4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha suatu gejala tertetu berpola seperti perubaha ilai-ilai suku sebuah deret, baik deret hitug maupu deret ukur, maka teori deret yag bersagkuta relevat diterapka utuk megaalisisya. Namu demikia, sebelum membahas lebih jauh tetag kosep deret, terlebih dahulu aka dibahas tetag kosep otasi sigma. Notasi sigma merupaka sebuah tada yag diguaka utuk meuliska suatu pejumlaha secara sigkat. Notasi sigma ditulis dega lambag Ʃ. lambag tersebut merupaka huruf besar Yuai yag berasal dari kata sum yag artiya jumlah. Secara umum, sigma didefeisika sebagai berikut: U U U... U U (4.1) 1 3 i i1 Ui dibaca pejumlaha suku U i, utuk i = 1 sampai dega i =. i1 i adalah ideks pejumlaha, 1 adalah batas bawah, da adalah batas atas. Cotoh 1 Tuliska betuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 ke dalam betuk otasi sigma. Peyelesaia U 1 = 1 = (1) 1 U = 3 = () 1 U 3 = 5 = (3) 1 U 4 = 7 = (4) 1 1 Matematika Ekoomi
U 5 = 11 = (5) 1 sehigga, otasi sigma dari betuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 adalah 5 i 1. i1 Cotoh Tuliska betuk 3 4 5 6 1 ke dalam betuk otasi sigma. 3 5 7 9 11 Peyelesaia 1 1 U 1 1 1 1 1 U 3 1 3 3 U3 5 3 1 4 4 U4 7 4 1 5 5 U5 9 5 1 6 6 U6 11 6 1 sehigga, otasi sigma dari betuk 3 4 5 6 1 adalah 3 5 7 9 11 6 i. i1 ( i) 1 4.1.Deret Hitug (Deret Aritmetika) Deret hitug adalah deret yag perubaha suku-sukuya berdasarka pejumlaha terhadap sebuah bilaga tertetu. Bilaga yag membedaka suku-suku dari deret hitug ii diamaka pembeda diotasika dega b, yag tak lai merupaka selisih atara ilai-ilai dua suku yag beruruta. b = U U 1 = U 3 U = U U -1 (4.) Misalya: deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9, memiliki beda, b =. Misalka suku pertama diyataka dega a, maka betuk umum dari deret hitug adalah sebagai berikut: a + (a + b) + (a + b) +... + (a + ( 1)b) (4.3) 4.1.1. Suku ke- dari Deret Hitug (U ) Besarya ilai suku ke- (U ) dari sebuah deret hitug dapat diketahui dega megguaka rumus berikut: Matematika Ekoomi
U = a + ( 1)b (4.4) Cotoh 3 Tetuka suku ke-10 dari deret hitug 1 + 3 + 5 + 7 + 9. Peyelesaia: Diketahui U 1 = a = 1; U = 3. Jadi b = U U 1 = 3 1 =. Dega megguaka rumus U, perhatika bahwa: U = 1 + ( 1) x = 3 U 3 = 1 + (3 1) x = 5 U 4 = 1 + (4 1) x = 7 U 5 = 1 + (5 1) x = 9 Dari sii, maka dega mudah dapat diketahui suku ke-10 dari deret hitug tersebut, yaitu: U 10 = 1 + (10 1) x = 1 + 18 = 19. Jadi, suku ke-10 dari deret hitug 1 + 3 + 5 + 7 + 9 adalah 19. 4.1.. Jumlah Suku Pertama (S ) Jumlah sebuah deret hitug sampai dega suku tertetu tak lai adalah jumlah ilai suku-sukuya, mulai dari suku pertama sampai dega suku ke- dari deret yag dimaksud. S U U U U... U (4.5) i 1 3 i1 Utuk = 4, maka jumlah 4 suku pertama adalah 4 S U U U U U 4 i 1 3 4 i1 Utuk = 5, maka jumlah 5 suku pertama adalah 5 S U U U U U U 5 i 1 3 4 5 i1 Utuk = 6, maka jumlah 6 suku pertama adalah 6 S U U U U U U U 6 i 1 3 4 5 6 i1 3 Matematika Ekoomi
Dega megguaka betuk umum U = a + ( 1)b, makas masig-masig S 4, S 5, da S 6, dapat ditulis kembali mejadi: S 4 = a + (a + b) + (a + b) + (a + 3b) = 4a + 6b S 5 = a + (a + b) + (a + b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b S 6 = a + (a + b) + (a + b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)= 6a + 15b Dega memperhatika pola dari masig-masig S 4, S 5, da S 6, maka betukya dapat ditulis kembali mejadi: 4 S4 4a 6b 4a 4 1b 5 S5 5a 10b 5a 5 1b 6 S6 6a 15b 6a 6 1b Sehigga secara umum dapat ditulis mejadi S a 1b a 1b (4.6) Persamaa (4.6) masih bisa disederhaaka mejadi: S a 1b a a 1 b a U Sehigga, jumlah suku pertama dari deret hitug adalah S a U atau (4.7) S a 1b (4.8) Cotoh 4 Jumlah 10 suku pertama pada cotoh 1 sebesar 10 S10 a U10 5119 5(0) 100 4 Matematika Ekoomi
