LOGIKA MATEMATIKA HIMPUNAN Altien Jonathan Rindengan, S.Si, M.Kom
Pendahuluan Himpunan adalah materi dasar yang sangat penting dalam matematika dan teknik informatika/ilmu komputer. Hampir setiap materi pada bidang tersebut berbicara tentang himpunan. Walaupun himpunan sangat penting ahli matemtika tidak dapat memberikan definisi himpuan yang memuaskan. Oleh karenanya, kita dapat menginginkan defnisi yang tegas, tetap kita cukup membahas pengertian himpunan secara intuisi.
Definisi 1.1 Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang mempunyai sifat-sifat yang jelas, sehingga setiap objek dapat ditentukan dengan pasti masuk atau tidak masuk ke dalam kumpulan tersebut. Definisi 1.2 Objek dari suatu himpunan disebut elemen, atau titik, atau unsur, atau anggota dari himpunan.
Penulisan Himpunan Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf besar dan elemennya dengan huruf kecil. Ada dua cara penulisan himpunan, yaitu : pendaftaran anggota dan himpunan pembentuk.
Pendaftaran anggota Penulisan himpunan dengan cara mendaftarkan semua anggota-anggotanya yang dipisahkan tanda koma dalam tanda kurung kurawal. Urutan penulisan anggota atau penulisan anggota yang berulang (yang mungkin terjadi) tidak mengubah himpunannya.
Contoh 1.1 Perhatikan himpunan dibawah ini dengan cara pedaftaran. A 1 = {1,2,3,4,5} A 2 = {5,2,1,4,3} A 3 = {1,1,1,2,3,4,4,5} B 1 = {1,3,5} B 2 = {1,5,3} B 3 = {,5,1,3,1,5,5,5}
Karena urutan anggota yang berbeda dan pengulangan penulisan anggota tidak mengubah himpunan maka disimpulkan dan A 1 = A 2 = A 3 B 1 = B 2 = B 3. Nanti pada pembahasan kesamaan himpunan akan dijelaskan lagi mengapa himpunan diatas sama.
Selanjutnya kita akan memprkenalkan penulisan pendaftaran himpunan yang akan sering kita gunakan, yaitu mengunakan titik tiga. Titik tiga ini menggantikan anggota-anggota yang tidak ikut idaftarkan. Perhatikan himpunan berikut : dapat ditulis sebagai {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} {1,2,,10}
Diperkenalkan sombol-simbol himpunan yang telah disepakati dan biasa digunakan pada bidang matematika. Z = himpunan semua bilangan bulat = {0, 1, 2,...} N = himpunan semua bilangan bulat positip = {1,2,3, } Q = himpunan semua bilangan rasional R = himpunan semua bilangan real = himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota = { }
Keanggotaan Sekarang kita akan memperkenalkan keanggotaan, yaitu antara objak- objek dan himpunan. Perhatikan penulisan himpunan di bawah ini. {a1,a2, } Maka kita menyebutkan setiap objek dalam daftar merupakan suatu anggota dari himpunan itu. Jadi a1 anggota dari {a1,a2, }, a2 anggota dari {a1,a2, } dan seharusnya untuk setiap objek dalam daftar a1,a2,
Simbolnya : a1 {a1,a2, } a2 {a1,a2, } Secara umum, jika A adalah nama yang kita berikan untuk himpunan {a1,a2, }, maka untuk setiap objek x dalam daftar a1,a2,, kita menulis x A
Contoh 1.2 1 { 1,2,3} 2 {1,2,3} 3 {1,2,3} 7 {1,2,,10} -100 {0, 1, 2, }
Ketidak-anggotaan Untuk menuliskan bahwa suatu objek y bukan anggota dari himpunan A, kita menulis y A Contoh 1.3 2 {1,3,5} -1 {1,3,5} -12 {1,2,,10} 11 {1,2,,10} 0 {1,2,,10}
Selanjutnya setiap himpunan akan kita beri namanya. Kita akan menggunakan huruf besar sebagai nama himpunan. Sebagai contoh A = {1,2,3,} maka kia menyatakan 1 A, 2 A, 3 A dan 4 A
Ada beberapa contoh untuk menyatakan x anggota dari himpunan A Kita dapat menyatakan x elemen dari A x titik di A x unsur A x termuat di A
Himpunan Khusus Selain penulisan himpunan dengan cara pendaftaran, kita dapat mendefinisikan suatu himpunan sebagai suatu kumpulan objek-objek yang mempunyai sifat khusus Misalnya himpunan semua bilangan bulat 1, 10 dan diantaranya digunakan untuk menggantikan penulisan pendaftaran {1,2,,10} Himpunan semua bilangan berbentuk 2 berpangkat bilangan bulat menggantikan {,2-3 =1/8, 2-2 =1/4,2-1 =1/2, 2 0 =1, 2, 4, }
Perhatikan: semua bilangan bulat 1,10 dan diantarnya Secara matematika sifat tersebut dapat ditulis x bilangan bulat dengan 1 x 10. kita akan menulis sifat keanggotaan himpunan dengan x Z dan 1 x 10
Penulisan ini akan kita mulai sekarang dengan pernyataan Himpunan semua xsedemikian sehingga x Z dan 1 x 10. Secara metematika, menulisnya dengan simbol sebagai: Dalam hal ini {x 1 x 10, x Z} Z disebut dominan dari x. (Dx} 1 x 10 disebut predikat, (P(x) )
Jadi himpunan ini didefinisi sebagai himpunan semua titik-titik x dari domain di mana predikat P(x) benar. Ditulis: {x x Dx.P(x)} atau sering ditulis {x Dx P(x)} atau {x P(x)} Penulisan himpunan seperti ini disebut penulisan himpunan pembentuk.
