d x Gambar 2.1. Balok sederhana yang mengalami lentur

Transkripsi

1 II DEFEKSI DN ROTSI OK TERENTUR. Defleksi Semua balok yang terbebani akan mengalami deformasi (perubahan bentuk) dan terdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya. Dalam struktur bangunan, seperti : balok dan plat lantai tidak boleh melentur terlalu berlebihan untuk mengurangi/meniadakan pengaruh psikologis (ketakutan) pemakainya. da beberapa metode yang dapat dipergunakan untuk menyelesaikan persoalanpersoalan defleksi dan deformasi pada balok, diantaranya adalah : metode integrasi ganda ( doubel integrations ), luas bidang momen ( Momen rea Method ), dan metode luas bidang momen sebagai beban. Metode integrasi ganda sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi sepanjang bentang sekaligus. Sedangkan metode luas bidang momen sangat cocok dipergunakan untuk mengetahui defleksi dalam satu tempat saja. sumsi yang dipergunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut adalah hanyalah defleksi yang diakibatkan oleh gaya-gaya yang bekerja tegak-lurus terhadap sumbu balok, defleksi yang terjadi relative kecil dibandingkan dengan panjang baloknya, dan irisan yang berbentuk bidang datar akan tetap berupa bidang datar walaupun terdeformasi.. Metode Integrasi Ganda Suatu struktur sedehana yang mengalami lentur dapat digambarkan sebagaimana gambar., dimana y adalah defleksi pada jarak x, dengan x adalah jarak lendutan yang ditinjau, adalah jarak mn, d sudut mon, dan r adalah jari-jari lengkung. O d r y m n d x Gambar.. alok sederhana yang mengalami lentur

2 erdasarkan gambar.. didapat besarnya = r tg d karena besarnya drelatif sangat kecil maka tg ddsajasehingga persamaannya dapat ditulis menjadi : = r.d atau d r Jika bergerak kekanan maka besarnya d akan semakin mengecil atau semakin berkurang sehingga didapat persamaan : d r endutan relatif sangat kecil sehingga r d dy d y dy tg, sehingga didapat persamaan : M M d y Persamaan tegangan, sehingga didapat persamaan r Sehingga didapat persamaan d y M Persamaan. jika dilakukan dua kali integral akan didapat persamaan dy dm V y dv q (.) Untuk mempermudah pemahaman tentang pemakaian metode integrasi ganda, akan dicoba diaplikasikan pada struktur balok sederhana. Contoh.. Sebuah balok sederhana yang menahan beban merata seperti pada gambar. Dari gambar. besarnya momen pada jarak x sebesar M x = R. x - q x M x = q. x - q x Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan. sehingga didapat 8

3 d y q x qx Diintegral terhadap x sehingga didapat d y q x qx dy qx qx C q M x MD x Gambar.. alok Sederhana dengan beban merata Momen maksimum terjadi pada x = maksimum, dy 0, sehingga persamaannya menjadi q q 0 C q q 0 C 8 C q Sehingga persamaan di atas akan menjadi dy qx qx q, dan pada tempat tersebut terjadi defleksi Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadi dy qx qx q 9

4 qx y qx q x C Pada x = 0, lendutan y = 0, sehingga didapat C, dan persamaannya menjadi Pada x = 0 = C C = 0 y y y qx y qx qx x qx q x 0 x x x akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat max q y max q 8 8 y max q Sehingga lendutan maksimum yang terjadi di tengah bentang didapat : 5 q y max 8 (.) Contoh.. Stuktur cantilever dengan beban merata seperti pada gambar.. q M x MD Gambar.. alok Cantilever dengan eban Merata 0 x

5 Dari gambar. besarnya momen pada jarak x sebesar M x = - q x Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan. sehingga didapat d y qx Diintegral terhadap x sehingga didapat d y qx dy qx C Momen maksimum terjadi pada x =, dan pada tempat tersebut tidak terjadi defleksi, dy 0, sehingga persamaannya menjadi qx 0 C C q Sehingga persamaan di atas akan menjadi dy qx q Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadi dy qx q qx y q x C Pada x =, lendutan y = 0, sehingga didapat C q q 0 C C q 8 Persamaannya menjadi

