Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

. Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam bentuk a+by=c, dimana a, b, dan c adalah konstan real (a dan b tidak nol), disebut persamaan linear. Grafik persamaan ini adalah garis lurus dalam plan y. Sepasang nilai dan y yang menyajikan hasil dari persamaan disebut solusi.

Solusi untuk sistem persamaan linear Gambar. Solusi unik + y = 5 y = Beririsan pada (, ) Solusi unik: =, y =. Gambar. Tidak ada solusi + y = + y = Garis berupa paralel. Tidak ada irisan, tidak ada solusi. Gambar. Banyak solusi y = 6 6 y = 9 Kedua persamaan mempunyai grafik yang sama. Titik pada grafik merupakan solusi. Banyak solusi.

Definisi Persamaan linear dalam n variabel,,,, n berbentuk a + a + a + + a n n = b dimana koefisien a, a, a,, a n dan b merupakan konstanta. Macammacam bilangan: bilangan natural, integer, bilangan rasional, bilangan real, bilangan kompleks positif, negatif

Persamaan linear dalam tiga variabel terkait dengan bidang dalam ruang tiga dimensi. Sistem mempunyai tiga persamaan linear dalam tiga variabel: Solusi unik

Tidak ada solusi Banyak solusi

Bagaimana menyelesaikan persamaan linear? Eliminasi GaussJordan

Definisi Matri merupakan larik persegi dari sebuah bilangan. Bilangan dalam larik disebut unsur dari matriks. Matriks 9 8 5 6 5 C 8 5 7 B 5 7 A

Submatriks matriks A 5 7 A Baris dan Kolom kolom kolom kolom baris row 5 7 5 7 5 7 A A submatriksdari 5 7 5 7 R Q P

Matriks Identitas ukuran diagonal,,i I I Lokasi 7, 5 7 a a A A ij baris i, kolom j lokasi (,) = Ukuran dan Tipe Matriks kolom Matriks baris Matriks bujur sangkar Matriks Matriks Matriks Ukuran : 8 5 8 8 5 9 7 5 5

Koefisien dan penambahan matriks 6 Hubungan antara sistem persamaan linear dan matriks Koefisien matriks yang ditambahkan Matriks 6

Operasi Baris Dasar Matriks Transformasi Dasar. Menukar dua persamaan.. Mengalikan dua sisi dari persamaan dengan konstanta bukan nol.. Menjumlah perkalian dari satu persamaan dengan persamaan yang lain. Operasi Baris Matriks. Menukar dua baris matriks.. Mengalikan unsurunsur baris dengan konstanta bukan nol.. Menjumlah perkalian matriks dari unsurunsur satu baris dengan unsur baris yang lain.

Contoh Selesaikan sistem persamaan linear berikut! 6 6 6 Solusi Metode persamaan Sistem awal: Metode matriks analog Penambahan matriks: Pers+( )Pers Pers+( )Pers 8 R+( )R R+( )R Ekuivalen baris 8

5 5 Pers+( )Pers Pers+()Pers ( /5)Pers Pers+( )Pers Pers+Pers Solusi :.,, Solusi :.,, 8 8 R+( )R R+()R ( /5)R R+( )R R+R

Kesimpulan metode eliminasi: Suatu persamaan dengan penyelesaian matriks R+R R R+R Intinya :

Contoh Selesaikan sistem persamaan linear berikut : 8 8 5 Solusi : 8 8 5 6 R 6 8 8 R R )R ( R )R ( R ()R R R R R )R ( R. solusi

Contoh Selesaikan sistem berikut : 7 8 6 8 7 8 6 8 7 8 6 5 6 5 5..,, adalah Solusinya R R R )R ( R R R 5 6 R )R ( R R R )R ( R Solusi :

