Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 1 / 116

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. 4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. 5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 2 / 116

Bahasan 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 3 / 116

Bahasan Vektor di Sekolah Menengah 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 4 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Operasi Aritmetika Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R 2, yaitu P 1 (3, 5) dan P 2 ( 1, 2). Jika u = P 1 P 2 dan v = P 2 P 1, tentukan: 1 u 2 v 3 3 u 4 4 v 5 1 2 ( u + 4 v) ( 2 v + u) + 1 2 u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 5 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 6 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 6 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 6 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) 3 3 u = 3 ( 4, 3) = ( 12, 9) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 6 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) 3 3 u = 3 ( 4, 3) = ( 12, 9) 4 4 v = 4 (4, 3) = ( 16, 12). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 6 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) 3 3 u = 3 ( 4, 3) = ( 12, 9) 4 4 v = 4 (4, 3) = ( 16, 12). 5 1 2 ( u + 4 v) ( 2 v + u) + 1 2 u = 1 2 u + 2 v + 2 v u + 1 2 u = 1 2 u + 1 2 u u + 2 v + 2 v = 4 v = 4 (4, 3) = (16, 12). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 6 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Jarak dan Panjang Latihan (Jarak dan Panjang di R 2 ) Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R 2, yaitu P 1 (3, 5) dan P 2 ( 1, 2). Tentukan 1 Jarak dari P 1 ke P 2. 2 Panjang vektor P 2 P 1 Latihan (Jarak dan Panjang di R 3 ) Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R 3, yaitu P 1 (1, 1, 3) dan P 2 ( 2, 1, 1). Tentukan 1 Jarak dari P 2 ke P 1. 2 Panjang vektor P 1 P 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 7 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 8 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 8 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 2 P 1 = panjang dari vektor P 1 P 2 = jarak dari P 1 ke P 2, yaitu 5 satuan. Solusi untuk vektor di R 3 : MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 8 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 2 P 1 = panjang dari vektor P 1 P 2 = jarak dari P 1 ke P 2, yaitu 5 satuan. Solusi untuk vektor di R 3 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 2 ke P 1, maka d = (x (P 1 ) x (P 2 )) 2 + (y (P 1 ) y (P 2 )) 2 + (z (P 1 ) z (P 2 )) 2 = (1 ( 2)) 2 + ( 1 ( 1)) 2 + ( 3 1) 2 = (3) 2 + (0) 2 + ( 4) 2 = 5 satuan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 8 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 2 P 1 = panjang dari vektor P 1 P 2 = jarak dari P 1 ke P 2, yaitu 5 satuan. Solusi untuk vektor di R 3 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 2 ke P 1, maka d = (x (P 1 ) x (P 2 )) 2 + (y (P 1 ) y (P 2 )) 2 + (z (P 1 ) z (P 2 )) 2 = (1 ( 2)) 2 + ( 1 ( 1)) 2 + ( 3 1) 2 = (3) 2 + (0) 2 + ( 4) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 1 P 2 = panjang dari vektor P 2 P 1 = jarak dari P 2 ke P 1, yaitu 5 satuan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 8 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (2, 1, 0) dan v = (0, 2, 1). Tentukan nilai dari 1 u v 2 u v Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 9 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (2, 1, 0) dan v = (0, 2, 1). Tentukan nilai dari 1 u v 2 u v Solusi: 1 u v = (2, 1, 0) (0, 2, 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 9 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (2, 1, 0) dan v = (0, 2, 1). Tentukan nilai dari 1 u v 2 u v Solusi: 1 u v = (2, 1, 0) (0, 2, 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2. î ˆ ˆk 2 u v = 2 1 0 0 2 1 = 1 0 1 1 î 2 0 0 1 ˆ + 2 1 0 2 ˆk = î 2ˆ 4ˆk = ( 1, 2, 4) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 9 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). Tentukan sudut terkecil antara u dan v. Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 10 / 116

Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). Tentukan sudut terkecil antara u dan v. Solusi: Kita memiliki hubungan u v = u v cos θ, dengan u, v berturut-turut adalah panjang dari vektor u dan v, serta θ adalah sudut antara vektor u dan v. Akibatnya cos θ = = = u v (0, 0, 1) (0, 2, 2) = u v (0, 0, 1) 0, 2, 2 2 ( 02 + 0 2 + 1 2) ( 0 2 + 2 2 + 2 2) 2 = 2 1 8 2 2 = 1 = 1 2. Jadi 2 2 θ = 45 = π 4 rad. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 10 / 116

Bahasan Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 11 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 12 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: massa, panjang, dan waktu. Besaran Vektor Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 12 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: massa, panjang, dan waktu. Besaran Vektor Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah kecepatan, perpindahan, dan gaya. Di sini kita akan mengkaji struktur aljabar untuk vektor dan himpunan yang anggota-anggotanya adalah vektor. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 12 / 116