Termuat Mendefinisikan kata termuat sebagai relasi dua himpunan. Definisi 1.3 Misalkan A dan B himpunan, A termuat di B jika untuk setiap anggota A juga anggota B. Disimbolkan : A B. Sering juga kita nyatakan dengan A himpunan bagian dari B. Dapat menyebutkan B memuat A dan ditulis B A.
Contoh 1.4 {1,2,3,1,1} { 4,3,2,1} oleh karena setiap objek dari lima objek dalam daftar 1,2,3,1,1 adalah suatu objek dalam daftar 4,3,2,1.
Negasi dari relasi termuat disimbolkan dengan. A B berarti A tidak termuat di B. Artinya ada suatu elemen di A yang bukan elemen di B. Contoh 1.5 {1,2,4} {1,2,3,5,6} sebab ada objek 4 dalam daftar 1,2,4 yang tidak ada dalam daftar1,2,3,5,6.
Kesamaan Definisi 1.4 Misalkan A dan B himpunan. A sama dengan B jika A B dan B A. Ditulis: A = B Perhatikan contoh menyatakan {1,3,1,2,2,1} {1,2,3} dan contoh menyatakan {1,2,3} {1,3,1,2,2,1}. Maka menurut definisi disimpulkan {1,3,1,2,2,1} = {1,2,3}.
Contoh 1.6 {1,2,3} = {3,1,2} dan {1,2,3} = {2,3,1} {1,2,3} = {1,2,1,3,2,1} Prinsip penting dari himpunan yaitu : Dua daftar objek-objek yang berbeda karena urutannya berbeda menyatakan himpunan yang sama. Dua daftar objek-objek yang berbeda karena pengulangan penulisan objeknya menyatakan himpunan yang sama. Dengan memperhatikan prinsip (2) di atas, mulai sekarang kita akan menghindari pengulangan penulisan objek dari suatu himpunan untuk efisiensi.
Himpunan Kuasa Definisi 1.5 Misalnya X himpunan. Himpunan Kuasa dari X adalah himpunan-himpunan semua himpunan bagian dari X. Himpunan kuasa biasanya disimbolkan dengan P(X) Ditulis : P (X) = {A/ A X} Berarti elemen dari himpunan kuasa adalah himpunan.
Contoh 1.7 a. P( ) = b. P({1}) = {,{1}} c. P({1,2}) = {,{1},{2},{1,2}} Perhatikan bahwa adalah anggota dari P(X) untuk setiap himpunan X, sebab himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Jumlah anggota himpunan disimbolkan dengan Jika (x) = n maka (p(x) =2 n
Hasil Kali Kartesius Definisi 1.6 Misalkan A dan B dua himpunan. Hasil kali kartesius dari A dan B adalah semua pasangan berurut (a,b) di mana a anggota A dan b anggota B. Simbolnya: A x B Dapat ditulis A x B = { (a,b) / a A, b B } Contoh 1.8 Misalkan A={1,2} dan {2,3,4}. Tuliskan himpunan A x B dan B x A Penyelesaian : A x B = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)} B x A = {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}
DIAGRAM VENN Definisi 1.7 Misalkan A dan B himpunan. Gabungan dari A dan B, disimbolkan dengan A B, adalah semua unsur x sedemikian sehingga x anggota A atau x anggota B. Ditulis: A B= { x x A atau x B} Contoh 1.9 Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9}. Tuliskan himpunan A B. Penyelesaian A B = {1,3,5,2,4,7,9}, atau A B = {1,2,3,4,5,7,9}
Definisi 1.8 Misalkan A dan B himpunan. Irisan dari A dan B, disimbolkan dengan A B, adalah himpunan semua unsur x sedemikian sehingga x anggota A dan juga x anggota B. ditulis A B = {x x A dan x B} Contoh 1.10 Misalkan A = {1,2,3,4,5} dan B = {1,3,5,7,9}. Tuluskan himpunan A B. Penyelesaian : Anggota 2,4 bukan anggota B, anggota 7,9 bukan anggota A dan hanya anggota 1,3,5 yang menyatakan A sekligus anggota B. Maka A B = {1,3,5} Jika A dan B tidak mempunyai tiik persukutuan maka kita mengatakan Adan B disjoint dan ditulis A B =.
