Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 1 / 80

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D. Kelton (acuan utama). 2 Elements of Stochastic Process, oleh B. S. Gottfried. 3 Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L. Nelson, D. M. Nicol. 4 Introduction to Queueing Theory, Edisi 2, oleh R. B. Cooper. 5 Queueing Systems, oleh I. Adan, J. Resing. 6 Slide kuliah Probabilitas Terapan (2009) dan Statistika & Probabilitas (2013) di Fasilkom UI. 7 Slide kuliah Pemodelan Sistem di Telkom University oleh Tim Dosen Pemodelan dan Simulasi. 8 Wikipedia. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 2 / 80

Bahasan 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 3 / 80

Bahasan Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 4 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teori peluang (probabilitas) diperlukan untuk menganalisis kejadian yang bersifat non-deterministik. Definisi Percobaan atau eksperimen merupakan suatu proses yang menghasilkan data. Data yang dihasilkan juga disebut sebagai kejadian (event). Ruang sampel (sample space) S merupakan himpunan yang berisi semua kemungkinan elementer/ kejadian elementer (elementary event) yang dapat terjadi pada suatu percobaan. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 5 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 6 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 6 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = {aa, ag, ga}. Contoh MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 6 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = {aa, ag, ga}. Contoh Diberikan sebuah dadu, yang setiap sisinya diberi angka 1 6. Dari percobaan pelemparan dadu tersebut kita memiliki ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 6 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 7 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan E i menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E 1 E 2 =. Secara umum E i E j = untuk i j. Definisi MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 7 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan E i menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E 1 E 2 =. Secara umum E i E j = untuk i j. Definisi Diberikan suatu kejadian E dari suatu percobaan S, titik sampel pada E adalah anggota pada E. Contoh MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 7 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan E i menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E 1 E 2 =. Secara umum E i E j = untuk i j. Definisi Diberikan suatu kejadian E dari suatu percobaan S, titik sampel pada E adalah anggota pada E. Contoh Misalkan pada pelemparan sebuah dadu E odd menyatakan kejadian di mana angka ganjil muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E odd = {1, 3, 5}. Dalam hal ini 1, 3, maupun 5 adalah titik sampel dari kejadian E odd. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 7 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 8 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1 0 P (A) 1 untuk setiap kejadian A pada S MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 8 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1 0 P (A) 1 untuk setiap kejadian A pada S 2 P (S) = 1 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 8 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1 0 P (A) 1 untuk setiap kejadian A pada S 2 P (S) = 1 3 P (A B) = P (A) + P (B) apabila A dan B adalah kejadian yang saling lepas. Selanjutnya P (A) atau Pr (A) dikatakan sebagai peluang dari kejadian A. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 8 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 9 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B). Teorema Ketika S dapat dicacah (countable), maka P (A) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 9 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B). Teorema Ketika S dapat dicacah (countable), maka P (A) = P (s) = Pr (s). s A s A MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 9 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 10 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 10 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 10 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Misalkan B : kejadian di mana kedua dadu menampilkan angka yang sama, maka B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 10 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Misalkan B : kejadian di mana kedua dadu menampilkan angka yang sama, maka B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 10 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 36, dan P (A B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 A B 36, dan P (A B) = S = 1 36. Misalkan A B : MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 36, dan P (A B) = A B S = 1 36. Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau dadu menampilkan angka yang sama. Kita memiliki P (A B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 36, dan P (A B) = A B S = 1 36. Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau dadu menampilkan angka yang sama. Kita memiliki P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 3 36 + 6 36 1 36 = 8 36 = 2 9. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 11 / 80

