Bahan Ajar. Statistika. Haryadi NIDN

Transkripsi

1 Bahan Ajar Statistika Haryadi NIDN Universitas Muhammadiyah Palangkaraya 2012

2 Daftar Isi 1 Populasi dan Sampel Pengantar Sifat variabel dalam penelitian Penyajian Data Distribusi Frekuensi Histogram Diagram Batang dan Daun Ringkasan Data Ukuran Kecenderungan Pusat Varian Persentil Box Plot Teorema Chebyshev Peluang Ruang Sampel Peluang Peluang Bersyarat Variabel Random Variabel Random Diskrit Nilai Harapan Variabel Random Diskrit Variabel Random Kontinu Variabel Random Bersama Beberapa Distribusi Peluang Distribusi binomial Distribusi Normal Distribusi yang berhubungan dengan distribusi normal Distribusi Chi-Square Distribusi t Distribusi F i

3 ii DAFTAR ISI 7 Teori Sampling 45 8 Estimasi Interval Kepercayaan untuk µ dengan σ Diketahui Interval Kepercayaan untuk µ dengan σ Tidak Diketahui Interval Kepercayaan untuk σ Interval Kepercayaan Selisih Dua Mean Uji Hipotesis Uji tentang mean populasi normal Uji hipotesis dengan σ 2 diketahui Uji hipotesis dengan σ 2 tidak diketahui Uji kesamaan mean dua populasi Varian populasi diketahui Varian populasi tidak diketahui Varian tidak diketahui dan tidak sama Uji t berpasangan Uji hipotesi tentang varian populasi normal Uji hipotesis kesamaan varian dua populasi normal Uji Goodness of Fit Uji Independen Regresi Linear Sederhana Sifat Estimator ˆβ dan ˆα Inferensi tentang parameter β dan α Koefisien Determinasi Korelasi Daftar Pustaka 81 Appendix 83

4 Bab 1 Populasi dan Sampel 1.1 Pengantar Banyak kesimpulan sehari-hari didasarkan pada informasi yang tidak lengkap. Kesimpulan semacam ini tentu mengandung ketidak pastian. Di dalam statistika, kita akan mempelajari bagaimana menggali informasi atau membuat kesimpulan berdasarkan informasi yang tidak lengkap. Definisi 1. Statistika merupakan studi tentang bagaimana mengumpulkan, mengorganisasi, menganalisis dan menginterpretasikan data. Dengan demikian persyaratan untuk dapat melakukan studi dengan statistika adalah adanya data. Data diperoleh dengan melakukan observasi dari karakter individu-indvidu yang menjadi perhatian kita. Sering terjadi data yang diperlukan dalam studi statistik sudah tersedia, misalnya data yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik. Dapat pula terjadi data yang diperlukan dalam studi belum tersedia. Dalam hal data belum terdesia maka perlu diadakan dengan jalan melakukan observasi atau eksperimen. Definisi 2. Variabel adalah karakteristik yang diukur atau diobservasi dari suatu objek. Variabel kuantitatif adalah variabel yang dinyatakan dalam bentuk bilangan atau numerik. Variabel kualitatif adalah variabel yang dinyatakan dalam kategori atau 1

5 2 BAB 1. POPULASI DAN SAMPEL kelompok tertentu Jika kita ingin meneliti prestasi belajar siswa suatu kelas, maka variabelnya dapat berupa nilai hasil belajar. Penelitian tentang tingkat kemasaman air di Palangkaraya, variabelnya bisa berupa ph air. Suatu penelitian yang bertujuan untuk mengetahui jenis warna yang disukai anak TK, variabelnya dapat berupa warna. Definisi 3. Populasi adalah kumpulan semua individu ( objek) yang menjadi perhatian studi. Bagian dari populasi dinamakan sampel. Banyaknya anggota populasi dinamakan ukuran populasi. Banyaknya anggota sampel dinamakan ukuran sampel. Data yang diperoleh dari sampel dinamakan data sampel. Contoh 1. Suatu studi bertujuan untuk mengetahui berat badan rata-rata mahasiswa UM Palangkaraya. Karena keterbatasan tenaga dan waktu, maka diambil sampel 100 orang mahasiswa untuk timbang berat badannya. Dalam studi ini, populasinya adalah seluruh mahasiswa UM Palangkaraya, sampelnya adalah ke 100 mahasiswa tersebut, dan variabelnya adalah berat badan yang merupakan variabel kuantitatif. Jelas bahwa rata-rata berat badan yang diukur dari 100 mahasiswa tidak menjamin akan mencerminkan rata-rata berat badan seluruh mahasiswa UM Palangkaraya. Hal ini dikarenakan informasinya tidak lengkap. Dalam hal ini bisa saja seluruh mahasiswa UM Palangkraya ditimbang berat badanya agar diperoleh kesimpulan yang tepat, namun tentu diperlukan waktu dan biaya yang lebih besar dibanding dengan mengamati 100 mahasiswa. Dalam suatu studi umumnya kita menggunakan dapat sampel. Banyak alasan mengapa kita mengunakan data sampel, diantaranya (i) keterbatasan sumberdaya dan (ii) keterbatasan teknis. Definisi 4. Parameter adalah suatu karateristik populasi. Statistik adalah suatu nilai yang dihitung dari data sampel. Pada contoh 1, parameternya adalah rata-rata berat badan seluruh mahasiswa UM Palangkaraya, yang dalam hal ini nilainya tidak diketahui; sedangkan

6 1.1. PENGANTAR 3 statistiknya adalah rata-rata berat badan yang dihitung dari ke 100 mahasiswa tersebut. Parameter umunya tidak diketahui nilainya. Oleh karena itu kita harus cukup puas untuk menduga nilai parametr. Statistik digunakan untuk menduga (to estimasi) parameter. Suatu statistik dikatakan representatif (mewakili) jika dapat menggambarkan keadaan parameter dengan baik. Ada banyak kriteria mengenai statistik yang baik untuk suatu parameter. Baik tidaknya suatu statistik sangat bergantung pada bagaimana sampel tersebut diambil dari populasi. Suatu proses pengambilan sampel dinamakan sampling. Cara pengambilan sampel Ada beberapa cara pengambilan sampel: Random sampling Stratified sampling Sistematik sampling Cluster sampling Sampel random berukuran n dari suatu populasi adalah bagian populasi yang diambil dengan cara sedemikian sehingga: 1. setiap sampel berukuran n memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih. 2. setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih. Suatu prosedur untuk memperoleh sampel random adalah dengan menggunakan bilangan random. Bilangan random dapat diperoleh pada tabel bilangan random, kalkulator atau program komputer. Prosedur melakukan random sampling: 1. Beri nomor semua anggota populasi secara berurutan 2. Gunakan tabel, kalkulator atau komputer untuk memilih bilangan random. 3. Buatlah sampel dengan menggunakan anggota populasi yang nomornya berkaitan dengan bilangan random yang terpilih. Contoh 2. Akan diambil sampel random berukuran 10 dari sebuah kelas yang memiliki 50 siswa. Langkah-langkahnya: 1. Beri nomor urut pada setiap anggota kelas mulai nomor 1 sampai dengan nomor 50.

