Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. y 3 x 9 3. Hubungan dua buah garis Letak dua buah garis y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 dalam satu bidang ada 3 kemungkinan : a. Sejajar jika m 1 = m 2 dan c 1 c 2 b. Berimpit jika m 1 = m 2 dan c 1 = c 2 c. Berpotongan jika m 1 m 2 d. Berpotongan tegak lurus ( ) jika m 1 m 2 dengan m 1.m 2 = 1 Pada gambar di samping, manakah garisgaris yang sejajar, berimpit, berpotongan, dan berpotongan tegak lurus? Contoh : 1. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan x + 2y 5 = 0 dan y = ½ x + 2 Persamaan garis x + 2y 5 = 0 2y = x + 5 y = ½ x + 2½ m 1 = ½ Persamaan garis y = ½ x + 2 m 2 = ½ Karena m 1 = m 2 maka kedua garis sejajar
2. Selidiki hubungan dua buah garis dengan persamaan 3x + 5y 4 = 0 dan 5x 3y + 2 = 0 Persamaan garis 3x + 5y 4 = 0 5y = 3x + 4 y = 3 x + 4 5 5 Persamaan garis 5x 3y + 2 = 0 3y = 5x + 2 y = 5 x + 2 3 3 m 1 m 2 dan m 1 x m 2 = 3 x 5 = 1 5 3 Jadi kedua garis berpotongan tegak lurus m 1 = 3 5 m 2 = 5 3 Latihan : 1. Selidiki hubungan pasangan garis-garis dengan persamaan berikut : a) y = 3x + 7 dan y = x + 4 b) 3x + 6y 1 = 0 dan x + 2y + 10 = 0 c) 4x 2y = 8 dan y = 2x 4 d) 5x 2y + 3 = 0 dan 2x 5y + 3 = 0 e) x 3y = 6 dan 6x + 2y 5 = 0 2. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, 3) dan sejajar dengan garis dengan persamaan 2x 3y + 1 = 0 3. Tentukan persamaan garis melalui titik (2, 3) dan tegak lurus dengan garis dengan persamaan 2x 3y + 1 = 0 4. Sistem Persamaan Linier Sistem persamaan linier terdiri dari beberapa persamaan linier. Contoh : dan Dua buah persamaan linier diatas membentuk sebuah sistem yaitu Sistem Persamaan Linier (SPL). Sistem Persamaan Linier di atas juga dapat dituliskan dengan cara lain yaitu : Menyelesaikan suatu SPL berarti menentukan nilai variabel-variabelnya (pada contoh di atas adalah variabel x dan y) sehingga memenuhi kedua persamaan. Atau dengan kata lain mencari nilai variabel-variabelnya sehingga kedua persamaan bernilai benar. Secara grafis, menyelesaikan sistem persamaan linier berarti menentukan titik potong kedua garis.
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linier, diantaranya : a. Substitusi Langkah ini dilakukan dengan menyelesaikan salah satu variabel dari satu persamaan kemudian disubstitusikan ke persamaan yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara substitusi Pada persamaan kedua yaitu, kita peroleh x = 23 4y Nilai x ini kita substitusikan ke persamaan pertama sehingga kita peroleh : 2(23 4y) + 3y = 21 46 8y + 3y = 21 5y = 21 46 5y = 25 y = 5 Nilai y ini kita substitusikan ke salah satu persamaan semula akan diperoleh : atau 2x + 3(5) = 21 x + 4(5) = 23 2x + 15 = 21 x + 20 = 23 2x = 6 x = 3 x = 3 Pilih salah satu persamaan saja Jadi penyelesaian dari SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5 b. Eliminasi Cara ini dilakukan dengan cara menghilangkan(mengeliminasi) sementara salah satu variabel sehingga dapat ditentukan nilai variabel yang lain. Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara eliminasi Misal kita eliminasi variabel x, maka kita kalikan masing-masing persamaan dengan suatu bilangan (yang berbeda) sehingga koefisien variabel x sama. x 1 x 2 2x + 8y = 46 5y = 25 y = 5 Agar variabel x hilang, kita kurangkan kedua persamaan (kadang kita lakukan penjumlahan tergantung bentuk persamaan) Substitusikan ke salah satu persamaan seperti cara sebelumnya dan diperoleh nilai x = 3. Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5.