Bahasan Variabel Acak (Random Variable) 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 12 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 13 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 13 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 13 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Untuk mempermudah analisis matematika dalam perhitungan statistika, kita perlu memetakan setiap titik sampel pada suatu nilai numerik. Nilai numerik yang mewakili titik sampel ini dinamakan sebagai variabel acak (random variable). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 13 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 14 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 14 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y, Z, atau dengan indeks bila perlu: X 1, X 2, X 3,.... Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x, y, z atau dengan indeks bila perlu: x 1, x 2, x 3,.... Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 14 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y, Z, atau dengan indeks bila perlu: X 1, X 2, X 3,.... Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x, y, z atau dengan indeks bila perlu: x 1, x 2, x 3,.... Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s S dikatakan variabel acak diskrit bila nilai dari X (s) dapat dicacah (contohnya..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...) MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 14 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y, Z, atau dengan indeks bila perlu: X 1, X 2, X 3,.... Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x, y, z atau dengan indeks bila perlu: x 1, x 2, x 3,.... Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s S dikatakan variabel acak diskrit bila nilai dari X (s) dapat dicacah (contohnya..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...) Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s S dikatakan variabel acak kontinu bila nilai dari X (s) tidak dapat dicacah (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 14 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 15 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 15 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 15 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. Hasil yang mungkin dari pelemparan n buah uang koin. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 15 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. Hasil yang mungkin dari pelemparan n buah uang koin. Hari di mana turun hujan dalam satu pekan (Minggu, Senin, Selasa,..., Sabtu). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 15 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 16 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 16 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {aag, aga, gaa}; setidaknya dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 16 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {aag, aga, gaa}; setidaknya dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = {aaa, aag, aga, gaa}; kita memiliki A B. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 16 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 17 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 17 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 17 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. Hasil yang mungkin dari pengukuran temperatur. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 17 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. Hasil yang mungkin dari pengukuran temperatur. Waktu terjadinya suatu fenomena alam (secara rinci). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 17 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 18 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0, 150] = {a 0 a 150}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 18 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0, 150] = {a 0 a 150}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {t 90 t 120}; beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 18 / 80

Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0, 150] = {a 0 a 150}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {t 90 t 120}; beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = {t 90 t 140}; kita memiliki A B. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 18 / 80

Bahasan Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 19 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Fungsi distribusi peluang (probability distribution function) merupakan fungsi yang digunakan untuk mendeskripsikan suatu distribusi peluang (probability distribution). Fungsi distribusi peluang dapat berupa: 1 fungsi massa peluang (probability mass function, pmf ) untuk variabel acak diskrit; 2 fungsi densitas peluang (probability density function, pdf ) untuk variabel acak kontinu; 3 fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function, cdf ) untuk variabel acak diskrit maupun kontinu. Biasanya istilah fungsi distribusi peluang merujuk pada cdf. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 20 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) pmf dan cdf dari Variabel Acak Diskrit pmf Variabel Acak Diskrit Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak diskrit. Fungsi massa peluang untuk X adalah fungsi f X : R [0, 1] yang didefinisikan sebagai f X (x) = P (X = x) = Pr (X = x) = P ({s S X (s) = x}) = Pr ({s S X (s) = x}) dan memenuhi sifat f X (x) = 1. x Definisi (cdf Variabel Acak Diskrit) Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak diskrit. Fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah F X (x) = P (X x) = Pr (X x) = y x P (X = y) = y x Pr (X = y). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 21 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 22 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = { 1, jika x = a 0, jika x = g. Kemudian pmf untuk X adalah f X (x) = P (X = x) = P ({s S X (s) = x}), dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki f X (1) = P (X = 1) = P ({s S X (s) = 1}) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 22 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = { 1, jika x = a 0, jika x = g. Kemudian pmf untuk X adalah f X (x) = P (X = x) = P ({s S X (s) = x}), dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki f X (1) = P (X = 1) = P ({s S X (s) = 1}) = P ({a}) = 1 2, f X (0) = P (X = 0) = P ({s S X (s) = 0}) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 22 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = { 1, jika x = a 0, jika x = g. Kemudian pmf untuk X adalah f X (x) = P (X = x) = P ({s S X (s) = x}), dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki f X (1) = P (X = 1) = P ({s S X (s) = 1}) = P ({a}) = 1 2, f X (0) = P (X = 0) = P ({s S X (s) = 0}) = P ({g}) = 1 2. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 22 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) pdf dan cdf dari Variabel Acak Kontinu pdf Variabel Acak Kontinu Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak kontinu. Fungsi densitas peluang untuk X adalah fungsi f X : R [0, 1] yang mendeskripsikan peluang dari nilai variabel acak pada selang tertentu. Kita memiliki dan memenuhi sifat P (a X b) = Pr (a X b) = Definisi (cdf Variabel Acak Kontinu) f X (x) dx = 1. b a f X (x) dx Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak kontinu. Fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah F X (x) = P (X x) = x f X (x) dx. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 23 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = 120 1 100 100 dt = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = 120 1 100 100 dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = 120 1 100 100 dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah P (90 T 140) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = 120 1 100 100 dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah P (90 T 140) = 140 1 100 dt = 90 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = 120 1 100 100 dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah P (90 T 140) = 140 1 100 dt = 1 2 = 0.5. 90 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 24 / 80

