MTRIKS
DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom) m a m a mn baris m Kolom n Kolom Kolom Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).
Kesamaan dua matriks Dua buah matriks =(a ij ) dan B=(b ij ) dikatakan sama =B, jika ukurannya sama (mxn) dan berlaku a ij =b ij. = B = = B C = D = C D E = F = x E = F jika x = G = 5 6 H = 9 7???? 5? 6?? 9? 7? G = H
Operasi pada Matriks. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = kedua matriks tersebut berukuran sama Contoh penjumlahan matriks: = B = 6 6 + B + = 6 + = 6
PENGURNGN MTRIKS = B = 6 6 - B - = - - - =
. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari =(aij) maka λ diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks dengan λ Contoh: / 7 maka - / 7/ -/ 9 9 -
. Perkalian Matriks Dua buah matriks &B dapat dikalikan jika: Jumlah kolom matriks pertama () sama dengan jumlah baris matriks kedua (B). Misal. (mxn) dan B(nxp), C=xB maka C(mxp). m x n B n x p C m x p =(a ij ) dengan i=,,,,m dan j=,,,,n B=(b jk ) dengan j=,,,,n dan k=,,,,p C=(c ik ) dengan i=,,,,m dan k=,,,,p Maka : x B = (a ij ) x (b jk )=(c ik )
Contoh: = = 5 B - x + x + x = 9 x + x + x = 6 x + x + x = x + x + x = x B = x + x + x x + x + x = = 8
Jika,B,C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat yang di perlukan, maka: (B+C)=B+C (BC)=(B).C Perkalian matriks tidak komutatif = B B tetapi ada beberapa matriks yang berlaku B=B Bila B=C, belum tentu B=C Bila B=(matriks nol) Maka kemungkinan-kemungkinan:. = & B=. = atau B=. B dan B
Transpose 5 = 6 7 T = = 5-9 7 6-9 7 7 Definisi: Transpose mariks adalah matriks T dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari. [ T ] ij = [] ji n x m Jika adalah matriks m x n, maka matriks transpose T berukuran
Sifat-sifat transpose matriks ( T ) T =. Transpose dari transpose adalah : T ( T ) T = Contoh: 5 6-9 7 7 6 7 5-9 7 5 6-9 7 7
Sifat-sifat transpose matriks. (+B) T = T + B T T T T +B = + B (+B) T = T + B T
Sifat-sifat transpose matriks. (k) T = k() T untuk skalar k k T k T (k) T = k() T
Sifat-sifat transpose matriks. (B) T = B T T T T T B = B (B) T = B T T
Jenis Matriks Khusus. Matriks bujur sangkar dalah suatu matriks dengan banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom Contoh x, x - elemen diagonal utama
. Matriks Nol dalah matriks yang semua elemennya nol x x. Matriks Diagonal dalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol Contoh:
. Matriks Identitas dalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua= Contoh: 5. Matriks Skalar dalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=k Contoh: 6. Matriks Segitiga Bawah dalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama= Contoh: I
7. Matriks Segitiga tas dalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama= Contoh: 8. Matriks Simetris dalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(= T ). Contoh: T
9. Matriks nti Simetris dalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya. Contoh:. Matriks Hermitian dalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri Contoh: - - -, - - - - - T, T i i i i
. Matriks Invers Misal (nxn), B(nxn) dan berlaku B=B=I maka dikatakan B invers dari B= - atau invers dari B =B - Contoh:. Matriks Komutatif Jika dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku B=B, maka dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Contoh: I Bx xb - 6 B, 7 5 5 7 xb 7 5 5 7 Bx B,
Transformasi Elementer Yang di maksud Transformasi Elementer pada matriks adalah operasi sbb:. B ij : Pergantian baris ke i dengan baris ke j. K ij : Pergantian kolom ke i dengan kolom ke j. Bi (λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing dikalikan dengan skalar λ. Ki (λ) : Elemen-elemen kolom ke j masing-masing dikalikan dengan skalar λ 5. Bij (λ) : Elemen-elemen baris ke i masing-masing ditambah dengan λ kali baris ke j 6. Kij (λ) : Elemen-elemen kolom ke i masing-masing ditambah dengan λ kali kolom ke j
Contoh: Di ketahui matriks B, maka:
Matriks Ekivalen Dua matriks dan B dikatakan ekivalen( ~B) jika matriks yang satu dapat di peroleh dari matriks yang lain dengan transformasi baris dan atau kolom. Contoh: B 5 B 5 K 5 K ~ ~ ) ( ~ () 5 dan B dalah ekivalen karena:
Matriks Eselon Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah menjadi matriks eselon dengan menggunakan Transformasi Elementer. Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen terkirinya) disebut Matriks Eselon.
Kondisi-kondisi matriks bentuk eselon baris dan eselon baris tereduksi:. Elemen pertama yang tidak nol adalah (satu utama) Ya 6 Tidak 6. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya 6 6. Baris nol berada di paling bawah. Elemen di atas satu utama nol semua 6 6 6 5 6 6
Matriks dalam bentuk eselon baris (eb) dan eselon baris tereduksi (ebt) Matriks yang memenuhi kondisi,, disebut matriks berbentuk eselon baris. Jika matriks memenuhi kondisi,,,, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi. * * * * * * * * * * * * * utama Sembarang nilai Nol eselon baris. eselon baris tereduksi
Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer. Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks.
6 ~ () H ~ ) ( H ~ () H Contoh : Tentukan rank matriks di bawah ini : Jawab : matrik eselon Jadi rank matriks diatas adalah 6