VI DEFEKSI OK.. Pendahuluan Semua alok akan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya apaila tereani. Dalam struktur angunan, seperti : alok dan plat lantai tidak oleh melentur terlalu erleihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan) pemakainya. da eerapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan defleksi pada alok. Dalam diktat ini hanya akan diahas tiga metode, yaitu metode integrasi ganda ( douel integrations ), luas idang momen ( Momen rea Method ), dan metode luas idang momen seagai ean. Metode integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang entang sekaligus. Sedangkan metode luas idang momen sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui lendutan dalam satu tempat saja. sumsi yang dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan terseut adalah hanyalah defleksi yang diakiatkan oleh gaya-gaya yang ekerja tegak-lurus terhadap sumu alok, defleksi yang terjadi relative kecil diandingkan dengan panjang aloknya, dan irisan yang erentuk idang datar akan tetap erupa idang datar walaupun terdeformasi... Metode Integrasi Ganda Suatu struktur sedehana yang mengalami lentur dapat digamarkan seagaimana gamar., dimana y adalah defleksi pada jarak x, dengan x adalah jarak lendutan yang ditinjau, adalah jarak mn, d sudut mon, dan r adalah jarijari lengkung.
O d r y m n d x Gamar.. alok sederhana yang mengalami lentur erdasarkan gamar.. didapat esarnya = r tg d karena esarnya drelatif sangat kecil maka tg ddsajasehingga persamaannya dapat ditulis menjadi = r.d atau d r Jika ergerak kekanan maka esarnya d akan semakin mengecil atau semakin erkurang sehingga didapat persamaan d r endutan relatif sangat kecil sehingga tg r dy d dy d y, sehingga didapat persamaan Persamaan tegangan r M M d y, sehingga didapat persamaan Sehingga didapat persamaan d y M (.)
Persamaan. jika dilakukan dua kali integral akan didapat persamaan dy y dm dv V q... ontoh plikasi pada alok sederhana dengan ean merata q M x MD x Gamar.. alok Sederhana dengan ean merata Dari gamar. esarnya momen pada jarak x seesar M x = R. x - q x M x = q. x - q x Persamaan terseut disustitusi ke dalam persamaan. sehingga didapat d y q x qx Diintegral terhadap x sehingga didapat d y q x qx dy qx qx
5 Momen maksimum terjadi pada x = maksimum, dy 0, sehingga persamaannya menjadi q q 0 0 q q 8 q Sehingga persamaan di atas akan menjadi dy qx qx q, dan pada tempat terseut terjadi defleksi Dari persamaan terseut diintergralkan kemali terhadap x sehingga menjadi dy qx qx q qx y qx q x Pada x = 0, lendutan y = 0, sehingga didapat, dan persamaannya menjadi Pada x = 0 = 0 + 0 + 0 + = 0 qx y qx y qx y y x qx q x 0 x x x akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat max q
y max q 8 8 y max q 8 5 8 Sehingga lendutan maksimum yang terjadi di tengah entang didapat : 5q ymax (.) 8... ontoh plikasi pada cantilever dengan ean merata q M x MD x Gamar.. alok antilever dengan ean Merata Dari gamar. esarnya momen pada jarak x seesar M x = - q x Persamaan terseut disustitusi ke dalam persamaan. sehingga didapat d y qx Diintegral terhadap x sehingga didapat d y qx dy qx
7 Momen maksimum terjadi pada x =, dan pada tempat terseut tidak terjadi defleksi, dy 0, sehingga persamaannya menjadi qx 0 q Sehingga persamaan di atas akan menjadi dy qx q Dari persamaan terseut diintergralkan kemali terhadap x sehingga menjadi dy qx q qx y q x Pada x =, lendutan y = 0, sehingga didapat 0 q q q 8 Persamaannya menjadi qx q x q y 8 q y x x Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat y y q max 0 0 max q Sehingga lendutan maksimum cantilever (pada ujung atang) didapat :
