Aljabar Linier & Matriks 1
Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya sama dengan nol. Vektor u dan v disebut saling tegak lurus jika: u = o atau v = 0 u = v = o u.v = 0 Notasi utk u tegak lurus dgn v u v 2
Sifat-Sifat Perkalian Titik Jika u, v, dan w adl vektor dlm ruang 2D dan 3D dan k adalah bilangan skalar tertentu, maka: u.v = v.u u.(v + w) = u.v + u.w k(u.v) = (ku).v = u.(kv) v.v > 0 jika v 0 dan v.v = 0 jika v = 0 3
Proyeksi Orthogonal Dlm berbagai aplikasi, seringkali dibutuhkan utk menguraikan satu vektor menjadi jumlahan dua vektor. vektor u akan diurai w 1 proyeksi u sejajar sumbu a (proj a u) w 2 komponen u yg orthogonal thdp a w 2 = u proj a u Dengan dmk dpt dinyatakan : u = w 1 + w 2 4
Jika u dan a adl vektor dlm 2D atau 3D dan a 0 maka proyeksi vektor u sepanjang vektor a ditentukan oleh: dan komponen u yang ortogonal terhadap vektor a ditentukan oleh: 5
Example Misalkan u = (2, -1, 3) dan a = (4, -1, 2). Temukan komponen vektor u sejajar a dan komponen vektor u yg orthogonal terhadap a. Penyelesian: maka proyeksi vektor u sejajar a adalah: proj a u = 6
Dan komponen vektor u yg orthogonal thd a adalah: u proj a u = Untuk menentukan panjang komponen vektor u sejajar a dpt diigunakan formula sbb: proj a u atau dinyatakan projau u.a a 7
Jika mrpk sudut yg dibentuk oleh u dan a maka u.a = u a cos Shg panjang komponen u sejajar a dpt dinyatakan kembali sbg: proj a u = u cos 8
Jarak Titik ke Garis Akan ditemukan jarak D antara titik Po(xo, yo) ke garis ax+by+c = 0 Misalkan titik Q(x1, y1) Vektor n = (a, b) dgn titik asal berimpit dgn titik Q Maka jarak titik P 0 ke garis ax+by+c=0 atau D adl proyeksi vektor QP 0 sejajar n sehingga D = 9
Sehingga Oleh karena titik Q(x1, y1) terletak pd garis ax + by + c = 0, maka koordinatnya pasti juga memenuhi pers garis tsb, sehingga: ax1 + by1 + c = 0 atau c = ax1 by1 Dan persamaan utk menentukan jarak D menjadi: 10
Example Temukan jarak antara titik (1, -2) dengan garis 3x + 4y 6 = 0. Contoh aplikasi: Menemukan garis pemisah antara 2 kelompok data dihitung dari jarak titik terluar masing-masing kelompok. 11
Perkalian Silang (Cross Product) Perkalian silang menghasilkan besaran vektor Hanya diaplikasikan untuk vektor 3D Definisi: Jika u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3) adalah vektor dalam ruang 3D maka perkalian silang u x v merupakan besaran vektor yang didefinisikan sebagai: u x v = [(u2.v3 u3.v2), (u3.v1 u1.v3), (u1.v2 u2.v1)] atau dalam notasi determinan dinyatakan sebagai: 12
Example Temukan u x v jika u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Penyelesaian: Buatlah matriks sbb dari vektor u dan v Lalu gunakan definisi u x v, yaitu: 13 1 0 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 v v v u u u
Teorema Perkalian Silang Jika u, v, dan w merupakan vektor dalam ruang 3D maka: u.(u x v) = 0 u x v orthogonal terhadap u v.(u x v) = 0 u x v orthogonal terhadap v u x v 2 = u 2 v 2 (u.v) 2 identitas Lagrange u x(v x w) = (u.w)v (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v (v.w)u 14
Example Buktikan bahwa u dan v saling tegak lurus terhadap u x v jika u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1). Penyelesaian: Temukan u x v Gunakan teorema pertama Gunakan teorema kedua 15
Sifat-sifat Perkalian Silang Jika u, v, dan w adalah vektor 3D sebarang dan k adalah skalar maka: u x v = -(v x u) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) u x (v + w) = (u x v) + (u x w) k (u x v) = (ku) x v = u x (kv) u x 0 = 0 x u = 0 u x u = 0 16
Vektor Satuan Standard Misalkan vektor-vektor i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) Vektor-vektor di atas mempunyai panjang 1 satuan dan berimpit masing-masing pada sumbu koordinat disebut vektor satuan standard dalam ruang 3D. 17
Untuk setiap vektor v = (v1, v2, v3) dalam ruang 3D maka dapat dinyatakan sebagai: v = (v1, v2, v3) = v1 (1, 0, 0) + v2 (0, 1, 0) + v3 (0, 0, 1) = v1 i + v2 j + v3 k Misalnya: v = (2, -3, 4) = 2i -3j + 4k dan evaluasilah bahwa: 18
Perkalian silang antar vektor satuan standard: shortcut: - perkalian silang antara 2 vektor yang berturutan dan searah jarum jam, maka hasilnya adalah vektor yang berikutnya - perkalian silang antara 2 vektor yang berturutan dan berlawanan dengan arah jarum jam, maka hasilnya adalah negatif vektor yang berikutnya 19
Bentuk Determinan Perkalian Silang Perkalian silang dapat dinyatakan dalam bentuk determinan sbb: Misalkan jika u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) maka 20
Interpretasi Geometris Perkalian Silang Jika u dan v adalah vektor dalam ruang 3D maka interpretasi geometrisnya dapat dicari kembali menggunakan identitas Lagrange sbb: maka: Teorema: Jika u dan v adl vektor dlm ruang 3D maka uxv sama dengan luas area paralelogram yg sisinya u dan v 21
paralelogram Example: Tentukan luas area segitiga yg dibentuk oleh titik P1(2,2,0), P2(-1,0,2), dan P3(0,4,3). 22
Scalar Triple Product Jika u, v, dan w adalah vektor dalam ruang 3D maka u.(v x w) disebut sebagai scalar triple product dari u, v, dan w. karena 23
Example (Homework) Hitunglah scalar triple product u.(v x w) jika u = 3i 2j 5k; v = i + 4j 4k; dan w = 3j + 2k Penyelesaian: Temukan menggunakan ekspansi kofaktor dan operasi antar baris. 24