Pebandingan dan Fungsi Tignmeti Standa Kmpetensi Memahami knsep pebandingan, fungsi, pesamaan dan identitas tignmeti, atuan sinus dan ksinus seta menggunakan dalam pemecahan masalah Kmpetensi Dasa. Melakukan manipulasi aljaba dalam pehitungan teknis ang bekaitan dengan pebandingan, fungsi, pesamaan dan identitas tignmeti. Meancang mdel matematika dai masalah ang bekaitan dengan pebandingan, fungsi, pesamaan dan identitas tignmeti. Menelesaikan mdel matematika dai masalah ang bekaitan dengan pebandingan, fungsi, pesamaan dan identitas tignmeti, dan penafsianna Matei Pkk Pembelajaan Indikat Keteia Kineja Lingkup Belaja Sikap Pengetahuan Keteampilan Pengetian dan Kuadan Mengidentifikasikan pengetian Pebandingan tignmeti Sikap kitis dan Sudut adian deajat Mengidentifikkasi pebandingan tignmeti suatu sistematis dalam Pebandingan pemasalahan sudut pada segitiga. mengambil tigmmeti pada sehai-hai ang keputusan Hubungan Pebandingan suatu sudut Membuktikan identitas tignmeti menggunakan pebandingan tignmeti Pesamaan dan Memahami dan menentukan petidaksamaan himpunan penelesaian tignmeti pesamaan dan petidaksamaan tignmeti dai bebagai bentuk Gafik Tignmeti Menggamba gafik fungsi tignmeti. Atuan sinus, ksinus dan luas segitiga Mengidentifikasi pemasalahan dalam pehitungan sisi atau sudut pada segitiga, dan menentukan luas segitiga Hubungan pebandingan tignmeti dan identitas tignmeti Penelesaian pesamaan dan petidaksamaan tignmeti Fungsi tignmeti dan gafik Atuan sinus, csinus dan umus luas segitiga Sikap kitis dan sistematis dalam mengambil keputusan Sikap kitis dan sistematis dalam mengambil keputusan Sikap kitis dan sistematis dalam mengambil keputusan Sikap kitis dan sistematis dalam mengambil keputusan segitiga siku-siku Sudut istimewa Sudut beelasi kuadan Identitas Tignmeti Kdinat kutub Sin Sin Cs Cs Tan Tan a sin + b cs c Sin (a b) sin (a+b) c Gafik fungsi Maksimum/minimum Pidik Atuan sin Atuan cs Luas segitiga bekaitan dengan knsep tignmeti
Kegiatan Belaja i kegiatan belaja, dihaapkan siswa dapat : a. Menjelsakan ati deajat dan adian b. Menentukan sinus, ksinus dan tangen suatu sudut dengan pebandingan tignmeti segitiga siku-siku. c. Menentukan nilai pebandingan tignmeti pada sudut istimewa d. Menentukan nilai pebandingan tignmeti pada bebagai kuadan. e. Menentukan nilai pebandingan tignmeti pada sudut beelasi B. Uaian Matei Deajat dan Radian Satuan ang biasa kita gunakan untuk menguku sudut adalah deajat. B O adian A Pada gamba di atas O adalah pusat lingkaan, dan A adalah titik pada lingkaan, jika A begak belawanan aah jaum jam dengan pusat O dan kembali ke A, maka dikatakan A telah beputa satu putaan atau OA telah begeak 0, Jadi 0 putaan. Selain satuan deajat kita juga dapat menggunakan satuan lain untuk menguku sudut akni satuan adian. Satu adian adalah besa sudut pusat lingkaan ang menghadap busu lingkaan ang panjangna sama dengan jai-jai lingkaan. Jika kita pehatikan gamba di atas maka
OA dan OB adalah jai-jai lingkaan dengan panjang. OA Jadi besa AOB adian. Kita ketahui bahwa keliling lingkaan adalah satuan, maka besa sudut satu putaan penuh adalah adian, sedangkan dalam satuan deajat satu putaan adalah 0, sehingga kita dapatkan hubungan Cnth :. Ubahlah ke dalam ukuan adian a. 0 Penelesaian b. 0 a. Diketahui adian, maka 80 0 b.0 0 adian 80 adian 8 adian 0 adian 80 adian 8 adian adian 0 0 adian 80 adian adian 7, adian 80 80, dengan 7 c. 0 d. 00 e. 90 maka
c. 0 d. 00 e. 90 0 adian 80 adian 8 8 adian adian 00 adian 80 0 adian 8 0 adian adian 90 adian 80 9 adian 8 adian. Ubahlah ke dalam ukuan deajat a. adian d. adian b. adian e. ad 7 c. adian Penelesaian 80 a. Diketahui adian atau adian 7, 80 adian ( 0) 0
( ) adian b 00 0 80. ( ) adian c 0 0 7 80 7 7. ( ) adian d 7 80. ( ) adian b 80 80.
