KARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA Edi Kurniadi, Stanley P. Dewanto, Alit Kartiwa Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran Jalan Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor 45363 E-mail: edikrnd@gmail.com; stanleypd@bdg.centrin.net.id; alit_kartiwa@yahoo.com ABSTRAK KARAKTERISTIK KOPRODUK GRUP HINGGA. Dalam makalah ini diteliti bagaimana mengonstruksi koproduk dari dua buah grup. Lebih jauh fokus dalam makalah ini adalah karakteristik yang dimiliki oleh koproduk dan kaitannya dengan direct produk. Karakteristik yang sangat menarik dalam penelitian ini adalah produk bebas dari grup-grup hingga yang tidak mengawetkan keterhinggaan. Kata kunci: universal properties of products, trivial dan nontrivial grup, tensor produk ABSTRACT THE PROPERTIES COPRODUCT OF A FINITE GROUP. In this paper, we did the research how to construct the coproduct of groups. The focus of this paper ts characteristics and its relation of the direct product. The interested characteristic indeed in this research that the coproduct of finite groups does not preserve fineteness. Key words : the universal properties of products, trivial and nontrivial grups, tensor products 1. PENDAHULUAN Fokus utama dalam makalah ini adalah meneliti karakteristik koproduk dari grup hingga yang tidak mengawetkan keterhinggaan. Hal ini berbeda dengan karakteristik yang dimiliki oleh produk langsung. Hal pertama yang dilakukan dalam adalah mengonstruksi suatu koproduk melalui diagram komutatif dari suatu produk langsung dan produk amalgamated sebagaimana telah dikembangkan oleh [8] dan [5]. Selanjutnya akan didefinisikan grup bebas yang mempunyai generator berbentuk pasang terurut dan grup bagian yang dibangun oleh generator tertentu. Dalam hal ini, koproduk akan didapatkan dari produk langsung sebagai dualnya. Dalam [1] telah diperoleh grup bagian Frattini sebagai perluasan dari koproduk yang menunjukkan bahwa koproduk selalu mempunyai grup maksimal. Selain itu, dalam [3] telah didapat grup bagian near Frattini dari perluasan koproduk. Dalam makalah berikutnya [2] juga telah membuktikan grup bagian upper Frattini dari perluasan koproduk. Deskripsi di atas telah menunjukkan bahwa koproduk sangat penting dalam grup bagian Frattini dan sejauh ini karakteristik koproduk dari grup-grup hingga yang tidak mengawetkan keterhinggaan belum ada yang membahas secara detail. Aplikasi koproduk bisa digunakan untuk mempelajari struktur yang berkaitan dengan dualisasi seperti aljabar dan koaljabar yang telah dibahas oleh [7]. Aplikasi lainnya telah diterapkan oleh M.K. Azarian seputar grup bagian Frattini [4] Termotivasi oleh kajian-kajian di atas, dalam makalah ini diteliti tentang karakteristik koproduk dari grup hingga yang tidak mengawetkan keterhinggaan. 2. TEORI Berikut definisi formal diagram komutatif 552
Definisi 1. [8] Suatu diagram dikatakan komutatif jika didapatkan komposisi yang sama ketika mengikuti arah panah sepanjang jalur yang berbeda dari satu grup ke grup yang lain dalam diagram. Sebagai contoh perhatikan gambar berikut A B C Gambar 1. Diagram komutatif grup Dari diagram 1 di atas, akan diperoleh kesamaan,, dan. Oleh karenanya, diagram 1 di atas komutatif. Diagram Komutatif ini digunakan untuk mengonstruksi koproduk yang lebih detail dijelaskan dalam pembahasan. 2.1 Produk Langsung f g h D E F Untuk sembarang family modul, diindeks oleh himpunan indeks sembarang. Produk dapat dipandang sebagai : 1 Himpunan semua fungsi sedemikian sehingga untuk semua, dengan operasi modul didefinisikan titik demi titik yaitu dan untuk semua. 2 Semu strings atau himpunan Sedangkan jumlah langsung didefinisikan sebagai modul bagian dari yang memuat semua elemen berbentuk yang mempunyai sejumlah hingga komponen tak nol. 2.2 Karakteristik Produk dan Jumlah Langsung i. Misalkan dan yang didefinisikan oleh. Untuk sembarang modul dan Dengan maka terdapat secara tunggal sedemikian sehingga untuk semua ii. Untuk sembarang modul dan pemetaan terdapat secara tunggal pemetaan sedemikian sehingga untuk semua Diagram dalam (i) dan (ii) bersifat komutatif. 