Jurusan Matematika 1 Nopember 2011
1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang
Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya disebut vektor dan dinotasikan dengan AB atau CD yang menunjukkan ruas garis tersebut mempunyai panjang dan arah. Dapat pula dinotasikan sebagai huruf kecil tebal.
Definisi Vektor Dua buah vektor v dan w adalah sama (v = w) jika mempunyai panjang dan arah sama. Vektor yang mempunyai besar sama dengan vektor v tetapi arahnya berlawanan dinyatakan dengan v. Apabila panjang suatu vektor nol maka disebut vektor nol dan dinotasikan dengan 0.
Penjumlahan Vektor Definisi Jika a dan b adalah dua vektor sembarang, untuk menghitung penjumlahan a + b: tempatkan ekor ruas garis yang meyatakan b pada ujung ruas garis yang menyatakan a. Vektor a + b dinyatakan oleh panah dengan ekor a dan ujung b (parallelogram rule).
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v.
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v. 2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u, v dan w.
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v. 2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u, v dan w. 3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v.
Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor Sifat-sifat dasar dari penjumlahan vektor sebagai berikut: 1 u + v = v + u untuk sembarang vektor u dan v. 2 u + (v + w) = (u + v) + w untuk sembarang vektor u, v dan w. 3 v + 0 = v untuk sembarang vektor v. 4 v + ( v) = 0 untuk sembarang vektor v.
Perkalian skalar dengan vektor Definisi Diberikan sembarang vektor v dan sembarang bilangan a, perkalian skalar dari v oleh a adalah vektor av dengan besar dan arah sebagai berikut: 1 Besar dari av adalah av = a v. 2 Arah dari av adalah sama dengan v jika a > 0 dan v 0 tidak dapat ditentukan jika a = 0 atau v = 0 berlawanan arah dengan v jika a < 0 dan v 0
Sifat-sifat Perkalian skalar dengan vektor Sifat-sifat dari perkalian vektor dengan skalar sebagai berikut: 1 av = a v untuk sembarang skalar a dan vektor v. 2 1v = v untuk sembarang vektor v. 3 ( 1)v = v untuk sembarang vektor v. 4 0v = 0 untuk sembarang vektor v. 5 a0 = 0 untuk sembarang skalar a. Suatu vektor disebut vektor satuan jika besar atau panjangnya 1. Jika v 0, maka 1 v v adalah vektor satuan dengan arah sama dengan arah v.
Koordinat Siku-siku Pada koordinat siku-siku pada ruang terdapat tiga garis saling tegak lurus sebagai sumbu utama yang disebut sumbu X, sumbu Y dan sumbu Z yang ketiganya bertemu disatu titik dan disebut titik asal. Ketiga sumbu merupakan garis bilangan real dengan 0 pada titik asal. Sedangkan bidang yang didapat dari sumbu X dan Y disebut bidang X Y, begitu pula untuk dua bidang yang lain. Masing-masing titip P dinyatakan dengan tunggal tiga bilangan (x, y, z) yang disebut koordinat. Sehingga titik P ditulis sebagai P(x, y, z).
Vektor Posisi Definisi Diberikan titik P(x, y, z), vektor posisi dari P didefinisikan sebagai p = OP dari titik asal ke P, dan dinotasikan dengan p = (x, y, z) dan bilangan x, y dan z disebut komponen X, Y dan Z dari p. Jika P = P(x, y) dalam bidang X Y, vektor posisi dinotasikan dengan p = (x, y).
Misalkan u = (x, y, z) dan u 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1 u = u 1 jika hanya jika x = x 1, y = y 1 dan z = z 1.
Misalkan u = (x, y, z) dan u 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1 u = u 1 jika hanya jika x = x 1, y = y 1 dan z = z 1. 2 u + u 1 = (x + x 1, y + y 1, z + z 1 ).
Misalkan u = (x, y, z) dan u 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1 u = u 1 jika hanya jika x = x 1, y = y 1 dan z = z 1. 2 u + u 1 = (x + x 1, y + y 1, z + z 1 ). 3 au = (ax, ay, az) untuk sembarang skalar a.