Penyajian Vektor Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda belajar penyajian vektor dalam diagram berikut. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 13 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R 2 ) juga dapat disajikan dengan cara berikut. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 14 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R 2 ) juga dapat disajikan dengan cara berikut. Pada kuliah ini, kita akan menyajikan vektor dalam bentuk tupel, matriks baris, atau matriks kolom. Jika ditinjau pada bidang, maka suatu vektor ditulis sebagai (a, b). Perlu diingat bahwa (a, b) tidak selalu sama dengan (b, a). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 14 / 116

Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Suatu vektor ditulis dengan huruf cetak tebal (contoh: vektor a) atau huruf cetak miring dengan anak panah di atasnya (contoh: vektor a). Ini dilakukan untuk membedakan skalar dan vektor. Vektor AB menyatakan vektor dengan titik pangkal A dan titik akhir B. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 15 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor I Secara aljabar, vektor di R 2 dapat ditulis dalam bentuk pasangan bilangan real (a, b), matriks baris [ a b ] [ ] a, atau matriks kolom. Kita akan cukup sering b [ ] a menggunakan notasi tupel (a, b) dan notasi matriks kolom untuk b menyatakan suatu vektor. Notasi matriks baris [ a b ] jarang digunakan, tetapi perlu Anda ketahui. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 16 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor II MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 17 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor III MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 18 / 116

Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor IV Pada suatu vektor a = a = (a 1, a 2 ) yang ditinjau pada bidang (ditinjau pada R 2 ), a 1 dan a 2 keduanya adalah bilangan real. Kita katakan a 1 sebagai komponen pertama (atau komponen x) dari a dan a 2 sebagai komponen kedua (atau komponen y) dari a. Secara serupa, jika a = a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3, maka a 1 adalah komponen pertama (atau komponen x) dari a, a 2 adalah komponen kedua (atau komponen y) dari a, dan a 3 adalah komponen ketiga (atau komponen z) dari a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 19 / 116

Bahasan Dasar-dasar Aljabar Vektor 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 20 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Vektor Secara Fisik Secara intuitif, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama (meskipun titik pangkal dan titik akhirnya mungkin berbeda). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 21 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Vektor Secara Geometris Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 22 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Vektor Secara Geometris Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat. y 4 2 4 2 2 4 2 x 4 Semua vektor yang ada pada gambar di atas adalah vektor yang sama, yaitu vektor (1, 2). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 22 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Dua Vektor Secara Aljabar Kesamaan Dua Vektor Dua vektor a dan b sama, ditulis dengan a = b jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama. Diberikan dua vektor di R 2, yaitu a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ), maka a = b (a 1 = b 1 ) (a 2 = b 2 ). Diberikan dua vektor di R 3, yaitu a = (a 1, a 2, a 3 ) dan b = (b 1, b 2, b 3 ), maka a = b (a 1 = b 1 ) (a 2 = b 2 ) (a 3 = b 3 ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 23 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Secara Geometris Dua buah vektor yang berada di ruang yang sama dapat dijumlahkan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 24 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor di R 2 maupun R 3 mengikuti hukum paralelogram (hukum jajar genjang). Akibatnya penjumlahan vektor bersifat komutatif, yaitu v + w = w + v untuk setiap vektor v dan w yang ada di ruang yang sama. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 25 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor di R 2 maupun R 3 bersifat asosiatif. Jika u, v, dan w adalah tiga vektor di ruang yang sama, maka (u + v) + w = u + (v + w). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 26 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Secara Aljabar Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan b pada ruang yang sama, suatu vektor c merupakan hasil penjumlahan dua vektor a dan b, ditulis dengan a + b, bila komponen-komponen vektor c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor a dan b yang bersesuaian. Diberikan a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ). Jika c = (c 1, c 2 ) dan c = a + b, maka c 1 = a 1 + b 1 dan c 2 = a 2 + b 2. Kita dapat menulisnya sebagai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 27 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Secara Aljabar Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan b pada ruang yang sama, suatu vektor c merupakan hasil penjumlahan dua vektor a dan b, ditulis dengan a + b, bila komponen-komponen vektor c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor a dan b yang bersesuaian. Diberikan a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ). Jika c = (c 1, c 2 ) dan c = a + b, maka c 1 = a 1 + b 1 dan c 2 = a 2 + b 2. Kita dapat menulisnya sebagai (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) [ ] [ ] [ ] a1 b1 a1 + b + = 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 Hal serupa juga berlaku untuk vektor di R 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 27 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Dari definisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R 2 kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 28 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Dari definisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R 2 kita memiliki [ ] [ ] [ ] a1 b1 a1 + b + = 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 [ ] [ ] [ ] b1 + a = 1 b1 a1 = +. b 2 + a 2 b 2 a 2 Dan juga MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 28 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Dari definisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R 2 kita memiliki [ ] [ ] [ ] a1 b1 a1 + b + = 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 [ ] [ ] [ ] b1 + a = 1 b1 a1 = +. b 2 + a 2 b 2 a 2 Dan juga ([ ] [ ]) [ ] a1 b1 c1 + + a 2 b 2 c 2 = = = = [ ] [ ] a1 + b 1 c1 + a 2 + b 2 c 2 [ ] a1 + b 1 + c 1 a 2 + b 2 + c 2 ] [ ] b1 + c + 1 a 2 b 2 + c 2 ] ([ ] [ ]) b1 c1 + +. a 2 b 2 c 2 [ a1 [ a1 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 28 / 116

