SISTEM KOORDINAT SISTEM TRANSFORMASI KOORDINAT RG091521
Sistem Koordinat Parameter SistemKoordinat Koordinat Kartesian Koordinat Polar Sistem Koordinat Geosentrik Sistem Koordinat Toposentrik
Sistem Koordinat Posisi suatu titik dinyatakan dengan koordinat, baik dalam satu, dua, tiga, atau empat dimensi. Koordinat tidak hanya memberikan deskripsi tentang posisi, tetapi juga pergerakan suatu titik. Untuk menjamin konsistensi dan standardisasi, perlu ada satu sistem dalam menyatakan koordinat, hal ini terkait dengan kerangka koordinat, sistem koordinat. Pengertian kerangka koordinat adalah suatu himpunan dari sumbu-sumbu koordinat atau bangun geometrik yang lainnya, kepadanya posisi suatu titik ditentukan. Hubungan geometrik antara dua kerangka koordinat dinyatakan oleh kombinasi vektor translasi yang menetapkan posisi titik nol kerangka yang satu terhadap lainnya, dan matrik rotasi yang menyatakan orientasi kerangka yang satu terhadap yang lainnya.
Sistem Koordinat Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan posisi titik terhadap kerangka koordinat tertentu. Sebagai contoh, dalam sistem koodinat geodetik, lintang, bujur, dan tinggi ditentukan terhadap ellipsoida referensi menggunakan cara tertentu. Sistem koordinat ini mempermudah pendeskripsian, perhitungan, dan analisis, baik yang bersifat geometrik maupun dinamik
Sistem Referensi Koordinat Sistem referensi merupakan definisi secara konseptual secara lengkap bagaimana sistem koordinat ditentukan. Terkait dalam pendefinisian origin (titik pusat) dan orientasi dari sumbu-sumbu sistem koordinat. Termasuk yang mendasari model matematika dan model fisik. Kerangka referensi merupakan realisasi praktis dari sistem referensi melalui pengukuran dan pengamatan.
Parameter Sistem Koordinat
PARAMETER SISTEM KOORDINAT 1. Lokasi Titik Nol dari Sistem Koordinat Posisi suatu titik di permukaan bumi umumnya ditetapkan dalam/terhadap suatu sistem koordinat terestris. Titik nol dari sistem koordinat terestris ini dapat berlokasi di titik pusat massa bumi (sistem koordinat geosentrik), maupun di salah satu titik di permukaan bumi (sistem koordinat toposentrik).
PARAMETER SISTEM KOORDINAT 2. Orientasi dari Sumbu-sumbu Koordinat Posisi tiga-dimensi (3D) suatu titik di permukaan bumi umumnya dinyatakan dalam suatu sistem koordinat geosentrik. Tergantung dari parameter-parameter pendefinisi koordinat yang digunakan, dikenal dua sistem koordinat yang umum digunakan, yaitu sistem koordinat Kartesian (X,Y,Z) dan sistem koordinat Geodetik (L,B,h), yang keduanya diilustrasikan pada gambar berikut : Gambar 1: Sistem Koordinat Kartesian Dan Geodetik
PARAMETER SISTEM KOORDINAT Koordinat 3D suatu titik juga bisa dinyatakan dalam suatu sistem koordinat toposentrik, yaitu umumnya dalam bentuk sistem koordinat Kartesian (N,E,U) yang diilustrasikan pada gambar berikut. Gambar 2: Sistem Koordinat Toposentrik
PARAMETER SISTEM KOORDINAT 3. Besaran (kartesian, curvilinear) yang digunakan untuk mendefinisikan posisi suatu titik dalam sistem koordinat Posisi titik juga dapat dinyatakan dalam 2D, baik dalam (L,B), ataupun dalam suatu sistem proyeksi tertentu (x,y) seperti Polyeder, Traverse Mercator (TM) dan Universal Traverse Mercator (UTM).