Pebandingan Tignmeti Pada Segitiga Siku-siku Sisi hadapan sudut B (, ) hiptenusa Sisi dekat sudut A (, ) C (, ) Pehatikan segitiga siku-siku A di atas dai ketiga panjang sisi kita bisa membuat enam pebandingan sisi, akni,.,,,,, Keenam pebandingan tesebut masing-masing dibei nama sinus (sin), ksinus (cs), tangent (tan), ksekan (csec), sekain (sec) dan ktangen (ct). Pebandingan din atas disebut sebagai pebandingan tignmeti. Jadi pebandingan tignmeti adalah pebandinga atau asi anta sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Bedasakan uaian di atas maka dapat ditaik definisi sebagai beikut : Sin sisi hadap hiptunesa Cs sisi dekat hiptunesa Tan Sisi sisi hadap dekat C sec hiptenusa Sisi hadap Sec hiptenusa Sisi dekat Ct Sisi sisi dekat hadap
Cnth :. Diketahui segitiga siku-siku A dengan siku-siku di A, panjang sisi a cm, b dan c, dan A adalah, Tentukan pebandingan tignmeti sudut. Penelesaian C sin Csec A B Cs Sec Tan Ct. Jika sin tentukan pebandingan tignmeti lainna. Penelesaian Gambalah segitiga siku-siku dai infmasi pada sal. C Dengan menggunakan teema Pthagas maka kita panjang dapat diketahui: A B ( ) Sehingga nlai pebandingan tignmeti dapat kita tentukan, aitu : sin Csec Cs Sec Tan Ct
. Diketahui Cs, sudut lancip, tentukan nilai pebandingan tignmeti lainna. Penelesaian Gambalah segitiga siku-siku dai infmasi pada sal. R P Q Dengan menggunakan teema Pthagas maka pajang PQ kita temukan PR PR PR QR PQ Sehingga nilai pebandingan tignmeti dapat kita tentukan, aitu : Cs PQ QR QR Csec PR Sin PR QR Sec QR PQ Tan PR PQ PQ Ct PR Pebandingan tignmeti pada sudut istimewa Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai fungsi tignmeti dapat ditentukan secaa langsung tanpa menggunakan table tignmeti atau kalkulat. Sudut istimewa ang dimaksud adalah sudut-sudut ang besana : 0, 0,, 0, dan 90. Nilai fungsi tignmeti sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan caa menggambakan masing-masing sudut tesebut pada bidang catesius, kemudian dicai pebandingan sisi-sisina.