8 q ymax (.) 8... ontoh plikasi pada cantilever dengan titik P M x MD x Gamar.. alok antilever dengan ean Titik Dari gamar. esarnya momen pada jarak x seesar M x = - Px Persamaan terseut disustitusi ke dalam persamaan. sehingga didapat d y Px Diintegral terhadap x sehingga didapat d y dy Px Px Momen maksimum terjadi pada x =, dan pada tempat terseut tidak terjadi defleksi, dy 0, sehingga persamaannya menjadi P 0
9 P Sehingga persamaan di atas akan menjadi dy Px P Dari persamaan terseut diintergralkan kemali terhadap x sehingga menjadi dy Px P y y Px Px P x Pada x =, lendutan y = 0, sehingga didapat P 0 P Persamaannya menjadi Px y P y x q y x P x x x Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat q y y max 0 0 P Sehingga lendutan maksimum cantilever dengan eat titik (pada ujung atang) didapat :
70 q ymax (.) 8... ontoh plikasi pada alok sederhana dengan ean titik P a M x MD Gamar.5. alok Sederhana dengan ean titik Dari gamar.5 esarnya reaksi dukungan dan momen seesar P R, dan M x = M x = Px Px - P(x-a) Pa R untuk x a untuk x a Persamaan terseut disustitusi ke dalam persamaan. persamaan garis elastis sehingga didapat x untuk x a d y Px d y Px untuk x a P( x a) Diintegral terhadap x sehingga didapat dy Px
7 dy Px P( x a) Pada x = a, dua persamaan di atas hasilnya akan sama. Jika diintegral lagi mendapatkan persamaan : Px y x untuk x a Px P( x a) y x untuk x a Pada x = a, maka nilai harus sama dengan, maka =, sehingga persamaannya menjadi : Px y P( x a) x Untuk x = 0, maka y = 0, sehingga nilai = = 0 Untuk x =, maka y = 0, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi : P P( a) 0 esarnya a = P P P 0 Sehingga setelah disustitusi menghasilkan persamaan : y Px x untuk x a P x a x Px y untuk x a (.5).. Metode uas idang Momen Pada pemahasan di atas telah dihasilkan lendutan yang erupa persamaan. Hasil terseut masih ersifat umum, namun mempunyai kelemahan apaila
7 diterapkan pada struktur dengan pemeanan yang leih kompleks, maka dirasa kurang praktis, karena harus melalui penjaaran secara matematis. Metode luas idang momen inipun juga mempunyai kelemahan yang sama apaila dipakai pada konstruksi dengan pemeanan yang leih kompleks. Namun demikian metode ini sedikit leih praktis, karena proses hitungan dilakukan tidak secara matematis tetapi ersifat numeris. O d r y m n d d x M MD Gamar.. Gamar alok yang mengalami entur Dari gamar. terseut didapat persamaan d M = r atau dapat ditulis menjadi
7 M d (.) Dari persamaan. dapat didefinisikan seagai erikut : Definisi I : Elemen sudut d yang dientuk oleh dua tangen arah pada dua titik yang erjarak, esarnya sama dengan luas idang momen antara dua titik terseut diagi dengan. Dari gamar., apaila adalah panjang alok, maka esarnya sudut yang dientuk adalah : 0 M erdasarkan garis singgung m dan n yang erpotongan dengan garis vertikal yang melewati titik, akan diperoleh : ' " M. x d x. d (.7) Nilai M. = uas idang momen sepanjang. M.x. = Statis momen luas idang M terhadap titik yang erjarak x dari elemen M. Sehingga dari persamaan.7 dapat didefinisikan seagai erikut : Definisi II : Jarak vertikal pada suatu tempat yang dientuk dua garis singgung pada dua titik suatu alok esarnya sama dengan statis momen luas idang momen terhadap tempat terseut diagi dengan. Jarak '. 0 M x Untuk menyelesaikan persamaan terseut yang menjadi persoalan adalah letak titik erat suatu luasan, karena letak titik erat terseut diperlukan dalam menghitung statis momen luas M..x. etak titik erat dari eerapa luasan dapat dilihat pada gamar.7.
7 h h = h (a) Segi empat 8 = h/ () Segi tiga h h = (/)h = h/ (c) Paraola pangkat (d) Paraola Pangkat n n n h h n h n h n (e) Paraola pangkat n (f) Paraola Pangkat n Gamar.7. etak titik erat... ontoh plikasi pada alok Sederhana dengan ean Merata Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur alok sederhana yang menahan ean merata, seagaimana digamarkan pada gamar.8, dengan metode luas idang momen.
