OPERASI DALAM SISTEM BILANGAN Pertemuan Kedua Teknik Digital Yus Natali, ST.,MT
SISTEM BILANGAN Sistem bilangan adalah cara untuk mewaikili besaran dari suatu item fisik. Sistem bilangan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah sistem bilangan desimal, di mana manusia mengenal bilangan angka dari 0, 1, 2 hingga 9 (10 digit). Sistem ini digunakan karena manusia memiliki 10 buah jari untuk membuat perhitungan-perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika komputer diwakili oleh bentuk elemen dari dua keadaan (two state elements), yaitu keadaan off (tidak ada arus) dan keadaan on (ada arus). Konsep ini yang dipakai menjadi sistem bilangan Binari yang hanya menggunakan 2 macam nilai untuk mewakili besaran nilai (0 dan 1). Selain itu komputer juga menggunakan sistem bilangan yang lain yaitu sistem bilangan oktal dan sistem bilangan heksadesimal.
Sistem Bilangan Desimal Angka yang dipakai adalah: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Nilai Desimal Standard Exponential Form 123,4 0,1234 x 10 3 12,34 0,1234 x 10 2 1,234 0,1234 x 10 1 0,1234 0,1234 x 10 0 0,01234 0,1234 x 10-1 -1,234-0,1234 x 10 1 Sistem Bilangan Biner Angka yang dipakai: 0 dan 1 Misal: nilai bilangan binari 10012 dapat diartikan dalam sistem bilangan desimal bernilai: 1 0 1 1 x x x x 2 3 2 2 2 1 2 0 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Pertambahan Bilangan Biner Dasar pertambahan untuk masing - masing digit bilangan binary 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Dengan carry of 1 Contoh: 1111 2 10100 2 + 100011 2 Carry of 1 (3 kali) Pengurangan Bilangan Biner Dasar pengurangan untuk masing - masing digit bilangan binary 0 0 = 0 1 0 = 1 1 1 = 0 0 1 = 1 Dengan borrow of 1 Contoh: 11101 2 1011 2 _ 10010 2 borrow of 1 (1 kali) 11001 2 10011 2 _ 00110 2 borrow of 1 (2 kali)
Perkalian Bilangan Biner Dasar perkalian untuk masing - masing digit bilangan binary 0 x 0 = 0 1 x 0 = 0 0 x 1 = 0 1 x 1 = 1 Contoh : 1110 2 1100 2 x 0000 0000 1110 1110 10101000 2
Pembagian Bilangan Biner Dasar pembagian untuk masing - masing digit bilangan binary 0 : 1 = 0 0 : 0 = 0 1 : 1 = 1 1 : 0 = 1 Contoh : 101 1111101 11001 101 101 101 0101 101 0
KOMPLEMEN (COMPLEMENT) Komplemen pada dasarnya merubah bentuk pengurangan menjadi bentuk pertambahan. i. Bilangan desimal ada 2 macam : Komplemen 9 (merupakan komplemen basis 1) Komplemen 10 (merupakan komplemen basis) ii. Bilangan binari ada 2 macam : Komplemen 1 (merupakan komplemen basis 1) Komplemen 2 (merupakan komplemen basis)
Sistem Bilangan Octal Sistem bilangan Octal menggunakan 8 macam simbol bilangan, yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7. Contoh sistem bilangan octal adalah sebagai berikut: Misalnya bilangan oktal 1213 8 di dalam sistem bilangan desimal akan bernilai 1 2 1 3 x x x x 8 3 8 2 8 1 8 0 (1 x 512) + (2 x 64) + (1 x 8) + (3 x 1) = 651 Jika ditulis dengan notasi: 1213 8 = 651 10
PERTAMBAHAN BILANGAN OKTAL Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Tambahkan masing-masing kolom secara desimal 2. Ubah hasil dari desimal ke oktal 3. Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal 4. Jika hasil pertambahan tiap-tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk pertambahan pada kolom selanjutnya. Contoh: 25 8 127 8 + 154 8 carry of 1 (1 kali)
PENGURANGAN BILANGAN OKTAL Pengurangan bilangan oktal dapat dilakukan seperti halnya bilangan desimal, dengan Contoh: langkah-langkah sebagai berikut: 1. Konversikan bilangan yang akan dikurangkan ke bentuk desimal 2. Kurangkan setiap bilangan secara desimal 3. Jika bilangan yang akan dikurangkan nilainya lebih kecil dari bilangan 154 8 127 8 pengurang, maka pinjamlah (borrow of) dari sebelah kirinya dan konversikan ke bentuk desimal. 25 8 borrow of 1 (1 kali)
PERKALIAN BILANGAN OKTAL Perkalian bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Kalikan setiap bilangan secara desimal 2. Konversikan hasilnya ke Oktal 3. Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya. Contoh: 16 8 14 8 x 70 16 + 250 8
SISTEM BILANGAN HEKSADESIMAL Terdiri dari 16 macam simbol, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, dan F Misal bilangan heksadesimal C7 16 dalam sistem bilangan desimal bernilai: C 7 x x = (12x16) + (7x1) 16 1 16 0 = 192 + 7 = 199 10
Pertambahan Bilangan Heksadesimal Pertambahan bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Tambahkan masing masing bilangan secara desimal 2. Konversikan hasilnya ke Heksadesimal 3. Jika Hasil Pertambahan terdiri dari 2 digit maka digit paling kiri merupakan carry of untuk pertambahan bilangan berikutnya. Misal: BAD 16 431 16 + FDE 16 CBA 16 627 16 + 12E1 16
Pengurangan Bilangan Heksadesimal Pengurangan bilangan Heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Koversikan Bilangan yang akan dikurang ke Desimal 2. Kurangkan setiap bilangan secara desimal 3. Jika Bilangan yang akan dikurang lebih kecil dari bilangan pengurang maka Pinjam atau Borrow dari sebelah kirinya dan konvesikan pula ke Desimal. Contoh: 1 2 E 1 16 6 2 7 16 C B A 16
Perkalian Bilangan Heksadesimal Perkalian bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara berikut : 1. Kalikan setiap bilangan secara desimal 2. Konversikan hasilnya ke heksadesimal 3. Jika hasil perkalian setiap bilangan bernilai 2 digit, maka digit yang paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan bilangan berikutnya. Contoh: AC 16 1B 16 x 764 AC + 1224 16
ARITMATIKA BINER Operasi aritmatika untuk bilangan biner dilakukan dengan cara hampir sama dengan operasi aritmatika untuk bilangan desimal. Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian dilakukan digit per digit. Kelebihan nilai suatu digit pada proses penjumlahan dan perkalian akan menjadi bawaan (carry) yang nantinya ditambahkan pada digit sebelah kirinya.