Ch_8 Kesimpulan 7 8 6 8 ] : [ B A A B Gunakan operasi baris ke bentuk [A: B] :. 7 8 6 8 ] : [ ] : [ X I B A n yaitu Definisi [I n : X] disebut bentuk baris terkurangi dari [A : B]. Catatan.. Jika A adalah koefisien matriks dari sistem persamaan n dalam variabel n yang mempunyai solusi unik, maka A adalah ekuivalen baris dengan I n (A I n ).. Jika A I n, maka sistem mempunyai solusi unik. 7 8 6 8

Contoh banyak sistem Selesaikan sistem persamaan linear dari persamaan linear berikut : untuk b b b menjadi sehingga,, 8 b b b Solusi : 8.,, 5 8 5 R+( )R R+R )R ( R R R R R )R ( R Solusi sistem

. Eliminasi GaussJordan Definisi Matriks dalam bentuk baris terkurangi jika. Suatu baris terdiri dari nol dikelompokkan di bawah matriks.. Unsur pertama bukan nol dari setiap baris yang lain adalah. Unsur ini disebut leading.. Leading dari setiap baris setelah baris yang pertama diposisikan di kanan dari baris sebelumnya.. Semua unsur yang lain dalam kolom terdiri dari nol.

Ch_ Contoh untuk bentuk baris terkurangi 9 7 8 () () () () Operasi baris dasar, bentuk baris terkurangi Bentuk baris terkurangi dari matriks adalah unik.

Eliminasi GaussJordan System persamaan linear matriks yang ditambahkan bentuk baris terkurangi solusi

)R ( R 6 5 )R ( R R R Contoh Gunakan metode eliminasi GaussJordan untuk mencari bentuk baris terkurangi dari matriks berikut : 9 Solusi : 9 R R pivot (leading ) R pivot 6 5 7 R R )R ( R Matriks hasil merupakan bentuk baris terkurangi dari matriks yang diberikan. R

Contoh Selesaikan, jika mungkin, sistem persamaan : 7 5 7 9 Solusi : 7 5 7 7 5 7 9 R )R ( R )R ( R R R R R Solusi umum ke sistem adalah. adalah bilangan real(disebut parameter), dimana r r r r

Contoh Contoh ini menggambarkan bahwa solusi umum dapat melibatkan bilangan parameter. Selesaikan sistem persamaan berikut : 6 7 Solusi : 6 7 R R )R ( R R R )R ( R., untuk, R s r s r s r banyak penyelesaian

Contoh Contoh ilustrasi sistem yang tidak ada solusi. Selesaikan sistem berikut : 8 5 Solusi : )R ( R )R ( R Sistem yang tidak mempunyai solusi 5 8 5 )R ( R + + =

Sistem Persamaan Linear Homogen Definisi Sistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua konstanta adalah nol. Contoh: Amati bahwa 5 6,, merupakan solusi Teorema. Sistem persamaan linear homogen dalam n variabel selalu mempunyai solusi =, =., n =. Solusi ini disebut solusi trivial (sepele).

Sistem Persamaan Linear Homogen Teorema. Sistem persamaan linear yang mempunyai banyak variabel daripada persamaan yang mempunyai banyak solusi. Catatan: Solusi trivial 6 5 6 5 Sistem mempunyai solusi nontrivial yang lain. r r r,, Contoh:

. Ruang Vektor R n Sistem koordinat persegi Ada dua cara menginterpretasikan (5,) mendefinisikan lokasi titik dalam bidang mendefinisikan vektor posisi OA Asal:(, ) Vektor posisi : Titik awal dari OA OA OA : O Titik akhir dari : A(5, ) Pasangan terurut : (a, b) Gambar.5

Contoh Gambar vektor posisi OA (, ), OB (5, ) dan OC (, ). Gambar.6

R R Gambar.7

Definisi ( u, u,..., u Untuk n merupakan urutan n bilangan real. Himpunan semua urutan disebut nruang dan didenotasikan R n. u merupakan komponen awal dari komponen kedua dan seterusnya. ) ( u, u,..., u n ), u merupakan Contoh : R merupakan himpunan urutan bilangan real. Contoh, (,,, ) dan (,, 5., ) merupakan R. R 5 merupakan himpunan urutan dari 5 bilangan real. Contoh, (,,,, 9) ada dalam himpunan ini.