6 y qx q x q y 8 q x x Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat y max y max q q 0 0 Sehingga lendutan maksimum cantilever (pada ujung batang) didapat : q y max 8 (.) Contoh.. Struktur cantilever dengan titik seperti pada gambar. P M x MD x Gambar.. alok Cantilever dengan eban Titik Dari gambar. besarnya momen pada jarak x sebesar M x = - Px Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan. sehingga didapat d y Px Diintegral terhadap x sehingga didapat d y Px

7 dy Px C Momen maksimum terjadi pada x =, dan pada tempat tersebut tidak terjadi defleksi, dy 0, sehingga persamaannya menjadi P 0 C C P Sehingga persamaan di atas akan menjadi dy Px P Dari persamaan tersebut diintergralkan kembali terhadap x sehingga menjadi dy Px P Px y Px y P x C C Pada x =, lendutan y = 0, sehingga didapat C C P 0 C P Persamaannya menjadi y Px y P y q x x x x x P Pada x = 0 akan diperoleh lendutan maksimum sehingga didapat y q 0 0

8 y max P Sehingga lendutan maksimum cantilever dengan bebat titik (pada ujung batang) didapat : q y max 8 (.) Contoh.. Struktur balok sederhana dengan beban titik, seperti pada gembar.5 P a b M x MD Gambar.5. alok Sederhana dengan beban titik Dari gambar.5 besarnya reaksi dukungan dan momen sebesar Pb R, dan M x = M x = Pbx Pbx - P(x-a) Pa R untuk x a untuk x a Persamaan tersebut disubstitusi ke dalam persamaan. persamaan garis elastis sehingga didapat : x untuk x a d y Pbx d y Pbx untuk x a P(x a) Diintegral terhadap x sehingga didapat

9 dy Pbx C dy Pbx P(x a) C Pada x = a, dua persamaan di atas hasilnya akan sama. Jika diintegral lagi mendapatkan persamaan : Pbx y Cx C untuk x a Pbx P(x a) y Cx C untuk x a Pada x = a, maka nilai C harus sama dengan C, maka C = C, sehingga persamaannya menjadi : Pbx y P(x a) C x C Untuk x = 0, maka y = 0, sehingga nilai C = C = 0 Untuk x =, maka y = 0, sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi : Pb P( a) 0 esarnya a = b Pb C C Pb Pb b C 0 Sehingga setelah disubstitusi menghasilkan persamaan : y Pbx b x untuk x a P x a b x Pbx y untuk x a (.5). Metode uas idang Momen Pada pembahasan di atas telah dihasilkan lendutan yang berupa persamaan. Hasil tersebut masih bersifat umum, namun mempunyai kelemahan apabila diterapkan pada 5

10 struktur dengan pembebanan yang lebih kompleks, maka dirasa kurang praktis, karena harus melalui penjabaran secara matematis. Metode luas bidang momen inipun juga mempunyai kelemahan yang sama apabila dipakai pada konstruksi dengan pembebanan yang lebih kompleks. Namun demikian metode ini sedikit lebih praktis, karena proses hitungan dilakukan tidak secara matematis tetapi bersifat numeris. O d r y m n d d x M MD Gambar.. Gambar alok yang mengalami entur Dari gambar. tersebut didapat persamaan d r M = atau dapat ditulis menjadi M d (.) Dari persamaan. dapat didefinisikan sebagai berikut :

11 Definisi I : Elemen sudut d yang dibentuk oleh dua tangen arah pada dua titik yang berjarak, besarnya sama dengan luas bidang momen antara dua titik tersebut dibagi dengan. Dari gambar., apabila adalah panjang balok, maka besarnya sudut yang dibentuk adalah : b b h h b = bh (a) Segi empat b 8 b = bh/ (b) Segi tiga b h h b = (/)bh b = bh/ (c) Parabola pangkat (d) Parabola Pangkat n n b b n h h b n bh n b bh n (e) Parabola pangkat n (f) Parabola Pangkat n Gambar.7. etak titik berat 7