7 4 BAB 1. POPULASI DAN SAMPEL 2. Gunakan tabel bilangan random, dengan cara: pertama tunjuk sebarang bilangan pada tabel, kemudian diteruskan dengan menuliskan bilangan random berikutnya secukupnya. Misal dalam contoh ini diperoleh bilangan random mulai baris ke-7 dan kolom ke-9: Karena banyaknya sampel merupakan bilangan dua digit, maka bilangan random di atas dikelompokan menjadi dua digit : Daftar semua anggoka kelas yang nomornya sesuai dengan nomor pada bilangan random yang telah dikelompokan tersbut. Jika ditemui bilangan yang lebih besar dari 50 maka diabaikan, dan jika diperoleh bilangan random yang sudah terpilih sebelumnya, maka diabaikan. Anggota populasi yang terpilih sebagai anggota sampel adalah yang bernomor: Stratified sampling Stratified sampling adalah cara pengambilan sampel dari populasi yang memiliki strata tertentu. Misalnya, pada populasi mahasiswa UM Palangkaraya, stratanya dapat berupa lulusan SMA, sudah bekerja dan mahasiswa pindahan. Pada teknik ini, populasi dibagi minimal dalam dua strata, kemudian pada setiap strata pengambilan sampel dilakukan secara random sampling. Sistematik sampling. Pada metode ini anggota populasi disusun dengan urutan tertentu. Kemudian dilakukan pengambilan satu individu secara random, dan dilanjutkan dengan mengambil setiap anggota ke k dari sampel. Cluster sampling. Pada metode ini, dimulai dengan membagi wilayah menjadi beberapa bagian (cluster). Kemudian diambil secara random bagianbagian tersebut. Setiap anggota cluster menjadi anggota sampel. 1.2 Sifat variabel dalam penelitian Didalam studi observasi, pengukuran terhadap anggota sampel dilakukan sehingga tidak merubah respon atau variabel yang diteliti. Di dalam eksperimen, perlakuan diberikan pada individu untuk melihat perubahan respon atau variabel yang diukur.

8 1.2. SIFAT VARIABEL DALAM PENELITIAN 5 Untuk memperoleh data, kadang-kadang peneliti harus mengambil data dari orang-orang dengan cara memberikan pertanyaan. Proses ini dinamakan survey. Pengkategorian lain dari data adalah berdasarkan tingkat pengukuran, dalam arti berdasarkan sifat aritmetika data. Berdasarkan tingkat mengukuran, data dikelompokan menjadi: 1. Data nominal merupakan data yang tidak dapat (tidak berkmakna) jika diurutkan secara aritmetika. 2. Data ordinal, yaitu data yang bisa diurutkan tetapi tidak dapat (tidak bermakna) jika dibandingkan. 3. Data interval, yaitu data yang dapat urutkan dan perbedaan antara nilai data ada maknanya. 4. Data rasio, yaitu data yang dapat dirutkan, perbedan antara nilai data bermakna dan rasio antar nilai data juga bermakna. Pada data rasio nilai 0 merupakan nilai sebenarnya. Contoh 3. Suatu data berisi informasi nama hewan di suatu kebun binatang: harimau jerapah buaya unta Data ini termasuk data nominal. Perhatikan bahwa data tersebut hanya menyatakan nama, jadi jika diurutkan tidak ada artinya. Contoh 4. Suatu penelitian bertujuan untuk mengetahui tingkat kesukaan konsumen terhadap suatu produk. Variabel yang diamati adalah sebagai berikut: Suka Sedang Tidak suka Perhatikan bahwa data ini dapat diurutkan, namun selisih antar tingkat kesukaan tidak bermakna. Contoh 5. Temperatur di kota Palangkaraya merupakan data interval, sebab nilai temperatur dapat diurutkan dan selisih antara nilai temperatur memiliki makna. Misalnya pada pagi hari temperaurnya 23 o dan pada siang hari 30 o, perbedaaanya menyatakan bahwa pada siang hari temperaturnya 7 o lebih panas dibanding pagi hari. Perhatikan pula bahwa temperatur 0 o tidak berarti tidak ada panas, yakni nilai ini bukan nilai sebenarnya. Contoh 6. Data penghasil 5 orang per bulan (dalam juta rupiah) adalah sebagai berikut:

9 6 BAB 1. POPULASI DAN SAMPEL No. Urut. Penghasilan , ,5 5. 0,0 Sifat data ini adalah dapat urutkan, dapat dikurangkan antar nilai-nilainya dan nilai 0 adalah nilai yang sebenarnya, yaitu tidak punya penghasilan. Dengan demikian data ini termasuk data rasio.

10 Bab 2 Penyajian Data 2.1 Distribusi Frekuensi Jika kita memiliki suatu data kuantitatif yang ukuran cukup besar, maka akan berguna jika data tersebut dikelompokan menjadi interval atau klas yang lebih kecil. Dalam penyajian data dengan tabel frekuensi, data dipartisi menjadi kelas atau interval dan menampilkan banyaknya nilai data yang termasuk pada setiap kelas. Definisi 5. Kelas atau interval dibentuk sehingga setiap nilai data termasuk kedalam tepat satu kelas. Kelas berupa interval bilangan; jadi memiliki batas bawah dan batas atas. Titik tengah kelas adalah bilangan yang posisinya di tengah kelas. Lebar kelas menyatakan selisih antara batas atas dan batas bawah kelas tersebut. Lebar kelas = Nilai data terbesar Nilai data terkecil banyaknya kelas Frekuensi kelas adalah banyaknya nilai yang termasuk suatu kelas. Frekuensi relatif adalah frekuensi dibagi banyaknya nilai data. 7

11 8 BAB 2. PENYAJIAN DATA Frekuensi Kumulatif suatu kelas adalah banyaknya seluruh nilai data yang lebih kecil dari batas atas kelas tersebut. Frekuensi kumulatif relatif adalah frekuensi kumulatif dibagi banyaknya data. Contoh 7. Data hasil ujian mata kuliah Statistika 40 mahasiswa berikut akan disajikan dalam bentuk frekuensi distribusi dengan 6 kelas.: Langkah-langkah membentuk tabel frekuensi: 1. Tentukan lebar kelas: dibulatkan menjadi 10. Lebarkelas = Tentukan kelas (interval kelas) sebagai berikut: = Ambil nilai data terkecil sebagai batas bawah kelas pertama, dalam hal ini adalah 40. Batas bawah kelas berikutnya = batas bawah nilai sebelumnya Jadi batas bawah kelas kedua adalah = 50. Batas bawah kelas diperoleh dengan mengambil nilai tepat di bawah batas atas kelas berikutnya. Jadi batas kelas pertama adalah 59. Proses ini dilanjutkan untuk kelas-kelas berikutnya. 3. Sekarang setiap nilai data dapat dimasukan ke dalam kelas masing-masing. Untuk menghitung frekuensi setiap kelas dapat menggunakan dengan bantuan tally. Diperoleh tabel frekuensi sebagai berikut:

