Logika Predikat (Kalkulus Predikat)

Logika Predikat (Kalkulus Predikat) Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016 M. Arzaki Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 1 / 46

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: Buku: 1 Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2, 2004, oleh M. Huth dan M. Ryan (acuan utama). 2 Mathematical Logic for Computer Science, Edisi 2, 2000, oleh M. Ben-Ari. 3 The Essence of Logic, 1997, oleh J. Kelly. 4 Discrete Mathematics and Its Applications, Edisi 7, 2012, oleh K. H. Rosen. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 2 / 46

Slide kuliah: 1 Slide kuliah Metode Formal dan Topik dalam Logika Komputasional di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja. 2 Slide kuliah Metode Formal di University of Bozen-Bolzano oleh Enrico Franconi. 3 Slide kuliah Metode Formal dari Verified Software Systems. 4 Slide kuliah Computational Logic di TU Dresden. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 3 / 46

Bahasan 1 Sintaks Logika Predikat 2 Semantik Logika Predikat 3 Bentuk Normal Prenex (Prenex Normal Form, PNF) 4 Ketakterputusan (Undecidability) dari Logika Predikat 5 Batas Keekspresifan (Expressiveness) dari Logika Predikat MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 4 / 46

Term pada Logika Predikat Formula logika predikat dibangun dari term yang didefinisikan sebagai berikut. Term 1 Setiap variabel adalah term. Variabel biasanya ditulis dengan huruf u, v, w, x, y, z, u 1, u 2,..., v 1, v 2,..., w 1, w 2,..., x 1, x 2,..., y 1, y 2,..., z 1, z 2,.... 2 Setiap konstanta pada domain (atau semesta pembicaraan) adalah term. Konstanta biasanya ditulis dengan huruf a, b, c, a 1, a 2,..., b 1, b 2,..., c 1, c 2,..., atau secara kongkrit. Contohnya konstanta dapat ditulis dengan bilangan 0, 1, 2 (jika domain adalah himpunan bilangan), dengan nama manusia seperti Alex, Bob, atau Charlie (jika domain adalah himpunan manusia), atau yang lainnya. 3 Jika t 1, t 2,..., t n adalah term dan f adalah fungsi dengan ariti n 1, maka f (t 1, t 2,..., t n ) juga merupakan term. Dalam hal ini f dapat dipadang sebagai fungsi n variabel yang hasilnya adalah sebuah term. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 6 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) 1 + (2 f (x)), MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) 1 + (2 f (x)), (2) 2 f (x), MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) 1 + (2 f (x)), (2) 2 f (x), (3) f (x), MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) 1 + (2 f (x)), (2) 2 f (x), (3) f (x), (4) 1, MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) 1 + (2 f (x)), (2) 2 f (x), (3) f (x), (4) 1, (5) 2, dan (6) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Subterm Subterm 1 Sebuah term t adalah subterm dari t itu sendiri. 2 Jika s dan t adalah dua term yang dipakai untuk membangun term u yang lebih kompleks, maka s dan t dikatakan subterm sejati (atau subterm murni) dari term u. 3 Subterm bersifat transitif: jika s subterm dari t dan t subterm dari u, maka s subterm dari u. Contoh Misalkan 1 dan 2 adalah konstanta, x adalah variabel, f adalah fungsi uner, serta + dan adalah fungsi biner. Misalkan t adalah term 1 + (2 f (x)), maka subterm dari t adalah (1) 1 + (2 f (x)), (2) 2 f (x), (3) f (x), (4) 1, (5) 2, dan (6) x. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 7 / 46

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Term Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu term dalam logika predikat. Sebagai contoh, jika 2 adalah konstanta, x dan y adalah variabel, s adalah fungsi uner, serta, +, adalah fungsi biner, maka pohon urai untuk term (2 (s (x) + y)) x adalah

Formula Logika Predikat Formula Logika Predikat Formula (atau kalimat) logika predikat dibentuk dari: 1 konstanta proposisi: T (benar) atau F (salah) 2 ekspresi P (t 1, t 2,..., t n ) dengan t 1, t 2,..., t n adalah term dan P adalah predikat n ari dengan n 1 3 operator logika proposisi:,,,,, dengan aturan sebagai berikut: 1 setiap ekspresi P (t 1, t 2,..., t n ) yang terdefinisi dengan baik adalah formula logika predikat, 2 apabila φ dan ψ adalah dua formula logika predikat, maka φ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, φ ψ, masing-masing juga merupakan formula logika predikat, 3 apabila φ adalah formula logika predikat dan x adalah variabel, maka x φ maupun x φ keduanya adalah formula logika predikat. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 9 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (3) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (3) P (x) Q (y, z) R (x, z), (4) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (3) P (x) Q (y, z) R (x, z), (4) P (x) Q (y, z), (5) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (3) P (x) Q (y, z) R (x, z), (4) P (x) Q (y, z), (5) P (x), (6) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (3) P (x) Q (y, z) R (x, z), (4) P (x) Q (y, z), (5) P (x), (6) Q (y, z), dan (7) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Subformula Subformula 1 Sebuah formula φ adalah subformula dari φ itu sendiri. 2 Jika φ dan ψ adalah dua formula logika predikat yang dipakai untuk membangun formula η yang lebih kompleks, maka φ dan ψ dikatakan subformula sejati (atau subformula murni) dari η. 3 Subformula bersifat transitif: jika φ subformula dari ψ dan ψ subformula dari η, maka φ subformula dari η. Contoh Misalkan φ adalah formula x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), maka subformula dari φ adalah (1) x y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (2) y (P (x) Q (y, z) R (x, z)), (3) P (x) Q (y, z) R (x, z), (4) P (x) Q (y, z), (5) P (x), (6) Q (y, z), dan (7) R (x, z). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 10 / 46

Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed Formula, WFF) Definisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula, WFF)) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 11 / 46

Formula yang Terbentuk dengan Baik (Well-Formed Formula, WFF) Definisi (Formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula, WFF)) Suatu formula φ dikatakan sebagai formula yang terbentuk dengan baik (well-formed formula) bila φ dapat dikonstruksi dengan berhingga langkah (finite step) melalui aturan konstruksi formula logika predikat yang telah dijelaskan sebelumnya. Catatan Untuk selanjutnya, istilah formula akan selalu berarti well-formed formula, kecuali bila disebutkan selain itu. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 11 / 46

BNF untuk Term dan Formula Logika Predikat BNF (Backus Naur Form) untuk Term Logika Predikat Misalkan x adalah simbol yang mewakili variabel, c adalah simbol yang mewakili konstanta, dan f adalah fungsi dengan ariti n 1. Sembarang term t pada logika predikat dibangkitkan oleh Backus Naur Form (BNF) berikut: t ::= x c f (t,..., t). BNF (Backus Naur Form) untuk Formula Logika Predikat Misalkan t 1, t 2,..., t n menyatakan term, x simbol yang mewakili variabel, dan P adalah predikat dengan ariti n 1. Sembarang formula φ pada logika predikat dibangkitkan oleh BNF berikut: φ ::= P (t 1, t 2,..., t n ) φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ xφ xφ Kita akan menulis sebagai ringkasan dari φ φ atau φ φ. Kemudian kita juga akan menulis sebagai ringkasan dari φ φ atau φ φ. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 12 / 46

Catatan Penulisan dan biasanya hanya digunakan ketika kita meninjau formula logika predikat secara sintaks saja. Jika kita meninjau formula logika predikat secara sematik, maka kita akan menggunakan notasi T dan F, B dan S, atau 0 dan 1. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 13 / 46

Cakupan (Scope) dari Kuantor Cakupan (Scope) Misalkan P (x, y, z) adalah sebuah predikat terner. Dalam ekspresi logika predikat z y x P (x, y, z) kita memiliki z y x P (x, y, z) }{{} } cakupan x {{} } cakupan y {{ } cakupan z MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 14 / 46

Cakupan (Scope) dari Kuantor Cakupan (Scope) Misalkan P (x, y, z) adalah sebuah predikat terner. Dalam ekspresi logika predikat z y x P (x, y, z) kita memiliki z y x P (x, y, z) }{{} } cakupan x {{} } cakupan y {{ } cakupan z x mencakup P (x, y, z), pada subformula x P (x, y, z) variabel y dan z adalah variabel bebas, variabel x adalah variabel terikat. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 14 / 46

Cakupan (Scope) dari Kuantor Cakupan (Scope) Misalkan P (x, y, z) adalah sebuah predikat terner. Dalam ekspresi logika predikat z y x P (x, y, z) kita memiliki z y x P (x, y, z) }{{} } cakupan x {{} } cakupan y {{ } cakupan z x mencakup P (x, y, z), pada subformula x P (x, y, z) variabel y dan z adalah variabel bebas, variabel x adalah variabel terikat. y mencakup x P (x, y, z), pada subformula y x P (x, y, z) variabel z adalah variabel bebas, variabel x dan y adalah variabel terikat. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 14 / 46

Cakupan (Scope) dari Kuantor Cakupan (Scope) Misalkan P (x, y, z) adalah sebuah predikat terner. Dalam ekspresi logika predikat z y x P (x, y, z) kita memiliki z y x P (x, y, z) }{{} } cakupan x {{} } cakupan y {{ } cakupan z x mencakup P (x, y, z), pada subformula x P (x, y, z) variabel y dan z adalah variabel bebas, variabel x adalah variabel terikat. y mencakup x P (x, y, z), pada subformula y x P (x, y, z) variabel z adalah variabel bebas, variabel x dan y adalah variabel terikat. z mencakup y x P (x, y, z), pada subformula z y x P (x, y, z) variabel x, y, dan z adalah variabel terikat. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 14 / 46

Presedens Operator Logika Predikat Presedens operator logika memberikan suatu aturan operator mana yang harus lebih dulu dioperasikan (dikenakan pada suatu operand). Dari kuliah Logika Matematika, tabel urutan pengerjaan (presendens) operator logika adalah Operator Urutan 1 2 3 4 5 6 7 8 Kita dapat menggunakan tanda kurung ( dan ) untuk memperjelas operasi yang harus didahulukan. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 15 / 46