12 0 M erdasarkan garis singgung m dan n yang berpotongan dengan garis vertikal yang melewati titik, akan diperoleh : M.x ' " d x.d (.7) Nilai M. = uas bidang momen sepanjang. M.x. = Statis momen luas bidang M terhadap titik yang berjarak x dari elemen M. Sehingga dari persamaan.7 dapat didefinisikan sebagai berikut : Definisi II : Jarak vertikal pada suatu tempat yang dibentuk dua garis singgung pada dua Jarak ' titik suatu balok besarnya sama dengan statis momen luas bidang momen terhadap tempat tersebut dibagi dengan. 0 M.x Untuk menyelesaikan persamaan tersebut yang menjadi persoalan adalah letak titik berat suatu luasan, karena letak titik berat tersebut diperlukan dalam menghitung statis momen luas M..x. etak titik berat dari beberapa luasan dapat dilihat pada gambar.7. Untuk mempermudah pemahaman tentang pemakaian metode luas bidang momen, akan dicoba diaplikasikan pada struktur balok sederhana. Contoh.5. alok Sederhana dengan eban Merata Hitung defleksi maksimum ( C ) yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar.8, dengan metode luas bidang momen. Penyelesaian : esarnya momen di C akibat beban merata sebesar M C = etak titik berat dari tumpuan sebesar = q 8 erdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar :

13 C C uas. q. 8 bidang momen C q erdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar : CC = C = C Statis 5. q.. 8 momen luas bidang C 5q 8 q C C C C / 5. 8 MD 5. 8 Gambar.8. alok sederhana yang menahan beban merata Contoh.. Cantilever dengan eban Merata Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar.9, dengan metode luas bidang momen. Penyelesaian : esarnya momen di akibat beban merata sebesar M = - q 9

14 etak titik berat ke titik sebesar = erdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik adalah sebesar : uas. q q bidang momen erdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di sebesar : = =. q 8 Statis q. momen luas bidang q q MD Gambar.9. Cantilever yang menahan beban merata Contoh.7. Cantilever dengan eban Titik Hitung defleksi maksimum ( ) yang terjadi pada struktur cantilever yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar.0, dengan metode luas bidang momen. 0

15 P P MD Gambar.0. Cantilever yang menahan beban titik Penyelesaian : esarnya momen di akibat beban merata sebesar M = - P etak titik berat ke titik sebesar = erdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik adalah sebesar : uas.p P bidang momen erdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di sebesar : = = Statis.P. P momen luas bidang Contoh.8. alok Sederhana dengan eban Titik

16 Hitung defleksi maksimum ( C ) yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban titik, sebagaimana digambarkan pada gambar., dengan metode luas bidang momen. P C C C C / P MD. Gambar.. alok sederhana yang menahan beban titik Penyelesaian : esarnya momen di C akibat beban merata sebesar M C = etak titik berat dari tumpuan sebesar =. P erdasarkan definisi I besarnya sudut terhadap titik C adalah sebesar : C uas. C P C bidang. P momen erdasasrkan definisi II besarnya jarak lendutan vertikal di C sebesar : CC = C = C C. P 8 Statis. P. momen luas bidang

17 . Metode uas idang Momen Sebagai eban Dua metoda yang sudah dibahas di atas mempunyai kelemehana yang sama, yaitu apabila konstruksi dan pembebanan cukup kompleks. Metode idang Momen Sebagai eban ini pun dirasa lebih praktis dibanding dengan metode yang dibahas sebelumnya. Metode ini pada hakekatnya berdasar sama dengan metode luas bidang momen, hanya sedikit terdapat perluasan. Untuk membahas masalah ini kita ambil sebuah konstruksi seperti tergambar pada gambar., dengan beban titik P, kemudian momen dianggap sebagai beban. Dari gambar., W adalah luas bidang momen, yang besarnya Pab W.. Pab erdasarkan definisi II yang telah dibahas pada metode luas bidang momen, maka didapat: = Statis Pab momen b Pab b luas bidang momen terhadap Pada umumnya lendutan yang terjadi cukup kecil, maka berdasarkan pendekatan geometris akan diperoleh :. atau Pab b R Dengan cara yang sama akan dihasilkan : Pab a R Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa : Sudut tangen di dan besarnya sama dengan reaksi perletakan dibagi. erdasarkan gambar. sebenarnya yang akan dicari adalah defleksi pada titik C sejauh x meter dari dukungan (potongan i-j-k) yaitu sebesar Zc. Zc = ij = ik jk

