MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR

7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks. A = a 11 a 12 a 21 a 22 Matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom disebut vektor.

Contoh 1. Sistem Linear Perhatikan sistem persamaan linear (sistem linear) berikut ini 4x 1 + 6x 2 + 9x 3 = 6 6x 1 2x 3 = 20 5x 1 8x 2 + x 3 = 10 Matriks koefisien A = 4 6 9 6 0 2 5 8 1

Contoh 1. Augmented matrix A = 4 6 9 6 0 2 5 8 1 6 20 10

Contoh 2. Penjualan Produk Penjualan tiga produk berbeda dalam satu minggu dapat ditulis dalam bentuk M T W Th F S A = 400 330 810 0 210 470 0 120 780 500 500 960 100 0 0 270 430 780 I II III

Notasi Umum Matriks dinotasikan dengan huruf besar tebal Entri umum dalam kurung siku A = a jk = a 11 a 1n a 1m a mn

Penjumlahan Matriks Syarat Matriks yang dijumlahkan mempunyai ukuran yang sama Aturan Penjumlahan a) A + B = B + A hukum komutatif b) (A + B) + C = A + (B + C) hukum asosiatif c) A + 0 = A d) A + (-A) = 0

Perkalian Matriks dengan Skalar a) c(a + B) = ca + cb b) (c + k)a = ca + ka c) c(ka) = (ck)a d) 1A = A

Nodal Incidence Matrix Aturan a jk = +1 jika arah sisi k keluar dari titik j 1 jika arah sisi k masuk ke titik j 0 jika sisi k tidak berhubungan dengan titik j

Mesh Incidence Matrix Aturan m jk = +1 jika sisi k dalam mesh j dan searah 1 jika sisi k dalam mesh j dan berlawanan arah 0 jika sisi k tidak berada pada mesh j

DEFINISI 7.2 Perkalian Matriks Perkalian Matriks dengan Matriks Perkalian matriks C = AB dari matriks A = a jk yang berukuran m n dengan matriks B = b jk yang berukuran r p terdefinisi jika dan hanya jika r = n dan matriks C = c jk berukuran m p dengan entrientri c jk = n l=1 a jl b lk = a j1 b 1k + + a jn b nk j = 1,, m k = 1,, p

Aturan Perkalian a) ka B = k AB = AkB b) A BC = AB C hukum asosiatif c) A + B C = AC + BC hukum distributif d) C A + B = CA + CB hukum distributif

Transposisi DEFINISI Transposisi Matriks Transposisi dari matriks A = a jk yang berukuran m n adalah matriks A T = a kj dengan baris pertama menjadi kolom pertama, baris kedua menjadi kolom kedua, dan seterusnya.

Aturan Transposisi a) A T T = A b) A + B T = A T + B T c) ca T = ca T d) AB T = B T A T

Matriks Khusus Matriks Simetris Matriks persegi yang transposenya sama dengan matriks itu sendiri Matriks Skew Simetris Matriks persegi yang transposenya sama dengan minus matriks itu sendiri Matriks Triangular Matriks Triangular Atas Matriks persegi mempunyai entri-entri taknol pada diagonal utama dan atas diagonal utama Matriks Triangular Bawah Matriks persegi mempunyai entri-entri taknol pada diagonal utama dan bawah diagonal utama

Matriks Khusus Matriks Diagonal Matriks dengan entri-entri taknol hanya pada diagonal utama Matriks Skalar Matriks diagonal dengan nilai entri-entri diagonalnya sama Matriks Indentitas Matriks skalar dengan entri-entri taknol sama dengan 1.

Contoh 11 Supercomp Ltd memproduksi dua model komputer yaitu PC1086 dan PC1186. Matriks A menunjukkan harga per komputer (dalam ribuan dolar) dan B menunjukkan produksi tahun 2005 (dalam perkalian 10000 unit). Tentukan matriks C yang menunjukkan pada pemegang saham harga per kuarter (dalam juta dolar) untuk bahan baku, pegawai, dan biaya lainlain.

7.3 Sistem Persamaan Linear Eleminasi Gauss Sistem linear m persamaan dalam n variabel a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + + a mn x n = b m Sistem homogen Sistem nonhomogen

Sistem Linear Overdetermined Lebih banyak persamaan daripada variabel yang tidak diketahui Determined Jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui Underdetermined Jumlah persamaan lebih sedikit daripada jumlah variabel yang tidak diketahui Consistent Mempunyai setidaknya satu solusi Inconsistent Tidak mempunyai solusi

Matriks Matriks koefisien A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Matriks kolom x = x 1... x n dan b = b 1... b m

Matriks yang Diperluas A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b 1.. b m

Operasi Dasar Matriks Menukar dua baris Menambahkan hasil perkalian satu baris dengan sebuah konstanta ke baris yang lain Mengalikan satu baris dengan konstanta yang taknol

Electrical Network Node P i 1 i 2 + i 3 = 0 Node Q i 1 + i 2 i 3 = 0 Right loop 10i 2 + 25i 3 = 90 Left loop 20i 1 + 10i 2 = 80

7.4 Bebas Linear. Rank Matriks. Ruang Vektor DEFINISI Rank Matriks Rank dari matriks A adalah jumlah maksimum dari vektor baris yang bebas linear dari matriks A. Dinotasikan dengan rank A.

