Teori Himpunan Elementer

Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Discrete Mathematics and Its Applications, Edisi 7, 2012, oleh K. H. Rosen (acuan utama). 2 Discrete Mathematics with Applications, Edisi 4, 2010, oleh S. S. Epp. 3 Mathematics for Computer Science. MIT, 2010, oleh E. Lehman, F. T. Leighton, A. R. Meyer. 4 Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja. 5 Slide kuliah Matematika Diskrit di Telkom University oleh B. Purnama. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 2 / 72

Bahasan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 3 / 72

Bahasan Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 4 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Definisi dan Notasi Himpunan Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern. Definisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari definisi himpunan: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 5 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Definisi dan Notasi Himpunan Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern. Definisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari definisi himpunan: Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 5 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Definisi dan Notasi Himpunan Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern. Definisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari definisi himpunan: Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. Urutan kemunculan elemen tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 5 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital: A, B, C,..., X, Y, Z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: A 1, A 2,..., X 1, X 2,.... Anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil: a, b, c,... x, y, z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: a 1, a 2,..., x 1, x 2,.... Notasi x A menyatakan bahwa x adalah anggota A, atau dengan perkataan lain A memuat x. Notasi x A menyatakan bahwa x bukan anggota A, atau dengan perkataan lain A tidak memuat x. Notasi atau atau {} menyatakan himpunan kosong/ himpunan hampa, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dengan demikian proposisi matematika x selalu bernilai F dan proposisi matematika x selalu bernilai T. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 6 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 7 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: semar A, gareng A, arjuna A, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 7 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: semar A, gareng A, arjuna A, finn B, han B, luke B, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 7 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Himpunan Contoh Misalkan A = {semar, gareng, petruk, bagong}, B = { finn, 10, 3 2, rey }, C = {9, {9}, {{9}}}. Kita memiliki: semar A, gareng A, arjuna A, finn B, han B, luke B, 9 C, {9} C, {{9}} C, {{{9}}} C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 7 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 8 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 8 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: {1, 3, 5, 7, 9}, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 8 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: {1, 3, 5, 7, 9}, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: {2, 4, 6,..., 200}, himpunan bilangan bulat: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 8 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: {2, 3, 5, 7}, himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: {1, 3, 5, 7, 9}, himpunan 100 bilangan genap positif pertama: {2, 4, 6,..., 200}, himpunan bilangan bulat: {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 8 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: 1 a A 1, b A 1, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: 1 a A 1, b A 1, 2 a A 2, A 1 A 2, b A 2, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Misalkan A 1 = {a, b}, A 2 = {a, {a, b}}, A 3 = {b, {a, {a, b}}}. Kita memiliki: 1 A 1 memuat dua anggota, yaitu a dan b, 2 A 2 memuat dua anggota, yaitu a dan {a, b}, 3 A 3 memuat dua anggota, yaitu b dan {a, {a, b}}. Akibatnya: 1 a A 1, b A 1, 2 a A 2, A 1 A 2, b A 2, 3 b A 3, A 2 A 3, a A 3, A 1 A 3. Contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah himpunan bisa jadi merupakan anggota dari himpunan lain. Anggota himpunan juga dapat berupa himpunan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 9 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Cara Mendefinisikan dan Menulis Himpunan Himpunan dapat direpresentasikan dengan: 1 menggunakan daftar: 1 A = {x 1, x 2,..., x n} untuk himpunan dengan berhingga banyaknya anggota; 2 A = {x 1, x 2,...} untuk himpunan dengan tak berhingga banyaknya anggota. Tanda... digunakan untuk menunjukkan bahwa pola untuk anggota himpunan tersebut sudah jelas. 2 menggunakan notasi pembangun himpunan (set builder notation) dengan suatu predikat tertentu 1 A = {x P (x)} atau A = {x : P (x)} 2 A = {x S P (x)} atau A = {x S : P (x)}, dalam hal ini S adalah himpunan lain dalam konteks pembicaraan yang membatasi elemen-elemen dari himpunan yang dinotasikan. 3 Kadang-kadang S berupa himpunan universal atau himpunan semesta pembicaraan. Dalam hal ini A = {x S P (x)} dibaca sebagai: A memuat seluruh x di S yang memenuhi P (x). P (x) merupakan predikat uner dengan variabel x. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 10 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 11 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 11 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = {21, 23, 25, 27, 29}, 3 C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 11 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = {21, 23, 25, 27, 29}, 3 C = {1, 2, 5, 10}, 4 D = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 11 / 72

Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 A = {w w bilangan bulat positif yang kurang dari 10}, 2 B = {x P (x) } dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30, 3 C = {y P (y)} dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, 4 D = {z z faktor prima positif dari 12}. Maka: 1 A = {1, 2, 3,..., 8, 9}, 2 B = {21, 23, 25, 27, 29}, 3 C = {1, 2, 5, 10}, 4 D = {2, 3}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 11 / 72

Bahasan Beberapa Himpunan Bilangan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 12 / 72

Beberapa Himpunan Bilangan Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N. Dalam kuliah ini N = {1, 2, 3,...}. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mendefinisikan N = {0, 1, 2, 3,...}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 13 / 72

Beberapa Himpunan Bilangan Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N. Dalam kuliah ini N = {1, 2, 3,...}. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mendefinisikan N = {0, 1, 2, 3,...}. Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan N 0, N 0, atau N 0. Dalam kuliah ini N 0 = {0, 1, 2, 3,...}. Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 13 / 72

Beberapa Himpunan Bilangan Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N. Dalam kuliah ini N = {1, 2, 3,...}. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mendefinisikan N = {0, 1, 2, 3,...}. Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan N 0, N 0, atau N 0. Dalam kuliah ini N 0 = {0, 1, 2, 3,...}. Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan bulat: dinotasikan dengan Z, Z, atau Z, didefinisikan sebagai Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Setiap anggota himpunan bilangan cacah juga anggota himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan bulat positif dinotasikan dengan Z + atau Z >0, kita memiliki Z + = {1, 2, 3,...}. Himpunan bilangan bulat positif sama dengan himpunan bilangan asli, sehingga Z + = N. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 13 / 72

Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, didefinisikan sebagai Q := { a b a, b Z dan b 0}. Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat didefinisikan sebagai Q := { a b a Z, b N, dan FPB (a, b) = 1}. Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1. Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q + atau Q >0. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 14 / 72

Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, didefinisikan sebagai Q := { a b a, b Z dan b 0}. Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat didefinisikan sebagai Q := { a b a Z, b N, dan FPB (a, b) = 1}. Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1. Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q + atau Q >0. Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan dengan R, R, atau R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang dapat diukur secara kontinu. Himpunan bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q) dan himpunan seluruh bilangan irasional. Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R + atau R >0. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 14 / 72

Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, didefinisikan sebagai Q := { a b a, b Z dan b 0}. Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat didefinisikan sebagai Q := { a b a Z, b N, dan FPB (a, b) = 1}. Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1. Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q + atau Q >0. Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan dengan R, R, atau R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang dapat diukur secara kontinu. Himpunan bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q) dan himpunan seluruh bilangan irasional. Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R + atau R >0. Himpunan bilangan kompleks: dinotasikan dengan C, C, atau C, didefinisikan sebagai C := { a + bi a, b R dan i 2 = 1 }. Setiap bilangan real dapat ditulis dalam bentuk a + 0i. Jadi setiap anggota himpunan bilangan real juga anggota himpunan bilangan kompleks. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 14 / 72