75 q / q 8 MD 5. 8 Gamar.8. alok sederhana yang menahan ean merata Penyelesaian : esarnya momen di akiat ean merata seesar M = etak titik erat dari tumpuan seesar = 5. 8 5 q 8 erdasarkan definisi I esarnya sudut terhadap titik adalah seesar : uas idang. q. 8 q momen erdasasrkan definisi II esarnya jarak lendutan vertikal di seesar : = = Statis 5. q.. 8 momen luas idang 5q 8
7... ontoh plikasi pada antilever dengan ean Merata Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan ean merata, seagaimana digamarkan pada gamar.9, dengan metode luas idang momen. q q MD Penyelesaian : Gamar.9. antilever yang menahan ean merata esarnya momen di akiat ean merata seesar M = - q etak titik erat ke titik seesar = erdasarkan definisi I esarnya sudut terhadap titik adalah seesar : uas q. q idang momen erdasasrkan definisi II esarnya jarak lendutan vertikal di seesar : = = Statis momen luas idang
77. q. q 8... ontoh plikasi pada antilever dengan ean Titik Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan ean titik, seagaimana digamarkan pada gamar.0, dengan metode luas idang momen. P P MD Penyelesaian : Gamar.0. antilever yang menahan ean titik esarnya momen di akiat ean merata seesar M = -P etak titik erat ke titik seesar = erdasarkan definisi I esarnya sudut terhadap titik adalah seesar : uas. P idang momen P
78 erdasasrkan definisi II esarnya jarak lendutan vertikal di seesar : = =. P Statis. momen luas idang P... ontoh plikasi pada alok Sederhana dengan ean Titik Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur alok sederhana yang menahan ean titik, seagaimana digamarkan pada gamar., dengan metode luas idang momen. P / P MD. Gamar.. alok sederhana yang menahan ean titik Penyelesaian : esarnya momen di akiat ean merata seesar M = etak titik erat dari tumpuan seesar =. erdasarkan definisi I esarnya sudut terhadap titik adalah seesar : P
79 uas.. idang P momen P erdasasrkan definisi II esarnya jarak lendutan vertikal di seesar : = =. Statis. P. momen luas idang P 8.. Metode uas idang Momen Seagai ean Dua metoda yang sudah diahas di atas mempunyai kelemehana yang sama, yaitu apaila konstruksi dan pemeanan cukup kompleks. Metode idang Momen Seagai ean ini pun dirasa leih praktis dianding dengan metode yang diahas seelumnya. Metode ini pada hakekatnya erdasar sama dengan metode luas idang momen, hanya sedikit terdapat perluasan. Untuk memahas masalah ini kita amil seuah konstruksi seperti tergamar pada gamar., dengan ean titik P, kemudian momen dianggap seagai ean.
80 a i P j k x MD m Pa x n W Pa Pa R ( ) Pa a R Gamar.. Konstruksi alok Sederhana dan Garis Elastika Dari gamar., W adalah luas idang momen, yang esarnya Pa W.. Pa erdasarkan definisi II yang telah diahas pada metode luas idang momen, maka didapat : Statis momen luas idang momen terhadap = Pa Pa
8 Pada umumnya lendutan yang terjadi cukup kecil, maka erdasarkan pendekatan geometris akan diperoleh :. atau Pa R Dengan cara yang sama akan dihasilkan : Pa a R Dengan demikian dapat diamil kesimpulan ahwa : Sudut tangen di dan esarnya sama dengan reaksi perletakan diagi. erdasarkan gamar. seenarnya yang akan dicari adalah defleksi pada titik sejauh x meter dari dukungan (potongan i-j-k) yaitu seesar Zc. Zc = ij = ik jk erdasarkan geometri, maka esarnya ik =. x, maka R ik x Sedangkan erdasarkan definisi II adalah statis momen luasan -m-n terhadap idang m-n diagi, maka jk = luas x m n. Sehingga lendutan Z yang erjarak x dari, adalah : Zc = ij = ik jk Z. x Rx luas mn (.8) erdasarkan persamaan.8 didapat definisi III seagai erikut : Definisi III : endutan disuatu titik didalam suatu entangan alok sedrhana esarnya sama dengan momen di titik terseut diagi dengan apaila idang momen seagai ean.