12 2.2. HISTOGRAM 9 Frekuensi Frekuensi Frekuensi Interval Kelas Frekuensi Relatif Kumulatif Kumulatif Relatif Jumlah Histogram Dari tbel frekuensi dapat disajikan bentuk visualnya. Histogram merupakan cara yang cukup efektif untuk menyajikan data dalam bentuk visual. Pada histogram: setiap kelas dinyatakan dengan sebuah batang lebar batang menyatakan lebar kelas tinggi batang menyatakan frekuensi kelas atau frekuensi relatif kelas nilai dibawah setiap batang adalah titik tengah kelas. Histogram frekuensi pada contoh 1 adalah

13 10 BAB 2. PENYAJIAN DATA Bentuk histogram dari suatu sampel random menggambarkan bagaimana nilai data berdistribusi pada populasi. Bentuk histogram dapat dikelompokan menjadi: 1. Simetris, yaitu histogram yang mentuknya (hampir) simetris terhadap suatu sumbu. 2. Seragam, yaitu histogram yang frekuensi setiap kelasnya sama atau hampir sama. 3. Menceng kiri atau menceng kanan, yaitu histogram yang ekornya menjulur lebih panjang ke satu sisi. Jika ekornya lebih menjulur kekiri maka dinamakan menceng kekiri, jika ekornya lebih menjulur kekanan maka dinamakan menceng kekanan. 4. Bimodal, yaitu histogram yang memiliki dua kelas dengan frekuensi tertetinngi yang dipisahkan oleh kelas lainnya.

14 2.2. HISTOGRAM 11 Kadang-kadang kita ingin menyajikan histogram dengan bentuk tertentu. Diagram pareto adalah grafik batang yang disajikan secara urut berdasarkan tingginya. Sebagai contoh, diagram pareto untuk contoh 1 adalah: Grafik runtun waktu adalah grafik yang menggambarkan bagaimana data berubah terhadap waktu. Misalnya data mahasiswa UM Palangkaraya 10 tahun terakhir adalah

15 12 BAB 2. PENYAJIAN DATA Grafik runtun waktu data ini adalah 2.3 Diagram Batang dan Daun Diagram batang dan daun menyajikan data dalam bentuk susunan dan kelompok tertentu. Didalam tabel frekuensi dan histogram, kita kehilangan informasi tentang nilai data. Di dalam diagram batang dan daun, informasi mengenai nilai data asli tidak hilang. Prosedur membuat diagram batang-daun: 1. Bagi digit tiap nilai data menjadi dua bagian. Bagian paling kiri dinamakan batang dan bagian kanan dinamakan daun. 2. Susun semua batang secara vertikal mulai dari nilai terkecil hingga nilai terbesar. 3. Tuliskan semua daun yang batangnya sama pada baris batang yang sama, lalu susun daun dengan urutan makin membesar. Contoh 8. Data nilai ujian Statistika pada contoh 1 akan disajikan dalam diagram batang daun. Digit pertama sebagai batang dan digit kedua sebagai daun. Berdasarkan prosedur di atas diperoleh

16 2.3. DIAGRAM BATANG DAN DAUN

17 14 BAB 2. PENYAJIAN DATA

18 Bab 3 Ringkasan Data 3.1 Ukuran Kecenderungan Pusat Dalam keseharian kita sering mendengar ungkapan seperti: Umumnya orang Indonesia makan nasi. Sebagian besar siswa lulus UAN. Pendapatan per kapita rata-rata di Palangkaraya 4 juta rupiah per bulan. Ungkapan-ungkapan tersebut merupakan ungkapan kecenderungan suatu keadaan. Di dalam bagian ini kita akan meninjau dari sudut statistika cara menyapaikan ungkapan-ungkapan tersebut. Modus suatu data adalah nilai data yang paling banyak frekuensinya. Contoh 9. Data banyaknya anak 10 rumah tangga adalah sebagai berikut: Nilai data 2 memiliki frekuensi paling banyak, oleh karena itu modusnya adalah 2. Median adalah nilai data yang posisinya ditengah setelah data diurutkan. Median data dapat dicari sebagai berikut: 1. Urutkan data dari nilai terkecil hingga terbesar. 2. Jika banyaknya nilai data ganjil, maka median = nilai yang posisinya ditengah. 3. Jika banyaknya nilai data genap, maka median = jumlah dua nilai yang ditengah. 2 15

19 16 BAB 3. RINGKASAN DATA Contoh 10. Hasil pengukuran tinggi badan 11 mahasiswa (dalam kg) adalah Setelah diurutkan maka menjadi Karena banyaknya nilai data ada 11, maka mediannya adalah nilai yang posisinya ditengah, yaitu nilai ke 6. Dengan demikian mediannya adalah 67. Contoh 11. Data pendapatan per bulan 10 orang adalah sebagai berikut (dalam juta rupiah) Setelah diurutkan, maka data tersebut menjadi Karena banyaknya observasi 10 (genap), maka mediannya adalah nilai ke 5 + nilai ke 6 median = = = Mean atau mean aritmetika suatu sampel adalah jumlah seluruh nilai data dibagi ukuran sampel. Mean suatu sampel berukuran n dengan nilai-nilai data x 1, x 2,, x n, ditulis x. Jadi mean = x = x 1 + x x n = 1 n x i. n n Contoh 12. Nilai rapor semua pelajaran seorang siswa adalah 7, 8, 6, 7, 6, 8, 7, 9, 6, 7. Mean nilai rapornya adalah x = = = 7.1. Mean memiliki sifat sensitif terhadap nilai data ekstrim, dalam arti bahwa jika terdapat nilai data yang sangat kecil atau sangat besar, maka mean mudah berubah secara ekstrim. Contoh 13. Data observasi tingkat penghasilan 10 orang di Palangkaraya per bulan adalah sebagai berikut (dalam juta rupiah): 1, 3, 2, 4, 3, 100, 3, 4, 2, 4. Di dalam contoh ini terdapat orang yang penghasilannya 100 juta per bulan. Mean data ini adalah x = = 12.6, 10 padahal umumnya ke 10 orang berpenghasilan dibawah 5 juta. Hal ini terjadi karena ada nilai data yang ekstrim, yaitu 100. Trimmed mean atau mean yang dipangkas relatif tidak sensitif terhadap nilai data ekstrim. Trimmed mean adalah mean suatu data yang telah dipangkas sebagian data, umumnya digunakan pemangkasan 5 persen. i=1

20 3.1. UKURAN KECENDERUNGAN PUSAT 17 Prosedur mencari trimmed mean 5 persen 1. Urutkan data dari nilai terkecil hingga nilai terbesar. 2. Hapus 5 persen bawah dan 5 persen atas data. Jika 5 persen tersebut tidak menghasilkan bilangan bulat, bulatkan ke bilangan bulat terdekat. 3. Hitung mean 90 persen data yang tersisa. Contoh 14. Data penghasilan per bulan 20 orang dalam juta rupiah adalah sebagai berikut Untuk mencari trimmed mean 5 persen pertama-tama data diurutkan Banyaknya nilai data adalah 20, sehingga 5 persen dari 20 adalah 1. Dihilangkan 5 persen (satu nilai data) bawah dan atas data menjadi Mean yang dipangkas adalah mean data terakhir, yaitu x = 1 ( ) = Kadang-kadang kita memiliki data yang nilainya dapat dikelompokan menjadi k nilai berbeda. Misalkan nilai data x 1, x 2,, x k berturut-turut memiliki frekuensi f 1, f 2,, f k. Ini berarti data ini memiliki n = k i=1 f i nilai data dengan nilai x i terjadi f i kali. Mean data demikian dapat dihitung sebagai berikut x = 1 n (f 1x 1 + f 2 x f k x k ). dengan n = f i + f f k. Contoh 15. Berikut adalah data hasil observasi usia mahasiswa pada suatu kelas Usia Frekuensi Banyaknya observasi adalah n = = 32. Mean data tersebut adalah x = ( ) = =

