MATERI KULIAH STATISTIKA

Transkripsi

1 MATERI KULIAH STATISTIKA III. TEORI PROBABILITAS 1. Operasi himpunan a. Gabungan atau union b. Interseksi atau irisan Contoh soal 1 : Dalam sebuah eksperimen pelemparan 1 buah dadu, terdapat kejadian : A : {Angka yang muncul genap} B : {Angka yang muncul kurang dari sama dengan } Deskripsikan : a. A B dari eksperimen tersebut! b. A B dari eksperimen tersebut! c. HitunglahP [A B] dan P[ A B] S= {1,2,,4,5,6} A={2,4,6} B={1,2,} Maka : a. A B = {1,2,,4,6} b. A B = {2} c. P [A B]=5/6 = 0,8 P[ A B] =1/6 = 0,17 2. Komplemen : A C atau A Contoh soal 2: Pada suatu eksperimen pelemparan 2 buah koin yang seimbang terjadi peristiwa : A : {Permukaan gambar muncul minimal 1 kali} Hitunglah probablilitas A) dengan rumus komplemen A) + P (A C ) = 1 S={(G,A), (G,G), (A,G), (A,A)} A : {Permukaan gambar muncul minimal 1 kali}, jadi A c = {Permukaan yang muncul angka semua) A C = {(A,A)} Maka : A) = 1- A C ) = 1- ¼ = ¾=0,75.. Probabilitas bersyarat Contoh soal : Seorang petugas Quality control melakukan inspeksi terhadap produk teh berdasarkan standar yang ada. Jika terdapat kejadian : I : {Produk lolos inspeksi} B : {Produk sesuai dengan standar konsumen}

2 I B : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen sesuai dengan standar yang diinginkan. I B C : Kejadian sederhana dimana produk lolos inspeksi dan setelah dikirimkan ke konsumen tidak sesuai dengan standar yang diinginkan. Jika diketahui berdasarkan pengalaman : I B = 0,80 I B C = 0,02 I C B= 0,15 I C B C = 0,0 Hitunglah probabilitas kejadian produk yang telah diketahui telah lolos inspeksi ternyata setelah dikirimkan sesuai dengan standar yang diinginkan konsumen. Ditanyakan : I B) B / I) = I) I : {Produk lolos inspeksi} terdiri dari dua kejadian yaitu : I B = Produk lolos inspeksi dan sesuai standar konsumen I B C = Produk lolos inspeksi dan tidak sesuai dengan standar konsumen Jadi I = (I B) (I B C ) I) = P (I B) P (I B C ) = 0,80 + 0,02 = 0,82 I B) 0,80 P ( B / I) = = = 0,976 I) 0,82 4. Aturan Perkalian Contoh soal 4 : Satu buah koin yang seimbang dilempar dua kali maka berapakah banyak hasil yang berbeda yang mungkin? Dalam kejadian tersebut terdapat dua bagian kejadian yaitu - bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2, n 1 =2 - bagian I pelemparan yang pertama dengan kemungkinan hasil yang berbeda 2, n 2 =2 maka hasil yang berbeda yang mungkin dari kejadian tersebut adalah n 1 Xn 2 = 2 X 2 = 4 5. Aturan Permutasi Ciri kejadian permutasi adalah bahwa urutan atau susunan harus dipertimbangkan atau penting. Contoh soal 5 a: Sebuah supermarket menjual 5 jenis susu formula. Supermarket tersebut mempunyai satu etalase di bagian depan pintu yang hanya terdiri dari rak bertingkat. Jika urutan peletakan susu formula didalam rak bertingkat sangat penting untuk diperhatikan ada berapakah cara untuk menata jenis susu formula dari 5 jenis yang ada secara bergantian?

3 Urutan penting Kejadian permutasi Dicari dulu nilai (n-k+1)=(5-+1)= 5P = 5 X 4 X = 60 cara. Contoh soal 5 b: Dalam sebuah pabrik terdapat 5 unit proses yang membtuhkan uap panas, jika akan dirancang jalur perpipaan yang melalui kelima unit proses tersebut ada berapa alternatif yang harus dievaluasi oleh teknisi untuk memperoleh jarak terpendek? Urutan penting Permutasi, Ada 5 unit proses dan semua harus terhubung Permutasi dari 5 diambil 5 5P 5 = 5! = 5X4XX2X1= 120 alternatif 6. Aturan Kombinasi Ciri kejadian kombinasi : urutan tidak penting Contoh soal 6: Sebuah perusahaan memiliki 10 orang teknisi jika dibutuhkan orang teknisi untuk dikirim ke suatu daerah, ada berapa alternatif teknisi yang terpilih? Urutan tidak penting Kombinasi Kombinasi dari 10 teknisi 10 10! 10X 9X 8X 7! = = = 120!(10 )! X 2X1X 7! cara 7. Aturan Partisi Contoh soal 7 : Sebuah perusahaan mempunyai 12 orang analisis dan perusahaan tersebut akan membagi mejadi kelompok yaitu untuk menyelesaikan pekerjaan I membutuhkan orang analis, untuk pekerjaan II membutuhkan 4 orang analis, dan untuk pekerjaan III membutuhkan 5 orang analis. Dalam permasalahan ini ada berapakah cara yang berbeda yang mungkin untuk membagi tugas tersebut? Terdapat N=12 analis yang dibagi dalam beberapa bagian n 1 =, n 2 =4, dan n =5 sehingga jumlah partisi yang berbeda yang mungkin adalah : N! 12! = = n! Xn! Xn!! X 4! X 5! 1 2 alternatif