Kadang-kadang kita menyajikan suatu himpunan dngan skema sbagai bagian dalam lingkaran atau persegi panjang. Misalkan A dan B himpunan. Maka hal yang mungkin terjadi : Anggota A juga anggota B, yaitu A B. Diagram vennnya adalah gambar lingkaran A dalam lingkaran B Anggota B juga anggota A, yaitu B A. Diagram vennnya adalah gambar lingkaran B dalam lingkaran A.
A dan B mempunyai anggota persekutuan dan anggota yang bukan persekutauan. Diagram vennnya adalah gambar lingkaran A berpotongan dangan lingkaran B. A dan B tidak mempunyai anggota persekutuan (disjoint), yaitu A B =. Diagram vennnya adalah gambar lingkaran A dan lingkaran B tidak berpotongan.
B A A B A B A B
Hasil operasi himpunan dapat digambarkan pada diagram venn dengan cara mengarsir daerah yang dimaksud. A B A B
(A B) A (A B) B A (A B) B (A B) (A B) A (A B) (A B) B (A B)
A = {1,2,3,4,5} B = {1,3,5,7,8} A B = {1,3,5} A B 2 4 1 3 5 7 8
Sifat Distributif Misalkan A,B dan C himpunan, maka berlaku A (B C) = (A B) (A C) Sifat ini disebut distributif gabungan terhadap irisan. Sifat distributif yang lain adalah sifat distibutif irisan terhadap gabungan yaitu: A (A C)= (A B) (A C).
Komplemen Komplemen ditulis dengan simbol A B (lama), A\ B (baru) A-B = A\B = komplemen relatif B dalam A. Kita akan mengguanakan simbol baru.. Definisi 1.9 Komplemen relatif B dalam A adalah himpunan semua anggota dari A yang bukan anggota dari B A\ B = {x x A dan x B}
Contoh : Jika A={1,2,3} dan B={2,3,4,5}, tentukan A\B dan B\A Penyelesaian : A\ B = {x x A dan x B} ={1} B\ A = {x x B dan x A} ={4,5}
Jika kita telah menyepakati semesta S maka kita dapat menyebutkan komplemen relatif dari A dalam S dengan cukup mengatakan komplemen dari A. Ditulis A c = S\A Hukum De Morgan adalah dua rumus penting akan diperkenalkan di sini, tetapi bukti yang lebih teliti akan dibahas pada Bab selanjutnya. Hukum tersebut adalah : untuk A,B himpunan berlaku (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c
Aturan Aljabar Himpunan 1. Hukum identitas A = A A U = A 2. Hukum dominasi A = A U = U 3. Hukum komplemen A A c = U A A c =
Aturan Aljabar Himpunan. 4. Hukum idempoten A A = A A A = A 5. Hukum involusi ( A) c = A 6. Hukum penyerapan (absorpsi) c A (A B) = A A (A B) = A
Aturan Aljabar Himpunan. 7. Hukum komutatif A B = B A A B = A B 8. Hukum asosiatif A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 9. Hukum distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)
Aturan Aljabar Himpunan. 10. Hukum de Morgan (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 11. Hukum 0/1 c =U U c =
Pembuktian Himpunan Pembuktian dalam himpunan mengacu pada aturan/hukum yang berlaku pada himpunan (aturan aljabar himpuna)
Pembuktian Himpunan. Contoh 1.12 Jika A dan B himpunan, buktikan (A B) (A B c ) = A Jawab (A B) (A B c ) = A (B B c ) hukum distributif = A U hukum komplemen = A hukum identitas
Pembuktian Himpunan. Contoh 1.13 Jika A dan B himpunan, buktikan Jawab A (B A) = A (B A c ) A (B A) =A B definisi komplemen relatif = (A B) (A A c ) hukum distributif = (A B) U hukum komplemen = A B hukum identitas
FB : altien jonathan rindengan Email : jonathan_alt@yahoo.co.id altien@unsrat.ac.id