PENJUMLAHAN Aturan dasar penjumlahan pada sistem bilangan biner : 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0, simpan (carry) 1
Penjumlahan Desimal 10 3 (1000) 10 2 (100) 8 3 10 1 (10) Simpan (carry) 1 1 2 3 10 0 (1) 3 8 Jumlah 1 1 6 1 Penjumlahan Biner 2 5 32 2 4 16 2 3 8 2 2 4 Simpan (carry) 1 1 1 1 Jumlah 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 2 0 1 1 1
Bit Bertanda Bit 0 menyatakan bilangan positif Bit 1 menyatakan bilangan negatif A 6 A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0 0 1 1 0 1 0 0 = + 52 Bit Tanda Magnitude B 6 B 5 B 4 B 3 B 2 B 1 B 0 1 1 1 0 1 0 0 = - 52 Bit Tanda Magnitude
Komplemen ke 2 Metode untuk menyatakan bit bertanda digunakan sistem komplement kedua (2 s complement form) Komplemen ke 1 Biner 0 diubah menjadi 1 Biner 1 diubah menjadi 0 Misal 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 Biner Awal Komplemen pertama
Membuat Komplemen ke 2 1. Ubah bit awal menjadi komplemen pertama 2. Tambahkan 1 pada bit terakhir (LSB) Misal 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Biner Awal = 45 Komplemen 1 Tambah 1 pada LSB Komplemen 2
Menyatakan Bilangan Bertanda dengan Komplemen ke 2 1. Apabila bilangannya positif, magnitude dinyatakan dengan biner aslinya dan bit tanda (0) diletakkan di depan MSB. 2. Apabila bilangannya negatif, magnitude dinyatakan dalam bentuk komplemen ke 2 dan bit tanda (1) diletakkan di depan MSB 0 1 0 1 1 0 1 Biner = + 45 Bit Tanda Biner asli 1 0 1 0 0 1 1 Biner = - 45 Bit Tanda Komplemen ke 2
Negasi Operasi mengubah sebuah bilangan negatif menjadi bilangan positif ekuivalennya, atau mengubah bilangan positif menadi bilangan negatif ekuivalennya. Hal tersebut dilakukan dengan meng- komplemenkan ke 2 dari biner yang dikehendaki Misal : negasi dari + 9 adalah 9 + 9 = 01001 Biner awal - 9 = 10111 Negasi (Komplemen ke 2) + 9 = 01001 Di negasi lagi
Penjumlahan di Sistem Komplemen ke 2 Dua bilangan positif Dilakukan secara langsung. Misal penjumlahan +9 dan +4 +9 0 1 0 0 1 +4 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih kecil Misal penjumlahan +9 dan -4. Bilangan -4 diperoleh dari komplemen ke dua dari +4 +9 0 1 0 0 1-4 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Bilangan positif dan sebuah bilangan negatif yang lebih Besar Misal penjumlahan -9 dan +4. Bilangan -9 diperoleh dari komplemen ke dua dari +9-9 1 0 1 1 1 +4 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan
Dua Bilangan Negatif Misal penjumlahan -9 dan -4. Bilangan -9 dan - 4 masing masing diperoleh dari komplemen ke dua dari +9 dan -4-9 1 0 1 1 1-4 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Bit tanda ikut dalam operasi penjumlahan Carry diabaikan
Operasi Pengurangan Aturan Umum 0 0 = 0 1 0 = 1 1 1 = 0 0 1 =1, pinjam 1 Misal 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 Pinjam 0 0 1 1 Hasil
Operasi Pengurangan Operasi pengurangan melibatkan komplemen ke 2 pada dasarnya melibatkan operasi penjumlahan tidak berbeda dengan contoh contoh operasi penjumlahan sebelumnya. Prosedur pengurangan 1. Negasikan pengurang. 2. Tambahkan pada yang dikurangi 3. Hasil penjumlahan merupakan selisih antara pengurang dan yang dikurangi
Misal : +9 dikurangi +4 +9 01001 +4 00100 - Operasi tersebut akan memberikan hasil yang sama dengan operasi +9 01001-4 11100 + +9 0 1 0 0 1-4 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 Carry diabaikan, hasilnya adalah 00101 ( = +5)
Perkalian Biner Perkalian biner dilakukan sebagaimana perkalian desimal 1 0 0 1 9 1 0 1 1 11 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 99
TUGAS Kerjakan operasi matematis berikut a. 10010 + 10001 b. 00100 + 00111 c. 10111-00101 d. 10011 x 01110 e. 10001 x 10111