Catata: Perhatika bahwa cotoh cuma mehasilka jumlah 10 suku pertama dari deret hitug sebagaimaa yag terlihat pada cotoh 1. Cara ii tidak memperlihatka secara jelas berapa ilai dari masig-masig suku pertama sampai dega suku kesepuluh. Utuk megetahui berapa besar suku ke-6 sampai dega suku ke-10, maka kita bisa megguaka rumus sebagaiamaa yag diperlihatka pada cotoh 1. 4.. Deret Ukur (Deret Geometri) Deret ukur adalah deret yag perubaha suku-sukuya berdasarka perkalia terhadap sebuah bilaga tertetu. Perbadiga atara dua suku yag beruruta selalu tetap. Perbadiga tersebut disebut dega rasio yag dilambagka dega r. r U (4.9) U 1 Jika suku pertama dimisalka dega a, maka betuk umum deret ukur adalah: a + ar + ar + ar 3 +... + ar -1 (4.10) 4..1. Suku ke- dari Deret Ukur Apabila a meyataka suku pertama, meyataka bayakya suku da r sebagai rasio, maka suku ke- dari deret ukur adalah: U = ar -1 (4.11) 4... Jumlah Suku Seperti halya dalam deret hitug, jumlah sebuah deret ukur sampai dega suku tertetu adalah jumlah ilai suku-sukuya sejak suku pertama sampai dega suku ke-. S U U U U... U (4.1) i 1 3 i1 Utuk U = ar -1, maka 5 Matematika Ekoomi
S a ar ar... ar ar 1 Jika kedua ruas dikalika dega r maka diperoleh: 3 1 rs ar ar ar... ar ar Sehigga, S rs a ar 1 1 S p a r Dari sii, maka jumlah suku pertama deret ukur adalah: S S a 1 r 1 r a r 1 r 1, utuk r < 1, da (4.13), utuk r > 1. (4.14) Cotoh 5 Diketahui sebuah deret berikut: 5 + 10 + 0 + 40 + 80 Tetuka suku ke 8, kemudia tetuka berapa jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut. Peyelesaia Diketahui: U 1 = a = 5; U = 10; U 3 = 10; U 4 = 10; U 5 = 10. Sehigga r U U U U 1 1 10 5 Utuk = 8, a = 5, da r =, maka U 8 = (5)() 8-1 = 5 x 7 = 5 x 18 = 640. Jadi, suku ke-8 dari deret tersebut adalah 640. Selajutya, karea r = > 1, maka jumlah 8 suku pertama dari deret yag dimaksud adalah: S 8 8 5 1 5(56 1) 175 1 6 Matematika Ekoomi
Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 175. 4.3. Peerapa Ekoomi Dibidag bisis da ekoomi, prisip-prisip deret serig diterapka dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha. Apabila perkembaga atau pertumbuha suatu gejala tertetu berpola seperti perubaha ilai-ilai suku sebuah deret, baik deret hitug ataupu deret ukur, maka teori deret yag bersagkuta relevat diterapka utuk megaalisaya. 4.3.1. Model Perkembaga Usaha Jika perkembaga variabel-variabel tertetu dalam kegiata usaha misalya produksi, biaya, pedapata, pegguaa teaga kerja, atau peaama modal berpola seperti deret hitug, maka prisip-prisip deret hitug dapat diguaka utuk megaalisa perkembaga variabel yag dimaksud. Berpola seperti deret hitug maksudya adalah bahwa variabel yag bersagkuta bertambah secara kosta dari satu periode ke periode berikutya. Kasus 1 Perusahaa geteg Sokajaya meghasilka 3.000 buah geteg pada bula pertama produksiya. Dega pertambaha teaga kerja da peigkata produktivitasya, perusahaa mampu meambah produksiya sebayak 500 buah setiap bula. Jika perkembaga produksiya kosta, a. Berapa buah geteg yag dihasilka pada bula ke-5? b. Berapa buah geteg yag telah dihasilka sampai dega bula tersebut? Peyelesaia: Dari kasus tersebut, diketahui a = 3.000; b = 500; da = 5. a. Geteg yag dihasilka pada bula ke-5 adalah U 5 = 3.000 + (5 1)500 = 3.000 +.000 = 5.000 Jadi, geteg yag dihasilka pada bula ke-5 sebayak 5.000 buah geteg b. Bayakya geteg yag dihasilka sampai dega bula ke-5 adalah: 7 Matematika Ekoomi