Misalkan u = (x, y, z) dan u 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dua vektro dalam bentuk komponen, maka: 1 u = u 1 jika hanya jika x = x 1, y = y 1 dan z = z 1. 2 u + u 1 = (x + x 1, y + y 1, z + z 1 ). 3 au = (ax, ay, az) untuk sembarang skalar a. 4 u u 1 = (x x 1, y y 1, z z 1
Diberikan titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ), vektor dari P 1 ke P 2 adalah P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 )
Norma Vektor dan Rumus Jarak Panjang vektor sering disebut juga norma vektor Misalkan v = (x, y, z) adalah sebuah vektor. Maka v = x 2 + y 2 + z 2 (Rumus Jarak) Jarak d anatar titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) diberikan oleh (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + ( u) = 0.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + ( u) = 0. 1u = u.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + ( u) = 0. 1u = u. a(bu) = (ab)u.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + ( u) = 0. 1u = u. a(bu) = (ab)u. (a + b)u = au + bu.
Dari sifat-sifat penjumlahan dan perkalian skalar vektor yang kita kenal diatas, ada delapan sifat dasar seperti yang disebut dalam teorema berikut: Untuk sembarang vektor-vektor u, v, w dan skalar a, b, penjumlahan vektor dan perkalian skalar memenuhi sifat-sifat berikut: u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. u + 0 = u. u + ( u) = 0. 1u = u. a(bu) = (ab)u. (a + b)u = au + bu. a(u + v) = au + av.
Hasil kali titik Definisi Hasil kali dalam u v dari dua vektor u dan v didefinisikan sebagai berikut: { u v cos θ jika u 0 dan v 0 u v = 0 jika u = 0 atau v = 0 Dari definisi diatas, u v adalah bilangan sehingga seringkali disebut perkalian skalar u dan v.
Hasil kali titik Misalkan v 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan v 2 = (x 2, y 2, z 2 ) dua vektor dalam bentuk komponen. Maka perkalian titiknya dihitung sebagai berikut: v 1 v 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 Misalkan u, v dan w sembarang vektor. 1 u v adalah bilangan real 2 u v = v u 3 u 0 = 0 = 0 u 4 u u = u 2 5 (ku) v = k(u v) = u (kv) untuk sembarang skalar k 6 u (v ± w) = u v ± u w
Orthogonal Definisi Dua vektor u dan v disebut orthogonal jika u = 0 atau v = 0 atau sudut dua vektor tersebut adalah π 2 Dua vektor tak nol u dan v orthogonal jika dan hanya jika u v = 0
Proyeksi Orthogonal Diberikan vektor taknol d dan suatu vektor u yang dituliskan sebagai penjumlahan dua buah vektor, u = u 1 + u 2 dengan u 1 sejajar d dan u 2 = u u 1 orthogonal pada d. Anggap bahwa u dan d 0 dimulai dari titik awal Q, P ujung u, dan P 1. Maka u 1 = QP 1 mempunyai sifat: 1 u 1 sejajar pada d 2 u 2 = u u 1 orthogonal pada d 3 u = u 1 + u 2 Definisi Vektor u 1 = QP 1 disebut proyeksi u atas d dan dinotasikan u 1 = proj d u
Proyeksi Orthogonal Misalkan u dan d 0 adalah vektor. 1 Proyeksi u 1 dari u atas d diberikan oleh proj d u = u d d 2 d. 2 Vektor u proj d u adalah orthogonal ke d.
Definisi Hasil Kali Silang Definisi Diberikan vektor v 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan v 2 = (x 2, y 2, z 2 ), hasil kali silang v 1 v 2 didefinisikan sebagai v 1 v 2 = ((y 1 z 2 z 1 y 2 ), (x 1 z 2 z 1 x 2 ), (x 1 y 2 y 1 x 2 )) atau dalam notasi determinan ( x v 1 v 2 = 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 )
Hasil kali silang Jika u, v dan w adalah vektor sembarang. 1 u v adalah vektor 2 u v orthogonal pada u dan v 3 u 0 = 0 = 0 u 4 u u = 0 5 u v = (v u) 6 (ku) v = k(u v) = u (kv) untuk semabarang skalar k 7 u (v + w) = (u v) + (u w) 8 (v + w) u = (v u) + (w u)
Hasil Kali Silang Jika u dan v dua vektor, maka u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 Jika u dan v dua vektor dan θ sudut antara u dan v, maka 1 u v = u v sin θ = luas jajargenjang yang dibangun u dan v. 2 u dan v sejajar jika dan hanya jika u v = 0