Definisi Untuk u u, u,..., u ) and v ( v, v,..., v ) ada dua unsur dari R n. ( n n Dapat dikatakan bahwa u dan v adalah sama jika u = v,, u n = v n. Lalu dua unsur dari R n adalah sama jika komponen terkait adalah sama. Definisi Untuk u ( u, u,..., un) and v ( v, v,..., vn) ada unsurunsur dari R n dan untuk c menjadi skalar. Perkalian dan penjumlahan skalar dihasilkan dari : Penjumlahan Perkalian skalar Catatan. Penjumlahan dan Perkalian Skalar u v ( u v,..., u cu ( cu,..., cu ) n n v () u, v R n u+v R n (R n adalah tertutup dalam penjumlahan) () u R n, c R cu R n (R n adalah tertutup dalam perkalian skalar) n )

Contoh Untuk u = (,,, 7) dan v = (,,, ) berupa vektor di R. Cari u + v dan u. Solusi : u v (,,, 7) (,,, ) (,,, 7) u (,,, 7) (,,9, ) Contoh Menurut vector (, ) dan (, ), didapatkan (, ) + (, ) = (6, ). Gambar.8

Umumnya, jika u dan v merupakan vektor dalam ruang vektor yang sama, maka u + v merupakan diagonal dari parallelogram yang didefinisikan oleh u dan v. Gambar.9

Contoh Menurut perkalian skalar dari vektor (, ) oleh, didapatkan (, ) = (6, ) Amati pada gambar.6 dimana (6, ) merupakan vektor pada arah yang sama sebagai (, ), dan kali panjangnya. Gambar.

c > < c < < c < c < Gambar. Umumnya, arah cu akan sama dengan arah u jika c >, dan arah berlawanan u jika c <. Panjang cu adalah c kali panjang dari u.

Vektor khusus Vektor (,,, ), mempunyai komponen n nol, disebut vektor nol dari R n dan didenotasikan. Vektor Negatif Vektor ( )u ditulis u dan disebut negatif dari u. Vektor mempunyai magnitudo yang sama sebagai u, tetapi berada pada arah yang berlawanan dengan u. u Pengurangan u Pengurangan dihasilkan pada unsurunsur dari R n oleh pengurangan komponen terkait. Misal, dalam R, (5,, 6) (,, ) = (,, 9)

Teorema. Untuk u, v, dan w berupa vektor dalam R n dan untuk c dan d berupa skalar. (a) u + v = v + u (b) u + (v + w) = (u + v) + w (c) u + = + u = u (d) u + ( u) = (e) c(u + v) = cu + cv (f) (c + d)u = cu + du (g) c(du) = (cd)u (h) u = u Gambar. Komutatif dari penjumlahan vektor u + v = v + u

Vektor kombinasi linear au +bv + cw merupakan kombinasi linear dari vektor u, v, dan w. Contoh 5 Untuk u = (, 5, ), v = (,, 9), w = (,, ). Tentukan kombinasi linear u v + w. Solusi u v w (, 5, ) (,, 9) (,, ) (,, 6) (,, 7) (,, ) (,, 6 7 ) (, 7, )

Vektor Kolom n n n n v u v u v v u u Penjumlahan dan perkalian skalar dari vektor kolom dalam R n dalam sifat komponen: and n cu n cu u u c Vektor baris: Vektor kolom: ),...,, ( n u u u u u n u

Subruang R n Subhimpunan dari ruang vektor R n yang mempunyai semua sifat aljabar dari R n. Subhimpunan tersebut disebut subruang. Definisi SubhimpunanS dari R n perkalian skalar. adalah subruang jika penjumlahan tertutup dan Perlu diingat : () u, v S u+v S (S merupakan penjumlahan ter tutup) () u S, c R cu S (S merupakan perkalian skalar tertutup)