Vektor Nol Dasar-dasar Aljabar Vektor Vektor Nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol. Secara geometris vektor nol digambarkan sebagai titik di R 2 atau R 3. Secara aljabar vektor nol, ditulis 0, merupakan { (0, 0), jika 0 R 0 = 2 (0, 0, 0), jika 0 R 3 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 29 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Catatan Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tidak berarah, vektor nol hanya memiliki besar (panjang) saja, yang nilainya adalah nol. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 30 / 116

Latihan 0 Bagian 1 Dasar-dasar Aljabar Vektor MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 31 / 116

Latihan 0 Bagian 2 Dasar-dasar Aljabar Vektor MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 32 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Perkalian Vektor dengan Skalar Perhatikan gambar berikut. Pada gambar di atas, b searah dengan a dan panjang b lima kali panjang a. Kita dapat menuliskan b = 5a ataupun a = 1 5 b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 33 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 34 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 34 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 34 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k = 1, maka ka = a. Dalam hal ini a dikatakan sebagai negatif dari a. Kita juga memiliki sifat a + ( a) = 0. Dua Vektor yang Sejajar Dua vektor a dan b dikatakan sejajar apabila a = kb untuk suatu k R. Dengan perkataan lain ketika dua vektor sejajar maka vektor yang satu merupakan kelipatan skalar vektor yang lain. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 34 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 35 / 116

Dasar-dasar Aljabar Vektor Selisih Vektor Selisih Vektor Misalkan u dan v adalah dua vektor di ruang yang sama. Maka u v didefinisikan sebagai u + ( v). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 36 / 116

Vektor dari Dua Titik Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) adalah dua titik di R 3 dan O menyatakan titik (0, 0, 0). Vektor P 1 P 2 merupakan vektor yang didefinisikan sebagai P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Kita juga memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 37 / 116

Vektor dari Dua Titik Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) adalah dua titik di R 3 dan O menyatakan titik (0, 0, 0). Vektor P 1 P 2 merupakan vektor yang didefinisikan sebagai P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Kita juga memiliki OP 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan OP 2 = (x 2, y 2, z 2 ). Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P 1 P 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 37 / 116

Vektor dari Dua Titik Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) adalah dua titik di R 3 dan O menyatakan titik (0, 0, 0). Vektor P 1 P 2 merupakan vektor yang didefinisikan sebagai P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Kita juga memiliki OP 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan OP 2 = (x 2, y 2, z 2 ). Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P 1 P 2 = OP 2 OP 1. Hal yang serupa juga jelas berlaku di R 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 37 / 116

Bahasan Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 38 / 116

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w)

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u 6 α ( u + v) = α u + α v

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u 6 α ( u + v) = α u + α v 7 (α + β) u = α u + β u

Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u 6 α ( u + v) = α u + α v 7 (α + β) u = α u + β u 8 1 ( u) = u. Bukti Cukup mudah. Tinjau u, v, dan w sebagai suatu matriks kolom berukuran 2 1 atau 3 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran 2 1 maupun 3 1. (Q.E.D).

Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 Teorema Jika u adalah vektor di R 2 atau R 3, dan α R maka 1 0 u = 0 2 α 0 = 0 3 ( 1) u = u Teorema Jika u adalah vektor di R 2 atau R 3 dengan sifat α u = 0, maka α = 0 atau u = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 40 / 116

Bahasan Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 41 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 42 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = v 1 dan β = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 42 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = v 1 dan β = v 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 42 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = v 1 dan β = v 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 42 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 43 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 43 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = v 2, dan γ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 43 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = v 2, dan γ = v 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 43 / 116

Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = v 2, dan γ = v 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 43 / 116