Bahasan Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 15 / 72

Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Himpunan Semesta (Universal) Himpunan Semesta (Univeral) Himpunan semesta/ himpunan universal merupakan himpunan yang berisi semua objek yang sedang kita tinjau. Himpunan semesta/ himpunan universal biasa ditulis dengan S atau U. Himpunan semesta/ himpunan universal dapat berbeda-beda, bergantung pada batasan objek yang kita tinjau. Contoh 1 Misalkan kita memakai himpunan universal U = {x (x N) (x 100)}, ini berarti kita hanya meninjau bilangan asli yang tidak lebih dari 100. Kita tidak boleh meninjau bilangan lain di luar U, contohnya 1, 101, ataupun 1 2, 2 Misakan kita memakai himpunan universal U = R, ini berarti kita hanya meninjau bilangan real, saja. Kita tidak boleh meninjau elemen lain di luar U, contohnya 2 maupun 1 + 3. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 16 / 72

Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn merupakan ilustrasi grafis dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu. Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {α α termasuk 26 huruf dalam alfabet standar} dan V = {β β huruf vokal dalam alfabet standar}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 17 / 72

Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn merupakan ilustrasi grafis dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu. Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {α α termasuk 26 huruf dalam alfabet standar} dan V = {β β huruf vokal dalam alfabet standar}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 17 / 72

Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {x (x N) (x 8)}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 18 / 72

Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = {x (x N) (x 8)}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah U A B 7 1 2 8 3 5 6 4 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 18 / 72

Bahasan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 19 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan Definisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A B. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 20 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan Definisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A B. A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {x x faktor positif dari 12}, C = {1, 2, 3}, D = {1, 2, 2, 3, 3, 3}. Maka kita memiliki: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 20 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan Definisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A B. A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, B = {x x faktor positif dari 12}, C = {1, 2, 3}, D = {1, 2, 2, 3, 3, 3}. Maka kita memiliki: A = B, C = D, A C, A D, B C, B D. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 20 / 72

Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 21 / 72

Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 21 / 72

Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Definisi (Himpunan Bagian Sejati) MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 21 / 72

Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Definisi (Himpunan Bagian Sejati) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis dengan A B atau A B, apabila A B tetapi A B. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 21 / 72

Himpunan Bagian Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Definisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) bernilai benar. Definisi (Himpunan Bagian Sejati) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis dengan A B atau A B, apabila A B tetapi A B. A B jikka formula logika predikat x (x A x B) x (x B x A) bernilai benar. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 21 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Diagram Venn untuk hubungan A B dapat diilustrasikan sebagai berikut. U A B MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 22 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. Maka: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 23 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: Maka: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. 1 A, B, C, dan, serta A, B, C, tetapi tidak benar bahwa, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 23 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: Maka: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. 1 A, B, C, dan, serta A, B, C, tetapi tidak benar bahwa, 2 B A dan B A, karena 5 A tetapi 5 B, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 23 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Contoh Misalkan: Maka: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {x (x N) (x + 5 < 10)}, = {}. 1 A, B, C, dan, serta A, B, C, tetapi tidak benar bahwa, 2 B A dan B A, karena 5 A tetapi 5 B, 3 C A, C A (karena 5 A tetapi 5 C), C B, dan B C (karena B = C). Contoh Untuk himpunan-himpunan bilangan, kita memiliki N N 0 Z Q R C. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 23 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Lebih Jauh Tentang Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Teorema Untuk setiap himpunan A berlaku: 1 A, 2 A A. Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Teorema Apabila A dan B adalah dua himpunan, maka A = B jika & hanya jika A B dan A B. Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 24 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Teorema Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku: jika A B dan B C, maka A C. Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 25 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 26 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 26 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 26 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan {1, {1}, {{1}}} memuat tiga anggota, yaitu 1, {1}, dan {{1}}; sedangkan {1} hanya memuat satu anggota, yaitu 1. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 26 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan {1, {1}, {{1}}} memuat tiga anggota, yaitu 1, {1}, dan {{1}}; sedangkan {1} hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 {1} dan 1 {1, {1}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 26 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 {1, 3, 5} = {3, 5, 1} T F 2 {1, 3, 5} = {1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5} T F 3 {1, {1}, {{1}}} = {1} T F 4 {1} {1, {1}} T F 5 = { } T F Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan {1, {1}, {{1}}} memuat tiga anggota, yaitu 1, {1}, dan {{1}}; sedangkan {1} hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 {1} dan 1 {1, {1}}. Nomor 5: F, karena tidak memuat anggota apapun; sedangkan { } memuat satu anggota, yaitu. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 26 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan: Hubungan antar Dua Himpunan Latihan Isilah tempat yang telah disediakan dengan: =,,,,, atau X jika hubungan =,,,, tidak dapat ditentukan. (1) { } {{}} (2) {0} (3) {, { }} { } (4) {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}} (5) {{}} {} (6) { } {0} MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 27 / 72