21 18 BAB 3. RINGKASAN DATA Kadang-kadang nilai data yang akan dicari meannya sangat besar. Untuk mempermudah mencari mean data yang nilai-nilainya sangat besar dapat digunakan transformasi: y i = x i c dengan c suatu konstanta. Dengan tranfomasi tersebut, maka diperoleh x = ȳ + c. Contoh 16. Suatu eksperimen untuk mengukur kecepatan cahaya menghasilkan hasil pengukuran sebagai berikut (dalam km/detik): 300, , , , , 008. Untuk mencari mean data tersebut dapat digunakan tranformasi dan diperoleh nilai-nilai y i : y i = x i 300, 000, , dan ȳ = 1 ( ) = Dengan demikian, mean hasil pengukuran kecepatan cahaya tersebut adalah x = ȳ + 300, 000 = , 000 = 300, Varian Kita sering mendengar pernyataan seperti Tingkat pendapatan orang Indonesia sangat bervariasi, Hasil nilai ujian nasional cukup beragam, Tinggi tanaman padi di sawah sangat seragam, dan sebagainya. Ungkapan semacam ini merupakan suatu cara untuk menyatakan kecenderungan perbedaan antara individu. Range data x 1, x 2,, x n adalah selisih antara nilai data terbesar dan nilai data terkecil. Contoh 17. Nilai ujian 10 orang siswa adalah 5, 6, 4, 7, 8, 7, 10, 6, 7, 4. Range data tersebut adalah 10 4 = 6. Diketahui x 1, x 2,, x n data sampel berukuran n dan x mean data tersebut. Deviasi nilai data x i terhadap mean x adalah selisih antara x i dan x, yaitu deviasi = x i x.

22 3.3. PERSENTIL 19 Varian sampel, ditulis s 2, dari data x 1, x 2,, x n didefinisikan s 2 = 1 n 1 n (x i x) 2. i=1 Varian sampel menggambarkan variabilitas data sampel. Jika s 2 adalah varian sampel, maka s dinamakan deviasi standar sampel. Contoh 18. Hitunglah varian sampel setiap data berikut: Data A: 5, 3, 4, 6, 2. Data B: -2, -1, 11, 4, 8. Mean data A adalah x = ( )/5 = 4; dengan demikian varian sampel data A adalah s 2 = 1 4 ( (5 4) 2 + (3 4) 2 + (4 4) 2 + (6 4) 2 + (6 4) 2 + (2 4) 2) = 10 4 = 2.5, dan deviasi standar data A adalah s = 2.5 = Mean data B adalah x = ( )/5 = 4; dengan demikian varian sampel data B adalah s 2 = 1 4 ( ( 2 4) 2 + ( 1 4) 2 + (11 4) 2 + (4 4) 2 + (8 4) 2) = = 31.5 dan deviasi standar data B adalah s = 31.5 = Perhatikan bahwa meskipun data A dan data B memiliki mean sama, namun variannya berbeda. Varian data B lebih besar dibanding varian data A, yang berarti bahwa data B lebih bervariasi dibanding data A. 3.3 Persentil Diketahui bilangan p dengan 1 p 99. Persentil ke p dari suatu data adalah suatu nilai sehingga p persen data berada pada atau dibawah nilai tersebut dan (100 p) persen data berada pada atau di atas nilai tersebut. Quartil adalah persentil yang membagi data menjadi empat. 1. Quartil pertama ditulis Q 1, adalah persentil ke Quartil kedua ditulis Q 2, adalah median.

23 20 BAB 3. RINGKASAN DATA 3. Quartil ketiga ditulis Q 3 adalah persentil ke 75. Prosedur mencari quartil: 1. Urutkan data dari nilai terkecil sampai dengan nilai terbesar 2. Posisi Q 1 = 0.25(n + 1). 3. Posisi Q 2 = 0.5(n + 1) 4. Posisi Q 3 =0.75(n+1). Interquartil = Q 3 Q 1. Contoh 19. Data hasil ujian 40 mahasiswa Setelah data diurutkan maka diperoleh : Posisi Q 1 = 0.25(40 + 1) = Q 1 = nilai ke ( nilai ke 11 nilai ke 10) = = Posisi Q 2 = 0.5(40 + 1) = 20.5 Q 2 = = nilai ke 20 + nilai ke = Posisi Q 3 = 0.75(40 + 1) = Q 3 = nilai ke ( nilai ke 31 nilai ke 30) = (78 76) = Interquartil=Q 3 Q 1 = = 22.5.

24 3.4. BOX PLOT Box Plot Quartil bersama dengan nilai data terbesar dan terkecil menghasilkan ringkasan limabilangan dan sebaran data. Kelima bilangan yaitu: nilai data terkecil, Q 1, median, Q 3 dan nilai data terbesar. Kelima bilangan dapat digunakan untuk membuat sketsa grafik data yang dinamakan box plot. Prosedur membuat box plot: 1. Gambarkan sebuah skala vertikal yang dapat mencakup nilai data terkecil dan nilai data terbesar. 2. Gambarkan sebuah kotak dari Q 1 ke Q 3 di sebelah kanan skala tersebut. 3. Berilah garis mendatar pada kotak tersebut di ketinggian median. 4. Gambarkan garis vertikal dari Q 1 ke nilai data terkecil dan dari Q 3 ke nilai data terbesar. Contoh 20. Grafik box-plot data hasil ujian 40 mahasiswa pada contoh terdauhulu.

25 22 BAB 3. RINGKASAN DATA 3.5 Teorema Chebyshev Teorema 1. Diketahui x dan s berturut-turut adalah mean sampel dan deviasi standar sampel dengan s > 0. Jika k 1 maka setidaknya 100(1 1/k 2 ) persen data berada di dalam interval x ks sampai dengan x + ks. Contoh 21. Jika k = 2 maka setidaknya ada 100(1 1/2 2 ) = 100 3/4 = 75 persen data berada di dalam interval x 2s sampai dengan x + 2s. Contoh 22. Nilai ujian 20 siswa adalah sebagai berikut: Dari data tersebut diperoleh: x = 6.55 dan s = Jika k = 3/2, maka setidaknya ada 100(1 1/(3/2) 2 ) = 100 5/9 = persen data berada di dalam interval 6.55 ( 3 ( 2) sampai dengan ) Dengan kata lain setidaknya persen data berada di dalam interval sampai dengan Dapat diperiksa bahwa nilai data yang berada di dalam interval tersebut adalah , yaitu ada 15 (lebih dari persen) nilai data yang berada di dalam interval tersebut.