Pohon Urai (Parse Tree) untuk Formula Pohon urai (parse tree) dapat digunakan untuk menggambarkan struktur suatu formula logika predikat. Sebagai contoh, pohon urai untuk formula x ((P (x) Q (x)) S (x, y)) adalah MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 16 / 46

Variabel Terikat dan Formula Tertutup Variabel Terikat Misalkan P adalah suatu predikat uner, variabel x pada P (x) disebut variabel terikat (bound variable) apabila 1 x telah digantikan oleh sebuah elemen tertentu dari domain D, atau 2 x diikat oleh sebuah kuantor ( x atau x) Variabel yang tidak terikat disebut variabel bebas (free variable). Terminologi variabel terikat dan variabel bebas tidak hanya terdapat pada predikat uner saja, tetapi juga pada predikat lain dengan ariti n > 1. Formula Tertutup Suatu formula logika predikat dikatakan sebagai formula tertutup bila seluruh variabel yang terdapat pada formula tersebut adalah variabel terikat. Sebagai contoh, bila P adalah predikat biner, x dan y adalah variabel, serta a dan b adalah elemen pada domain yang ditinjau, maka formula x y P (x, y), x P (x, b), dan P (a, b) adalah formula tertutup, sedangkan x P (x, y), P (x, b), dan P (a, y) bukan formula tertutup. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 18 / 46

Substitusi Variabel Substitusi Variabel Misalkan φ adalah suatu formula logika predikat yang ditinjau pada semesta pembicaraan D dan d adalah suatu elemen pada D. Notasi φ [x d] berarti formula baru yang diperoleh dengan mengganti semua kemunculan variabel x dengan d pada formula φ. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 19 / 46

Aturan Semantik Logika Predikat Aturan Semantik Logika Predikat Misalkan φ adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau, dan I adalah interpretasi yang terdefinisi untuk setiap formula atom yang muncul di φ. Interpretasi untuk φ pada domain D didefinisikan sebagai berikut MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 20 / 46

Aturan Semantik Logika Predikat Aturan Semantik Logika Predikat Misalkan φ adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau, dan I adalah interpretasi yang terdefinisi untuk setiap formula atom yang muncul di φ. Interpretasi untuk φ pada domain D didefinisikan sebagai berikut Jika φ = P (d 1, d 2,..., d n ) untuk d i (1 i n) pada domain yang ditinjau, maka I D (φ) = I D (P (d 1, d 2,..., d n )) = T bila d 1, d 2,..., d n berrelasi dan memberikan nilai kebenaran sesuai dengan definisi predikat P. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 20 / 46

Aturan Semantik Logika Predikat Aturan Semantik Logika Predikat Misalkan φ adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau, dan I adalah interpretasi yang terdefinisi untuk setiap formula atom yang muncul di φ. Interpretasi untuk φ pada domain D didefinisikan sebagai berikut Jika φ = P (d 1, d 2,..., d n ) untuk d i (1 i n) pada domain yang ditinjau, maka I D (φ) = I D (P (d 1, d 2,..., d n )) = T bila d 1, d 2,..., d n berrelasi dan memberikan nilai kebenaran sesuai dengan definisi predikat P. Jika φ = T, maka I D (φ) = I D (T) = T. Kemudian jika φ = F, maka I D (φ) = I D (F) = F. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 20 / 46

Aturan Semantik Logika Predikat Aturan Semantik Logika Predikat Misalkan φ adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau, dan I adalah interpretasi yang terdefinisi untuk setiap formula atom yang muncul di φ. Interpretasi untuk φ pada domain D didefinisikan sebagai berikut Jika φ = P (d 1, d 2,..., d n ) untuk d i (1 i n) pada domain yang ditinjau, maka I D (φ) = I D (P (d 1, d 2,..., d n )) = T bila d 1, d 2,..., d n berrelasi dan memberikan nilai kebenaran sesuai dengan definisi predikat P. Jika φ = T, maka I D (φ) = I D (T) = T. Kemudian jika φ = F, maka I D (φ) = I D (F) = F. Jika φ = x ψ untuk suatu formula ψ, maka I D (φ) = I D ( x ψ) = T apabila I D (ψ [x d]) = T untuk setiap d pada domain pembicaraan D. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 20 / 46

