STATISTIKA LINGKUNGAN

STATISTIKA LINGKUNGAN TEORI PROBABILITAS

Probabilitas -pendahuluan Statistika deskriptif : menggambarkan data Statistik inferensi kesimpulan valid dan perkiraan akurat ttg populasi dengan mengobservasi sampel Teori probabilitas sbg dasar statistika inferens

Konsep Probabilitas Ruang sampel: gabungan semua kemungkinan S S A

Kategori Probabilitas Probabilitas Apriori: probabilitas yang telah ditentukan sebelumnya P[A]= n (A)/n(S) Probabilitas frekuensi relatif (empiris): probabilitas berdasarkan fakta setelah kejadian P[A]= f/n ; f=jumlah kejadian A muncul; n= jumlah sampel /eksperimen Probabilitas subyektif: probabilitas berdasarkan pertimbangan seseorang

Contoh: 1. Probabilitas bayi cacat yang dilahirkan oleh seorang Ibu yang menderita campak Jerman saat hamil? 2. Probabilitas anak kidal yang dilahirkan dari pasangan kidal dan tidak kidal? 3. Hasil analisa air sungai menunjukkan bahwa dari pengalaman yang ada, 8 % dari 100 sampel mengandung kadar fosfat yang tdk terdeteksi jika dianalisa dengan menggunakan metode rutin.

PERANAN PROBABILITAS Pembuatan model, analisis matematis, simulasi komputer banyak didasarkan atas asumsi yang dalam kondisi ideal model kuantitatif mungkin bisa mendekati atau jauh dari kondisi sebenarnya. Dalam pengembangan desain rekayasa keputusan dirumuskan pada ketidakpastian banyak keputusan terpaksa harus diambil: * tanpa memandang kelengkapan informasi * fenomena alamiah bersifat acak atau tak tentu

PERANAN PROBABILITAS Kuantifikasi ketidakpastian dan penilaian pengaruhnya pada perilaku dan perancangan suatu sistem melibatkan konsep atau metode probabilitas (kemungkinan). Variabel acak variabel yang tidak dapat diramalkan dengan pasti nilainya hanya dapat diramalkan dengan probabilitas.

PERANAN PROBABILITAS Ketidakpastian yang lain pemodelan atau penaksiran tidak sempurna nilai rerata tidak akan bebas dari kesalahan terutama bila datanya terbatas. Dalam beberapa hal taksiran lebih baik didasarkan atas pertimbangan seorang ahli

DASAR-DASAR PROBABILITAS Probabilitas mengacu pada terjadinya suatu peristiwa (event) relatif terhadap peristiwa lain ada lebih dari satu kemungkinan masalah menjadi tidak tertentu (non deterministik). sebagai ukuran numerik dari kecenderungan terjadinya suatu peristiwa relatif terhadap sehimpunan peristiwa lain. memerlukan identifikasi himpunan semua kemungkinan, yaitu ruang kemungkinan (possibility space) dan peristiwa yang ditinjau

DASAR-DASAR PROBABILITAS Contoh : aerator taksiran kemungkinan masa layan selama 6 tahun adalah 50%. Digunakan 3 aerator pertanyaan: berapa probabilitas 1 aerator masih baik setelah 6 tahun? Aerator 1 B B B R R R B R Aerator 2 B B R R B R R B Aerator 3 B R R R B B B R Satu aerator yang baik 3 kombinasi : B-R-R, R-R-B dan R-B-R probabilitas adalah 3/8 atau 37,5%

ELEMEN TEORI HIMPUNAN Ruang sampel (sample space) gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah probabilitas secara individu titik sampel. Suatu peristiwa sub himpunan dari ruang sampel. Ruang sampel bisa bersifat : * diskrit atau kontinu * berhingga (finite) atau tak berhingga

Variabel Diskrit Distribusi probabilitas variabel acak diskrit: gabungan seluruh kemungkinan yang terjadi serta probabilitas untuk terjadi. Expected value: merupakan nilai rata-rata (µ x ) semua kemungkinan peristiwa, dengan nilai setiap kemungkinan merupakan frekuensi relatif atau probabilitas 12 12/23/2012 Dwina Roosmini