c. Determinan Jika suatu SPL terdiri dari n persamaan dengan n variabel, maka dengan kedua cara di atas, pekerjaan akan menjadi lebih komplek. Untuk itu ada cara menyelesaikan SPL yaitu dengan determinan. Di bawah ini akan dijabarkan cara penyelesaian SPL untuk dua variabel. Apa Itu Determinan? Untuk matriks A = a c b maka determinan dari A yaitu A = ad bc d a b c Untuk matriks A = d e f maka : g h i a b c a b d e f d e (tambahkan dua kolom pertama) g h i g h A = (aei + bfg + cdh) (ceg + afh + bdi) Cobalah mencari nilai determinan-determinan berikut : 1) A = 3 5 1 2 3 2 4 3) C = 4 5 6 7 8 9 2) B = 2 6 3 2 0 3 4 4) D = 1 1 4 2 5 0 Bagaimana penyelesaian SPL dengan Determinan? ax + by = c Suatu SPL dapat diubah menjadi bentuk matriks menjadi : px + qy = r a b p q x y = c disingkat menjadi D.vv = ss r Jika D = a b maka cari nilai D p q Jika D x = c b r q maka cari nilai D x Ganti kolom pertama matriks D dengan ss Jika D y = a c p r maka tentukan nilai D y Ganti kolom kedua matriks D dengan ss Nilai x = DD xx dan nilai y = DD yy
Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara determinan D = 2 3 sehingga D = 2(4) 3(1) = 8 3 = 5 1 4 D x = 21 3 23 4 sehingga D x = 21(4) 3(23) = 84 69 = 15 D y = 2 21 1 23 sehingga D y = 2(23) 21(1) = 46 21 = 25 nilai x = DD xx nilai y = DD yy = 15 5 = 3 = 25 5 = 5 Jadi penyelesaian SPL di atas adalah x = 3 dan y = 5 Catatan : aaaa + bbbb + cccc = kk SPL berbentuk dddd + eeee + ffff = ll diubah menjadi matriks Dvv = ss gggg + hyy + iiii = mm aa bb cc xx kk yaitu dd ee ff yy = ll gg h ii yy mm Langkah selanjutnya : Tentukan D Tentukan D x (ganti kolom pertama matriks D dengan ss ) Tentukan D y (ganti kolom kedua matriks D dengan ss ) Tentukan D z (ganti kolom ketiga matriks D dengan ss ) Nilai x = DD xx nilai y = DD yy dan nilai z = DD yy
Latihan : 1. Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut : a. ( 1, 4) dan (1, 0) c. (0,0) dan (1, 5) b. ( 1, 2) dan ( 5, 2) d. (1, 4) dan (2, 3) 2. Bentuklah persamaan linier yang garisnya : a. Melalui ( 1, 3) dengan lereng sebesar 2 b. Melalui (0, 4) dengan scope sebesar 3 c. Melalui (2, 5) dengan kemiringan sebesar ½ d. Melalui (3, 1) dengan koefisien arah sebesar 0 3. Diketahui f(x) = 8 2x. Hitunglah : a. f( 1) c. f(2) e. f(5) b. f(0) d. f(4) 4. Tentukan scope dan penggal garis (pada sumbu y) dari persamaan-persamaan : a. y = x c. 3x y 7 = 0 b. y = 3 4x d. 2x + 8y 3 = 0 5. Tentukan titik potong dari pasangan garis-garis berikut : a. y = 2 + 4x dan y = 2x + 2 c. y = 8 dan y = 2x 10 b. y = 4x 2 dan y = 6 d. 2x + y 10 = 0 dan 2x y + 2 = 0 6. Selesaikan determinan-determinan berikut : 7 3 2 1 12 3 1 2 3 a. 4 8 5 b. 10 7 6 c. 4 5 6 6 4 9 5 4 3 7 8 9 7. Diketahui sistem persamaan 8x = 4 + 4y 2x + 3y 21 = 0 Selesaikan SPL di atas dengan cara determinan 8. Carilah nilai-nilai a, b, dan c dengan cara determinan jika : a + b + c = 3 5a 9b 2c = 8 3a + 5b 3c = 45