Aturan Semantik Logika Predikat Aturan Semantik Logika Predikat Misalkan φ adalah sebuah formula, D adalah domain pembicaraan yang ditinjau, dan I adalah interpretasi yang terdefinisi untuk setiap formula atom yang muncul di φ. Interpretasi untuk φ pada domain D didefinisikan sebagai berikut Jika φ = P (d 1, d 2,..., d n ) untuk d i (1 i n) pada domain yang ditinjau, maka I D (φ) = I D (P (d 1, d 2,..., d n )) = T bila d 1, d 2,..., d n berrelasi dan memberikan nilai kebenaran sesuai dengan definisi predikat P. Jika φ = T, maka I D (φ) = I D (T) = T. Kemudian jika φ = F, maka I D (φ) = I D (F) = F. Jika φ = x ψ untuk suatu formula ψ, maka I D (φ) = I D ( x ψ) = T apabila I D (ψ [x d]) = T untuk setiap d pada domain pembicaraan D. Jika φ = x ψ untuk suatu formula ψ, maka I D (φ) = I D ( x ψ) = T apabila I D (ψ [x d]) = T untuk suatu d pada domain pembicaraan D. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 20 / 46

Jika φ = ψ, untuk suatu formula { ψ, maka T, jika I (ψ) = F I (φ) = I ( ψ) = I (ψ) = F, jika I (ψ) = T. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 21 / 46

Jika φ = ψ, untuk suatu formula { ψ, maka T, jika I (ψ) = F I (φ) = I ( ψ) = I (ψ) = F, jika I (ψ) = T. Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) = I (η) = T I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, lainnya. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 21 / 46

Jika φ = ψ, untuk suatu formula { ψ, maka T, jika I (ψ) = F I (φ) = I ( ψ) = I (ψ) = F, jika I (ψ) = T. Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) = I (η) = T I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka F, jika I (ψ) = I (η) = F I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = T, lainnya. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 21 / 46

Jika φ = ψ, untuk suatu formula { ψ, maka T, jika I (ψ) = F I (φ) = I ( ψ) = I (ψ) = F, jika I (ψ) = T. Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) = I (η) = T I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka F, jika I (ψ) = I (η) = F I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = T, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) I (η) I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, jika I (η) = I (η).. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 21 / 46

Jika φ = ψ, untuk suatu formula { ψ, maka T, jika I (ψ) = F I (φ) = I ( ψ) = I (ψ) = F, jika I (ψ) = T. Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) = I (η) = T I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) =. F, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka F, jika I (ψ) = I (η) = F I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = T, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) I (η) I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, jika I (η) = I (η). Jika φ = ψ η, { untuk suatu formula ψ dan η, maka I (φ) = I (ψ η) = F, jika I (ψ) = T namun I (η) = F I (ψ) I (η) =. T, lainnya MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 21 / 46

Jika φ = ψ, untuk suatu formula { ψ, maka T, jika I (ψ) = F I (φ) = I ( ψ) = I (ψ) = F, jika I (ψ) = T. Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) = I (η) = T I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) =. F, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka F, jika I (ψ) = I (η) = F I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = T, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula { ψ dan η, maka T, jika I (ψ) I (η) I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, jika I (η) = I (η). Jika φ = ψ η, { untuk suatu formula ψ dan η, maka I (φ) = I (ψ η) = F, jika I (ψ) = T namun I (η) = F I (ψ) I (η) =. T, lainnya Jika φ = ψ η, untuk suatu formula ψ{ dan η, maka T, jika I (ψ) = I (η) I (φ) = I (ψ η) = I (ψ) I (η) = F, jika I (ψ) I (η). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 21 / 46

Sifat-sifat Formula Berdasarkan Semantiknya Definisi Misalkan φ adalah sebuah formula logika predikat: 1 formula φ dikatakan absah (valid) atau tautologi apabila φ selalu bernilai benar untuk setiap interpretasi I pada sembarang domain D 2 formula φ dikatakan terpenuhi (satisfiable) apabila φ dapat bernilai benar untuk suatu interpretasi I pada suatu domain D 3 formula φ dikatakan kontradiksi (contradictory) apabila φ selalu bernilai salah untuk setiap interpretasi I pada setiap domain D 4 formula φ dikatakan tersalahkan (falsifiable) apabila φ dapat bernilai salah untuk suatu interpretasi I pada suatu domain D 5 formula φ dikatakan kontingensi (contingency) apabila φ bukan formula yang bersifat absah dan bukan pula formula yang bersifat kontradiksi. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 22 / 46

Masalah Keabsahan dan Keterpenuhan Masalah Keabsahan (Validity Problem) Diberikan suatu formula logika predikat φ. Apakah φ bersifat absah (valid)? Masalah Keterpenuhan (Satisfiability Problem) Diberikan suatu formula logika predikat φ. Apakah φ bersifat terpenuhi (satisfiable)? MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 23 / 46

Beberapa Teorema Penting Teorema Misalkan φ adalah sebuah formula logika predikat, maka berlaku: 1 formula φ absah (valid) jika dan hanya jika φ kontradiksi, 2 formula φ terpenuhi (satisfiable) jika dan hanya jika φ tersalahkan (falsifiable), 3 formula φ terpenuhi (satisfiable) jika dan hanya jika φ tidak absah (tidak valid), 4 formula φ absah (valid) jika dan hanya jika φ tidak terpenuhi. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 24 / 46