Bahasan Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 44 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dari Vektor di R 2 Norm Euclid dari Vektor di R 2 Misalkan u = u = (u 1, u 2 ) adalah suatu vektor di R 2. Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan u, didefinisikan sebagai u = u 2 1 + u2 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 45 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dari Vektor di R 3 Norm Euclid dari Vektor di R 3 Misalkan u = u = (u 1, u 2, u 3 ) adalah suatu vektor di R 3. Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan u, didefinisikan sebagai u = u 2 1 + u2 2 + u2 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 46 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Penting Norm Euclid (panjang) dari suatu vektor selalu bernilai tak negatif. Untuk sembarang vektor u pada bidang maupun ruang, u 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 47 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm dan Jarak Dua Titik Kita akan meninjau keterkaitan antara norm Euclid dan jarak antara dua titik pada R 3. Diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) di R 3. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan norm dari vektor P 1 P 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 48 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Karena P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), kita memiliki P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Bila d menyatakan jarak dari P 1 ke P 2, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 49 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Karena P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), kita memiliki P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Bila d menyatakan jarak dari P 1 ke P 2, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Untuk dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) di R 2, bila jarak dari P 1 ke P 2 dinyatakan dengan d, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Latihan Tentukan jarak dari P 1 (2, 1, 5) ke P 2 (4, 3, 1). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 49 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Karena P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), kita memiliki P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Bila d menyatakan jarak dari P 1 ke P 2, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Untuk dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) di R 2, bila jarak dari P 1 ke P 2 dinyatakan dengan d, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Latihan Tentukan jarak dari P 1 (2, 1, 5) ke P 2 (4, 3, 1). Solusi: bila jarak dari P 1 ke P 2 adalah d, maka d = (4 2) 2 + ( 3 + 1) 2 + (1 + 5) 2 = 2 11. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 49 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka α u = α u. Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 50 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 50 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 50 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = (αu 1 ) 2 + (αu 2 ) 2 = α 2 u 21 + α2 u 22 = α 2 (u 2 1 + u2 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 50 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = (αu 1 ) 2 + (αu 2 ) 2 = α 2 u 21 + α2 u 22 = α 2 (u 2 1 + u2 2 ) = α 2 u 2 1 + u2 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 50 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = (αu 1 ) 2 + (αu 2 ) 2 = α 2 u 21 + α2 u 22 = α 2 (u 2 1 + u2 2 ) = α 2 u 2 1 + u2 2 = α u, karena norm selalu tak negatif (Q.E.D). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 50 / 116

Vektor Satuan (Unit Vector) Definisi Suatu vektor u di R 2 atau R 3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) bila u = 1. Contoh Vektor-vektor basis standar î, ˆ, dan ˆk di R 3 adalah vektor satuan karena

Vektor Satuan (Unit Vector) Definisi Suatu vektor u di R 2 atau R 3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) bila u = 1. Contoh Vektor-vektor basis standar î, ˆ, dan ˆk di R 3 adalah vektor satuan karena î = (1, 0, 0) = 1, ˆ = (0, 1, 0) = 1, ˆk = (0, 0, 1) = 1. ( ) ( ) Vektor u = 1 1 2, 0, 2 dan v = 1 3, 1 1 3, 3 juga merupakan vektor satuan karena

Vektor Satuan (Unit Vector) Definisi Suatu vektor u di R 2 atau R 3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) bila u = 1. Contoh Vektor-vektor basis standar î, ˆ, dan ˆk di R 3 adalah vektor satuan karena î = (1, 0, 0) = 1, ˆ = (0, 1, 0) = 1, ˆk = (0, 0, 1) = 1. ( ) ( ) Vektor u = 1 1 2, 0, 2 dan v = 1 3, 1 1 3, 3 juga merupakan vektor satuan karena ( ) ( u = 1 1 2, 0, = 1, v = 1 2 3, 1 ) 1, = 1. 3 3 Catatan Secara umum, suatu vektor u di R n dikatakan sebagai vektor satuan bila u = 1.

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 52 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 52 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 52 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = ±1 u u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 52 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = ±1 u u = 1 u u (sifat norm) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 52 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = ±1 u = 1 u u (sifat norm) = 1 u = 1. u Jadi v adalah suatu vektor satuan. Karena v adalah kelipatan skalar dari u, maka v adalah vektor satuan yang sejajar dengan u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 52 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Diberikan sebuah vektor tak nol u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Semua vektor v = ±1 u u merupakan vektor satuan yang sejajar dengan u. Lebih jauh, kita memiliki 1 1 vektor u u sejajar dan searah dengan u, 2 vektor 1 u u sejajar dan berlawanan arah dengan u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 53 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 1: Mengkonstruksi Vektor Satuan Latihan 1 Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u = (3, 4) di R 2. 2 Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v = ( 6, 8) di R 2. 3 Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan a = ( 1, 2, 2) di R 3. 4 Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan b = ( 2, 1, 2) di R 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 54 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 55 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = 3 2 + 4 2 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 55 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = 3 2 + 4 2 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. 2 Kita memiliki v = ( 6) 2 + 8 2 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v adalah 1 1 v v = 10 ( 6, 8) = ( 3 5, 5) 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 55 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = 3 2 + 4 2 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. 2 Kita memiliki v = ( 6) 2 + 8 2 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v adalah 1 1 v v = 10 ( 6, 8) = ( 3 5, 5) 4. 3 Kita memiliki a = ( 1) 2 + 2 2 + ( 2) 2 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan a adalah 1 a a = 1 3 ( 1, 2, 2) = ( 1 3, 2 3, 3) 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 55 / 116

Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = 3 2 + 4 2 = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. 2 Kita memiliki v = ( 6) 2 + 8 2 = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v adalah 1 1 v v = 10 ( 6, 8) = ( 3 5, 5) 4. 3 Kita memiliki a = ( 1) 2 + 2 2 + ( 2) 2 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan a adalah 1 a a = 1 3 ( 1, 2, 2) = ( 1 3, 2 3, 3) 2. 4 Kita memiliki b = ( 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan b adalah 1 b b = 1 3 ( 2, 1, 2) = ( 2 3, 1 3, 2 3). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 55 / 116