a). Nilai fungsi tignmeti untuk sudut 0 Jika sudut ά 0, maka kaki sudut OP beimpit dengan sumbu psitif. Kdinat titik P adalah (, 0) sehingga dan 0 P(, 0) Jika sudut ά 0, maka kdinat titik P adalah (, ) sehingga absis, dinat, maka dengan Pthagas didapat c). Nilai fungsi tignmeti untuk sudut Jika sudut ά, maka kdinat titik P adalah (, ) sehingga absis, dinat, maka dengan Pthagas didapat Dengan demikian nilai-nilai fungsi tignmeti sudut 0 dapat ditentukan sebagai beikut : 0 sin 0 0 cs 0 0 tan 0 0 b). Nilai fungsi tignmeti untuk sudut 0 P(, ) 0 Dengan demikian nilai-nilai fungsi tignmeti sudut 0 dapat ditentukan sebagai beikut : sin 0 cs 0 tan 0 Dengan demikian nilai-nilai fungsi tignmeti sudut dapat ditentukan sebagai beikut : P(, ) sin cs tan
d). Nilai fungsi tignmeti untuk sudut 0 Jika sudut ά 0, maka kdinat titik P adalah (, ) sehingga absis, dinat, maka dengan Pthagas didapat 0 P(, ) Dengan demikian nilai-nilai fungsi tignmeti sudut 0 dapat ditentukan sebagai beikut : sin 0 cs 0 tan 0 e). Nilai fungsi tignmeti untuk sudut 90 Jika sudut ά 90, maka kaki sudut OP beimpit dengan sumbu psitif. Kdinat titik P adalah (0, ) sehingga 0 dan P(0,) 90 0 Dai uaian di atas maka nilai pebandingan tignmeti sudut-sudut istimewa adalah sebagai beikut : S u d u t Pebandingan Tignmeti 0 0 0 90 Sinus (sin) 0 Ksinus (cs) Tangen (tan) 0 Dengan demikian nilai-nilai fungsi tignmeti sudut 90 dapat ditentukan sebagai beikut : sin 90 0 cs 90 0 tan90 ( tak tedefinisi) 0 0 Tidak tedefinisi
Cnth :. Diketahui segitiga siku-siku A, dengan panjang sisi a cm dan A 0, tentukan panjang sisi c dan b. Penelesaian 0 A b C. Rni menguku baangan sebuah tiang di tanah, dan tenata panjangna,8 m. Ia lalu menguku sudut antaa ujung baangan dengan ujung tiang dan hasilna 0, maka tinggi tiang sebenana adalah Penelesaian B c B sin 0 c b c b b c maka c 8 c 8 8 a a b b tan 0,8 ( ),8 0 C,8 m A jadi tinggi tiang adalah,8 m. Pada segitiga siku-siku, dengan siku pada B, panjang sisi c 7 cm. panjang sisi a 8 cm, maka besa sudut C adalah.. Penelesaian
7 B 8 C A tan C 7 tan C 8 tan C Jadi besa sudut C adalah 0. Nilai dai cs 0 cs 0 + sin 0 cs 0 Penelesaian cs0 cs0 + sin 0 cs0 + + + Pebandingan Tignmeti Sudut-sudut Beelasi a). Pada kuadan Petama Y Q P (, ) ά P (, ) 90 - ά ά O Q X Pada gamba di samping OP adalah baangan dai OP ang diceminkan tehadap gais OQ P dan OQP knguen, maka OQ OQ P Q PQ Kdinat P adalah (, ) dengan dan. Jadi kdinat P (, ). Sudut QOP 90 - ά Sin (90 - ά) cs ά sin (90 ά) cs ά Cs (90 ά) sin ά cs (90 ά) sin ά Tan (90 ά) ct ά tan (90 ά) ct ά
Cnth. sin 70 sin (90 0 ) cs 0. cs cs (90 ) sin. tan 8 tan (90 ) ct b). Pada kuadan Kedua Pada gamba di samping OQ P adalah P (, ) P(, ) 80 - ά ά ά Q - O Q baangan dai OQP ang diceminkan tehadap sumbu Q OP ά QOP QOP 80 ά Maka Sin (80 ά) sin ά Cs(80 ά) Tan (80 ά) -cs ά - tan ά Cnth :. sin sin (80 7) sin 7. cs Cs (80 ) - cs. tan 9 tan (80 8) - tan 8 c). Pada Kuadan Ketiga Q - ά - P (-, - ) 80 + ά P(, ) ά O Q Pada gamba di samping OQ P adalah baangan dai OQP ang diceminkan tehadap titik O Q OP ά QOP QOP 80 + ά Maka Sin (80 + ά) Cs(80 + ά) - sin ά -cs ά Tan (80 + ά) tan ά