2.3 Tinjauan terhadap Hasil Kali Tensor Pendefinisian koproduk identik dengan pendefinisian hasil kali tensor sebagaimana telah dibahas dalam [7]. Dalam makalah ini penulis melakukan suatu tinjauan ulang terhadap hasil kali tensor dari dua buah modul atas gelanggang. Definisi 2. [8] Misalkan A R dan RB berturut-turut menyatakan R-modul kanan dan kiri. Jika U menyatakan grup Abelian aditif, maka φ : A x B U dikatakan pemetaan balance jika dipenuhi : 1. φ (a 1 + a 2, b) = φ (a 1, b) + φ (a 2, b) 2. φ(a, b 1 + b 2) = φ (a, b 1) + φ(a, b 2) 3. φ (ar, b) = φ (a, rb), untuk semua a, a 1, a 2 A, b, b 1, b 2 B dan r R. Kondisi (1) dan (2) mengatakan bahwa φ suatu pemetaan bilinier.. Dapat ditunjukkan bahwa jika : U U` suatu grup maka pemetaan komposisi : A x B U` suatu pemetaan balance. Jika A R dan RB sebarang R-modul, definisikan S =S(A, B) menjadi grup komutatif bebas atas A x B. Grup komutatif bebas artinya jumlah langsung dari pembangun suatu grup siklik tak hingga dan A x B memuat semua pembangun dari S. Dalam hal ini S = <(a i, b i)> dengan i I ). Dengan kata lain, setiap unsur di S dapat ditulis secara tunggal sebagai suatu jumlah hingga z a,b(a, b) dengan z bilangan bulat. Misalkan H subgrup dari S yang dibangun oleh unsur-unsur dengan bentuk sebagai berikut. 1. (a 1+a 2, b) - (a 1, b) - (a 2, b) 2. (a, b 1+b 2) - (a, b 1) - (a, b 2) 3. (ar, b) - (a, rb), untuk semua a, a 1, a 2 A, b, b 1, b 2 B dan r R. Sekarang didefinisikan A B menjadi suatu 553
grup komutatif aditif S/H. Untuk (a, b) S, didefinisikan a b = (a, b) + H = 1(a, b) + H A B. Restriksi pada S S/H oleh A x B menghasilkan :AxB A B. Berdasarkan pendefinisian H di atas dapat dilihat bahwa suatu pemetaan balance. Dari konstruksi di atas dapat diperoleh definisi hasilkali tensor sebagai berikut : Definisi 3. [6] Untuk modul A R dan RB atas suatu ring R, suatu hasilkali tensor dari A dan B adalah pasangan (T, φ ) dengan T adalah grup komutatif dan φ : A x B T suatu pemetaan balance. Untuk sebarang pemetaan balance f : A x B C ke sebarang grup komutatif C, terdapat grup komutatif yang tunggal f` : T C sedemikian sehingga f = f`. Diagramnya dapat dilihat sebagai berikut : (a b) = (a, b). Berikut akan ditunjukkan bahwa unik. Misalkan f : A B U suatu grup komutatif lain sehingga = f. Ambil unsur di A B dan tuliskan = a b, yaitu jumlah hingga. Sekarang perhatikan, f( )= f (a, b) = (a, b) = ( ). Hal ini menunjukkan bahwa = f. Karena (X, `) suatu hasilkali tensor maka ` : AxB X suatu pemetaan balance dan terdapat : A B X dengan ` =. Demikian juga karena (A B, ) suatu hasilkali tensor maka : AxB A B suatu pemetaan balance dan terdapat : X A B dengan = `. Jadi diperoleh ` = ` dan juga =. Hal ini menunjukkan bahwa dan suatu pemetaan identitas. Jadi, : A B X mendefinisikan suatu isomorfisma. A x B T f C Gambar 2. Diagram Hasil Kali Tensor Proposisi 1 [6] Misalkan A R dan RB adalah R-modul. Maka (A RB, ) suatu hasilkali tensor dari A dan B atas R. Lebih jauh, jika (X, `) sebarang hasilkali tensor lain, maka terdapat isomorfisma grup komutatif : A B X sedemikian sehingga ` =. Bukti : Sebelumnya telah dibuktikan bahwa A RB suatu grup komutatif dan : AxB A B suatu pemetaan balance. Sekarang, misalkan : AxB U sembarang pemetaan balance. Karena S modul bebas atas AxB, pengaitan (a, b) (a,b) menentukan suatu `: S U. Karena pemetaan balance maka ` memetakan setiap generator dari H ke nol atau `(H) = 0. Jadi, H ker( `). Dari teorema isomorfisma grup terdapat : S/H U sedemikian sehingga [(a,b) + H ]= `[(a, b)]= (a, b). Tetapi dari pendefinisian awal S/H = A B dan (a, b) + H =a b. Oleh karenanya, : S/H = A B U suatu dengan 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Konstruksi Koproduk Diberikan dua buah grup dan. Koproduk adalah grup dengan dan sedemikian sehingga jika diberikan sembarang grup dengan dan maka ada secara tunggal. Secara diagram dapat ditunjukkan sebagai berikut : G f G i G G*H X i H Gambar 3. Diagram Konstruksi Koproduk Di sini dapat ditunjukkan bahwa untuk sembarang grup, dapat ditentukan secara tunggal hingga isomorfisma. Selanjutnya akan diberikan suatu contoh grup yang memenuhi f H H 554