Bahasan Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 56 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Hasil Kali Titik (Dot Product) di R 2 dan R 3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3. Ketika titik pangkal dari u dan v dibuat saling bertumpuan, kita dapat menentukan sudut antara u dan v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 57 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3. Jika θ adalah sudut terkecil antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0 θ π. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 58 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3. Jika θ adalah sudut terkecil antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0 θ π. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 58 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Hasil Kali Titik Dua Vektor: Definisi 1 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal definisi berikut. Definisi (Hasil Kali Titik) Diberikan dua vektor u dan v di R 2 atau R 3, jika θ dengan 0 θ π adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis dengan u v, didefinisikan sebagai { 0, jika u = 0 atau v = 0 u v = u v cos θ, lainnya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 59 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Hasil Kali Titik Dua Vektor: Definisi 2 Teorema Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3, jika θ dengan 0 θ π adalah sudut antara u dan v, maka u v = u v cos θ { u1 v = 1 + u 2 v 2, jika u, v R 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3, jika u, v R 3 Untuk 1 i 3, u i adalah komponen ke-i dari vektor u dan v i adalah komponen ke-i dari vektor v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 60 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Untuk membuktikan teorema tersebut, terlebih dulu tinjau gambar berikut. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 61 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u 2 1 + u 2 2 + v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u 2 1 + u 2 2 + v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = u 2 1 + u 2 2 + v 2 1 + v 2 2 2u 1 v 1 2u 2 v 2. Akibatnya u v cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u 2 1 + u 2 2 + v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = u 2 1 + u 2 2 + v 2 1 + v 2 2 2u 1 v 1 2u 2 v 2. Akibatnya u v cos θ = 1 2 (2u 1v 1 + 2u 2 v 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u 2 1 + u 2 2 + v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = u 2 1 + u 2 2 + v 2 1 + v 2 2 2u 1 v 1 2u 2 v 2. Akibatnya u v cos θ = 1 2 (2u 1v 1 + 2u 2 v 2 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 (Q.E.D). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 62 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Definisi Hasil Kali Titik Definisi (Definisi hasil kali titik 1) Diberikan dua vektor u dan v di R 2 atau R 3, jika θ dengan 0 θ π adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis dengan u v, didefinisikan sebagai { 0, jika u = 0 atau v = 0 u v = u v cos θ, lainnya. Definisi (Definisi hasil kali titik 2) Diberikan dua vektor u dan v di R 2 atau R 3. Jika u i dan v i menyatakan komponen ke-i dari masing-masing vektor tersebut, maka u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 (jika u, v R 2 ) u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 (jika u, v R 3 ) Definisi kedua selanjutnya juga akan kita gunakan untuk memperumum definisi hasil kali titik di R n untuk n 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 63 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Sudut dan Hasil Kali Titik Dua Vektor Berdasarkan rumus hasil kali titik, untuk dua vektor u dan v pada ruang yang sama dan θ adalah sudut antara keduanya, kita memiliki u v = u v cos θ. Perhatikan bahwa 1 cos θ 1. Karena u dan v senantiasa tak negatif, maka < 0, jika cos θ < 0 atau θ sudut tumpul u v = 0, jika u tegak lurus dengan v > 0, jika cos θ > 0 atau θ sudut lancip. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 64 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 65 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti Bukti untuk kasus di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R 2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0, 0) dan u = (u 1, u 2 ) R 2, maka 0 u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 65 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti Bukti untuk kasus di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R 2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0, 0) dan u = (u 1, u 2 ) R 2, maka 0 u = (0, 0) (u 1, u 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 65 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti Bukti untuk kasus di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R 2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0, 0) dan u = (u 1, u 2 ) R 2, maka 0 u = (0, 0) (u 1, u 2 ) = 0u 1 + 0u 2 = 0 (Q.E.D). Diberikan dua vektor u dan v pada ruang yang sama, notasi u v menyatakan bahwa u dan v saling ortogonal. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 65 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Catatan Secara geometris, dua vektor u dan v di R 2 atau R 3 yang keduanya tak nol bersifat ortogonal bila u tegak lurus dengan v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 66 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 67 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka θ = 0, sehingga cos (θ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 67 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka θ = 0, sehingga cos (θ) = 1. Akibatnya u u = u 2. Jadi u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 67 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka θ = 0, sehingga cos (θ) = 1. Akibatnya u u = u 2. Jadi u = u u. Teorema Jika u adalah sebuah vektor di R 2 atau R 3, maka u = u u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 67 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor u dan v yang keduanya ada di R 2 atau R 3, maka u v u v. Bukti Perhatikan bahwa u v = u v cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 68 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor u dan v yang keduanya ada di R 2 atau R 3, maka u v u v. Bukti Perhatikan bahwa u v = u v cos θ = u v cos θ, karena u, v 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 68 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor u dan v yang keduanya ada di R 2 atau R 3, maka u v u v. Bukti Perhatikan bahwa u v = u v cos θ = u v cos θ, karena u, v 0 u v, karena cos θ 1. (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 68 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 69 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 69 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 69 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w 3 α (u v) = (αu) v = u (αv) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 69 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w 3 α (u v) = (αu) v = u (αv) 4 v v > 0 jika v 0, dan v v = 0 jika dan hanya hanya jika v = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 69 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Bukti untuk sifat nomor 1 3 cukup mudah dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Untuk sifat nomor 4 kita akan membuktikan untuk vektor di R 2 saja. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara analog. Misalkan v = (v 1, v 2 ), maka v v = (v 1, v 2 ) (v 1, v 2 ) = v1 2 + v2 2 0 berdasarkan sifat bilangan real { = 0, jika v1 = v 2 = 0. v 2 1 + v 2 2 > 0, lainnya Jadi v v > 0 jika v 0 dan v v = 0 jika dan hanya jika v = 0. (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 70 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1 Jika panjang vektor u adalah dua kali panjang vektor v, panjang vektor v adalah 10 satuan, serta u dan v membentuk sudut 45, tentukan nilai dari u v. 2 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). 3 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (2, 1, 1) dan v = (1, 1, 2). Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 71 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1 Jika panjang vektor u adalah dua kali panjang vektor v, panjang vektor v adalah 10 satuan, serta u dan v membentuk sudut 45, tentukan nilai dari u v. 2 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). 3 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (2, 1, 1) dan v = (1, 1, 2). Solusi: 1 Kita memiliki u = 2 v, sehingga u = 20 dan v = 10. Akibatnya MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 71 / 116

Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1 Jika panjang vektor u adalah dua kali panjang vektor v, panjang vektor v adalah 10 satuan, serta u dan v membentuk sudut 45, tentukan nilai dari u v. 2 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). 3 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (2, 1, 1) dan v = (1, 1, 2). Solusi: 1 Kita memiliki u = 2 v, sehingga u = 20 dan v = 10. Akibatnya ( ) 1 u v = u v cos (45 ) = (20) (10) 2 = 100 2. 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 71 / 116

2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ =

2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ = u v u v = 2 2 2 = 1 2 2 θ =

2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = 2 2 2 = 1 2 2 ( ) 1 θ = arccos 2 = 45. 2

2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = 2 2 2 = 1 2 2 ( ) 1 θ = arccos 2 = 45. 2 3 Kita memiliki u v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, u = 6, dan v = 6. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ =

2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = 2 2 2 = 1 2 2 ( ) 1 θ = arccos 2 = 45. 2 3 Kita memiliki u v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, u = 6, dan v = 6. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ = u v u v = ( 3 ) 2 = 1 6 2 θ =

2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = 2 2 2 = 1 2 2 ( ) 1 θ = arccos 2 = 45. 2 3 Kita memiliki u v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, u = 6, dan v = 6. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = ( 3 ) 2 = 1 6 2 ( ) 1 θ = arccos = 60. 2

Bahasan Proyeksi Ortogonal 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 73 / 116

Proyeksi Ortogonal Proyeksi Ortogonal pada Sumbu Koordinat Pada pelajaran Fisika di sekolah, Anda sudah diperkenalkan dengan proyeksi dari suatu vektor pada sumbu koordinat. Pada ilustrasi di atas, kita memiliki v = v x + v y. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 74 / 116

Proyeksi Ortogonal Proyeksi Ortogonal Pada kuliah ini kita akan mempelajari proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada sembarang vektor tak nol. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 75 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b = kb b + 0 (karena u 1 = kb dan u 2 b) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b k = = kb b + 0 (karena u 1 = kb dan u 2 b) = k b 2 (karena b b = b 2 ) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b = kb b + 0 (karena u 1 = kb dan u 2 b) = k b 2 (karena b b = b 2 ) k = u b b 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 76 / 116

Proyeksi Ortogonal Oleh karenanya kita memiliki ( ) u b u 1 = b 2 b Vektor u 1 juga akan kita tuliskan sebagai proj b u yang berarti proyeksi dari vektor u sepanjang vektor b. Proyeksi Ortogonal Diberikan sebuah vektor u dan vektor tak nol b pada ruang yang sama. Proyeksi ortogonal dari u sepanjang b (atau proyeksi ortogonal dari u pada b), ditulis dengan proj b u, didefinisikan sebagai ( ) u b proj b u = b 2 b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 77 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ cos θ = u b u b, karena u 1 = u cos θ, maka u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = kb = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = kb = u 1 b b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = kb = u 1 b b = u b b 2 b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 78 / 116

Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 79 / 116

Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 79 / 116

Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 79 / 116

Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = ( ) u v v 2 v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 79 / 116

Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = = ( ) ( ) u v ( 2, 4, 3) (1, 3, 4) v 2 v = (1, 3, 4) (1, 3, 4) 2 12 12 ( 1 2 + 3 2 + ( 4) 2 ) 2 (1, 3, 4) = 26 26 (1, 3, 4) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 79 / 116

Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = = ( ) ( ) u v ( 2, 4, 3) (1, 3, 4) v 2 v = (1, 3, 4) (1, 3, 4) 2 12 12 ( 1 2 + 3 2 + ( 4) 2 ) 2 (1, 3, 4) = 26 26 (1, 3, 4) = ( 1, 3, 4). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 79 / 116