26 Bab 4 Peluang 4.1 Ruang Sampel Suatu eksperimen dilaksanakan dengan tujuan untuk memperoleh hasil (outcome). Eksperimen random adalah suatu eksperimen yang dapat dilakukan berkali-kali pada kondisi yang sama dan hasilnya tidak dapat ditentukan dengan pasti sebelum eksperimen tersebut selesai. Ini berarti hasil yang akan terjadi dari suatu eksperimen random menganndung suatu ketidakpastian. Meskipun hasilnya tidak dengan secara pasti dapat ditentukan, namun kita masih dapat menentukan semua hasil yang mungkin terjadi. Definisi 6. Ruang sampel, ditulis S, dari suatu eksperimen random adalah himpunan semua hasil (outcome) yang mungkin terjadi. Definisi 7. Pertistiwa E adalah himpunan bagian dari ruang sampel S. Peristiwa E dikatakan terjadi, jika E memiliki anggota. Selanjutnya peristiwa akan dituliskan dangan huruf A, B, C, D, E, F dan sebagainya. Definisi 8. Peristiwa E F adalah peristiwa terjadinya E dan F. Peristiwa E c adalah peritstiwa tidak terjadinya E. Dua peristiwa E dan F dikatakan saling saling jika E F =, yakni jika kedua peristiwa tidak memiliki anggota bersama. 23

27 24 BAB 4. PELUANG Definisi 9. Peristiwa elementer adalah peristiwa yang memiliki tepat satu anggota. Contoh 23. Suatu eksperimen random melontarkan dua mata uang logam satu kali. Peristiwa yang diamati adalah sisi yang menghadap ke atas. Jika sisi angka ditulis a dan sisi gambar ditulis g, maka ruang sampelnya adalah S = {aa, ag, ga, gg}. Jika E adalah peristiwa terjadinya sisi a tepat satu kali, maka dapat ditulis E = {ag, ga}. Jika F peristiwa terjadinya sisi gambar setidaknya satu kali, maka dapat ditulis F = {ag, ga, gg}. Peristiwa E F berarti peristiwa terjadi sisi angka sebanyak satu kali dan gambar satu kali, yaitu E F = {ag, ga}. Peristiwa E c menyatakan peristiwa tidak terjadinya E, yaitu tidak munculnya sisi angka sebanyak satu kali, dan dapat ditulis E c = {gg, aa}. Contoh 24. Sebuah dadu dilontarkan satu kali dan diamati banyaknya spot sisi yang menghadap ke atas. Ruang sampelnya dapat ditulis S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Peristiwa elementernya adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5} dan {6}. Jika A peristiwa terjadinya sisi genap dan B peristiwa terjadinya sisi ganjil, A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} maka A dan B merupakan peristiwa yang saling asing, karena A B =. Contoh 25. Satu mata uang logam dilontarkan tiga kali. Ruang sampelnya adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Jika E adalah peristiwa munculnya sisi angka paling banyak satu kali, maka dapat ditulis E = {agg, gag, gga, ggg}.

28 4.2. PELUANG 25 Jika F adalah peristiwa munculnya sisi gambar satu kali, maka dapat ditulis F = {aag, aga, gaa}. Peristiwa E F adalah peristiwa munculnya sisi angka paling banyak satu kali atau peristiwa munculnya sisi gambar dua kali. Jadi E F = {agg, gag, gga, ggg, aag, aga, gaa}. Contoh 26. Sebuah dadu dilontarkan dua kali. Pasangan (a, b) menyatakan sisi yang muncul pada lontaran a dan pada lontaran kedua b. Ruang sampelnya adalah S = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Jika E peristiwa munculnya jumlah kedua lontaran 10, maka dapat ditulis E = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}. Jika F peristiwa munculnya lontaran pertama spot 4, maka dapat ditulis F = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}. Contoh 27. Misalkan kita ingin meramalkan ketinggian sebuah roket yang ditembakan dari permukaan bumi. Ruang sampelnya adalah semua bilangan pada interval 0 sampai dengan tak hingga, S = {x : 0 x < takhingga}. Jadi ruang sampel ini memiliki tak hingga anggota. 4.2 Peluang Di dalam suatu percobaan random, akan terjadinya suatu peristiwa tidak dapat ditentukan secara pasti. Tingkat kepastian atau ketidakpastian ini diukur dengan suatu ukuran yang dinamakan peluang (probability).

29 26 BAB 4. PELUANG Definisi 10. (Pendekatan klasik peluang) Diketahui peristiwa E dapat terjadi dalam h cara berbeda dari seluruh n cara yang semuanya memiliki kemungkinan sama. Peluang peristiwa E, ditulis P (E), adalah P (E) = h n. Pengertian peluang secara klasik mengandung arti bahwa setiap peristiwa elementer memiliki peluang yang sama, yaitu sebesar 1 N. Contoh 28. Sebuah mangkok berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Dari mangkok tersebut diambil tanpa pilih-pilih sebuah bola. Peluang terambilnya bola merah adalah P (merah) = 5 9, dan peluang terambilnya bola biru adalah P (biru) = 4 9. Definisi 11. (Pendekatan frekuensi) Jika setelah diulang n percobaan, dengan n besar, suatu peristiwa diketahui terjadi h kali, maka peluang peristiwa tersebut adalah h/n. Contoh 29. Jika satu mata uang logam dilontarkan 1000 kali dan diperoleh sisi gambar terjadi 512 kali, maka peluang terjadinya sisi gambar adalah 512/1000 = Pada kenyataannya tidak semua peristiwa elementer memiliki peluang yang sama, misalnya peluang sebuah mesin jet macet tentu tidak sama dengan peluang mesin tersebut tidak macet. Oleh karena itu pengertian klasik peluang kurang tepat untuk berbagai fenomena yang terjadi sehari-hari. Perhatikan bahwa pada pengertian klasik, banyaknya anggota ruang sampel berhingga. Pada kenyataannya ada ruang sampel yang jumlah anggotanya tak hingga. Ini berarti pengertian klasik peluang tidak dapat digunakan jika banyaknya anggota ruang sampel tak hingga. Definisi 12. Diketahui S ruang sampel. Untuk setiap peristiwa E bagian S dihubungkan dengan suatu bilangan yang ditulis P (E) yang memenuhi sifatsifat berikut:

30 4.2. PELUANG P (E) P (S) = P (E 1 E 2 E 3 ) = P (E 1 )+P (E 2 )+P (E 3 )+, dengan E 1, E 2, E 3, adalah peristiwa yang saling asing. Jika P memenuhi ketiga sifat, maka P dinamakan peluang, dan P (E) dinamakan peluang terjadinya peristiwa E. Sifat (1) menyatakan bahwa peluang suatu peristiwa adalah suatu nilai numerik yang besarnya dari 0 hingga 1. Sifat (2) menyatakan bahwa perstiwa terjadinya ruang sampel adalah pasti. Sifat (3) menyatakan bahwa peluang gabungan peristiwa yang saling asing sama dengan jumlah peluang masing-masing peristiwa. Peluang merupakan ukuran numerik kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Nilai peluang yang mendekati satu berarti semakin besar kemungkinan persistiwa tersebut terjadi. Sebaliknya jika peluang suatu peristiwa pendekati nilai nol, berarti semakinkecil kemungkinan peristiwa tersebut terjadi. Jika suatu peristiwa memiliki peluang 1 artinya peristiwa tersebut pasti terjadi, sedangkan jika suatu peristiwa memiliki peluang 0 artinya peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi. Contoh 30. Frekuensi relatif pada contoh merupakan peluang. Pada kolom tersebut nilai frekiensi relatif berada pada interval 0 hingga 1, jumlah semua frekuensi relatif adalah 1 dan frekuensi relatif gabungan kelas interval sama dengan jumlah frekuensi relatif kelas interval. Contoh 31. Tiga mata uang dilontarkan satu kali dan diamati sisi yang menghadap ke atas. Ruang sampelnya adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Dianggap setiap peristiwa elementer memiliki peluang sama, yaitu 1 8. Jika E menyatakan peristiwa terjadinya sisi angka satu kali dan F menyatakan peristiwa terjadinya sisi gambar paling sedikit dua kali, maka E dan F dapat dituliskan E = {agg, gga, gag} dan F = {ggg, gga, gag, agg}. P (E) = P (agg, gga, gag) = P (agg) + P (gga) + P (gag) = (4.1) 8 = 3 8.

31 28 BAB 4. PELUANG P (F ) = P (ggg, gga, gag, agg) = P (ggg) + P (gga) + P (gag) + P (agg) = (4.2) 8 = 1 2. Contoh 32. Sebuah mangkok berisi 10 kelereng merah, 30 kelereng putih, 25 kelereng biru dan 15 kelereng orange. Akan diambil satu kelereng. Berapa peluang terambilnya kelereng (a) putih (b) orange atau merah (c) bukan biru (d) merah, putih atau biru (e) bukan merah dan bukan biru Penyelesaian: Misalkan M, P, B dan O berturut-turut menyatakan kelereng warna merah, putih, biru dan orange. Banyaknya seluruh kelereng adalah = 80. (a) P (P ) = = (b) P (O M) = = (c) P (B c ) = 1 P (B) = = = (d) P (M P B) = = (e) P (M c B c ) = P ((M B) c ) = 1 P (M B) = = Peluang Bersyarat Dalam suatu eksperimen random peluang terjadinya suatu peristiwa bisa tergantung terjadinya peristiwa lain. Sebagi contoh, peluang lahirnya anak kedua perempuan bisa tergantung apakah anak pertama laki-laki atau perempuan. Diketahui E dan F adalah peristiwa. Peluang terjadinya E jika diketahui peristiwa F telah terjadi dinamakan peluang bersyarat (conditional probability), dituliskan P (E F ), dan didefinisikan P (E F ) = P (E F ). P (F ) Contoh 33. Sebuah mata uang logam dilontarkan dua kali, dan peluang setiap peristiwa elementer sama. Berapa peluang terjadinya sisi a pada lontaran kedua jika diketahui pada lontaran pertama sisi g telah terjadi? Misalkan E peristiwa terjadinya sisi a pada lontaran kedua dan F peristiwa

32 4.3. PELUANG BERSYARAT 29 terjadinya sisi g pada lontaran pertama. Jadi E = {aa, ga} dan F = {gg, ga}. Peluang yang dicari adalah P (E F ) = P (E F ) P (F ) = P (ga) P (gg, ga) = 1/4 2/4 = 1 2. Contoh 34. Suatu mangkok berisi tujuh bola hitam dan lima bola putih. Diambil dua bola dari dalam mangkok tersebut dan bola yang telah terambil tidak dikembalikan kedalam mangkok. Anggap setiap bola memiliki peluang sama untuk terambil. Berapa peluang bola yang terambil keduanya adalah bola hitam. Misalkan F dan E berturut-turut peristiwa bola pertama dan bola kedua adalah hitam. Karena bola pertama yang terambil hitam, maka ada enam bola hitam dan lima bola putih yang tersisa di dalam mangkok, dan dengan demikian P (E F ) = Karena P (F ) = 7 12, maka peluang terambilnya kedua bola hitam adalah P (E F ) = P (F )P (E F ) = = Contoh 35. Pada suatu perguruan tinggi, s25 persen mahasiswa gagal matematika, 15 persen mahaasiswa gagal fisika, dan 10 persen maha siswa gagal matematika dan ilmu fisika. Seorang mahasiswa dipilih secara random. (a) Jika ia gagal fisika, berapa peluang ia gagal matematika? (b) Jika ia gagal matematika, berapa peluang ia gagal fisika? (c) Berapa peluang ia gagal matematika atau gagal fisika? Penyelesaian: Tuliskan M = peristiwa mahasiswa yang gagal matematika, F = persitiwa mahasiswa yang gagal fisika. Diperoleh P (M) = 0.25, P (F ) = 0.15, P (M F ) = 0.10 (a) Peluang ia gagal matematika, diketahui ia gagal fisikaa adalah P (M F ) = P (M F ) P (F ) = = 2 3 (b) Peluang ia gagal fisika, diketahui ia gagal matematika adalah P (F M) = P (F M) P (M) = = 2 5 (c) Peluang ia gagal matematika atau gagal fisika adalah P (M F ) = P (M) + P (F ) P (M F ) = = 0.30

33 30 BAB 4. PELUANG Peristiwa E dan F dikatakan independen, jika peluang terjadinya peristiwa E tidak tergantung apakah peristiwa F terjadi atau tidak terjadi. Dalam hal ini P (E F ) = P (E) dan berlaku P (E F ) = P (E).P (F ). Jadi peristiwa E dan F independen jika peluang terjadinya kedua peristiwa bersamaan sama dengan hasil kali peluang terjadinya masing-masing peristiwa. Contoh 36. Satu mata uang logam dilontarkan dua kali. Jika E peristiwa munculnya sisi a pada lontaran pertama dan F peristiwa munculnya sisi g pada lontaran kedua, yaitu E = {aa, ag} dan F = {ag, gg}. Jika setiap peristiwa elementer memiliki peluang sama, maka P (E F ) = P (ag) = 1 4 P (E)P (F ) = P (aa, ag)p (ag, gg) = = 1 4, sehingga P ( F ) = P (E)P (F ), dengan kata lain E dan F adalah peristiwa yang independen. Contoh 37. Dua dadu dilontarkan satu kali. A menyatakan peristiwa munculnya jumlah spot kedua sisi adalah enam dan B menyatakan peristiwa munculnya spot sisi dadu pertama empat. Diperoleh P (A B) = P ({4, 2}) = 1 36 dan P (A)P (B) = = 5 216, dan karena P (A B) P (A)P (B), maka peristiwa A dan B tidak independen. Peristiwa E 1, E 2,, E n dikatakan independen, jika untuk setiap r n berlaku P (E 1 E 2 E r ) = P (E 1 ) P (E 2 ) P (E r ).