18 erdasarkan geometri, maka besarnya ik =. x, maka R ik x Sedangkan berdasarkan definisi II adalah statis momen luasan -m-n terhadap bidang m- n dibagi, maka jk = luas m x n. a b i P j k x MD m Pab x n Pab W R Pab b ( b) Pab a R Gambar.. Konstruksi alok Sederhana dan Garis Elastika Sehingga lendutan Z C yang berjarak x dari, adalah : Zc = ij = ik jk x ZC R x luas mn. (.8)

19 erdasarkan persamaan.8 didapat definisi III sebagai berikut : Definisi III : endutan disuatu titik didalam suatu bentangan balok sedrhana besarnya sama dengan momen di titik tersebut dibagi dengan apabila bidang momen sebagai beban. Untuk mempermudah pemahaman tentang pemakaian metode luas bidang momen sebagai beban, akan dicoba diaplikasikan pada struktur balok sederhana. Contoh.9. alok Sederhana dengan eban Merata Hitung defleksi maksimum ( C ) yang terjadi pada struktur balok sederhana yang menahan beban merata, sebagaimana digambarkan pada gambar., dengan metode luas bidang momen sebagai beban. q (a) C C C C / (b) 5. 8 MD (c) Gambar.. alok sederhana yang menahan beban merata Penyelesaian : angkah untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah mencari momen terlebih dahulu, hasilnya sebagaimana digambarkan pada gambar..b. Hasil momen tersebut kemudian dijadikan beban, sebagaimana diperlihatkan pada gambar..c. Kemudian dicari atau dihitung besarnya reakasi dan momennya. esarnya adalah sebesar R 5

20 akibat beban momen dibagi dengan, sedangkan adalah sebesar R akibat beban momen dibagi dengan, dan besarnya max adalah sebesar M C akibat beban momen dibagi dengan. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada penyelesaian dibawah ini. erdasarkan gambar..a. didapat momen sebagaimana digambarkan pada gambar..b, yang besarnya sebesar M C = q 8 Dari bidang momen yang didapat pada gambar..b dibalik dan dijadikan beban sebagaimana digambarkan pada gambar..c. Dari gambar..c didapat reaksi yang besarnya : R 8 R q q (besarnya sama dengan mn = W) Dengan demikian sudut kelengkunagannya dapat dihitung, yaitu sebesar : R q Dari gambar..c. didapat juga momen dititik C, yaitu sebesar : M C q q 5q esanya max dapat dihitung yaitu sebesar : M c C C 5q 8. Deformasi Deformasi (perubahan bentuk) balok disebabkan oleh beberapa faktor, diantaranya adalah : kibat beban luar yang bekerja (seperti beban merata, terpusat, segitiga, dan sebagainya), momen pada salah satu ujung balok, dan perpindahan (translasi) relatif ujung balok terhadap ujung balok yang lain.. Deformasi kibat eban Merata Deformasi yang terjadi pada struktur balok yang menahan beban merata sebagaimana digambarkan pada gambar., dapat dihitung dengan metode luas bidang momen sebagai beban.