Solusi Latihan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 28 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Solusi Latihan 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 28 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Solusi Latihan 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 28 / 72

Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Solusi Latihan 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. 4 {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 28 / 72

Solusi Latihan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. 4 {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}}. 5 Karena {{}} {} dan {{}} {}, maka ada dua jawaban benar, yaitu dan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 28 / 72

Solusi Latihan Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 1 Karena = {}, maka { } = {{}}. 2 Karena A untuk sembarang himpunan A, maka {0}. 3 Karena { } dan {, { }}, maka { } {, { }}, atau {, { }} { }. Kita juga dapat mengatakan bahwa {, { }} { } karena { } adalah anggota dari {, { }}. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan. 4 {1} {{1}, {{1}}, {{{1}}}}. 5 Karena {{}} {} dan {{}} {}, maka ada dua jawaban benar, yaitu dan. 6 { } adalah himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu himpunan kosong. Himpunan {0} juga himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu 0. Jelas bahwa { } {0}, dengan perkataan lain tidak terdapat hubungan =,,,, antara { } dan {0}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 28 / 72

Bahasan Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 29 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 30 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 30 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 30 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = 1, {{ }} = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 30 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = 1, {{ }} = 1, {, { }, {{ }}} = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 30 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Kardinalitas Himpunan (Berhingga) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: Contoh A dikatakan himpunan berhingga (finite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan A, n (A), atau #A, A dikatakan himpunan tak berhingga (infinite set) jikka A bukan himpunan berhingga. Jika A = {m N m < 10 dan m ganjil}, maka A = 5. = 0, { } = 1, {{ }} = 1, {, { }, {{ }}} = 3. N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 30 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Ekuivalensi Dua Buah Himpunan Definisi Dua buah himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A B, bila kardinalitasnya sama. Bila A dan B berhingga, maka A B bila A = B. Contoh Himpunan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 4, 6, 8} memenuhi sifat A B tetapi A B karena A = B = 4. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 31 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = { MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, { }, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, { }, {{ }}, MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Himpunan Kuasa (Power Set) Definisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2 A, P (A), atau (A). Contoh P ({a, b}) = {, {a}, {b}, {a, b}}. P ({0, 1, 2}) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. P ( ) = { }. P ({ }) = {, { }}. P ({, { }}) = {, { }, {{ }}, {{, { }}}}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 32 / 72

Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa Teorema Jika A adalah suatu himpunan dengan A = n, maka P (A) = 2 A = 2 n. Bukti Bukti dapat diperoleh melalui induksi matematika dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 33 / 72

Bahasan Operasi Himpunan 1 Pengantar: Definisi dan Notasi Himpunan 2 Beberapa Himpunan Bilangan 3 Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn 4 Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian 5 Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa 6 Operasi Himpunan 7 Produk Kartesius 8 Prinsip Inklusi-Eksklusi 9 Partisi Himpunan 10 Pembuktian Matematis Terkait Himpunan MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 34 / 72