34 Bab 5 Variabel Random Dalam suatu eksperimen random dapat terjadi peneliti tidak tertarik pada outcomenya tetapi barangkali lebih tertarik pada nilai numerik yang berkaitan dengan outcome tersebut. Misalnya dalam percobaan melontarkan tiga mata uang sekali, mungkin peneliti lebih tertarik untuk mengamati banyaknya suatu sisi terjadi dari pada mengamati sisi apa saja yang menghadap ke atas. Definisi 13. Variabel random adalah suatu fungsi yang domainnya ruang sampel dan nilainya bilangan real. Selanjutnya variabel random ditulis dengan notasi X. Jika c adalah peristiwa elementer, maka nilai variabel random X di c ditulis X(c). Jika nilai X(c) adalah x maka ditulis X(c) = x. Contoh 38. Dua mata uang logam dilontarkan satu kali. Jika X menyatakan banyaknya sisi a terjadi, maka X merupakan variabel random. Nilai variabel random pada setiap anggota ruang sampel adalah sebegai berikut: X(gg) = 0, X(ag) = 1, X(ga) = 1, X(aa) = Variabel Random Diskrit Variabel random X dikatakan variabel random diskrit jika nilai variabel random tersebut terhitung, yakni banyaknya nilai berhingga atau dapat dituliskan sebagai x 1, x 2, x 3,. Pada Contoh 38, X merupakan variabel random diskrit.. 31

35 32 BAB 5. VARIABEL RANDOM Contoh 39. Tiga mata uang dilontarkan satu kali. Jika variabel random X menyatakan banyaknya sisi angka terjadi, maka nilai-nilai X adalah X(ggg) = 0 X(agg) = X(gag) = X(gga) = 1 X(aaa) = 3 X(aag) = X(aga) = X(gaa) = 2 Contoh 40. Dua dadu dilontarkan satu kali. Variabel random X menyatakan banyaknya jumlah bintik kedua sisi yang menghadap ke atas. Nilai-nilai variabel random X aadalah X((1, 1)) = 2 X((1, 2)) = 3 X((1, 3)) = 4 X((1, 4)) = 5 X((1, 5)) = 6 X((1, 6)) = 7 X((2, 1)) = 3 X((2, 2)) = 4 X((2, 3)) = 5 X((2, 4)) = 6 X((2, 5)) = 7 X((2, 6)) = 8 X((3, 1)) = 3 X((3, 2)) = 5 X((3, 3)) = 6 X((3, 4)) = 7 X((3, 5)) = 8 X((3, 6)) = 9 X((4, 1)) = 5 X((4, 2)) = 6 X((4, 3)) = 7 X((4, 4)) = 8 X((4, 5)) = 9 X((4, 6)) = 10 X((5, 1)) = 6 X((5, 2)) = 7 X((5, 3)) = 8 X((5, 4)) = 9 X((5, 5)) = 10 X((5, 6)) = 11 X((6, 1)) = 7 X((6, 2)) = 8 X((6, 3)) = 9 X((6, 4)) = 10 X((6, 5)) = 11 X((6, 6)) = 12 Jika X variabel random diskrit, maka peluang variabel random X bernilai x ditulis P (X = x). Pada Contoh 39 misalnya, variabel random X bernilai 2 jika dan hanya jika peristiwa {aag}, {aga} dan {gaa} terjadi. Ini berarti peluang X = 2 sama dengan peluang terjadinya peristiwa {aag, aga, gaa}, sehingga diperoleh P (X = 2) = P ({aag, aga, gaa}) = 3 8. Perhatikan bahwa nilai P (X = x) tergantung pada peristiwa yang dikaitkan dengan nilai variabel random x. Dengan demikian peluang variabel random X bergantung pada nilai x, dengan kata lain P (X = x) merupakan fungsi dari x. Oleh karena itu dapat dituliskan f(x) = P (X = x). Selanjutnya f(x) dinamakan fungsi peluang atau distribusi peluang variabel random X. Contoh 41. Pada Contoh 39, distribusi peluangnya adalah f(0) = P (X = 0) = P (ggg) = 1 8 f(1) = P (X = 1) = P (agg, gag, gga) = 3 8 f(2) = P (X = 2) = P (aag, aga, gaa) = 3 8 f(3) = P (X = 3) = P (aaa) = 1 8

36 5.1. VARIABEL RANDOM DISKRIT 33 Contoh 42. Pada Contoh 40, distribusi peluangnya adalah f(2) = P (X = 2) = P ((1, 1)) = 1 36 f(3) = P (X = 3) = P ((1, 2)(2, 1)) = 2 36 f(4) = P (X = 4) = P ((1, 3), (2, 2), (3, 1)) = 3 36 f(5) = P (X = 5) = P ((1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 2)) = 4 36 f(6) = P (X = 6) = P ((1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)) = 5 36 f(7) = P (X = 7) = P ((1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)) = 6 36 f(8) = P (X = 8) = P ((2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)) = 5 36 f(9) = P (X = 9) = P ((3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)) = 4 36 f(10) = P (X = 10) = P ((4, 6), (5, 5), (6, 4)) = 3 36 f(11) = P (X = 11) = P ((5, 6), (6, 5)) = 2 36 f(12) = P (X = 12) = P ((6, 6)) = 1 6 Fungsi distribusi kumulatif atau fungsi distribusi, ditulis F (x), adalah peluang variabel random X bernilai lebih kecil atau sama dengan x. Jadi F (x) = P (X x). Contoh 43. Perhatikan kembali Contoh 39. Distribusi kumulatifnya dalah F (0) = P (x 0) = P (X = 0) = 1 8 F (1) = P (x 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 1 2 F (2) = P (x 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 7 8 F (3) = P (x 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = 1

37 34 BAB 5. VARIABEL RANDOM Contoh 44. Distribusi kumulatif pada Contoh 40 adalah F (2) = P (x 2) = P (X = 2) = 1 36 F (3) = P (x 3) = P (X = 2) + P (X = 3) = 3 36 F (4) = P (x 4) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 6 36 F (5) = P (x 5) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) = F (6) = P (x 6) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = F (7) = P (x 7) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +P (X = 7) = F (8) = P (x 8) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +P (X = 7) + P (X = 8) = F (9) = P (x 9) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) = F (10) = P (x 10) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) = F (11) = P (x 11) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) = F (12) = P (x 12) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) +P (X = 7) + P (X = 8) + P (X = 9) + P (X = 10) + P (X = 11) + P (X = 12) = = 1.

38 5.2. NILAI HARAPAN VARIABEL RANDOM DISKRIT Nilai Harapan Variabel Random Diskrit Nilai harapan suatu variabel random menggambarkan nilai yang diharapkan akan terjadi dari suatu eksperimen random atau kecenderungan hasil yang akan terjadi. Definisi 14. Nilai harapan suatu variabel random diskrit ditulis E(X) atau µ, didefinisikan sebagai berikut µ = E(X) = x i.p (X = x i ), Contoh 45. Pada percobaan melontarkan dua mata uang logam sebanyak satu kali (Contoh 38), diperoleh P (X = 0) = 1 4 P (X = 1) = 1 2 dan P (X = 2) = 1 4. Dengan demikian nilai harapannya adalah µ = E(X) = 0 P (X = 0) + 1 P (X = 1) + 2 P (X = 2) = = 1. Karena µ adalah nilai harapan variabel random X, maka X µ merupakan deviasi X terhadap nilai harapannya. Ukuran yang menggambarkan variabilitas suatu variabel random didefinisikan berikut. Definisi 15. Varian variabel random diskrit X ditulis V ar(x) atau σ 2 adalah σ 2 = V ar(x) = E((X µ) 2 ) = (x i µ) 2.P (X = x i ), Kuantitas σ = σ 2 dinamakan deviasi standar. Berdasarkan definisi di atas, V ar(x) merupakan nilai harapan kuadrat deviasi X µ; dengan demikian V ar(x) 0. Semakin besar varian suatu variabel random, semakin basar variabilitasnya. Nilai varian suatu variabel random adalah 0 jika dan hanya jika variabel random tersebut nilainya tetap. tersebut Contoh 46. Varian pada Contoh 38 di atas adalah σ 2 = V ar(x) = (0 1) 2.P (X = 0) + (1 1) 2.P (X = 1) + (2 1) 2.P (X = 2) = = 0.5. Deviasi standarnya adalah σ = 0.5 = 0.7.