Konsekuensi Logis dan Kesetaraan Logika Definisi Misalkan φ dan ψ adalah dua formula logika predikat: Formula φ dan ψ dikatakan setara atau ekuivalen (logically equivalent) jika formula φ ψ merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan φ ψ atau φ ψ. Formula ψ dikatakan sebagai konsekuensi logis (logical consequence) dari φ jika formula φ ψ merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan φ ψ. Tidak seperti pada logika proposisi, untuk menunjukkan konsekuensi logis maupun kesetaraan logika antar dua formula pada logika predikat kita tidak dapat menggunakan tabel kebenaran. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 25 / 46

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor Misalkan φ dan ψ adalah dua formula logika predikat dan x adalah sebuah variabel. Hukum De Morgan untuk Kuantor MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 26 / 46

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor Misalkan φ dan ψ adalah dua formula logika predikat dan x adalah sebuah variabel. Hukum De Morgan untuk Kuantor x φ x φ x φ x φ Bila variabel x bukan variabel bebas pada ψ, maka berlaku: MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 26 / 46

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor Misalkan φ dan ψ adalah dua formula logika predikat dan x adalah sebuah variabel. Hukum De Morgan untuk Kuantor x φ x φ x φ x φ Bila variabel x bukan variabel bebas pada ψ, maka berlaku: x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) Karena kuantor merupakan generalisasi dari dan kuantor merupakan generalasiasi dari, maka berlaku: MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 26 / 46

Beberapa Ekuivalensi Terkait Kuantor Misalkan φ dan ψ adalah dua formula logika predikat dan x adalah sebuah variabel. Hukum De Morgan untuk Kuantor x φ x φ x φ x φ Bila variabel x bukan variabel bebas pada ψ, maka berlaku: x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) x φ ψ x (φ ψ) Karena kuantor merupakan generalisasi dari dan kuantor merupakan generalasiasi dari, maka berlaku: x φ x ψ x (φ ψ) x φ x φ x (φ ψ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 26 / 46

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor Misalkan x dan y adalah dua variabel, φ dan ψ adalah dua formula logika predikat. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 27 / 46

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor Misalkan x dan y adalah dua variabel, φ dan ψ adalah dua formula logika predikat. 1 x y φ y x φ 2 x y φ y x φ MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 27 / 46

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor Misalkan x dan y adalah dua variabel, φ dan ψ adalah dua formula logika predikat. 1 x y φ y x φ 2 x y φ y x φ 3 x φ y ψ x y (φ ψ) 4 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 5 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 6 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ Aturan nomor 3 4 dapat ditulis: MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 27 / 46

Ekuivalensi yang Melibatkan Dua Kuantor Misalkan x dan y adalah dua variabel, φ dan ψ adalah dua formula logika predikat. 1 x y φ y x φ 2 x y φ y x φ 3 x φ y ψ x y (φ ψ) 4 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 5 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 6 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ Aturan nomor 3 4 dapat ditulis: (Q 1 x) φ (Q 2 y) ψ (Q 1 x) (Q 2 y) (φ ψ), dengan Q 1 dan Q 2 adalah kuantor yang dapat berupa atau. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 27 / 46

7 x φ y ψ x y (φ ψ) 8 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 9 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 10 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ Aturan nomor 7 10 dapat ditulis: MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 28 / 46

7 x φ y ψ x y (φ ψ) 8 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 9 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ 10 x φ y ψ x y (φ ψ), apabila x bukan variabel bebas di ψ dan y bukan variabel bebas di φ Aturan nomor 7 10 dapat ditulis: (Q 1 x) φ (Q 2 y) y (Q 1 x) (Q 2 y) (φ ψ), dengan Q 1 dan Q 2 adalah kuantor yang dapat berupa atau. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 28 / 46

Bentuk Normal Prenex (Prenex Normal Form, PNF) Bentuk Normal Prenex (Prenex Normal Form, PNF) Sebuah formula logika predikat φ dikatakan berada dalam bentuk normal prenex (prenex normal form, PNF) apabila φ berbentuk (Q 1 x 1 ) (Q n x n ) ψ (1) dengan Q i {, } untuk 1 i n dan tidak ada kuantor yang muncul di ψ. Biasanya ψ juga direpresentasikan dalam CNF. Ekspresi kumpulan kuantor (Q 1 x 1 ) (Q n x n ) pada (1) disebut sebagai prefiks (prefix) dan formula ψ yang tidak mengandung kuantor dinamakan matriks (matrix). BNF untuk PNF dijelaskan sebagai berikut: α ::= P (t 1, t 2,..., t n ) φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ ::= α xφ xφ Dalam BNF ini, t i untuk 1 i n adalah term dan simbol x mewakili variabel. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 30 / 46

Contoh Misalkan P dan Q adalah predikat uner, R adalah predikat biner. Formula xp (x) x y (Q (y) R (x, y)) tidak berada dalam PNF, begitu pula dengan formula x (P (x) y (Q (y) R (x, y))). Formula x y (P (x) Q (y) R (x, y)) adalah contoh formula dalam PNF. Formula xp (x) xq (x) dan xp (x) xq (x) keduanya tidak berada dalam PNF. PNF dari formula xp (x) xq (x) bukan x (P (x) Q (x)) dan PNF dari formula xp (x) xq (x) bukan x (P (x) Q (x)). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 31 / 46