4 IV. Distribusi probabilitas diskrit 1. Binomial Contoh soal 1: Hasil pengujian proses pelabelan saus dalam suatu lini produksi menunjukkan bahwa 20% pelabelan gagal. Jika dalam suatu inspeksi diambil 4 buah sampel secara acak, berapakah probabilitas sampe dari 4 sampel yang terambil gagal pelabelannya? Kejadian bernoulli yang diulang, karena Sukses) sama yaitu 20%. Ada 2 alternatif hasil : sukses : Jika tidak berlabel, dan gagal : Jika berlabel Kejadian binomial Diketahui n=4, X=, p=0, ! P ( X = ) = (0,2) (1 0,2) = (0,2) (0,8) = 0,025! X (4 )! Atau dengan tabel distribusi binomial (Tabel 1) pada p=0,2 Untuk n=4, x= maka (X )= 0,998 dan untuk x=2 maka X 2)= 0,97 x=)= X ) X 2)= 0,998-0,97 = 0, Hipergeometrik Contoh soal 2: Sebuah kotak berisi 20 apel dan terdapat 4 buah apel yang sudah rusak. Jika seorang pembeli mengambil apel secara acak 5 buah, hitunglah probabilitas dari 5 buah apel yang terambil terdapat : a. 2 buah yang rusak b. Lebih dari 2 buah yang rusak Ada N = 20 buah apel dan 5 buah didefinikan/diketahui sebagai rusak Hipergeometrik Diketahui : N= 20, a=4, n= 5 sehingga : a. X=2) ! 16! !(4 2)1!(16 )! ( 2) P x = = = = 0, b. X>2) =x=) + X=4) 20! 5!(20 5)!. Poisson Ciri distribusi poisson adalah ada satuan tertentu, waktu, volume, luas, konsentrasi dan lain-lain. Contoh soal : Diketahui rata-rata cracker yang pecah adalah 2,5 buah per bungkus. Hitunglah :

5 a. Probabilitas dalam pengambilan sampel secara acak terdapat tepat 5 buah cracker yang pecah dalam satu bungkus? b. Probabilitas terdapat 2 atau lebih cracker yang pecah dalam suatu bungkus yang diambil secara acak? Ada satuan tertentu ada rata-rata Poisson Diketahui : µ=λ=2,5 maka : 5 2,5 5 2,5 (2,5) e (2,5) (2,71825) a. P ( x = 5) = = = 0, 067 5! 5X 4X X 2X1 b. x 2)= X=2)+ X=) + X=4) +. = 1 [X=1) +X=0)]= 1-0,287 = 0,71 Atau pakai Tabel II. Distribusi Poiison. x 2)= X=2)+ X=) + X=4) +. = 1 [X=1) +X=0)]=1-X 1) =1-0,287 = 0,71 4. Pendekatan Poisson untuk binomial Untuk masalah kejadian binomial dengan p sangat kecil dan n besar maka dapat diselesaikan dengan pendekatan poisson. Contoh soal 4: Hasil pengamatan menunjukkan bahwa persentase kegagalan pelabelan adalah 0,05. Jika setiap shift kerja (8 jam) diambil sampel sebanyak 40 buah, berapakah : a. Probabilitas terdapat 1 buah sampel yang gagal pelabelannya? b. Probabilitas terdapat atau lebih sampel tanpa label? Sebenarnya adalah kejadian binomial yaitu kejadian bernoulli yang diulang 40 kali dengan p=0,05, namun karena n besar maka dikerjakan dengan poisson : Diketahui : µ=λ= nxp= 40X 0,05 = (2) e a. P ( x = 1) = = 0, ! jika pakai Tabel II maka : X=1) = X 1)- 0) = 0,406 0,15 = 0,271 b. X ) = 1- X=0)+X=1)+X=2)= 0,2 Jika dengan Tabel II : X ) = 1- X=0)+X=1)+X=2)= 1- X 2) = 1 0,677 = 0,2