. e. c.. Tentukan nilai minimum fungsi tujuan + ang himpunan penelesaianna disajikan pada daerah terarsir berikut. (, 6) (, ) (, ) 8 Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa
. Tentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan z = + pada himpunan penelesaian sistem pertidaksamaan ang grafik himpunan penelesaian disajikan pada daerah terarsir berikut. = 7 =. Seorang pedagang minak wangi keliling menjual jenis minak wangi, aitu minak wangi jenis A dan jenis B. Harga pembelian minak wangi jenis A adalah Rp., dan jenis B adalah Rp.. Tas ang dipakai hana mampu memuat botol minak wangi. Jika keuntungan dari penjulan minak wangi jenis A adalah Rp. dan jenis B adalah Rp.,, tentukan banakna minak wangi jenis A dan jenis B ang harus dijual agar keuntungan ang diperoleh pedagang tersebut maksimum.. Jumlah dari dua bilangan real tak negatif dan tidak lebih besar dari pada. Jika + 8 tidak lebih kecil daripada, tentukan nilai maksimum dari +. 6 7 9 + = 6 + = 9 Program Linear 9
Refleksi Akhir Bab Berilah tanda pada kolom ang sesuai dengan pemahaman Anda mengenai isi bab ini. Setelah mengisina, Anda akan mengetahui pemahaman Anda mengenai isi bab ang telah dipelajari. No Pertanaan Tidak Sebagian Kecil Jawaban Sebagian Besar Seluruhna. Apakah Anda dapat mengerjakan soal-soal pada bab ini?. Apakah Anda memahami pengertian program linear. Apakah Anda memahami cara menggambarkan kendala dalam suatu sistem pertidaksamaan linear dua variabel di bidang cartesius?. Apakah Anda memahami permasalahan ang berhubungan dengan pengoptimasian fungsi objektif (fungsi tujuan) berdasarkan kondisi-kondisi ang membatasi?. Apakah Anda memahami pengertian model matematika dan dapat menatakan masalahmasalah dalam soal? 6. Apakah Anda dapat mengerjakan sistem pertidaksamaan ang menunjukkan himpunan penelesaian dari daerah ang sudah diarsir 7. Apakah Anda melakukan Kegiatan dan mengerjakan Tugas pada bab ini? 8. Apakah Anda memahami cara menentukan penelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel? 9. Apakah Anda memahami pengertian pertidaksamaan linear dua variabel dan penelesaian sistem pertidaksamaan?. Apakah Anda berdiskusi dengan teman-teman apabila ada materimateri, ang belum Anda pahami? Mahir Matematika untuk Kelas XII Program Bahasa