8... ontoh plikasi pada alok Sederhana dengan ean Merata Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur alok sederhana yang menahan ean merata, seagaimana digamarkan pada gamar., dengan metode luas idang momen seagai ean. q (a) / () q 8 MD (c) q 8 5. 8 Gamar.. alok sederhana yang menahan ean merata Penyelesaian : angkah untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah mencari momen terleih dahulu, hasilnya seagaimana digamarkan pada gamar... Hasil momen terseut kemudian dijadikan ean, seagaimana diperlihatkan pada gamar..c. Kemudian dicari atau dihitung esarnya reakasi dan momennya. esarnya adalah seesar R akiat ean momen diagi dengan, sedangkan adalah seesar R akiat ean momen diagi dengan, dan esarnya max adalah seesar M akiat ean momen diagi dengan. Untuk leih jelasnya dapat dilihat pada penyelesaian diawah ini.
8 erdasarkan gamar..a. didapat momen seagaimana digamarkan pada gamar.., yang esarnya seesar M = q 8 Dari idang momen yang didapat pada gamar.. dialik dan dijadikan ean seagaimana digamarkan pada gamar..c. Dari gamar..c didapat reaksi yang esarnya : R 8 R q q (esarnya sama dengan mn = W) Dengan demikian sudut kelengkunagannya dapat dihitung, yaitu seesar : R q Dari gamar..c. didapat juga momen dititik, yaitu seesar : M q q 5q... 8 8 esanya max dapat dihitung yaitu seesar : M c 5q 8... ontoh plikasi pada alok Sederhana dengan ean Titik... ontoh plikasi pada antilever dengan ean Merata... ontoh plikasi pada antilever dengan ean Titik.5. Huungan Kurva Elastis dan Regangan inier Seuah segmen alok yang semula lurus diperlihatkan dalam keadaan terdeformasi, seagaimana ditunjukan pada gamar.. Gamar terseut serupa dengan gamar. yang digunakan untuk mendapatkan distriusi tegangan dalam alok yang diseakan oleh lenturan. Pada gamar. dapat dilihat ahwa dalam alok yang melentur sudut yang erdampingan antara dua iridan adalah ila jarak y dari permukaan garis netral terhadap serat yang ditinjau, maka deformasi u dari setiap serat didapat :
8 u = -y erdasarkan persamaan terseut dapat ditentukan esarnya regangan, yaitu seesar u panjang fd O r M xz M xz y a f d e x u Gamar.. Deformasi Segmen alok dalam enturan ontoh : alok ertingkat seperti ditunjukkan pada Gamar.(a) teruat dari aja dengan modulus elastisitas Young 00 GPa; luas penampang = 8.0 - m, =.0 - m ; panjang l = m, l = 0,8 m. Pada tingkatnya dipasang cincin yang sangat kaku untuk menerapkan ean F = kn. Hitunglah: () Reaksi titik-titik tumpuan dan, () tegangan-tegangan yang terjadi pada penampang dan, (c) perpindahan titik.
85 Penyelesaian: E = 00 (GPa) =.0 - (m ) l = (m) = 0.8 (m) Titik dan tetap, tidak erpindah. (a) l =? l =? () Perpindahan titik =? F h = 0 ===> R + F R = 0 R = F R =00 R R R 8 R 0, 5R (MPa) 500, 05 MPa Hukum Hooke: 000R R Gamar.. Superposisi: alok ertingkat l 0 5 E l, R 5. 0,. R ( mm) 50 50 0,05 l 800 50 E l ( R ),. R 5.0 ( mm) Panjang pada deformasi: l = l + l (.a) l = l + l (.) Titik dan tidak erpindah ==> panjang total atang tetap, l + l tetap, sehingga l + l = l + l ==> (l + l ) + (l + l ) = l + l atau l + l = 0 ===>,5.0 - R - +,5.0 - R = 0 atau R = ( / 8,5. 0 - ) = 7,5 (N) Sehingga: = 0,5 R = 7.0 (MPa) = - ( 50-0,05 R ) = -7,7 (MPa) Perpindahan titik =,5.0 - R = 0,75 (mm)