Konversi Formula Ke PNF Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk PNF, kita dapat melakukan hal-hal berikut: MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 32 / 46

Konversi Formula Ke PNF Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk PNF, kita dapat melakukan hal-hal berikut: 1 Ubah formula dengan operator selain,, dan ke dalam formula yang hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula yang ditinjau memakai operator,, dan kita dapat memanfaatkan ekuivalensi berikut: φ ψ (φ ψ) ( φ ψ), φ ψ φ ψ, dan φ ψ ( φ ψ) (φ ψ). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 32 / 46

Konversi Formula Ke PNF Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk PNF, kita dapat melakukan hal-hal berikut: 1 Ubah formula dengan operator selain,, dan ke dalam formula yang hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula yang ditinjau memakai operator,, dan kita dapat memanfaatkan ekuivalensi berikut: φ ψ (φ ψ) ( φ ψ), φ ψ φ ψ, dan φ ψ ( φ ψ) (φ ψ). 2 Jika menemukan subformula dengan bentuk (φ ψ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ ψ. Kemudian jika menemukan subformula dengan bentuk (φ ψ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ ψ. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 32 / 46

Konversi Formula Ke PNF Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk PNF, kita dapat melakukan hal-hal berikut: 1 Ubah formula dengan operator selain,, dan ke dalam formula yang hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula yang ditinjau memakai operator,, dan kita dapat memanfaatkan ekuivalensi berikut: φ ψ (φ ψ) ( φ ψ), φ ψ φ ψ, dan φ ψ ( φ ψ) (φ ψ). 2 Jika menemukan subformula dengan bentuk (φ ψ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ ψ. Kemudian jika menemukan subformula dengan bentuk (φ ψ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ ψ. 3 Jika menemukan subformula dengan bentuk φ, maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 32 / 46

Konversi Formula Ke PNF Untuk mengkonversi suatu formula ke dalam bentuk PNF, kita dapat melakukan hal-hal berikut: 1 Ubah formula dengan operator selain,, dan ke dalam formula yang hanya boleh memakai tiga operator tersebut. Sebagai contoh, bila formula yang ditinjau memakai operator,, dan kita dapat memanfaatkan ekuivalensi berikut: φ ψ (φ ψ) ( φ ψ), φ ψ φ ψ, dan φ ψ ( φ ψ) (φ ψ). 2 Jika menemukan subformula dengan bentuk (φ ψ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ ψ. Kemudian jika menemukan subformula dengan bentuk (φ ψ), maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ ψ. 3 Jika menemukan subformula dengan bentuk φ, maka subformula tersebut diubah ke dalam bentuk φ. 4 Gunakan hukum De Morgan untuk kuantor, yaitu x φ x φ dan x φ x φ untuk mengeliminasi negasi yang muncul di depan kuantor. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 32 / 46

5 Ubah nama variabel terikat bila diperlukan. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 33 / 46

5 Ubah nama variabel terikat bila diperlukan. 6 Gunakan ekuivalensi terkait logika predikat terkait operator dan untuk membawa semua kuantor ke bagian depan (prefiks). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 33 / 46

5 Ubah nama variabel terikat bila diperlukan. 6 Gunakan ekuivalensi terkait logika predikat terkait operator dan untuk membawa semua kuantor ke bagian depan (prefiks). 7 Gunakan sifat distributif secara tepat dan sesuai.kita memiliki φ (ψ η) (φ ψ) (φ η) dan φ (ψ η) (φ ψ) (φ η). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 33 / 46

Beberapa Contoh Konversi ke PNF Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 34 / 46

Beberapa Contoh Konversi ke PNF Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) xp (x) yq (y) (ubah nama variabel) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 34 / 46

Beberapa Contoh Konversi ke PNF Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) xp (x) yq (y) (ubah nama variabel) x y (P (x) Q (y)) (ekuivalensi kuantor dan ) Jadi PNF dari φ adalah x y (P (x) Q (y)). Dengan cara serupa, PNF dari φ := xp (x) xq (x) adalah x y (P (x) Q (y)). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 34 / 46

Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 35 / 46

Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) xp (x) xq (x) (ekuivalensi φ ψ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 35 / 46

Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) xp (x) xq (x) (ekuivalensi φ ψ) x P (x) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 35 / 46

Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) xp (x) xq (x) (ekuivalensi φ ψ) x P (x) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x P (x) yq (y) (ubah nama variabel) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 35 / 46

Misalkan P dan Q adalah predikat uner, konversi dari φ := xp (x) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = xp (x) xq (x) xp (x) xq (x) (ekuivalensi φ ψ) x P (x) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x P (x) yq (y) (ubah nama variabel) x y ( P (x) Q (y)) (ekuivalensi kuantor dan ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 35 / 46

Misalkan P adalah predikat biner dan Q adalah predikat uner, konversi dari x yp (x, y) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = x yp (x, y) xq (x) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 36 / 46