S 5 3.000 U 5 3.000 5.000 5 (8.000) 0.000 5 5 Jadi, bayakya geteg yag dihasilka sampai dega bula ke-5 sebayak 0.000 buah geteg. Kasus Besarya peerimaa PT. Cemerlag dari hasil pejuala baragya adalah 70 juta rupiah pada tahu kelima da 980 juta rupiah pada tahu ketujuh. Apabila perkembaga peerimaa pejuala tersebut berpola seperti deret hitug tetukalah: a. Berapa perkembaga peerimaaya per tahu? b. Berapa besar peerimaa pada tahu pertama? c. Pada tahu keberapakah peerimaaya bisa mecapai 460 juta rupiah? Peyelesaia: a. Misalka, besarya peerimaa PT cemerlag pada tahu ke- = U. Sehigga, U 5 = 70 (dalam juta rupiah), da U 7 = 980. (dalam juta rupiah). Sehigga: U 5 = a + 4b 70 = a + 4b U 7 = a + 6b 980 = a + 6b Utuk U 7 U 5, maka diperoleh b = 60, sehigga ilai b = 130. Jadi, perkembaga peerimaa PT Cemerlag per tahu sebesar 130 juta rupiah. b. Utuk U 5 = 70, da b = 130, maka U 5 = a + 4b a = U 5 4b = 70 4(130) = 70 50 = 00. Jadi, peerimaa PT cemerlag pada tahu pertama sebesar 00 juta rupiah. c. Misalka peerimaa pada tahu ke- sebesar 460 juta rupiah, sehigga: U = a + ( 1)b 460 = 00 + ( 1)(130) 460 = 00 + 130 130 8 Matematika Ekoomi
460 = 70 + 130 130 = 460 70 = 390 = 3. Jadi, peerimaa PT Cemerlag aka mecapai 460 juta rupiah pada tahu ke-3. 4.3.. Model Buga Majemuk Model buga majemuk merupaka peerapa deret ukur dalam kasus simpapijam da kasus ivestasi. Dega model ii dapat dihitug, misalya, besarya pegembalia kredit dimasa datag berdasarka tigkat bugaya. Atau sebalikya, utuk megukur ilai sekarag dari suatu jumlah hasil ivestasi yag aka diterima dimasa datag. Jumlah akumulatif dimasa datag setelah -tahu (F ) dapat dihitug dega megguaka rumus berikut: F = P(1 + i) (4.15) atau P 1 1 i F (4.16) dega F = Nilai masa datag tahu ke- P = Nilai di masa sekarag i = tigkat buga per tahu = jumlah tahu Persamaa (4.15) megadug aggapa yag tersirat bahwa buga yag diperhitugka dibayarka satu kali dalam setahu. Apabila buga diperhitugka dibayarka lebih dari satu kali (misalya m kali) dalam setahu, maka jumlah di masa datag mejadi: F i P1 m m dega m = frekuesi pembayara buga dalam setahu atau (4.17) 9 Matematika Ekoomi
1 P i 1 m m F (4.18) i Perhatika bahwa, betuk (1 + i) pada Persamaa (4.15) da 1 m pada Persamaa (4.17) dalam duia bisis diamaka faktor buga majemuk yaitu suatu bilaga yag lebih besar dari 1 yag dapat dipakai utuk meghitug 1 jumlah dimasa datag dari suatu jumlah sekarag. Sedagka betuk 1 i pada Persamaa (4.16) da betuk 1 i 1 m m pada Persama (4.18) disebut faktor diskoto (discout factori) yaitu suatu bilaga yag lebih kecil dari 1 yag dapat dipakai utuk meghitug ilai sekarag dari suatu jumlah di masa datag. Kasus 3 Seorag asabah memijam uag di bak sebayak 5 juta rupiah utuk jagka waktu 3 tahu dega tigkat buga % per tahu. a. Berapa jumlah seluruh uag yag harus dikembalika pada saat peluasa? b. Seadaiya perhituga pembayara buga buka tiap tahu, melaika tiap semester, berapa jumlah yag harus ia kembalika? Peyelesaia: Diketahui: P = 5.000.000; = 3 tahu; da i = % = 0,0. a. F = P(1 + i) F 3 = 5.000.000 (1 + 0,0) 3 = 5.000.000. (1,06108) = 5.306.040. Jadi pada saat peluasa, setelah 3 tahu, asabah tadi secara keseluruha harus megembalika sebayak Rp. 5.306.040,- b. Buga diperhitugka dibayarka tiap semester, maka m =. 10 Matematika Ekoomi