ELEMEN TEORI HIMPUNAN Peristiwa mustahil (impossible event) φ peristiwa yang tidak mempunyai titik sampel himpunan kosong. Peristiwa tertentu (certain event) S peristiwa yang mengandung semua titik sampel dalam ruang sampel. Peristiwa komplementer (complementary event) E semua titik sampel dalam S yang tidak terkandung dalam E

ELEMEN TEORI HIMPUNAN

Pasien hipertensi Pasien kelebihan berat badan Pasien perokok Not mutually exclusive

Binatang Mamalia Unggas Mutually exclusive

Independen Peristiwa terjadi dengan bebas Kelinci yang diinokulasi virus polio Darah kelinci mengandung antibodi cacar Kelinci yang diinokulasi virus polio Darah kelinci mengandung antibodi polio

Aturan Probabilitas 1. Probabilitas adalah nilai antara 0 dan 1 yang merupakan hasil suatu proses atau eksperimen/pengamatan 2. Peristiwa bahwa A tidak terjadi disebut komplemen A dengan lambang A. Jika P(A) merupakan probabilitas kejadian A maka P(A )= 1- P(A) 18 3. Jika peristiwa A dan B ME, maka probabilitas A 12/23/2012 dan terjadi bersama adalah 0 Dwina Roosmini

Aturan probabilitas (lanj.) 4. Jika persitiwa A dan B ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah jumlah probabilitas masing-masing P(A atau B) = P(A) + P (B) 5. Jika peristiwa A dan B not ME, maka probabilitas baik A atau B terjadi adalah P(A ataub)= P(A) + P(B) P(A dan B) 6. Jika dua peristiwa saling dependen, maka probablilitas kondisional B terjadi setelah A terjadi adalah P(B/A)= P(A dan B)/P(A) 12/23/2012 Dwina Roosmini 19

Aturan probabilitas (lanj.) 7. Jika peristiwa A dan B independen, probabilitas bahwa baik peristiwa A dan B akan terjadi adalah: P(A dan B) = P(A) x P(B) 8. Jika peristiwa A dan B not independen, probabilitas bahwa A dan B akan terjadi adalah: P(A dan B)= P (A) x P(B/A) 20 12/23/2012 Dwina Roosmini

Aturan Penjumlahan Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B) Not Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B)-P(A dan B)

Contoh: Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb? Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap?

Lokasi produksi mobil Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian Ya Tidak Jumlah US 7 293 300 Non US 13 187 200 20 480 500 a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan? b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US? c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di US? e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan?

a. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan/jumlah mobil baru = 20/500 = 0,04 = 4% total

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan diproduksi di USA/jumlah total mobil baru = 7/500 = 0,014 = 0,14%

b. Jika dilakukan pembelian satu buah mobil, berapa probabilitas mobil yang diproduksi di USA perlu perbaikan pada 90 hari pertama pemakaian? P(perlu perbaikan)= Jumlah perlu perbaikan dan diproduksi di USA/jumlah total mobil baru = 7/500 = 0,014 = 0,14%

Mutually Exclusive c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? P(mobil memerlukan perbaikan atau tidak memerlukan perbaikan) = (20/500) + (480/500) = 1

Not Mutually Exclusive d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan mobil yang diproduksi di USA P(mobil memerlukan perbaikan atau diproduksi di USA) = P(memerlukan perbaikan)+ P(diproduksi di USA) -P(memerlukan perbaikan dan diproduksi di USA)= (20/500) + (300/500) (7/500) = 0,626 = 62,6 %

Independen Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali pelemparan dadu? P(A dan B) = P(A) x P(B)

Distribusi Probabilitas Terdapat 2 kelompok: Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu 30 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Probabilitas Diskrit Binomial Hypergeometrik Poisson Geometrik Multinomial Distribusi Probabilitas Kontinu Normal Binomial Uniform Log Normal Gamma 31 12/23/2012 Dwina Roosmini