39 36 BAB 5. VARIABEL RANDOM 5.3 Variabel Random Kontinu Jika X adalah variabel random dengan peluang pada setiap titik tunggal x sama dengan nol, yakni P (X = x) = 0, maka X dinamakan variabel random kontinyu. Jika X variabel random kontinyu, maka ada fungsi f(x) sehingga peluang variabel random X berada di antara a dan b sama dengan luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, garis x = a dan garis x = b. Selanjutnya peluang X berada di antara a dan b ditulis P (a < X < b). Fungsi f(x) tersebut dinamakan fungsi kepadatan peluang. Fungsi distribusi kumulatif variabel random kontinyu X, ditulis F (x), didefinisikan sebagai peluang variabel random X bernilai lebih kecil atau sama dengan x atau F (x) = P (X < x) Contoh 47. Diketahui variabel random kontinyu X memiliki fungsi densitas f(x) = 1 5 dengan 0 x 5. Peluang variabel random X berada antara 1 dan 3 adalah P (1 X 3) = 2 5, dan distribusi kumulatif di x = 2.5 adalah F (2.5) = Variabel Random Bersama Di dalam suatu penelitian, kita sering tertarik pada dua variabel random atau lebih. Misalnya dalam meneliti tentang penyakit jantung, mungkin kita tertarik pada beberapa faktor penyebab seperti kebiasaan merokok dan konsumsi alkohol. Diketahui dua variabel random X dan Y. Untuk menggabungkan kedua variabel dapat kita gunakan fungsi distribusi kumulatif. Definisi 16. Diketahui variabel random X dan Y. Fungsi distribusi kumulatif bersama F (x, y) adalah F (x, y) = P (X x, Y y). Berdasarkan definisi di atas, fungsi distribusi kumulatif bersama adalah peluang variabel random X x dan Y y terjadi bersama-sama. Diketahui X dan Y masing-masing variabel random disktrit. Peluang variabel random X bernilai x dan variabel random Y bernilai y ditulis P (X = x, Y = y). Variabel random X dan Y dikatakan independen jika berlaku P (X = x, Y = y) = P (X = x).p (Y = y)

40 5.4. VARIABEL RANDOM BERSAMA 37 Dua variabel random kontinyu X dan Y dikatakan independent jika peluang terjadinya X tidak dipengaruhi apakah variabel random Y terjadi atau tidak. Jika f(x, y) fungsi densitas variabel random kontinyu X dan Y dan kedua variabel random independen, maka berlaku f(x, y) = f 1 (x).f 2 (y), dimana f 1 (x) dan f 2 (y) berturut-turut fungsi densitas X dan Y.

41 38 BAB 5. VARIABEL RANDOM

42 Bab 6 Beberapa Distribusi Peluang Pada bagian ini akan disampaikan beberapa distribusi peluang variabel random diskrit dan kontinyu yang banyak digunakan didalam inferensi statistik. 6.1 Distribusi binomial Misalkan suatu eksperimen random hanya memiliki dua hasil yang mungkin, hasil pertama dinamakan sukses dan hasil kedua dinamakan gagal. Eksperimen tersebut diulang secara independen sebanyak n kali. Jika peluang sukses setiap eksperimen adalah sama sebesar p maka peluang gagal pada setiap eksperimen adalah p 1. Jika X menyatakan banyaknya sukses dari n percobaan (trial) dan peluang X = x diberikan oleh fungsi peluang berikut P (X = x) = ( ) n p x (1 p) n x, x = 0, 1, 2, 3,, n, (6.1) x maka X dinamakan berdistribusi binomial dengan parameter n dan p. Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa nilai harapan dan varians disrtibusi binomial adalah µ = np dan σ 2 = np(1 p) (6.2) Di dalam fungsi peluang binomial, notasi ( n x) menyatakan kombinasi x objek dari n objek, yaitu ( ) n n! = x x!(n x)!, (6.3) dengan n! = (n 1) n dan 0! = 1. Contoh variabel random berdistribusi binomial adalah melontarkan mata uang logam, cacat tidaknya suatu produk dan macet tidaknya suatu mesin jet. 39

43 40 BAB 6. BEBERAPA DISTRIBUSI PELUANG Contoh 48. Diketahui suatu telur asin yang diproduksi suatu perusahaan memiliki peluang rusak 0.01 dan bersifat independen terhadap telor asin lainnya. Jika diambil secara random sampel sebanyak 5 telor asin, (a) berapa peluang telor asin yang rusak sebanyak satu? (b) berapa peluang telor asin yang rusak paling banyak satu? Jika X menyatakan banyaknya telor asin yang rusak, maka X merupakan variabel random binomial dengan n = 5 dan p = Dengan demikian (a) Peluang telor asin yang rusak sebanyak satu adalah ( ) 5 P (X = 1) = (0.01) 1 (1 0.01) 4 = (b) Peluang telor asin yang rusak paling banyak satu adalah P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) ( ) ( ) 5 5 = (0.01) 0 (1 0.01) 5 + (0.01) 1 (1 0.01) = = Distribusi Normal Variabel random X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ dan varian σ 2 jika fungsi densitasnya diberikan oleh f(x) = 1 σ 2 2π e (x µ) /2σ 2, (6.4) dengan π = 2, dan e = 2, Contoh variabel random yang berdistribusi normal adalah diameter lubang yang dihasilkan mesin bor, skor suatu test, konsentrasi suatu bahan kimia pada suatu jenis obat, dan hasil panen pada suatu lahan. Jika mean µ = 0 dan deviasi σ = 1, maka X dinamakan berdistribusi normal standar. Grafik distribusi normal standar disajikan pada gambar 6.1, yakni berupa kurva yang simetris terhadap garis z = 0. Pada grafik ini sumbu horisontal z merupakan nilai variabel random dan sumbu vertikal merupakan nilai fungsi densitas f(z). Nilai maksimum grafik ini dicapai pada titik z = 0, semakin jauh dari titik z = 0 semakin kecil nilai fungsi ini dan akan mendekati nol jika nilai z mendekatai tak hingga atau mendekati minus tak hingga. Jika variabel random X berdistribusi normal standar, maka distribusi kumulatifnya dituliskan dengan notasi Φ(x); jadi Φ(x) = P (X x) (6.5)