Cnth. sin 90 sin (80 + 0) - sin 0. cs 0 cs (80 + 70) - cs 70. tan 0 tan (80 + ) tan d) Pada Kuadan Keempat Pada gamba di samping OQP adalah 0 - ά O ά ά P(, ) Q - P (, - ) baangan dai OQP ang diceminkan tehadap sumbu QOP ά QOP QOP 0 - ά Maka Sin (0 - ά) - sin ά Cs(0 - ά) cs ά Tan (0 - ά) -tan ά Nilai Pebandingan Tignmeti di bebagai kuadan Kuadan II : 90 0 β < 80 0 (+) Sin β / (-) Cs β - / (-) Tan β - / Sin β Sin (80 0 - β) - Csβ cs (80 0 - β) - Tan β tan (80 - β) Kuadan III: 80 0 < 70 0 (-) Sin - / (-) Cs - - / (+) Tan - /- - Sin Sin (80 0 + ) - Cs cs (80 0 + ) Tan tan (80 + ) Q (-, ) P (, ) β α γ R (-, - ) T (, - ) Kuadan I : 0 α < 90 0 (+) Sin α / (+) Cs α / (+) Tan α / Sin α cs (90 0 - α) Cs α Sin (90 0 - α) Tan α ct (90 - α) Kuadan IV : 70 0 γ < 0 0 (-) Sin γ - / (+) Cs γ - / (-) Tan γ - / - Sin γ Sin (80 0 - γ) Csγ cs (80 0 - γ) - Tan γ tan (80 - γ)
Cnth. Nilai dai Penelesaian sin + cs + tan 00 sin sin sin 0 ( 80 ) + cs( 0 ) + tan( 0 0) + cs + tan( 0) + + cs + tan 00. Jika cs dan teletak di kuadan empat, maka nilai sin dan tan adalah.. Penelesaian Diketahui : cs, maka nilai dan 9 7 Kaena teletak dikuadan empat maka nilia sin dan tan adalah negatif sin sin 7 tan tan. Suatu sudut tebentuk antaa sumbu dan gais ang melelui titik pusat O dan titik (, - ). Jika diketahui sudut lain ang tebentuk antaa sumbu dan gais ang melalui titik (-, ) dan titik pusat, tentukanlah pebandingan nilai kedua sinus kedua sudut tesebut. Penelesaian 7 Pehatikan gafik di samping, maka. (-, ) ά (, - ) + sin sin α + Jadi pebandinganna sin sinα
C. Rangkuman. Hubungan deajat dan adian adalah ad 80 atau ad 80. Misalkan A siku-siku di B, dengan A, Sisi miing disebut hiptunesa, sisi hadap dan sisi dekat, maka : a ) Sin b ) Cs c ) Tan sisi hadap hiptunesa sisi dekat hiptunesa Sisi sisi hadap dekat d ) C e ) sec Sec f ) Ct Sisi sisi hiptenusa Sisi hadap hiptenusa Sisi dekat dekat hadap. Nilai pebandingan tignmeti pada susut istimewa adalah S u d u t Pebandingan Tignmeti 0 0 0 90 Sinus (sin) 0 Ksinus (cs) Tangen (tan) 0. Rumus pebandingan tignmeti sudut beelasi a). Pada kuadan I Sin (90 - ά) cs ά Cs (90 ά) sin ά Tan (90 ά) ct ά b). Pada kuadan II Sin (80 ά) sin ά Cs(80 ά) - cs ά Tan (80 ά) - tan ά c). Pada kuadan III Sin (80 + ά) - sin ά Cs(80 + ά) -cs ά Tan (80 + ά) tan ά d). Pada kuadan IV Sin (0 - ά) - sin ά 0 Tidak tedefinisi
Cs(0 - ά) cs ά D. Lemba Keja Tan (0 - ά) -tan ά. Natakan besa sudut beikut kedalam satuan adian a. d. 0 b. 0 e. 0 8 c. 0 f. 0. Natakan besa sudut beikut ke dalam satuan deajat a. 00 ad d. 0,7 ad b. 0 ad e. 8 ad c. ad f.,8 ad. Tentukan nilai dai keenam pebandingan tignmeti dai segitiga beikut a. b. 8
. Tentukan nilai pebandingan tignmeti dai sudut pada kdinat catesius beikut : a. b. P (9, ) O Θ O Θ P (, - 9). Jika cs, tentukan nilai dai
a. sin b. tan c. ct. Diketahui tan 0,7 tentukan nilai a. Csec b. sec 7. Tentukan nilai dai a. cs 0.cs 0 sin 0.sin 0. tan 0 tan0 b.... + tan 0.tan 0 sin0 cs 0 + tan 0 c. sec0 ct0 0. 8. Jika diketahui tan 0 a, (a R dan a 0) natakan bentuk beikut dalam bentuk a.