Expected Value µ x =E(x)= Xi P(Xi) X= Variabel acak distkrit Xi= Hasil X pada perlakuan I P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X i = 1,2,3,.,n Varians = σ x2 = (Xi-µ x ) 2 P(Xi) Standard Deviasi = σ x 32 12/23/2012 Dwina Roosmini

Contoh: Data kecelakaan lalu lintas X Frek. Relatif P(X) 0 6 0,10 1 12 0,20 2 27 0,45 3 9 0,15 4 3 0,05 5 3 0,05 Nilai rata-rata/expected value? Varians dan standard deviasi? 12/23/2012 Dwina Roosmini 33

Expected value=µ x = Ex= Xi P(Xi)= (0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,0 5)+(5)*(0,05)= 2 Varians= (0-2) 2 *(0,10)+(1-2) 2 *(0,2)+(2-2) 2 *(0,45)+ (3-2) 2 *(0,15)+ (4-2) 2 *(0,05)+(5-2) 2 *(0,05)= 1,4 Standard Deviasi= 1,4=1,18 34 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Binomial Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi: 1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak 2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya 3. Hanya ada dua kemungkinan hasil 4.Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya 35 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Binomial Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b 12/23/2012 Dwina Roosmini 36

Distribusi Binomial b( x; n, p) n n! p x!( n x x n x n x = p (1 p) = (1 p) x x)! Dimana x= 0,1,2,3, n n!=n(n-1)(n-2)(n-3).. 0!=1 Rerata= µ=n*p Simpangan baku= σ = np( 1 p) 12/23/2012 Dwina Roosmini 37

Distribusi Binomial Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3. b(2;4,0,3) = 4 0,3 2 2 (1 0,3) 4 2 = 0,2646 38 12/23/2012 Dwina Roosmini

Tabel Distribusi Binomial n x p 16 0 1 0,8108 2 0,9571 3 0,9930 0,05 0,1 0,5 b( x; n, p) = B( x; n, p) B( x 1; n, p) 39 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Hipergeometris Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali Jumlah sampel n, dari N populasi a diantaranya rusak Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/n Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak: 1. a/(n-1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan 2. (a-1)/(n-1) jika sampel 1 terambil yang rusak Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h 40 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi hipergeometrik ) ( ),, ; ( = = n N x n a N x a x P N a n x h 1) 2( ) )( (. 2 ) / (,2,... 01, ) ( ) dan ( : dimana = = = = N N n N a N na N a n rata Rata n x a N x n a x n σ µ 12/23/2012 Dwina Roosmini 41

Distribusi Hipergeometrik Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat 42 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Poisson Observasi yang dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan, contoh: jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p 10 Batasan: 1. µkonstant untuk setiap unit waktu dan ruang 2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu atau ruang adalah 0 3. peristiwa satu dengan lainnya independen 43 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Poisson P( x; µ ) µ e µ x = untuk x x! = 0,1,2,3,... µ = rata - rata peristiwa = λs Hasil pengukuran kualitas udara selama 9 perioda menunjukkan hasil sebagai berikut: 3, 1, 10, 2, 4, 6, 8, 2 ppb Pada konsentrasi rendah hanya akan dilaporkan sampai dengan besaran tertentu. Berapakah probabilitas bahwa pada perioda monitoring berikutnya hanya ada satu atau kurang dari satu ppb? 44 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Geometris Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai setelah x percobaan, gagal= x-1. Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x-1) pada percobaan (x-1) adalah g g( x; p) = dengan P( x) = p(1 p) x 1 µ = 1/ p 45 12/23/2012 Dwina Roosmini

Distribusi Multinomial Sampel n bersifat bebas Semua hasil merupakan mutually exclusive Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilaia, B, C, D m( x1, x2, x3,..., xk) = n! = p1x1p 2x2... pkxk x1! x2! x3!... xk! 46 12/23/2012 Dwina Roosmini