21 M max = esarnya momen maksimum (di tengah bentang) akibat beban merata sebesar q. Dari hasil tersebut digambarkan bidang momennya berupa MD (ending 8 Moment Diagram), seperti gambar.b, kemudian MD tersebut dipergunakan sebagai beban, seperti gambar.c, sehingga didapat reaksi perletakan pada tumpuan dan, yaitu sebesar luas bidang momen tersebut dibagi dua : R uas bidang momen R = esarnya sudut di titik dan yaitu sebesar : R = q R = q. q. 8 q = dengan E adalah Modulus Elastis dan I adalah Momen Inersia. q (a) / M max MD (b) M max (c) Gambar.. alok sederhana yang menahan beban merata. Deformasi kibat Momen Pada Salah Satu Ujung alok Struktur balok yang menahan beban momen di ujung sebagaimana digambarkan pada gambar.5. didapat bidang momennya berupa MD. 7

22 M (a) M MD (b) Gambar.5. alok sederhana yang menahan beban momen di Ujung MD tersebut, dipergunakan sebagai beban sehingga didapat reaksi perletakan pada tumpuan dan, yaitu sebesar: R uas bidang momen =...M = R uas bidang momen =...M = esarnya sudut di titik dan yaitu sebesar : R = M R = M M. M. Jika beban momen terletak pada ujung sebagaimana tergambar pada gambar., maka besarnya sudut di titik dan yaitu sebesar : R = M R = M M (a) MD M (b) Gambar.. alok sederhana yang menahan beban momen di Ujung 8

23 . Deformasi kibat Perpindahan (Translasi). Jika suatu balok mengalami perpindahan ujung sebesar sebagaimana pada gambar.7, maka besarnya sudut di titik dan yaitu sebesar : Gambar.7. alok yang mengalami translasi terhadap ujung yang lain. Deformasi kibat eban Terpusat di Tengah entang Deformasi yang terjadi pada struktur balok yang menahan beban terpusat di tengah bentang digambarkan sebagaimana pada gambar.8, dapat dihitung dengan metode luas bidang momen sebagai beban. P (a) M max (b) MD Gambar.8. alok sederhana yang menahan beban merata esarnya momen maksimum (di tengah bentang) akibat beban merata sebesar M max = P. Dari hasil tersebut digambarkan bidang momennya berupa MD, kemudian MD tersebut dipergunakan sebagai beban sehingga didapar reaksi perletakan pada tumpuan dan, yaitu sebesar luas bidang momen tersebut dibagi dua : R ' ' uas bidang momen R =. P. esarnya sudut di titik dan yaitu sebesar : P = 9

24 R ' = q R ' = q 5. Deformasi kibat eban Segitiga Deformasi yang terjadi pada struktur balok yang menahan beban segitiga digambarkan sebagaimana pada gambar.9. Metode yang relatif lebih mudah adalah dengan metode integrasi ganda. q (a) q (b) R = / q x R = / q Gambar.9. alok sederhana yang menahan beban merata esarnya momen akibat beban segitiga sebesar M x = R.x qx.x.. x q.x = q.x.x.. x esarnya : = q.x q.x d y q.x. = M x = q. x 0

25 Intergrasi I : dy q.x. = q.x Integrasi II : q.x = q.x C q.x.y = q.x C q.x 0 5 = q.x C.x C erdasarkan persamaan tersebut : Jika x = 0 maka y = 0, sehingga didapat C = 0 5 q. Jika x = maka y = 0, sehingga didapat 0 = q. C. C 0 dy. = q.x q.x 7 0 C = q 7 q 0 Nilai x dihitung dari ke, sehingga terletak pada x = 0, pada titik tersebut y = 0. Sedangkan terletak pada x =, dan pada titik tersebut y = 0. Jika x dan y tersebut disubstitusi kedalam persamaan di atas maka nilai dan akan didapat. dy. = q. q. 7 0 q q.. = q. q 7q. = 0 7q. 0 = 5q 0 7q 0 = 8q 0

26 = 8 0 q dy. =. = q.0 q.0 q.0 q q q = 7 0 q Untuk kondisi balok dengan pembebanan yang lain, hasilnya dipaparkan pada Tabel.. Contoh.0

27

28 Contoh..

29 5

30

31 Tabel.. Rumus-rumus Deformasi Ujung alok kibat eban uar Gambar Pembebanan Struktur Deformasi Ujung Deformasi Ujung P P P / / P a b q P.a.( a ) P.b.( b ) q q q / / 9q 7q 8 8 M 0 M M q M M = 8 0 q = 7 0 q 7

32 C. Soal atihan Hitung dan Gambarkan SFD dan MD nya struktur tergambar dibawah ini. 8