tan0 tan0 a. + tan0 tan0 tan 0 tan0 b. tan 0 + tan 0 9. Jika adalah. tan, untuk < <, maka nilai dai sin sin.cs + cs 0. Jika cs α 0,, maka nilai dai sin α. tanα adalah
E. Tes Fmatif. Nilai ad adalah a. d. 8 b. 0 e. 7 c. 9. Pehatikan gamba di bawah, jaak titik R dengan gais hizntal adalah. a. ( + ) cm b. ( + ) cm c. cm d. cm e. cm cm O 0 R cm 0 Q cm 0 P hisntal. Jika P (-, - ) dan ά adalah sudut anta sumbu dengan gais ang melalui titik P dan titik asal, maka nilai cs ά adalah.. a. d. b. e. c.. Jika a. sin a, untuk 90 < a < 80 maka cs a adalah.. d.
b. c. e.. Segiempat AD di bawah, siku-siku di A dan C, D ά, CBD β. Jika AD p, maka a. p cs ά cs β b. p sin ά cs β c. d. e. cs β p sinα sin β p sinα sin β p csα D C Ά β A B. Segitiga A siku-siku di A. jika p, AD, DE dan sudut B β, maka panjang DE.. a. p cs β cs β b. p sin β c. p sin β cs β d. p sin β tan β e. p sin β cs β 7. Jika 0, nilai m dan n betuut-tuut adalah C β D E β β B A a. dan b. dan m c. dan d. dan e. dan 8. Diketahui 9 a. tan maka sec adalah d. 9
b. 9 8 c. 9 e. 9. Sin 8 a. sin 79 d. cs b. sin 89 e. cs 89 c. sin 0. cs 0 + sin 0 cs 90 a. b. 9 7 c. 0 d. e.. Diketahui sin 0 0,8; cs 0 0,7 dan tan 0 0,89. maka nilai dai sin 0 + cs 0 tan 0 adalah a. 0,79 d.,79 b. 0,97 e. 0,97 c.,79. cs 0 + sin + ct ( 0 ). a. d. b. e. c.. Diketahui tan, dengan dalam selang (, ), maka sin. a. b. - d. e. c. -. Nilai dai tan. sin.
a. d. b. e. c.. Bentuk sedehana dai cs(90 + A) + sin ( 80 A) sin ( 80 + A) sin( - A) adalah. a. sin A d. sin A b. sin A e. c. cs A. Cs (70 p ). a. cs p d. sin p b. sin p e. tan p c. cs p 7. Nilai dai tan. sin. a. d. b. e. d. 8. Nilai cs 0 0 adalah. a. d. ½ b. ½ e. ½ c. 9. q p 0 cm Pada gamba di atas nilai (p q) adalah a. d. b. e. ½
c. 9 0. Diketahui cs α untuk 0 < ά < 80 0 Nilai sin (- ά).. a. b. c. d. e.