Contoh 6 Menurut subhimpunan W dari R dari bentuk vektor (a, a). Tunjukkan bahwa W adalah subruang dari R. Bukti Untuk u = (a, a), v = (b, b) W, dan k R. u + v = (a, a) + (b, b) = (a+ b, a + b) = (a + b, (a + b)) W dan ku = k(a, a) = (ka, ka) W Lalu u + v W dan ku W. W merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar. W merupakan subruang dari R. Amati: W merupakan himpunan vektor yang dapat ditulis a(,). Gambar.

Contoh 7 Menurut sistem persamaan linear homogen dapat ditunjukkan bahwa ada banyak solusi =r, =5r, =r. Dan dapat dituliskan solusi ini sebagai vektor dalam R sebagai (r, 5r, r). Tunjukkan bahwa himpunan dari solusi W merupakan Subruang dari R. 5 Bukti Untuk u = (r, 5r, r), v = (s, 5s, s) W, dan k R. u + v = ((r+s), 5(r+s), r+s) W dan ku = (kr, 5kr, kr) W Lalu u + v W dan ku W. W merupakan subruang dari R. Amati: W merupakan himpunan vektor yang dapat ditulis r(,5,). Gambar.

. Basis and Dimension Basis: himpunan vektor yang biasanya digunakan untuk mendeskripsikan ruang vektor. Basis standar dari R n Menurut vektor (,, ), (,, ), (,, ) dalam R. Vektorvektor ini mempunyai dua sifat yang sangat penting: (i)dikatakan span R, merupakan pengaturan vektor (, y, z) sebagai kombinasi linear dari tiga vektor: Untuk suatu (,y,z) R (,y,z) = (,, ) + y(,, ) + z(,, ) (ii)dikatakan linear bebas. Jika p(,, ) + q(,, ) +r(,, ) = (,, ) p =, q =, r = merupakan solusi unik. Himpunan vektor yang terdiri dari dua sifat disebut basis.

Ada banyak basis untuk R himpunan span R dan linear bebas. Contoh, himpunan {(,, ), (,, ), (,, )} merupakan basis untuk R. Himpunan {(,, ), (,, ), (,, )} merupakan basis yang paling penting untuk R, disebut basis standar dari R. R : ruang dua dimensi R : ruang tiga dimensi Himpunan {(,,, ), (,,, ),, (,, )} dari n vektor adalah basis standar untuk R n. Dimensi dari R n adalah n.

Span, Linear bebas, dan Basis Vektor v, v, dan v dikatakan span sebuah ruang jika setiap vektor v berada dalam ruang yang dapat diungkapkan sebagai kombinasi linear darinya, v = av + bv + cv. Vektor v, v, dan v dikatakan linear bebas jika identitas pv + qv + rv m = is hanya benar untuk p =, q =, r =. Basis untuk ruang merupakan himpunan yang span ruang dan linear bebas. Bilangan vektor dalam basis disebut dimensi dari ruang.

Contoh Menurut subhimpunan W dari R terdiri dari vektor berbentuk (a, b, a+b). Vektor (, 5, 7)W, dimana (, 5, 9)W. Tunjukkan bahwa W merupakan subruang dari R. Bukti Untuk u=(a, b, a+b) dan v=(c, d, c+d) berupa vektor dalam W dan k berupa skalar. () u+v = (a, b, a+b) + (c, d, c+d) = (a+c, b+d, (a+c)+(b+d)) u+v W () ku = k(a, b, a+b) = (ka, kb, ka+kb) ku W W merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar. W merupakan subruang dari R.