Bahasan Ukuran Pemusatan Data 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 25 / 80

Ukuran Pemusatan Data Ukuran Pemusatan Data (Measure of Central Tendency) Ukuran pemusatan data (measure of central tendency) dari suatu variabel acak X dapat dibagi menjadi: 1 Mean (ekspektasi), dinotasikan dengan E [X]. 2 Median (nilai tengah). 3 Modus (nilai yang (mungkin) paling sering muncul). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 26 / 80

Mean (Ekspektasi) Ukuran Pemusatan Data Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], didefinisikan sebagai E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 27 / 80

Mean (Ekspektasi) Ukuran Pemusatan Data Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], didefinisikan sebagai E [X] = x xp (X = x) = x x Pr (x) = x xf X (x) (untuk variabel acak diskrit) E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 27 / 80

Mean (Ekspektasi) Ukuran Pemusatan Data Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], didefinisikan sebagai E [X] = x xp (X = x) = x x Pr (x) = x xf X (x) E [X] = (untuk variabel acak diskrit) xf X (x) dx (untuk variabel acak kontinu), dengan syarat: deret x xf X (x) konvergen absolut (yaitu x x f X (x) < ) untuk variabel acak diskrit; integral tak wajar xf X (x) konvergen (untuk variabel acak kontinu). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 27 / 80

Ukuran Pemusatan Data Median dan Modus Median Median dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat P (X m) 1 2 dan P (X m) 1 2 Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu P (X m) = 1 P (X m). Modus MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 28 / 80

Ukuran Pemusatan Data Median dan Modus Median Median dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat P (X m) 1 2 dan P (X m) 1 2 Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu P (X m) = 1 P (X m). Modus Modus dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat f X (m) f X (x) untuk setiap x R. Bila X adalah variabel acak diskrit, maka modus adalah nilai m dengan sifat P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R Pr (X = m) Pr (X = x) untuk setiap x R. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 28 / 80

Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 29 / 80

Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Selanjutnya definisikan variabel acak X (s) = s untuk setiap s S. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 29 / 80

Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Selanjutnya definisikan variabel acak X (s) = s untuk setiap s S. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = 1 untuk setiap x = 1, 2,..., 6. 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 29 / 80

Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 30 / 80

Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 30 / 80

Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 30 / 80

Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = 1 6 6 x x=1 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 30 / 80

Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = 1 6 6 x x=1 = 1 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7 2 = 3.5 Ini berarti mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan dadu adalah 3.5. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 30 / 80

Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = 1 6 6 x x=1 = 1 6 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 7 2 = 3.5 Ini berarti mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan dadu adalah 3.5. Karena dadu tidak memiliki sisi dengan nomor 3.5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 30 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 P (X 6) = 1 6 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 P (X 6) = 1 6 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dadu diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 P (X 6) = 1 6 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dadu diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. Karena P (X = x) = 1 6 untuk setiap 1 x 6, maka modus dari percobaan ini adalah keluarnya angka 1, angka 2, angka 3, angka 4, angka 5, atau angka 6. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 31 / 80

Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 32 / 80

Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {aa, ag, ga, gg} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016 32 / 80