Proyeksi Ortogonal Latihan 3: Proyeksi Ortogonal Latihan 1 Misalkan u = ( 1, 1) dan v = (0, 1). Tentukan 1 Proyeksi ortogonal dari u terhadap v. 2 Proyeksi ortogonal dari v terhadap u. 2 Misalkan a = (1, 1, 1) dan b = (0, 2, 2). Tentukan 1 Proyeksi ortogonal dari a terhadap b. 2 Proyeksi ortogonal dari b terhadap a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 80 / 116

Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 81 / 116

Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) 2 1 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 81 / 116

Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) 2 1 2 proyeksi ortogonal dai v terhadap u adalah proj u v = v u (0,1) ( 1,1) u = ( 1, 1) = 1 ( 1, 1) = ( 1, ) 1 u ( 1,1) 2 2 2 2. 2 Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 81 / 116

Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) 2 1 2 proyeksi ortogonal dai v terhadap u adalah proj u v = v u (0,1) ( 1,1) u = ( 1, 1) = 1 ( 1, 1) = ( 1, ) 1 u ( 1,1) 2 2 2 2. 2 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari a terhadap b adalah proj b a = a b b 2 b = (1,1,1) (0,2,2) (0, 2, 2) = 4 (0, 2, 2) = (0, 1, 1). 0,2,2 2 8 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 81 / 116

Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) 2 1 2 proyeksi ortogonal dai v terhadap u adalah proj u v = v u (0,1) ( 1,1) u = ( 1, 1) = 1 ( 1, 1) = ( 1, ) 1 u ( 1,1) 2 2 2 2. 2 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari a terhadap b adalah proj b a = a b b 2 b = (1,1,1) (0,2,2) (0, 2, 2) = 4 (0, 2, 2) = (0, 1, 1). 0,2,2 2 8 2 proyeksi ortogonal dari b terhadap a adalah proj a b = b a a = (0,2,2) (1,1,1) (1, 1, 1) = 4 (1, 1, 1) = ( 4, 4, ) 4 a 2 (1,1,1) 2 3 3 3 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 81 / 116