Contoh (lanjutan) Pisahkan variabel sesuai dengan vektor u. u = (a, b, a+b) = (a,, a) + (, b, b) = a(,, ) + b(,, ) Vektor (,, ) dan (,, ) lalu span W. Sehingga, p(,, ) + q(,, ) = (,, ) dengan p= dan q=. Dua vektor (,, ) dan (,, ) merupakan linear bebas. Himpunan {(,, ), (,, )} merupakan basis untuk W. Dimensi dari W, dim(w)=.

Contoh Menurut subhimpunan V dari R, vektornya berbentuk (a, a, a). Tunjukkan bahwa V merupakan subruang dari R dan cari basis. Solusi (subruang) Untuk u=(a, a, a) dan v=(b, b, b) berupa vektor dalam V dan k berupa skalar. () u+v = (a+b, (a+b), (a+b)) u+v V () ku = k(a, a, a) = (ka, ka, ka) ku V V merupakan penjumlahan tertutup dan perkalian skalar. V merupakan subruang dari R. (basis) u = (a, a, a) = a(,, ) {(,, )} merupakan basis untuk V. dim(v) =.

Contoh Menurut sistem persamaan linear homogen berikut : Dapat ditunjukkan ada banyak solusi = r s, = r, = r, = s. Tuliskan solusi tersebut sebagai vektor dalam R, (r s, r, r, s). Dapat ditunjukkan bahwa himpunan tersebut merupakan subruang W dari R. Cari basis untuk W dan berikan dimensinya. Solusi () (r s, r, r, s) = r(,,, ) + s(,,, ) {(,,, ), (,,, ) } merupakan basis untuk W. dim(w) =. () Jika p(,,, ) + q(,,, ) = (,,, ), maka p=, q=.

.5 Produc dot, Norm, Sudut, dan Jarak Pokok bahasan ini membangun geometri untuk ruang vektor R n. Definisi u ( u, u,..., u ) dan v ( v, v,..., v Untuk n n berupa dua vektor dalam R n. Produk dot dari u dan v didenotasikan u v dan didefinisikan oleh. u v u v u n v n Produk dot menempatkan bilangan real pada setiap pasangan vektor. ) Produk dot merupakan tool yang digunakan untuk membuat geometri R n. Contoh Cari produk dot dari u = (,, ) dan v = (,, ) Solusi u v Ch_5 ( ) () () 8

Sifatsifat Produk Dot Untuk u, v, dan w berupa vektor dalam R n dan untuk c berupa skalar, maka. u v = v u. (u + v) w = u w + v w. cu v = c(u v) = u cv. u u, and u u = jika dan hanya jika u = Bukti. Untuk u ( u u v uv v u, u u v v u u u u,..., u n n n ) dan v ( v v u n n, v. u u nun u un u u n u u, lalu u u., jika dan hanya Lalu u u n jika dan hanya jika u.,..., v n ).Didapatkan dengan sifat komutatif bilangan real jika u,, u n.

Norm (panjang) dari Vektor dalam R n Gambar.7 Definisi Norm (panjang atau magnitudo) dari vektor u = (u,, u n ) dalam R n didenotasikan u dan didefinisikan oleh u u u n Catatan: Norm dari vektor dapat ditulis dalam produk dot u u u

Contoh Cari norm dari vektor u = (,, 5) dari R dan v = (,,, ) dari R. Solusi u () () (5) 9 5 5 v () () () () 9 6 6 Definisi Vektor satuan merupakan vektor yang mempunyai norm =. Jika v merupakan vektor bukan nol, maka vektor merupakan vektor satuan dalam arah v. u v v Prosedur dari pembuatan vektor satuan pada arah yang sama sebagaimana vektor yang diberikan disebut normalisasi vektor.

Contoh Cari norm dari vektor (,, ). Normalisasi vektor tersebut. Solusi Norm dari (,, ) adalah (,, ) (). Vektor ternormalisasi adalah Vektor dapat ditulis sebagai. (,, ) Vektor tersebut merupakan vektor satuan pada arah (,, ).,,.