Koordinat kartesian
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 2D Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua salib sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y, seperti digambarkan pada gambar 3 Y d P O X Gambar 3. Sistem Koordinat Kartesian 2D
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 2D jika d merupakan jarak antara dua titik, secara umum d dapat dihitung menggunakan persamaan sebagai berikut :
Dalam sistem koordinat kartesian dengan aksis x, y, z, posisi titik P ditentukan dalam vektor sebagai berikut : dimana x p, y p, z p adalah bilangan riil SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D = P P P P z y x X
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D Transformasi ke dalam sistem koordinat kartesian yang lain dengan aksis x, y, z, dapat ditentukan dengan, pertama melakukan rotasi terhadap sumbu z dengan sudut rotasi γ, maka dalam operasi matrik dapat ditunjukkan sebagai berikut : x P(z) = R 3 (γ )Xp cosγ sin γ R3 = sin γ cosγ 0 0 0 0 1
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D demikian juga rotasi R 1 untuk sumbu x dan R 2 untuk sumbu y, sebagai berikut : R 1 = 1 0 0 0 cosα sinα 0 sinα cosα R 2 cos β = 0 sin β 0 1 0 sin β 0 cos β
SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D Jika menggunakan sistem koordinat tangan kanan, dan rotasi berlawanan arah jarum jam bernilai positif, maka transformasi koordinat dua sistem tersebut dapat ditunjukkan dalam persamaan : x P(x,y,z) = R 1 ( α).r 2 (β ).R 3 ( γ).x P atau x P(x,y,z) = R ( α,β,γ).x P R( α, β, γ ) = cos β cosγ sinα sin β cosγ cosα sin λ cosα sin β cosγ + sinα sin γ cos β sin γ sinα sin β sin γ + cosα cosγ cosα sin β sin γ sinα cosγ sin β sinα cos β cosα cos β
Jika sudut rotasi sangat kecil, cos α 1 dan sin α α (dalam radian), dengan pengabaian dalam orde tinggi, maka : SISTEM KOORDINAT KARTESIAN 3D = 1 1 1 ),, ( α β α γ β γ γ β R α
Sistem Koordinat Polar
KOORDINAT POLAR Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Selanjutnya dapat dijelaskan pada gambar 5 berikut ini. P O θ X Gambar 5 : Sistem Koordinat Polar
KOORDINAT POLAR Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.
Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar Dari gambar, maka dapat diketahui hubungan secara matematis antara koordinat kartesian dan polar, y P dan r θ dan O x Gambar 6. Hubungan Sistem Koordinat Kartesian dan Polar
Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak. Gunakan relasi: x = r cos θ, y = r sin θ Maka r 2 = x 2 + y 2, tan θ = y/x, jika x 0 Catt. menentukan θ Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -π/2 < θ < π/2 à θ = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3, θ = π + arctan(y/x).
Hubungan Koordinat Kartesian dengan Koordinat Polar Contoh: Konversikan persamaan polar r = 2 sin θ kedalam sistem koordinat tegak/kartesian. Jawab: Kalikan kedua sisi dengan r: r 2 = 2r sin θ x 2 + y 2 = 2y x 2 + y 2-2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x 2 + (y -1) 2 = 1
Sistem koordinat geosentrik
Sistem Koordinat Geosentrik Gambar 7 : Sistem koordinat geosentrik
Sistem Koordinat Geosentrik ü ü Definisi : Penentuan posisi suatu titik di permukaan bumi, dimana titik nol-nya berlokasi di titik pusat massa bumi. Sistem koordinat geosentrik biasanya digunakan sistem koodinat untuk menentukan posisi titik titik di permukaan bumi dengan menggunakan satelit GPS.
Sistem Koordinat Toposentrik
Sistem Koordinat Toposentrik Gambar 9 : Sistem koordinat toposentrik
Sistem Koordinat Toposentrik Ø Definisi:Penentuan posisi suatu titik di permukaan bumi dimana titik nol-nya berlokasi di satu titik di permukaan bumi. Ø Sistem koordinat toposentrik biasanya digunakan untuk menentukan posisi terestis.
Sistem Koordinat Toposentrik dan Geosentrik Gambar 7 : Sistem toposentrik dan geosentrik
Sistem Koordinat Toposentrik dan Geosentrik Perhatikan gambar 7. (XYZ) merupakan sistem koordinat geosentrik (siku-siku ruang). Titik O berhimpit dengan ellipsoida referensi. Sumbu (XY) terletak pada bidang ekuator geodetik. Sumbu X merupakan perpotongan bidang meridian Greenwich (GR) dengan bidang ekuator. Sumbu Y tegak lurus sumbu X ke arah timur. Sumbu Z berimpit dengan sumbu pendek dan sejajar sumbu rotasi bumi. (e n h) merupakan sistem koordinat toposentrik di titik P 1 sebagai titik nol (L 1 B 1 h 1 ). Sumbu h + berimpit dengn garis normal ellipsoida melalui P 1 ke arah luar. Sumbu n+ sejajar garis singgung pada meridian P 1 ke arah utara. Sumbu e + sejajar garis singgung pada irisan normal utama di P 1 ke arah timur.
Question?
Soal 1. Sebutkan dan beri contoh parameter sistem koordinat! 2. Jelaskan perbedaan antara sistem koordinat geosentrik dan toposentrik! 3. Konversikan persamaan polar r = 4 cos θ kedalam sistem koordinat kartesian.