Misalkan P adalah predikat biner dan Q adalah predikat uner, konversi dari x yp (x, y) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = x yp (x, y) xq (x) x yp (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 36 / 46

Misalkan P adalah predikat biner dan Q adalah predikat uner, konversi dari x yp (x, y) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = x yp (x, y) xq (x) x yp (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x y P (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 36 / 46

Misalkan P adalah predikat biner dan Q adalah predikat uner, konversi dari x yp (x, y) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = x yp (x, y) xq (x) x yp (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x y P (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x y P (x, y) zq (z) (ubah nama variabel) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 36 / 46

Misalkan P adalah predikat biner dan Q adalah predikat uner, konversi dari x yp (x, y) xq (x) ke PNF dapat dilakukan sebagai berikut: φ = x yp (x, y) xq (x) x yp (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x y P (x, y) xq (x) (De Morgan untuk kuantor) x y P (x, y) zq (z) (ubah nama variabel) x y z ( P (x, y) Q (z)) (ekuivalensi kuantor dan ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 36 / 46

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut: P (kelas polinomial): MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 38 / 46

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut: P (kelas polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. N P (kelas non-deterministik polinomial): MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 38 / 46

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut: P (kelas polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. N P (kelas non-deterministik polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. Hingga saat ini belum diketahui apakah P NP. EXP T IM E (kelas eksponensial): MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 38 / 46

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut: P (kelas polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. N P (kelas non-deterministik polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. Hingga saat ini belum diketahui apakah P NP. EXP T IM E (kelas eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O (α n ) untuk suatu α > 0. N EXP T IM E (kelas non-deterministik eksponensial): MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 38 / 46

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut: P (kelas polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. N P (kelas non-deterministik polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. Hingga saat ini belum diketahui apakah P NP. EXP T IM E (kelas eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O (α n ) untuk suatu α > 0. N EXP T IM E (kelas non-deterministik eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O (α n ) untuk suatu α > 0. Hingga saat ini belum diketahui apakah EXP T IME NEXP T IME. DECIDABLE (terputuskan): MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 38 / 46

Kelas-kelas Kompleksitas Komputasional Dalam teori komputasi, kita mengenal beberapa kelas kompleksitas komputasi sebagai berikut: P (kelas polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. N P (kelas non-deterministik polinomial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O ( n k) untuk suatu k > 0. Hingga saat ini belum diketahui apakah P NP. EXP T IM E (kelas eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O (α n ) untuk suatu α > 0. N EXP T IM E (kelas non-deterministik eksponensial): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan oleh algoritma non-deterministik yang kompleksitas asimtotik untuk waktu komputasinya adalah O (α n ) untuk suatu α > 0. Hingga saat ini belum diketahui apakah EXP T IME NEXP T IME. DECIDABLE (terputuskan): kelas-kelas permasalahan yang dapat dipecahkan dengan suatu algoritma yang sifatnya seragam (uniform) untuk setiap masukan (input) yang mungkin. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 38 / 46

Dari teori komputasi, kita memiliki hubungan MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 39 / 46

Dari teori komputasi, kita memiliki hubungan P NP EXP T IME NEXP T IME DECIDABLE P EXP T IME, NP NEXP T IME MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 39 / 46

Masalah Keterpenuhan pada Logika Proposisi dan Logika Predikat Permasalahan Diberikan sembarang formula logika proposisi φ yang memuat n proposisi atom berbeda. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah φ bersifat terpenuhi atau tidak? MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 40 / 46

Masalah Keterpenuhan pada Logika Proposisi dan Logika Predikat Permasalahan Diberikan sembarang formula logika proposisi φ yang memuat n proposisi atom berbeda. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah φ bersifat terpenuhi atau tidak? Masalah keterpenuhan formula pada logika proposisi merupakan masalah yang terpenuhi. Untuk sembarang formula logika proposisi yang memuat n proposisi atom berbeda, kita dapat membuat algoritma yang kompleksitas asimtotik untuk waktu terburuknya adalah O (2 n ). Permasalahan MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 40 / 46

Masalah Keterpenuhan pada Logika Proposisi dan Logika Predikat Permasalahan Diberikan sembarang formula logika proposisi φ yang memuat n proposisi atom berbeda. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah φ bersifat terpenuhi atau tidak? Masalah keterpenuhan formula pada logika proposisi merupakan masalah yang terpenuhi. Untuk sembarang formula logika proposisi yang memuat n proposisi atom berbeda, kita dapat membuat algoritma yang kompleksitas asimtotik untuk waktu terburuknya adalah O (2 n ). Permasalahan Diberikan sembarang formula logika predikat φ atas sembarang domain D. Apakah kita dapat membuat suatu algoritma (yang seragam untuk setiap masukan) untuk memeriksa apakah φ bersifat terpenuhi atau tidak? MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 40 / 46

Teorema Tidak terdapat algoritma yang dapat memeriksa apakah sembarang formula logika predikat φ yang ditinjau pada sembarang domain D bersifat absah atau tidak. Bukti Lihat bukti Teorema 2.22 pada buku Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2, 2004. Akibat MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 41 / 46