Operasi Himpunan Beberapa Operasi Himpunan Standar Definisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka 1 Gabungan (union) dari A dan B, dinotasikan dengan A B, didefinisikan sebagai A B := {x x A atau x B}atau A B := {x (x A) (x B)}; 2 Irisan (intersection) dari A dan B, dinotasikan dengan A B, didefinisikan sebagai A B := {x x A dan x B}atau A B := {x (x A) (x B)}; Jika A B =, maka A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)dan dapat ditulis A//B. 3 Selisih (difference) dari A dan B, dinotasikan dengan A \ B, A B, atau A B, didefinisikan sebagai A B := {x x A dan x B}atau A B := {x (x A) (x B)}; 4 Xor atau beda simetris (symmetric difference) dari A dan B, dinotasikan dengan A B didefinisikan sebagai A B := {x (x A) (x B)}, sehingga A B := (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A B). MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 35 / 72

Operasi Himpunan Definisi Jika A ditinjau pada himpunan semesta pembicaraan S, maka komplemen dari A, dinotasikan dengan A, A C, Ā, atau S A, didefinisikan sebagai A C := {x S x A}. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 36 / 72

A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 37 / 72

A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 37 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 38 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 38 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2 A = {1, 2, 3, 4}. 3 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 38 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2 A = {1, 2, 3, 4}. 3 A S = S. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 38 / 72

A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 39 / 72

A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 39 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x B) (x C). Perhatikan bahwa: (A B) C = {3, 4} {5, 6, 7, 8} = dan A (B C) = {1, 2, 3, 4} {5, 6} =. Kita tidak dapat menulis A//B//C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. 5 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x B) (x C). Perhatikan bahwa: (A B) C = {3, 4} {5, 6, 7, 8} = dan A (B C) = {1, 2, 3, 4} {5, 6} =. Kita tidak dapat menulis A//B//C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. 5 A =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x ). Nilai kebenaran dari x selalu F. 6 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8}, maka: 1 A B = {3, 4}. 2 B C = {5, 6}. 3 A C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x C). Akibatnya kita dapat menulis A//C (A dan C saling lepas/ disjoint). 4 A B C =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x B) (x C). Perhatikan bahwa: (A B) C = {3, 4} {5, 6, 7, 8} = dan A (B C) = {1, 2, 3, 4} {5, 6} =. Kita tidak dapat menulis A//B//C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. 5 A =, karena tidak ada x S yang memenuhi (x A) (x ). Nilai kebenaran dari x selalu F. 6 A S = A, karena jika x A S maka x memenuhi (x A) (x S), akibatnya haruslah x A, sehingga diperoleh A S = A. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 40 / 72

A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)} = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 41 / 72

A B Operasi Himpunan Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U. Kita memiliki A B = {x U : (x A) (x B)} = {x U : (x A) (x B)}. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 41 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = {1, 2, 3, 4} {x N : x 10} = {x S : (x A) (x S)} =. 5 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = {1, 2, 3, 4} {x N : x 10} = {x S : (x A) (x S)} =. 5 A = {1, 2, 3, 4} = {x S : (x A) (x )} = {1, 2, 3, 4}, karena x selalu bernilai T. 6 A = MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72

Operasi Himpunan Contoh Diberikan himpunan semesta S = {x N : x 10}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, maka: 1 A B = {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5, 6} = {1, 2}. 2 B A = {3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4} = {5, 6}. 3 S A = {x N : x 10} {1, 2, 3, 4} = {x S : (x S) (x A)} = {5, 6, 7, 8, 9, 10} = A C. 4 A S = {1, 2, 3, 4} {x N : x 10} = {x S : (x A) (x S)} =. 5 A = {1, 2, 3, 4} = {x S : (x A) (x )} = {1, 2, 3, 4}, karena x selalu bernilai T. 6 A = {1, 2, 3, 4} = {x S : (x ) (x A)} =, karena x selalu bernilai F. MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 42 / 72