Bahasan Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 82 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang (Cross-Product) di R 3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, kita sudah mengenal definisi hasil kali silang (cross product) berikut. Hasil Kali Silang di R 3 Diberikan dua vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) di R 3, hasil kali silang u v merupakan vektor yang diperoleh sebagai berikut i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. Dari pengetahuan kita tentang menghitung determinan dengan kofaktor, kita memiliki u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 83 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Penyalahagunaan Notasi Catatan Perlu diingat bahwa definisi u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 merupakan suatu bentuk penyalahgunaan notasi (abuse of notation) mengingat i, j, dan k ketiganya adalah vektor satuan. Kita tidak mengenal nilai determinan dari suatu matriks yang entrinya adalah vektor. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 84 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Definisi Hasil Kali Silang Agar tidak terjadi penyalahgunaan notasi, kita akan mendefinisikan hasil kali silang dari dua vektor sebagai berikut. Definisi Diberikan dua vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) di R 3. Hasil kali silang u v didefinisikan sebagai vektor ( ) u u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2. Kita dapat mengingat definisi ini dengan membentuk matriks 2 3 berikut [ ] u1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Hasil ( kali silang u v tak lain adalah u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3, u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3, u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 85 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 86 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: 1 u v = (2, 7, 6). ( 2 2 0 1, 1 2 3 1, 1 2 3 0 ) = (2, (7), 6) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 86 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: ( ) 2 2 1 u v = 0 1, 1 2 3 1, 1 2 3 0 = (2, (7), 6) = ( ) 0 1 (2, 7, 6). v u = 2 2, 3 1 1 2, 3 0 1 2 = ( 2, ( 7), 6) = ( 2, 7, 6). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 86 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: ( ) 2 2 1 u v = 0 1, 1 2 3 1, 1 2 3 0 = (2, (7), 6) = ( ) 0 1 (2, 7, 6). v u = 2 2, 3 1 1 2, 3 0 1 2 = ( 2, ( 7), 6) = ( 2, 7, 6). ( ) 4 4 2 u v = 3 2, 1 4 0 2, 1 4 0 3 = (20, (2), 3) = (20, 2, 3). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 86 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: ( ) 2 2 1 u v = 0 1, 1 2 3 1, 1 2 3 0 = (2, (7), 6) = ( ) 0 1 (2, 7, 6). v u = 2 2, 3 1 1 2, 3 0 1 2 = ( 2, ( 7), 6) = ( 2, 7, 6). ( ) 4 4 2 u v = 3 2, 1 4 0 2, 1 4 0 3 = (20, (2), 3) = ( ) 3 2 (20, 2, 3). v u = 4 4, 0 2 1 4, 0 3 1 4 = ( 20, ( 2), 3) = ( 20, 2, 3). Dari dua soal di atas, kita menemukan bahwa u v = (v u). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 86 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Penting Operasi Hasil Kali Silang Operasi hasil kali silang (cross product) merupakan operasi yang melibatkan dua vektor dan menghasilkan sebuah vektor. Dengan perkataan lain, operasi ini memiliki input dua buah vektor (boleh sama) dan memberikan output sebuah vektor. Perlu diingat bahwa hasil kali silang hanya didefinisikan di ruang vektor R 3 saja. Kita tidak memiliki definisi hasil kali silang untuk dua vektor di ruang R n untuk n selain 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 87 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa i j = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = k. j k = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, 0 0 0 1, 0 1 0 0 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, 0 0 0 1, 0 1 0 0 = (1, 0, 0) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, 0 0 0 1, 0 1 0 0 = (1, 0, 0) = i. i i = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, 0 0 0 1, 0 1 0 0 = (1, 0, 0) = i. ( ) 0 0 i i = 0 0, 1 0 1 0, 0 0 0 0 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, 1 0 0 0, 1 0 0 1 = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, 0 0 0 1, 0 1 0 0 = (1, 0, 0) = i. ( ) 0 0 i i = 0 0, 1 0 1 0, 0 0 0 0 = (0, 0, 0) = 0. Secara serupa, kita juga dapat dengan mudah membuktikan bahwa j j = 0 dan k k = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 88 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 89 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa: i j = k dan j i = k j k = i dan k j = i i k = j dan k i = j MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 89 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Skalar Tripel Definisi (Hasil Kali Skalar Tripel) Diberikan tiga vektor di R 3 berikut: u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ). Hasil kali skalar tripel dinotasikan dengan u (v w). Teorema Jika u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ), maka u (v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 90 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Perhatikan bahwa ( v u (v w) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 91 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Perhatikan bahwa ( v u (v w) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 v = u 2 v 3 1 w 2 w 3 + ( 1) u 2 v 1 v 3 w 1 w 3 + u 3 v 1 v 2 w 1 w 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 91 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Perhatikan bahwa ( v u (v w) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 v = u 2 v 3 1 w 2 w 3 + ( 1) u 2 v 1 v 3 w 1 w 3 + u 3 v 1 v 2 w 1 w 2 = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. (Q.E.D). w 1 w 2 w 3 ) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 91 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Aturan Tangan Kanan Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal aturan tangan kanan. Jika u dan v adalah dua vektor (yang tidak sejajar), maka arah dari u v selalu tegak lurus dengan u maupun v dan dapat ditentukan melalui aturan tangan kanan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 92 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Keterkaitan Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik Teorema Misalkan u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ) adalah tiga vektor di R 3, maka: 1 u (u v) = 0 dan v (u v) = 0. Ini berarti baik u maupun v ortogonal terhadap u v. 2 u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 (identitas Lagrange). 3 u (v w) = (u w) v (u v) w 4 (u v) w = (u w) v (v w) u Bukti dari sifat-sifat pada teorema di atas tidak sulit, Anda hanya butuh ketelitian dan kesabaran untuk membuktikannya. Di sini kita hanya akan membuktikan sifat pada nomor 1 dan ide untuk membuktikan sifat nomor 2. Sisanya dapat dikerjakan sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 93 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa u (u v) = ( u (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 2 u 3 v 2 v 3 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 94 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa ( u u (u v) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 2 u 3 v 2 v 3 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 + ( 1) u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 3 u 2 u 3 v 2 v 3 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 94 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa ( ) u u (u v) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 2 u 3 v 2 v 3 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 + ( 1) u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 3 u 2 u 3 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 = 0 (baris pertama dan kedua sama). v 1 v 2 v 3 Dengan cara yang serupa, v (u v) = 0 (Anda dapat memperoleh matriks yang baris pertama dan ketiganya sama). (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 94 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Ide untuk nomor 2) ( u Tinjau bahwa u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 ). Akibatnya u v 2 = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) 2 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) 2. (1) Tinjau pula bahwa u 2 v 2 (u v) 2 = ( u 2 1 + u 2 2 + u 2 2 ( 3) v 2 1 + v2 2 + v3 2 ) (u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) 2. (2) Bukti dapat diperoleh dengan menjabarkan bentuk (1) dan (2) serta memeriksa kesamaannya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 95 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 96 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 96 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 96 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) u v = = u 2 v 2 sin 2 θ MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 96 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) = u 2 v 2 sin 2 θ u v = u v sin θ mengingat sin θ 0 untuk 0 θ π Jadi kita memiliki u v = u v sin θ. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 96 / 116

Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Sifat-sifat Hasil Kali Silang & Skalar Tripel Teorema Misalkan u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ) adalah tiga vektor di R 3 dan k R, maka 1 u v = (v u); 2 Jika u sejajar dengan v, maka u v = v u = 0. Akibatnya u u = 0; 3 (ku) v = u (kv) = k (u v); 4 u (v + w) = (u v) + (u w); 5 u (v w) = (u v) w MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 97 / 116

Bahasan Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 98 / 116

Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 Hasil Kali Silang dan Luas Jajar Genjang di R 3 Perhatikan paralelogram (jajar genjang) berikut MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015 99 / 116