Sudut antar Vektor (R ) Untuk u=(a, b) dan v=(c, d). Cari sudut q antara u dan v. Hukum cosinus memberikan Didapatkan, Gambar.8 q

Sudut antara Vektor (R n ) Definisi Untuk u dan v berupa dua vektor bukan nol dalam R n. Cosinus dari sudut q antara vektor tersebut adalah u v cosq u v q Contoh Tentukan sudut antara vektor u = (,, ) dan v = (,, ) dalam R. Solusi u v (,, ) (,,) Lalu u u v cosq u v, v sudut antara u dan v merupakan / (atau 5).

Definisi Dua vektor bukan nol merupakan orthogonal jika sudut antara mereka merupakan sudut yang sesuai dengan nilai cosnya sama dengan. Teorema. Dua vektor bukan nol u dan v merupakan orthogonal jika dan hanya jika u v =. Bukti u, v merupakan orthogonal cosq u v Contoh Vektor (,, ) dan (,, ) merupakan orthogonal karena (,, ) (,, ) = ( ) + ( ) + ( ) = 6 + =.

Sifatsifat basis standar dari R n (, ), (,) merupakan vektor satuan orthogonal dalam R. (,, ), (,, ), (,, ) merupakan vektor satuan orthogonal dalam R. Himpunan dari vektor satuan pasangan orthogonal adalah himpunan orthonormal. Basis standar dari R n, {(,,, ), (,,,, ),, (,,, )} merupakan himpunan orthonormal.

Contoh (a) Untuk w berupa vektor dalam R n. Untuk W berupa himpunan vektor yang orthogonal pada w. Tunjukkan bahwa W merupakan subruang dari R n. (b) Cari basis dari subhimpunan W dari vektor dalam R bahwa orthogonal pada w=(,, ). Berikan dimensi dan deskripsi geometris dari W. Solusi (a) Untuk u, vw. Karena uw dan vw, sehingga uw= dan vw=. (u+v)w = uw + vw = u+v w u+v W Jika c adalah skalar, c(uw) = cuw = cu w cu W W merupakan subruang dari R n. (b) Untuk (a, b, c)w dan (a, b, c)w, maka (a, b, c)(,, )= a+b+c= W merupakan himpunan {(a, b, a b) a, b R} Karena (a, b, a b) = a(,, ) + b(,, ). Jelas bahwa {(,, ), (,, )} merupakan basis untuk W dim(w)=

Contoh (lanjutan) W merupakan bidang dalam R didefinisikan oleh (,, ) dan (,, ). Gambar.9

Jarak antar titik Jarak antara =(, ) dan y =(y, y ) adalah ( y y) ( ) Turunan ungkapan R n. Definisi. Untuk =(,,, n ) dan y=(y, y,, y n ) berupa dua titik di R n. Jarak antara dan y didenotasikan d(, y) dan didefinisikan oleh d (, y) ( y) ( n yn) Catatan: Dapat dituliskan jarak sebagaimana berikut. d(, y) y y y Contoh Tentukan jarak antar titik = (,,, ) dan y = (,,, 5) dalam R. Solusi d(, y) ( ) ( ) ( ) ( 5) 7

Contoh 5 Buktikan jarak di R n yang mempunyai sifat simetris : d(, y)=d(y, ) untuk suatu, y R n. Solusi Untuk (,,..., n) dan y ( y, y,..., n y ) d (, y) ( y) ( n yn) ( y ) ( yn n) d( y, )

Teorema.5 Ketidaksamaan CauchySchwartz. Jika u dan v merupakan vektor di R n maka u v u v dimana u v didenotasikan nilai absolut dari bilangan uv.

Teorema.6 Untuk u dan v berupa vektor dalam R n. (a) (a) Ketidaksamaan segitiga: u + v u + v. Teorema Pythagorean: Jika u v = maka u + v = u + v. Gambar.

Terima Kasih