F i P1 m m 0,0 F3 5.000.0001 5.000.000 1,01 5.000.000 1,0615 6 x3 5.307.600 Jadi, jumlah yag harus dikembalika mejadi lebih besar, yaitu Rp. 5.307.600,- Kasus 4 Tabuga seorag mahasiswa aka mejadi sebesar Rp.53.400,- dalam tiga tahu yag aka datag. Jika tigkat buga bak yag berlaku 10% per tahu, berapa tabuga mahasiswa tersebut pada saat sekarag ii? Peyelesaia: Diketahui: F = 53.400; = 3; da i = 10% = 0,1. P 1 1 i F P 1 1 0,1 3 x 53.400 400.000 Jadi, besarya tabuga mahasiswa tersebut saat ii adalah Rp. 400.00,- 4.3.3. Model Pertumbuha Peduduk Model deret ukur yag palig kovesioal di bidag ekoomi adalah dalam hal peaksira jumlah peduduk. Jumlah peduduk duia megikuti pola deret ukur, yag secara matematikya dirumuska sebagai berikut: P 1 = P 1 R t-1 (4.19) dega R = 1 + r (4.0) P 1 = jumlah peduduk pada tahu pertama (basis) P t = jumlah peduduk pada tahu ke-t 11 Matematika Ekoomi
r = persetase pertumbuha per tahu t = ideks waktu (tahu) Kasus 5 Peduduk suatu kota berjumlah 1 juta jiwa pada tahu 1991, dega tigkat pertumbuhaya 4 perse per tahu. a. Hituglah jumlah peduduk kota tersebut pada tahu 006. b. Jika mulai tahu 006 pertumbuhaya meuru mejadi,5%, berapa jumlahya 11 tahu kemudia? Peyelesaia Diketahui: P 1 = 1 juta; r = 4% = 0,04; R = 1,04. a. P tahu 006 berarti t = 16 P 16 = 1.000.000 (1,04) 15 = 1.000.000 (1,800943) = 1.800.943. Jadi, jumlah peduduk kota tersebut pada tahu 006 sebesar 1.800.943 jiwa. b. Perhatika bahwa perhituga dimulai dari 006 sehigga pada bagia ii P 1 = P 16 = 1.800.943; r =,5% = 0,05; R = 1,05. Sehigga: P 11 = 1.800.943 (1,05) 10 =.305.359 Jadi jumlah peduduk 11 tahu kemudia terhitug dari tahu 006 sebesar.305.359 jiwa. Soal-Soal Latiha 1. Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret + 4 + 6 + 8 +.... Hituglah jumlah semua bilaga asli kelipata 3 yag kurag dari 100. 3. Carilah jumlah dari: a. 40 bilaga bulat positif gajil yag pertama b. 5 bilaga bulat positif yag pertama. 4. Carilah suku ke-7 dari setiap deret hitug berikut: a. 3 + 7 + 11 +... b. -8 + (-4) + 0 + 4 +... 5. Suku ke-6 sebuah deret hitug adalah 4.000 da suku ke-10 adalah 18.000. supaya suku ke- sama dega 0, maka berapakah ilai? 1 Matematika Ekoomi
6. Carilah jumlah dari 6 suku pertama pada setiap deret ukur berikut: a. 3 + 9 + 7 + 81 +... b. 16 + 8 + 4 + +... 7. Carilah eam suku pertama dari deret ukur berikut: a. a = ; r = 1/3 b. a = 6; r = - 8. suku ke-5 da suku ke-8 suatu deret ukur berturut-turut adalah 48 da 384. Tetuka suku ke-4 dari deret tersebut. 9. Jika (k + 1) + (k 1) + (k 5) membetuk deret ukur, maka tetukalah ilai k tersebut. 10. Jika Tua X medepositoka uagya di Bak sebesar Rp. 5.000.000,- dega tigkat buga yag berlaku 1 perse per tahu, berapakah ilai total deposito Tua X pada akhir tahu ketiga? 11. Seorag mahasiswa igi meabug uagya Rp.1.500.000,- di Bak dega tigkat suku buga yag berlaku 15% per tahu. berapakah ilai uagya dimasa datag setelah 10 tahu kemudia jika bugaya dihitug: a. Semestera b. Kuartala c. Bulaa d. Haria 1. Seorag ibu igi merecaaka uag tabugaya di Bak pada tahu ketiga aka berjumlah Rp.30.000.000,-. Tigkat buga yag berlaku 15% per tahu. Berapakah jumlah uag tabuga ibu tersebut saat ii? 13 Matematika Ekoomi