Teorema Teorema 1 Dua matriks dikatakan ekivalen baris jika mempunyai rank yang sama. Teorema 2 Matriks A dan A T mempunyai rank yang sama

7.5 Solusi Sistem Linear Teorema 1 Pandang sistem linear m persamaan dalam n variabel a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + + a mn x n = b m (a) (b) (c) (d) Eksistensi Tunggal Banyak solusi Eliminasi Gauss

(a) Eksistensi. Sistem persamaan konsisten jika dan hanya jika matriks koefisien dan matriks yang diperluas mempunyai rank yang sama. (b) Tunggal. Sistem persamaan mempunyai solusi tunggal jika rank A sama dengan n. (c) Banyak solusi. Sistem persamaan mempunyai banyak solusi jika rank A < n. (d) Eliminasi Gauss. Jika solusi sistem persamaan ada, maka solusi dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi Gauss.

7.6 Determinan Determinan orde dua D = det A = a 11 a 21 a 12 a 22 (1) Aturan Cramer Solusi sistem persamaan dua persamaan dengan dua variabel a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 adalah b 1 a 12 b x 1 = 2 a 22 D a 11 b 1 a x 2 = 21 b 2 D dengan D 0

7.8 Invers Matriks DEFINISI Eleminasi Gauss-Jordan Invers Matriks Invers dari matriks A nxn adalah dinotasikan dengan A -1 adalah matriks berukuran n x n sedemikian sehingga AA -1 = A -1 A = I dimana I adalah matriks identitas yang berukuran n x n. Jika matriks A mempunyai invers, maka A disebut matriks nonsingular. Jika matriks A tidak mempunyai invers, maka A disebut matriks singular. Jika matriks A mempunyai invers, maka inversnya tunggal.

Teorema 1 Eksistensi Invers Invers matriks A yang berukuran nxn ada jika dan hanya jika rank A = n. A nonsingular jika rank A= n. A singular jika rank A < n.

Contoh 1. Invers Matriks dengan Eleminasi Gaus-Jordan Tentukan invers dari matriks Solusi. A I = A = 1 1 2 3 1 1 1 3 4 1 1 2 3 1 1 1 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I A 1 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1???

Eleminasi Gauss 1 1 2 3 1 1 1 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 R2 + 3 R1 R3 R1 1 1 2 0 2 7 0 2 2 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 1 2 0 2 7 0 2 2 1 0 0 3 1 0 1 0 1 R3 R2 1 1 2 0 2 7 0 0 5 1 0 0 3 1 0 4 1 1 Langkah Gauss-Jordan 1 1 2 0 2 7 0 0 5 1 0 0 3 1 0 4 1 1 R1 0.5 R2 0.2 R3 1 1 2 0 1 3.5 0 0 1 1 0 0 1.5 0.5 0 0.8 0.2 0.2 1 1 2 0 1 3.5 0 0 1 1 0 0 1.5 0.5 0 0.8 0.2 0.2 R1 + 2 R3 R2 3.5 R3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0.6 0.4 0.4 1.3 0.2 0.7 0.8 0.2 0.2

Teorema 2. Invers Matriks Invers matriks nonsingular A berukuran n x n adalah A 1 = 1 det A C T jk Teorema 3. Hukum Kanselasi Misalkan A, B, dan C matriks-matriks berukuran n x n. Maka a) Jika rank A = n dan AB = AC, maka B = C. b) Jika rank A = n, jika AB = 0 maka B = 0. Jika AB = 0, tetapi A 0 dan B 0, maka rank A < n dan rank B < n. c) Jika A singular, maka BA dan AB juga singular.

Kuis 19 Oktober 2012 Materi 1. Nodal 2. Mesh 3. Aplikasi 4. Determinan 5. Aturan Cramer 6. Eliminasi Gauss 7. Invers (Adjoin, Eliminasi Gauss-Jordan) Blog: indahyanti.lecture.ub.ac.id

Teorema 4. Determinan Perkalian Matriks Untuk sebarang matriks n x n A dan B, det (AB) = det (BA) = det A det B