sifat ini. Misalkan suatu monomorfisma yaitu yang satu-satu. Ganti dengan sehingga menjadi identitas di. Selanjutnya menjadi trivial yaitu mengaitkan semua unsur ke identitas di. Dapat ditunjukkan bahwa Ker Ker. Tetapi komposisi ini haruslah identitas di yang mempunyai trivial kernel dan haruslah. Dengan kata lain peta dari dan terletak di. Selanjutnya, diperiksa relasi antara unsur yang terletak di dengan unsur yang terletak di. Gantikan dengan dan misalkan mengaitkan semua unsur dengan pangkat dari generator yaitu didefinisikan suatu dari ke. Sementara mengaitkan semua unsur di ke suatu pangkat dari generator. Jika ada relasi antara unsur dan di, maka tidak dapat terpenuhi universal property. Oleh karenanya, isomorf dengan, hanya sebagai pengganti pergantian pangkat dan dari unsur-unsur di dan. Di sini diperoleh bahwa unsur-unsur di berbentuk. Hasil dari koproduk sangat berperan dalam aljabar topologi seperti dalam tulisan [8]. 3.2 Koproduk Grup Hingga Tidak Mengawetkan Keterhinggaan Misalkan penyajian untuk grup dengan himpunan semua generator untuk dan himpunan semua relasinya. Hal yang sama dilakukan untuk grup yaitu penyajiannya. Sesuai dengan konstruksi di atas diperoleh bahwa Yaitu grup hasil koproduk dibangun oleh generator bersama-sama dengan generator, dengan relasi dari bersama-sama dengan relasi dari. Sebagai contoh pandang grup siklik dengan order 4 yang disajikan dalam bentuk dan grup siklik dengan order 5 dengan penyajian. Sesuai dengan konstruksi di koproduk diperoleh. Perhatikan bahwa penyajian dari grup dihedral tak hingga. Teorema 1.[5] Misalkan dan grup hingga maka selalu tak hingga. Bukti : Konstruksi koproduk dengan himpunan semua generator untuk dan himpunan semua relasinya. Hal yang sama dilakukan untuk grup yaitu penyajiannya. Telah dijelaskan pada konstruksi koproduk bahwa unsur-unsur nontrivial dari grup dan tidak komutatif satu sama lain maka tak hingga. 4. KESIMPULAN Telah diberikan bagaimana mengonstruksi koproduk dari dua buah grup. Karakteristik dari koproduk dua buah grup hingga yang tidak mengawetkan keterhinggan juga telah dibuktikan dalam Teorema 1 berikut contohnya. Untuk penelitian lanjutan dapat dikaji generalisasi koproduk dua buah grup dengan produk amalgamated berikut penerapan koproduk dalam masalah sinyal dan sistem. 5. UCAPAN TERIMAKASIH Kami mengucapkan terima kasih kepada Jurusan Matematika FMIPA UNPAD yang telah mendanai penelitian swadana ini tahun anggaran 2012. 6. DAFTAR PUSTAKA 1. ALLENBY and TANG, On the frattini subgroups of generalized free products, Bull. Amer. Math. Soc., 80 (1974), 119-121 2. ALLENBY, On the upper near Frattini subgroup of the generalized free product, Houston J. Math., 31(2005), no 4, 999-1005 3. AZARIAN, Near Frattini subgroups of certain generalized free products of groups, International Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol 28, No.3, 2006, pp. 337-385. Mathematical Reviews, MR2230953(2008b:20032), February 2008, p.1056. Zbl 1122.20011 4. AZARIAN, Conjectures and questions regarding Near Frattini Subgroups of generalized free products of groups, 555
International Journal of Algebra., (2011), no. 1, 1-15. 5. BRIAN OSSEMAN, osserman, Free Products and amal gamated products, 1990 6. DAUNS, J. Modules and Rings, Cambridge University Press, 1994. 7. KURNIADI dan IRAWATI, Aljabar atas suatu lapangan dan dualisasinya, Institut Teknologi Bandung, 2007. 8. LASZLO FUCHS. Infinite Abelian Groups. 252-274, 1970. 9. MASSEY, Algebraic Topology : An introduction, Springer Verlag, New York, 1967. 556