Teorema Tidak terdapat algoritma yang dapat memeriksa apakah sembarang formula logika predikat φ yang ditinjau pada sembarang domain D bersifat absah atau tidak. Bukti Lihat bukti Teorema 2.22 pada buku Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2, 2004. Akibat Masalah keterpenuhan untuk formula logika predikat bersifat tak terputuskan (undecidable). Artinya tidak ada algoritma (program komputer) apapun yang dapat dipakai untuk memeriksa apakah sembarang formula logika predikat φ yang ditinjau pada sembarang domain D bersifat terpenuhi. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 41 / 46

Aplikasi Logika Predikat dan Keterbatasannya Logika predikat merupakan logika yang lebih ekspresif dari logika proposisi. Dengan logika predikat, kita mampu mendeskripsikan sifat dari suatu objek dengan lebih jelas dan menjelaskan relasi yang mungkin dipenuhi oleh dua atau lebih objek. Logika predikat telah diterapkan pada beberapa tools dan bahasa pemrograman, contohnya adalah SQL pada basis data, XQuery pada XML, dan Prolog. Permasalahan MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 43 / 46

Aplikasi Logika Predikat dan Keterbatasannya Logika predikat merupakan logika yang lebih ekspresif dari logika proposisi. Dengan logika predikat, kita mampu mendeskripsikan sifat dari suatu objek dengan lebih jelas dan menjelaskan relasi yang mungkin dipenuhi oleh dua atau lebih objek. Logika predikat telah diterapkan pada beberapa tools dan bahasa pemrograman, contohnya adalah SQL pada basis data, XQuery pada XML, dan Prolog. Permasalahan Apakah semua masalah dalam computer science/ software engineering dapat diformalisasikan dalam logika predikat? MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 43 / 46

Ketercapaian (Reachability) pada Graf Misalkan G = (V, E) adalah suatu graf berarah dengan V = {s 0, s 1, s 2, s 3 } dan E = {(s 0, s 1 ), (s 1, s 0 ), (s 1, s 1 ), (s 1, s 2 ), (s 2, s 0 ), (s 3, s 0 ), (s 3, s 2 )}. Diberikan sembarang pasangan (s a, s b ) dengan s a, s b V, kita katakan s b dapat dicapai (reachable) dari s a bila terdapat suatu lintasan (path) yang menghubungkan s a ke s b. Suatu lintasan merupakan barisan berhingga simpul (verteks), v 1, v 2,..., v r, dengan sifat (v i, v j ) E untuk setiap 1 i < j r. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 44 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) F, N (s 3, s 1 ) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) F, N (s 3, s 1 ) F. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) F, N (s 3, s 1 ) F. Salah satu cara untuk menyatakan bahwa v dapat dicapai dari u adalah dengan menuliskan ekspresi φ berikut: φ := (v = u) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) F, N (s 3, s 1 ) F. Salah satu cara untuk menyatakan bahwa v dapat dicapai dari u adalah dengan menuliskan ekspresi φ berikut: φ := (v = u) x 1 (N (u, x 1 ) N (x 1, v)) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) F, N (s 3, s 1 ) F. Salah satu cara untuk menyatakan bahwa v dapat dicapai dari u adalah dengan menuliskan ekspresi φ berikut: φ := (v = u) x 1 (N (u, x 1 ) N (x 1, v)) x 1 x 2 (N (u, x 1 ) N (x 1, x 2 ) N (x 2, v)) MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Pada graf yang telah ditunjukkan, kita mengetahui bahwa s 2 dapat dicapai dari s 0 dengan lintasan s 0, s 1, s 2, tetapi s 3 tidak dapat dicapai dari s 0 karena tidak terdapat barisan s 0,..., s 3. Permasalahan Misalkan x, y V dan N (x, y) adalah predikat yang bernilai benar (T) bila (x, y) E. Untuk sembarang u, v V, apakah pernyataan: v dapat dicapai dari u dapat ditranslasikan ke dalam formula dalam logika predikat dengan memakai predikat N (x, y)? Pada graf yang telah ditunjukkan kita memiliki N (s 0, s 1 ) T, N (s 1, s 0 ) F, N (s 3, s 1 ) F. Salah satu cara untuk menyatakan bahwa v dapat dicapai dari u adalah dengan menuliskan ekspresi φ berikut: φ := (v = u) x 1 (N (u, x 1 ) N (x 1, v)) x 1 x 2 (N (u, x 1 ) N (x 1, x 2 ) N (x 2, v)).... Namun ekspresi ini bukan formula logika predikat (mengapa?). MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 45 / 46

Teorema Ketercapaian (reachability) pada graf berarah G = (V, E) tidak dapat diekspresikan dalam formula logika predikat menggunakan predikat N (x, y) yang berarti (x, y) E. Bukti Lihat bukti Teorema 2.26 pada buku Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems, Edisi 2, 2004. MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus Predikat) November 2015 46 / 46