BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh hubungan P AP D maka dikatakan bahwa matriks A dapat didiagonalisasi. Bagaimana memperoleh matriks P dan D ang dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian ini. TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat menentukan suatu matriks ang dapat didiagonalisasi. Definisi : Suatu matriks A berorde nn disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P non singular dan matriks diagonal D sedemikian sehingga PDP D Matriks P dikatakan mendiagonalisir matriks A. Teorema : Suatu matriks A berorde nn, dapat didiagonalisasi jika dan hana jika A mempunai n vektor eigen ang bebas linear. Bukti : Misalkan matriks A mempunai n vektor eigen bebas linear p p, p, K n dan i λ adalah nilai eigen dari A ang bersesuaian dengan p i untuk setiap i (beberapa dari λ i boleh sama). Misalkan P adalah matriks di mana vektor kolom ke-j adalah p j untuk j,, K.n, terlihat bahwa Ap j λ j p j adalah vektor kolom ke-j dari AP, maka
AP ( Ap, Ap, K, Apn ) ( λ p, λ p, K, λ n pn ) λ ( p, p, K, p n ) λ O λ n PD Karena P mempunai n vektor kolom ang bebas linear, maka P adalah taksingular, karena itu : D P PD P Sebalikna, misalkan A dapat didiagonalisasi. Selanjutna terdapat suatu matriks AP taksingular P sehingga AP PD, jika p, p K, pn adalah vektor kolom dari P, maka : Ap j λ, λ d ) untuk setiap j. j p j ( j jj Jadi untuk setiap j, λ j adalah nilai eigen dari A dan p j adalah vektor eigen ang dimiliki λ j. Karena vektor kolom P bebas linear, maka A mempunai n vektor eigen ang bebas linear. Dari bukti di atas, maka kita mendapatkan prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks A berorde nn, sebagai berikut : Langkah : Carilah n vektor eigen ang bebas linear dari A, p,, p K pn. Langkah : Bentuklah matriks P ang mempunai p,, p K pn sebagai vektor kolomna
Langkah : Maka matriks Contoh : P AP akan didiagonal dengan λ, λ, Kλ n sebagai entri- entri diagonalna ang berturutan, di mana λ i adalah nilai eigen ang bersesuaian dengan, i,, K, n. Carilah sebuah matriks P ang mendiagonalkan matriks p i A Penelesaian : Matriks A ini mempunai nilai-nilai eigen, λ dan λ. Untuk λ diperoleh vektor-vektor karakteristik p dan p Untuk λ diperoleh vektor karakteristik p Mudah untuk memeriksa bahwa {, p p } matriks p bebas linear, sehingga dapat dibentuk, P ang mendiagonalkan matriks A. Hal ini dapat ditunjukkan dengan membuktikan bahwa P AP D, aitu :
AP P Terlihat bahwa entri-entri pada diagonal pokok adalah nilai-nilai eigen dari matriks A. Jadi dapat dikatakan bahwa matriks P mendiagonalkan matriks A Catatan : Tidak ada persaratan ang khusus untuk meletakkan orde kolom-kolom dari matriks P Karena entri diagonal ke i dari AP P adalah nilai eigen untuk vektor eigen kolom ke i dari P, maka dengan mengubah orde kolom-kolom dari P hanalah mengubah orde dari nilai-nilai eigen pada diagonal dari AP P. Jadi seandaina kita menuliskan :. P Maka diperoleh : AP P
.. Dekomposisi Matriks. Sub pokok bahasan ini membahas tentang matriks [A] dari SPL didekomposisi (difaktorisasi) menjadi matriks-matriks segitiga bawah [L] dan segitiga atas [U] sedemikian rupa sehingga persamaanna menjadi : [A] [L][U] atau A L U. Bagaimana mendapatkan matriks L dan U ang dimaksud akan dibahas lebih lanjut. TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat mencari penelesaian SPL dengan cara dekomposisi LU.... Prinsip Dekomposisi LU. Secara umum, jika suatu matriks A berorde nn dapat direduksi menjadi matriks segi tiga atas U tanpa pertukaran baris, berarti A dapat dikomposisi (difaktorisasi) ke dalamhasil kali LU, dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen-elemen pada diagonal utama. Entri (i, j) dari L di bawah diagonal akan merupakan kelipatan dari baris i ang telah dikurangkan dari baris j selama proses eliminasi, sedemikian sehingga identitasna menjadi : [A] [L][U] atau A L U Contoh : Misalakan matriks A Matriks L ditentukan sebagai berikut :
Langkah pertama dalam proses eliminasi adalah baris kedua dikurangi dengan kali baris pertama dan baris ketiga dikurangi dengan kali baris pertama, sehingga kita tetapkan l dan l. Selanjutna menghasilkan matriks : () A Langkah kedua proses eliminasi adalah baris ketiga dikurangi dengan kali baris kedua, sehingga kita tetapkan atas, l. Sesudah langkah kedua ini diperoleh matriks segi tiga U () A Matriks L dapat ditulis sebagai : L Dapat kita uji bahwa hasil kali LU A Jika ditinjau dari sudut pandang matriks elementer, terlihat bahwa operasi baris baris diterapkan sebanjak tiga kali. Hal ini setara dengan perkalian matriks A di sebelah kiri dengan tiga buah matriks elementer E, E, E aitu E EE A U
Karena matriks-matriks elementerna tak singular, maka U E E E A ) ( dimana invers dari matriks-matriks elementer dengan urutan ini menghasilkan suatu matriks segi tiga bawah L dengan elemen pada diagonal utama adalah satu. L E E E... Penelesaian SPL dengan Dekomposisi LU Diberikan sistem persamaan linear b A dengan nn A adalah matriks invertible. Untuk menelesaikan SPL ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut : Langkah : Lakukan faktorisasi LU A dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen diagonal utama satu dan U adalah matriks segi tiga atas. Langkah : Ambil vektor kolom ang belum diketahui sedemikian sehingga U. Langkah : Substitusikan LU A dan U ke dalam sistem persamaan linear b A, diperoleh b L U L LU ) ( ) (. Langkah : Menelesaikan b L, maka akan diperoleh nilai dari vektor kolom. Selanjutna dengan menelesaika U, maka akan diperoleh nilai-nilai dari.
Contoh : Selesaikan SPL berikut dengan cara dekomposisi matriks. z z z Penelesaian : SPL di atas mempunai matriks koeffisien A Kemudian matriks A difaktorisasi menjadi L dan U, menghasilkan : L dan U Jika diambil, maka b L atau, diperoleh
Jadi Sehingga, U, diperoleh : Jadi himpunan penelesaianna adalah tunggal, aitu : ( ) ( ),,,,